Apuntes matemáticos

23.Teoremas y problemas selectos

2009-11-07T22:51:00.014-06:00

23.1 El problema de las bisectrices de los ángulos. Este capítulo esta dedicado a la discusión de variados teoremas y problemas importantes, y empezaremos con la demostración de un teorema que aparentemente es muy simple , pero que ofrece más dificultad de la que en primera instancia se pudiera ver. Es el inverso de un teorema que cualquier principiante en el estudio de la geometría puede demostrar fácilmente.
Sigue una prueba simple por el método indirecto.
Teorema : Si las bisectrices de dos ángulos interiores de un triángulo son iguales, el triángulo es isósceles.
En el triángulo ABC, sean iguales las bisectrices BM y CN de los ángulos CBA y ACB , y supóngase que el Ð CBA es mayor que el ÐACB. Entonces Ð CBM > Ð NCB, de donde
CM > BN

Dibuje las líneas BL y CL paralelas respectivamente a NC y NB , y dibuje ML. Entonces BL =NC=BM, y los ángulos MLB y BML son iguales. También puesto que LC = BN, tenemos CM > LC y ÐCLM > LMC. Por lo tanto por suma Ð CLB > Ð BMC, de donde ÐBNC > Ð BMC. Considerando los ángulos de los triángulos BON y MOC, esta última desigualad nos conduce a concluir que Ð MBA < Ð ACN. Esto es contrario a la suposición de que ÐCBA es mayor que Ð ACB. De la misma manera podemos establecer una contradicción si suponemos el primero de estos ángulos menor que el segundo. Podemos concluir que son iguales, y en consecuencia el triángulo es isósceles.

23.2 Teorema de Stewart.
Teorema : Si a, b, c son las longitudes de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC , y si D es un punto cualquiera en BC para el cual BD = p, y DC = q, entonces representando por x la longitud AD, tenemos
ax ² = pb² + qc² - apq.

Aplicando la ley de los cosenos a los triángulos ABD y ADC , tenemos
c² = x² + p² -2xp cos ADB,
b² = x² + q² + 2xq cos ADB.
Multiplicando estas ecuaciones por p y q respectivamente , sumando y reduciendo con la ecuación p + q = a, se obtiene el resultado deseado.
Este teorema puede usarse para encontrar la longitud de la línea AD cuando D es un punto cualquiera en la línea BC y se conoce la razón en la cual divide D divide a BC, porque en este caso las longitudes y signos de BD y DC pueden conocerse. En particular, las longitudes de las medianas, las simedianas y las bisectrices de los ángulos de un triángulo, pueden encontrarse por medio del teorema de Stewart.
Esto sugiere una prueba directa del teorema de la sección anterior. En la Fig. 111, si AD biseca el ángulo A del triángulo dado encontramos
y

El cálculo del segmento AD² da
, y el cuadrado de la bisectriz del ángulo B es

Si la diferencia entre estas dos expresiones se hace igual a cero, la ecuación puede reducirse a
(a-b)×f(a,b,c)= 0,
donde f (a,b,c) son solamente términos positivos. De aquí a = b.
23.3 Distancia entre los centros del incírculo y el circuncírculo.
Sean I y O el incentro y el circuncírculo. Sean I y O el incentro y el circuncentro del triángulo ABC , y sean D, E, F , los puntos en los cuales la circunferencia inscrita es tangente a BC, CA, AB, respectivamente. Denotemos por r y R los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita , por d la distancia entre sus centros , y por P y Q los puntos en los cuales la línea IO interseca la circunferencia circunscrita.
Si invertimos con respecto al incírculo como circunferencia de inversión, el punto A será invertido en A´, punto medio de EF. Entonces la circunferencia circunscrita se invierte en la circunferencia de los nueve puntos del triángulo DEF y el diámetro de esta circunferencia es igual a r. También si P´ y Q´ son los inversos de P y Q respectivamente, la línea P´Q´ es un diámetro de esta circunferencia. Más aún,

La suma de estas ecuaciones con los debidos signos, nos conduce al resultado deseado. Este resultado se debe a Euler. Y puede ser puesto en la forma del
Teorema. Los radios r y R de las circunferencias inscrita y circunscrita de un triángulo, y la distancia d entre los centros, están relacionados por la ecuación.

23.4 Teorema de Miquel .Teorema :Si D, E, F son tres puntos cualesquiera en los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, entonces las circunferencias que pasan por las tercias de puntos B, D, F; C, E ,D; A, F, E; tienen un punto en común.
Para probar el teorema, debemos primero establecer el
Lema: Si por un punto cualquiera en el plano del triángulo cuyos lados son las líneas a, b, c, se trazan tres líneas p, q, r, de tal forma que p y b sean antiparalelas con respecto a a y q , y p y c sean antiparalelas con respecto a a y r , entonces q y c , son antiparalelas con respecto a b y r.

Puesto que la propiedad de antiparalelismo depende solamente de las direcciones relativas de las líneas involucradas, podemos, sin perder generalidad, tomar el punto de intersección O de las líneas p, q, r , en el triángulo. En la Fig. 113, sean OD, OE, OF, las líneas p, q, r, con notaciones usuales para los lados del triángulo. Entonces del antiparalelismo dado tenemos
Ð DOE = 180° - c,
y
Ð FOD= 180° -B;
y se sigue de estas ecuaciones que Ð eof = 180°- A. Por lo tanto q y c son antiparalelas con respecto a r y b.
Se concluye ahora el teorema para cualquier posición del punto O, que es común a las circunferencias por B, D , F y por C, E, D . Ya que el lema garantiza que OF y EA son antiparalelos con respecto a OE y FA , y por lo tanto los cuatro puntos A, F, E, O son concíclicos.
El punto O es llamado el punto de Miquel de la tercia D, E, F con respecto al triángulo ABC; el triángulo DEF, cuando D, E y F no son colineales, es llamado un triángulo de Miquel de O; y las tres circunferencias del teorema son llamadas de Miquel de los puntos D, E, F.
Las consecuencias de este teorema son numerosas e importantes.

23.5 Cuadrilátero completo y la línea de Simson. Para ilustrar la importancia del Teorema de Miquel, lo usaremos para probar dos teoremas que hemos visto en el Cap. 16.
Estos teoremas íntimamente aparecieron relacionados
Y su relación ahora se ve resaltada por el hecho de que ambos pueden ser considerados como corolarios del Teorema de Miquel.
Teorema: Las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos cuyos lados son los lados de un cuadrilátero completo, tomados tres a un tiempo, tienen un punto en común. (Sección 16.11)
En la Fig. 114 Sea el cuadrilátero que consiste de las cuatro líneas, y sea O el punto de Miquel de la tercia colineal D, E, F, con respecto al triángulo ABC. Considerando también el triángulo FBD y la tercia de puntos C, E, A, dos de cuyas circunferencias de Miquel pasan por O, se infiere que la tercera circunferencia por los puntos A, B, C también pasa por O.
Teorema: Si desde cualquier punto en la circunferencia circunscrita de un triángulo, bajamos perpendiculares a los tres lados, los pies de estas perpendiculares están en una línea recta.

Sea O el punto en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC; D, E, F los pies de las perpendiculares de O a los lados; y EF corta a BC en D´. Ahora las cuatro circunferencias que circunscriben los triángulos del cuadrilátero completo cuyos lados son AB, BC, CA, FD´, pasan por O, y una de estas circunferencias es circunscrita al triángulo CED. Pero también, O, E, D, C, son concíclicos. De donde, estas dos circunferencias que tienen los puntos O, C, E en común , coinciden, y en consecuencia D´ coincide con D. Entonces los puntos D, E, F son colineales.
23.6 Teorema de Carnot.
Teorema : Si una circunferencia interseca los lados BC, CA, AB del triángulo ABC en los puntos D, D´; E, E´; F,F´; respectivamente entonces

Supongamos que DE y D´E´ intersecan a AB en G y G´ respectivamente.

Entonces, aplicando el teorema de Menéalo al triángulo ABC con transversales EG y E´G´, tenemos

También AB es una transversal que corta los lados del cuadrángulo inscrito DED´E´ y la circunferencia en puntos en involución (sección 21.9). De aquí

Esto es junto con las ECS. (1) Y (2) por multiplicación y reducción , da la relación del teorema.

El teorema de Carnot, nos da otra prueba del teorema del hexágono de Pascal (Sección 20.6). En el hexágono inscrito ABCDEF, con lados que se intersecan como se muestra en la Fig. 117, se desea probar que los puntos P, Q, R son colineales. No se darán los detalles de esta prueba, pero pueden obtenerse, aplicando el teorema de Menéalo al triángulo LMN, con las líneas PDE, QCB y RFA como transversales, multiplicando las ecuaciones obtenidas, simplificando por medio del teorema de Carnot, e interpretando los resultados.

23.7 El problema de Apolonio. Se dio una solución del problema de Apolonio y se sugirió una más elemental en un ejercicio . Tomando en cuenta el gran interés histórico ligado a este problema, atestiguado por el hecho de que ha llamado la atención de muchos geómetras y que ha sido resuelto en varias maneras, daremos otra solución muy conocida debida a Gergonne. Esta solución es aplicable cuando los centros de las circunferencias no son colineales.
Empezaremos con la observación, de que si una circunferencia es tangente a otras dos, los puntos de contacto son antihomólogos con respecto a uno de los centros de similitud de las dos circunferencias. Por conveniencia de exposición , diremos que una circunferencia tiene contacto semejante o no semejante, con dos circunferencias a las que es tangente, de acuerdo si los puntos de contacto son antihomólogos con respecto al centro de similitud externo o interno. Se sigue que si una circunferencia contiene dentro de ella ambas o ninguna de las dos circunferencias a las cuales es tangente, tiene contactos semejantes con las dos, y si contiene a una pero no a la otra de estas circunferencias, tiene contactos no semejantes con ellas.

Por claridad, consideremos que las tres circunferencias A ,B, C (Fig. 118) están completamente una fuera de las otras, y sean P y P´ las dos circunferencias que hacen contacto semejante con cada par de las circunferencias dadas. También, sean D, E ,F los centros de similitud externos de las circunferencias B,C ; C, A ; A, B ; respectivamente. Aplicando el inverso del teorema de Menéalo al triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias dadas, encontramos que D, E, F están en una línea recta. Esta línea es el eje radical de las circunferencias P y P´. Señalando por B₁ , C ₁, y B´ ₁, C´₁ los puntos en los cuales las circunferencias B y C tocan P y P´ respectivamente, tenemos DB₁ × DC₁ = DB´₁ × DC´₁. Así las potencias de D con respecto a P y P´ son iguales ;y en forma similar para los puntos E y F.
La circunferencia C hace contactos no semejantes con P y P´ y por lo tanto la línea C C´ pasa por el centro de similitud interno de P y P´. Asimismo, la línea que une los puntos en los cuales B toca estas dos circunferencias , y la que une los puntos en los que A toca a ellas, pasan por el mismo punto; y este punto común es el centro radical de las circunferencias A, B, C .
Puesto que tangentes a dos circunferencias en puntos antihomólogos se intersecan en su eje radical, la línea C₁C´₁ es la polar de F con respecto a la circunferencia C, y se sigue que el polo de DF esta en C₁C´₁. Así los puntos en los que las circunferencias P y P´ tocan C pueden construirse como las intersecciones de C con la línea que une el polo de DF, con respecto a c, con el centro radial de las tres circunferencias dadas. De la misma forma es posible encontrar los puntos en los cuales las circunferencias P y P´ tocan cada una de las otras dos circunferencias. Pueden dibujarse entonces las circunferencias buscadas.
Los centros de similitud están por tercias en cuatro líneas. Procediendo en una forma similar con respecto a cada una de las otras de estas cuatro líneas y los centros de similitud que están en ellas, podemos construir las circunferencias restantes por pares, cuando existan. Cuál de los pares indicados existe, depende de si las líneas que unen el centro radical a los tres polos de la línea correspondiente intersecan las circunferencias respectivas

23.8 Cadena de Steiner de circunferencias. Si una serie de circunferencias es un número finito, y cada uno de sus miembros es tangente a dos circunferencias fijas que no se intersecan, y si más aún, cada circunferencias de la serie, es tangente a otras dos de la serie, la serie es llamada una cadena de Steiner de circunferencias. Cuando existe tal situación, diremos que las dos circunferencias fijas tienen una cadena de Steiner y llamaremos brevemente a la cadena de circunferencias una cadena de Steiner.
Supóngase que tenemos cada una de estas n circunferencias señalando a cada uno de sus miembros c₁, c₂,...,c_n y las circunferencias a las cuales son tangentes son C₁ y C₂. Sea también su colocación, tal que c_i es tangente a c_i-1 y a c_c+i (i= 1,2,...,n ; c ₀= c _n, c
_{n +1} =c ₁ ). Se puede demostrar que existe una inversión para la cual C₁ y C₂ se transforman en dos circunferencias concéntricas desiguales C´₁ y C´₂. Sea O el centro común de estas circunferencias transformadas, y señalemos por (I) la inversión usada. Entonces las circunferencias c ₁ son evidentemente transformadas por esta inversión en una serie de circunferencias desiguales iguales c´₁ contenidas en la corona entre C´₁ y C´₂, y que tienen la misma propiedad de tangencia respecto a sus vecinos anteriores y posteriores como las circunferencias de la cadena dada. Por lo tanto ellas mismas constituyen una cadena de Steiner que llamaremos la cadena de Steiner asociada a la cadena original.
Las circunferencias de la cadena Steiner asociada, pueden cada una avanzarse cíclicamente en la corona en que están para formar una cadena similar, y esto puede hacerse en un número infinito de formas. Cuando invertimos uno de estos nuevos arreglos con (I) obtenemos como resultado una cadena de Steiner para C₁ y C₂ , que en general es diferente de la cadena original con que partimos. Esto da el
Teorema: Si dos circunferencias tienen una, tienen un número infinito de cadenas de Steiner, todas ellas con el mismo número de circunferencias.
Puede ser que en la cadena de Steiner asociada, las n circunferencias c´_i, rodeen p veces a la corona, si esto sucede, cada una subtiende en O el ángulo.

Cuando la inversión (I) se aplica a esta cadena, las circunferencias C´ ₁ y C´ ₂ se invierten en C₁ y C₂, un par de circunferencias que determinan un grupo coaxial cuyos punos límites son el centro de inversión L, y el inverso L´del punto O.
Las líneas por O, tangentes a las circunferencias c´₁ se transforman en circunferencias tangentes a las circunferencias c₁ en los puntos de contacto de éstas con sus vecinas en la cadena, y que pasan por los puntos limite L y L´. Más aún, estas circunferencias son ortogonales a C₁ y C₂ y el ángulo en el cual un par adyacente se interseca es

Si r₁ y r ₂ son los radios de las circunferencias concéntricas de la cadena de Steiner asociada, y si las n circunferencias de la cadena rodean la corona p veces, entonces la relación

Vale entre las cantidades involucradas.

23.9 El árbelos. Sea C un punto cualquiera en el segmento de línea AB entre A y B , trácesense semicircunferencias en el mismo lado AB y de diámetros AB, AC, CB. Entonces la figura cuyos contornos son estas circunferencias es un árbelos o una navaja de zapatero. Este último nombre le fue dado por Arquímedes , que estudio sus propiedades, algunas de las cuales se darán aquí.
Sean los radios de las circunferencias en AB, AC, CB; r, r₁,r₂, respectivamente. Traemos la perpendicular a AB por C, intersecando la circunferencia más grande en D. También sean E y F los dos puntos de contacto de la tangente directa común a las dos semicircunferencias en AC y CB respectivamente. Las siguientes propiedades se verifican fácilmente.
(a) El perímetro del árbelos es igual al de la circunferencia de diámetro AB.
(b) El área del árbelos es igual al área del círculo de diámetro CD.
(c) El Segmento de la tangente común EF es igual a CD, y estas dos líneas se bisecan una a otra en H. Entonces ECFD, es un rectángulo y el centro de su circunferencia circunscrita es H.
(d)Los puntos A, E, D son colineales así como B, F, D.
Ahora probaremos:
(e)Si se dibuja una circunferencia tangente a CD y a las semicircunferencias de diámetros AB y AC, y otra se dibuja tangente a CD y a las semicircunferencias de diámetros AB y CB, estas dos semicircunferencias son iguales.

La primera de estas circunferencias toca la línea CD en P, la semicircunferencia de diámetro AC en Q, y la semicircunferencia de diámetro AB, en R, siendo SP el diámetro a través de P. Entonces es fácil demostrar que las tercias A, Q, P; A, S, R; y C, Q, S son colineales, y que si T es el punto de intersección de AS y CD, las líneas BT y CS son paralelas. De todo esto se sigue que

La simetría demuestra que el diámetro de la otra circunferencia inscrita, tiene la misma longitud.
(f) Las líneas RB y AB son antiparalelas con respecto a CD y AR, y los puntos A, R, P, C son concíclicos.
(g) El punto B tiene iguales potencias respecto a las circunferencias de diámetros SP y AC, de lo que se concluye que la tangente común a estas circunferencias en Q pasa por B.

23.10 La circunferencia de Spieker. En la sección 16.5 conocimos la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo y dedicamos algún tiempo a desarrollar propiedades de esta interesante circunferencia. Hay otra circunferencia que merece notarse porque en varias formas es estrictamente análoga a la circunferencia de los nueve puntos. Es la circunferencia inscrita al triángulo cuyos vértices son los puntos medios de un triángulo dado, y que es llamada la circunferencia de Spieker del triángulo. Notamos enseguida que su diámetro es la mitad del diámetro del incírculo del triángulo.
Serán usadas las notaciones usuales para los vértices del triángulo, los puntos medios de sus lados, los pies de las alturas de su área, su ortocentro, circuncentro, incentro, punto mediano (Fig. 122). Sea S el centro de la circunferencia de Spieker, X y X´ los puntos en los que BC es tocada por la circunferencia inscrita y aquella circunferencia excrita que es tangente internamente al lado BC y sea T el punto Ángel. Se necesitarán algunos resultados que damos ahora, y los cálculos para aquellos que no es fácil deducir, serán indicados.

Esta última relación se obtiene aplicando el teorema de Menelao al triángulo ABX´ con CT como transversal.
Por (a), (b), y (c) encontramos que
IX : XL = AD: DX´,
Y de aquí los triángulos rectángulos IXL y ADX´ son semejantes de lo que vemos que IL es paralela a AX´, también de estos triángulos semejantes y de las relaciones (b) y (d) AT = 2IL. Se sigue que son semejantes los triángulos ILG y TAG; que I, G y T son colineales; y que GT= 2 IG.
Si S´ es el punto medio de IT, tenemos de la semejanza de los triángulos LS´G y AIG, que LS´ es paralelo a AI, y por lo tanto que LS´ biseca el ángulo MLN. En consecuencia S´ coincide con S, el centro de la circunferencia de Spieker.
Teorema: El punto de Ángel, el punto mediano, el centro de la circunferencia de Spieker, y el incentro de un triángulo son colineales y están separados armónicamente; más, aún, el punto Ángel y el punto medio son los centros de homotecia de la circunferencia de Spieker y de la circunferencia inscrita al triángulo.
Si P, Q, R son los puntos medios de AT, BT, CT, el triángulo PQR es homotético al triángulo ABC en la razón 1:2 con N como centro de homotecia. De aquí los triángulos PQR y LMN son congruentes y ambos están inscritos a la circunferencia de Spieker, que TX pasa por el punto en el cual esta circunferencia es tangente a QR , y que estos puntos de tangencia son colineales con S.
La analogía entre las propiedades de la circunferencia de los nueve puntos la circunferencia de Spieker de un triángulo es aparente.

22. Construcciones con regla y compás.

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21.1 Introducción. Lo que consideramos generalmente como elementos de la geometría elemental- y debe de incluirse mucho de la geometría de las cónicas- fue satisfactoriamente organizado algunos siglos antes del advenimiento de la era cristiana. Ya en ese tiempo se estableció el marco para realizar construcciones en geometría elemental, o sea que estas construcciones se deben realizar usando regla y compás únicamente. Las restricciones a estos instrumentos son comúnmente atribuidas a Platón.

Se harán aquí algunas observaciones referentes a esta convención. En primer lugar, es solamente una convención y no una necesidad lógica. Cualquier otro instrumento de construcción puede ser sustituido por alguno o por ambos , la regla y el compás , o pueden ser usados con ellos. No habrá interferencia alguna con el aspecto lógico del problema de la construcción geométrica si realizamos dichos cambios. También la restricción es más bien rigurosa aparentemente. Ser capaces de usar la regla sin marcas para trazar rectas únicamente, y el compás para trazar circunferencias únicamente puede parecernos en un principio limitar las posibilidades de tal manera que muchas construcciones no pueden hacerse.
El que estas limitaciones no son tan severas como al principio aparecen, es un hecho bien conocido para quienes han estudiado geometría.
El problema de hacer construcciones bajo otras condiciones que no sean el uso de regla y compás ha sido investigado sistemáticamente. Algunos de los resultados de estas investigaciones se presentarán en este capítulo.
21.2 Los tres problemas famosos. Tres problemas geométricos interesaron tanto a los griegos de la antigüedad que han pasado de generación en generación a través de los siglos y se han conocido como los tres problemas famosos de la geometría elemental. Estos problemas son : la trisección del ángulo; la duplicación del cubo; y la cuadratura del círculo. Se entiende que cada una de las tres construcciones debe de hacerse únicamente con regla y compás . Muchos intentos se han hecho para resolver estos problemas. De hecho, han atraído la atención de algunos de los mejores matemáticos del mundo. Pero todos estos intentos estaban destinados al fracaso, pues fue demostrado en el siglo XIX que su solución es imposible.
Esto no significa, sin embargo, que un ángulo no pueda ser trisecado, o que es imposible duplicar un cubo, o construir un cuadrado equivalente a un círculo dado. Si la restricción a regla y compás se modifica de manera adecuada, cada uno de estos problemas puede ser rápidamente resuelto.
Estas soluciones fueron inventadas por algunos geómetras griegos quienes, hace más de dos mil años, se interesaron en estos problemas ahora famosos.*
* Ver Stanford, History of Mathematics, Houghton Mifflin Co, Págs 256-268.

22.3 Construcciones con regla y compás. Se ha establecido un criterio , por el cual es posible determinar si la construcción de un problema propuesto puede o no efectuarse con regla y compás . Contribuciones importantes en este campo fueron realizadas por Gauss, quien atacó el problema de la división de la circunferencia en n partes iguales , y determinó los valores de n para los cuales la división puede ser hecha.
Fue conocido en tiempo de Euclides que esta división puede hacerse si n es cualquiera de los números a × 2^α, (a = 2,3,5,15 ; α =1,2,3... ), y se confió plenamente durante dos mil años, que no eran posibles otras distintas a éstas. El primer avance fue el hecho por Gauss cuando descubrió el hecho notables de que se podía construir un polígono regular de diecisiete lados con regla y compás. También encontro que si p es un número primo de la forma 2 ^2t +1 era construible un polígono regular de p lados con estos instrumentos . Para t = 0,1,2,3,4, los valores correspondientes de p son los números primos 3,5,17,257 y 65537. Euler demostró que p no es primo cuado t =5, 2³² +1 es igual al producto 641 × 6700417.
El resultado de la completa investigación de la división del círculo y la cuestión relacionada de la construcción de polígonos regulares conduce al

Teorema: Una condición necesaria y suficiente para que un polígono regular de n lados pueda inscribirse en un círculo por medio de regla y compás es que n = 2^α × p ₁× p ₂ ..., donde p ₁ , p ₂ ,... son números primos distintos de la forma 2 ^2t +1.
Para demostrar la imposibilidad de duplicar un cubo y de trisecar un ángulo con regla y compás usaremos el siguiente teorema, el cual , para mayor brevedad, se da aquí sin prueba. Demostraciones de él son fácilmente accesibles en ingles.

Teorema : No es posible construir por medio de regla y compás, una línea cuya longitud es una raíz de una ecuación cúbica con coeficientes racionales y que no tiene raíz racional.
Si se nos ha dado un cubo cuya arista es la unidad, la arista de un cubo cuyo volumen es doble al del cubo dado es raíz de la ecuación x ³ -2 = 0. Es obvio que por el teorema anterior no es posible construir con regla y compás una línea cuya longitud sea igual a la arista del cubo deseado.

Demostraremos a continuación que es imposible trisecar un ángulo arbitrario con regla y compás, demostrando que es imposible construir un triángulo de 40° y de aquí trisecar 120°. Considérese la identidad 4 cos³ θ - 3 cos θ = cos 3 θ , y sea θ = 40° . Entonces cons 3θ = -1/2 y la identidad resulta 4cos³ 40° - 3 cos 40° + ½ = 0. Si ahora ponemos x = 2 cos 40° , resulta que este último es una raíz de la ecuación x³ - 3x +1 =0. Las únicas raíces racionales de esta ecuación, si es que tiene alguna , se encuentran entre los divisores enteros del término constante. Pero por prueba se encuentra que ni 1 ni –1 es una raíz de aquí que 2 cos 40° no puede ser construido con regla y compás, el ángulo 40° tampoco puede ser construido así, y el ángulo 120° no se puede trisecar de este modo. Incidentalmente tenemos con esto una demostración de que es imposible inscribir en un círculo un polígono regular de nueve lados.
El problema de cuadrar el círculo con una regla y compás fue eliminado por Lindemann quien demostró, en 1882 que el número π es trascendente . De esto sigue que el círculo no puede ser rectificado con regla y compás, así como ninguna figura rectilínea, teniendo un área igual a la de un círculo dado, puede ser construida con estos instrumentos.*
* Ver The history and trascendence of π, de D. E Smith, en Young´s Monographs on Modern Mathematics.

22.4 Construcciones con regla solamente. Entre las construcciones que no pueden hacerse con una regla solamente está la de dibujar una línea paralela a una línea dada. Si, sin embargo en la línea hay tres puntos A, B, C tales que AB = BC entonces es posible trazar con regla una paralela a la línea dada por cualquier punto P exterior a esa línea. Así, en la Fig. 95, si P se une a A y C y si una línea arbitraria por B interseca estas líneas respectivamente en Q y S respectivamente , entonces AS y CQ e intersecarán en R, el cual junto con P determina la paralela pedida. (Sección 14.6)
Recíprocamente, si dos líneas son paralelas, un segmento en una de ellas puede bisecarse por medio de una regla solamente. Los pasos para esta construcción son obvios.
De lo anterior se deriva una solución al problema: Trazar con la regla solamente, una línea por un punto dado paralela a dos líneas dadas.
22.5 Construcciones con regla y circunferencia dada. Poncelet en su “ Traité des proprietés projectives des figures ”, publicado en 1822, sugirió las posibilidades de la regla y una circunferencia dada , con centro dado pero quedó para Steiner publicar una demostración 11 años después de que toda construcción que pueda hacerse con regla y compás puede hacerse con regla solamente si se dan en el plano de construcción una circunferencia y su centro.
Para indicar cómo puede establecerse esa posibilidad notemos que todas las construcciones hechas con regla y compás dependen en última instancia de hallar (a) el punto de intersección de dos líneas rectas; (b) los puntos de intersección de una línea y de una circunferencia; (c) los puntos de intersección de dos circunferencias . La primera de estas tres se hace con regla solamente y se puede demostrar que con regla y una circunferencia fija podemos (1) determinar los puntos de intersección de una línea recta l con una circunferencia cuyo centro C y de radio r están dados: (2) determinar los puntos de intersección de dos circunferencias teniendo dados sus centros C y C´ y sus radios r y r´.
Enunciaremos y resolveremos algunos problemas que son fundamentales para la teoría.
Problema 1. Por un punto P construir la línea paralela a una línea dada. Únase E, un punto cualquiera de la línea l, al centro C de la circunferencia fija. (Fig. 96). Puesto que en esta línea hay segmentos adyacentes iguales que RC y CQ, es posible dibujar la cuerda AB , paralela a CQ (sección 22.4). Entonces los diámetros AA´ y BB´ determinan las extremidades de las cuerda A´B´ tal que AB y A´B´ en los puntos D y F para los que DE = EF. La paralela a l buscada que pasa por P pude dibujarse ahora. Construcciones con menos pasos que la anterior pueden hacerse si la línea dada corta la circunferencia fijada.
Problema 2. Por un punto P construya una línea perpendicular a una línea dada.

En la fig. 97 únase E, un punto de l, y C, el centro de la circunferencia fija y supongamos que la línea CE corta esta circunferencia en Q y R. Por R dibújese una cuerda RS paralela a L. Entonces QS es perpendicular a l y sólo nos queda dibujar por P una paralela a QS.
Problema 3. Construir una cuarta proporcional a tres segmentos de línea dados.

Sean los segmentos dados a = AB, B ,C. Dibujar líneas arbitrarias l y l´ que se cortan en P. Por C, centro de la circunferencia fija, trácense líneas paralelas a a y l , que intersecan la circunferencia en D y E respectivamente. Por A y B trácense paralelas a DE y CE respectivamente, y señálese su punto de intersección como N . Dibújese NP, y por B trácese la paralela a esta última que interseca l en Q. Entonces PQ = AB. De la misma manera en la línea l obtengamos QR= b ; y en l´ PS = c. Entonces la línea por R paralela a QS determinará el otro extremo de ST , la cuarta proporcional.
Como un corolario a la demostración de Steiner, se sigue que todas las construcciones que pueden hacerse con regla y compás , se pueden hacer con regla y compás de radio fijo. Obviamente el número de pasos en construcciones hechas con la regla y el compás de radio fijo es generalmente menor que si se usa la regla y una circunferencia fija en su centro.
22.6 Geometría de Mascheroni del compás. El geómetra italiano L. Mascheroni investigó el problema de hacer construcciones solamente con el compás , y publico sus resultados en 1797 en un volumen titulado Geometria del compasso. Una parte considerable de su trabajo está dedicada a la división del círculo en partes iguales. Pero pueden hallarse en él también muchas otras construcciones exactas y aproximadas y se demuestra que todas las construcciones que son posibles con regla y compás pueden hacerse con compás solamente. Se entiende por supuesto, que en tal solución del problema se ve una recta como construida cuando se hallan dos puntos de ella.
Mascheroni asegura que, en total, sus construcciones son más elegantes y más exactas que las construcciones clásicas dadas por Euclides. En la geometría del compás los puntos están determinados por la intersección de arcos de circunferencias y se observará en las soluciones de los problemas que siguen que el ángulo de intersección de estos arcos es generalmente suficientemente grande, de manera que el punto de intersección está determinado con precisión.
Otro rasgo del trabajo de Mascheroni, particularmente el que se refiere a la división de la circunferencia es el uso de compases con radio fijo, así si la solución de un problema particular requiere dibujar circunferencias no todas del mismo radio, se usan tantos compases como haya circunferencias de diversos tamaños, y cada uno de ellos se ajusta con un radio que no cambia en el transcurso de la construcción. Esto se hace en interés de la precisión puesto, como el autor dice, podemos estar seguros que la abertura del compás se conserva exactamente.

22.7 Construcciones fundamentales con el compás. Un número de construcciones de importancia debido a su naturaleza fundamental, se harán solamente con el compás.
Las demostraciones de las más sencillas serán omitidas y de las otras serán solamente indicadas brevemente.
Problema 1. Construir el simétrico de un punto C con respecto a la línea AB.
Esto se lleva a cabo dibujando circunferencias de centros A y B con radios AC y BC respectivamente. Su segundo punto de intersección D es el simétrico de C.

Problema 2. Doblar, triplicar, etc. un segmento de línea dado.
Si se dibuja una circunferencia con B de centro y AB de radio, y si partiendo en A como centro y con el mismo radio los arcos iguales AC, CD y DE se trazan, A, B y E serán colineales y AE será el doble de AB. Continuando de la misma manera se puede encontrar un punto F colineal con A, B y E tal que AF sea el triple de AB.
Problema 3. Construir una cuarta proporcional a tres segmentos de línea dados.
Si a, b, c son los segmentos dados empezaremos por dibujar circunferencias concéntricas con radios a y b. Entonces con c como radio y con un punto P cualquiera de la primera de estas circunferencias como centro, dibujamos un arco que interseca esta misma circunferencia en Q.

Ahora, con un radio conveniente y con P y Q como centros sucesivos dibujamos arcos que intersecan la segunda circunferencia en P´ y Q´ (como en la Fig. 101 ) respectivamente . El segmento P´Q´ es la cuarta proporcional buscada. La demostración depende de la semejanza de los triángulos OPQ y OP´Q´, esta semejanza es una consecuencia inmediata de la congruencia de los triángulos OPP´ y OQQ´.
Problema 4. Bisecar un segmento de línea dado.Varias soluciones a este problema fueron dadas por Mascheroni. La que damos aquí se obtiene fácilmente de las construcciones anteriores (Fig. 102)
Si AB es el segmento que se va a bisecar determínense los puntos distintos C y D tales que AC = BC =AD= BD. Entonces constrúyase el cuarto proporcional al diámetro de una circunferencia, su radio , y AB ; constrúyase también la cuarta proporcional al diámetro de una circunferencia , su radio y CD. Con la primera de estas cuartas proporcionales como radio y A como centro, trácese un arco, y con la segunda como radio y C como centro trácese un arco que corte al anterior. Entonces E, uno de los dos puntos de intersección de los arcos estará dentro del rombo ACBD y es el punto medio de AB.
Problema 5. Determinar el punto de intersección de dos líneas rectas.
Sean AB y CD las líneas cuyo punto de intersección se va a encontrar. Construya los simétricos C´ y D´ de C y D con respecto a la línea AB. Enseguida determine E tal que CCÉD sea un paralelogramo. Entonces D´, D y E son colineales. Ahora determínese la cuarta proporcional de D´E, D´D , C´E y usándola como radio y d y D´ como centros puede hallarse un punto F que está sobre CD, C´D´ y AB. Entonces F es el punto de intersección buscado.

Problema 6. Bisecar un arco de una circunferencia cuyo centro es conocido.
El punto medio F de un arco AB cuyo centro es O puede encontrarse como sigue. Determine C y D de tal manera que ACOB y AODB sean paralelogramos. Con C y D como centros y con radios iguales a CB trácense arcos que se corten en E. Entonces, con OE como radio y C como centro, trácese un arco que corte a AB. El punto F de intersección así determinado puede mostrarse que es el punto medio del arco AB.
Problema 7. Determinar las intersecciones de una circunferencia y una línea recta.

Si el centro de la circunferencia no está dado puede hallarse fácilmente por medio de las construcciones dadas en los problemas anteriores. Supongamos que la línea esta determinada por dos de sus puntos A y B y sea O el centro de la circunferencia dada. Constrúyase O´, el simétrico de O respecto a AB. Si O´ es distinto de O , una circunferencia con O´ como centro y radio igual al del círculo dado intersecará al último en los puntos comunes a él y a la línea AB, si tales puntos existen.
Queda el caso en que O´ coincide con O. AB entonces pasa por el centro de la circunferencia dada y las intersecciones son los puntos medio de los arcos PQ, donde P es un punto arbitrario de la circunferencia y Q es su simétrico respecto a la línea AB.
Hemos mostrado ahora que el punto de intersección de dos líneas y los puntos de intersección de una línea y una circunferencia pueden construirse por medio del compás solamente. Se concluye que toda construcción que es posible con regla y compás es posible con el solo compás.

22.8 División de la circunferencia en arcos iguales. Se han dado ya construcciones en la sección anterior por medio de las cuales puede dividirse la circunferencia en dos, tres y seis partes iguales. Supongamos construidos los arcos AB, BC, CD (Fig. 108), cada uno de los cuales es igual a un sexto de la circunferencia. Entonces, con A y D como centros y con AC como radio dibújense arcos que se corten en E. Si indicamos por a el radio de la circunferencia dada entonces AC = 3√ y OE = A√2. Así, con OE como radio y A como centro puede dibujarse una circunferencia que corten la circunferencia dada en F, G y A, F, D, G dividen la circunferencia en cuatro arcos iguales. También de ahí se sigue inmediatamente que el arco BF es una doceava parte de la circunferencia y que, por medio del uso repetido del compás con radio AB, el resto de los puntos que dividen la circunferencia en doce arcos iguales pueden ser construidos. Siguiendo a Mascheroni, compases fijos con los radios a, a√3y a √2 serán llamados el primero, segundo y tercer compás, respectivamente.

Con el primer compás , y con E como centro, trace arcos que corten la circunferencia en H y K. Entonces, A, H,F,K,D dividen la semicircunferencia en arcos, cada uno igual a un octavo de la circunferencia. Los puntos de división correspondientes sobre la otra semicircunferencia pueden encontrarse por medio del tercer compás. Estas construcciones también proporcionan un arco HB igual a un veinticuatroavo de la circunferencia. El resto de los puntos de subdivisión para veinticuatro arcos iguales pueden encon

22.9 Divisiones adicionales de la circunferencia.trarse con el uso repetido de los tres compases.

La circunferencia ha sido dividida en veinticuatro partes iguales y siendo L, M,H,B,N, los puntos de división del cuadrante AF (Fig. 109) , tomemos un cuarto compás fijo de radio EM. La longitud de este radio se demuestra fácilmente que es igual a √(3-√2). Con este compás y con A y D como centros , descríbanse arcos que se intersequen en R. Entonces, si con el primer compás y con R como centro dibujamos un arco que interseque LM en T, los arcos, LT y TM son iguales, y cada uno vale un cuarentayochoavo de la circunferencia.
Para verificar esto, demostraremos lo siguiente

y de aquí el arco LT es igual a 7 1/2 °.Todos los puntos de división restantes para los cuarenta y ocho arcos iguales pueden construirse por medio de los cuatro compases fijos anteriormente usados.

Para dividir la circunferencia en cinco partes iguales, se usa un cuarto compás fijo cuyo radio es AS. Aquí S es la intersección de los arcos cuyos centros son M y su simétrico M´ con respecto a OF, y cuyos radios son el del tercer compás. El radio del quinto compás se encuentra que es

, consecuentemente el arco AQ cuya cuerda es este radio, es un quinto de la circunferencia.
Se observara que todas las divisiones en esta sección y la anterior se realizaron con cinco compases fijos. Más aún, excepto por el centro del círculo y los puntos en la circunferencia, solamente los tres puntos E, R y S se han usado para hacer estas divisiones. Se puede mostrar que , con estos cinco compases y sin puntos adicionales distintos a los que están en la circunferencia, los puntos de división para diez, veinte, ciento veinte y doscientas cuarenta partes iguales pueden también determinarse.
22.10 Simplicidad y exactitud de las construcciones. Si tenemos a la mano algunas soluciones diferentes de un problema geométrico que necesita hacerse con alguna construcción, podemos hacernos las preguntas : ¿Cuál es la más simple? Y ¿Cuál es la más exacta? Obviamente antes de que estas preguntas puedan ser contestadas, será necesario tener definiciones de simplicidad y exactitud, que puedan aplicarse a tales construcciones.
Definiciones de estos términos fueron dadas por Lemoine.
Están basadas en las siguientes operaciones que pueden realizarse con regla y compás:
1. Colocar el filo de la regla en un punto dado.
2. Dibujar una línea recta.
3. Colocar un punto del compás en un punto dado.
4. Colocar un punto del compás en una línea recta ( recta o curva).
5. 5. Dibujar una circunferencia o un arco de circunferencia.

La suma del número de veces que todas estas operaciones se realizan en el desarrollo de un una construcción dada , es llamada su simplicidad. La suma del número de veces que cada una de las operaciones 1,3 y 4 son realizadas, es llamada su exactitud. Vamos a señalar la simplicidad y exactitud de una construcción geométrica dada , por S y E respectivamente.
Como un ejemplo, podemos usar la construcción ordinaria para la bisección de un ángulo. Aquí, S =9 y E=5, ya que la primera de las operaciones anteriores se realiza dos veces, la segunda una, la tercera tres y la quinta tres.
Que el criterio anterior para la exactitud y simplicidad no es tan satisfactorio como se desea, se ve fácilmente. Por ejemplo, el punto de intersección de dos líneas rectas, se sitúa con mayor precisión cuando las líneas se intersecan a ángulos grandes, que cuando son casi paralelas, y como una consecuencia su intersección se aleja de los puntos que determinan las líneas. El criterio de Lemoine no toma en cuenta, tales diferencias.

21. Involución

2009-10-03T23:20:00.010-05:00

21.1 Hilera de puntos en involución. Si los pares de puntos A, A´; B,B´ ; C,C´... están en una línea recta y si están situados con respecto a un punto O de la línea de tal manera que OA × OA´= OB × OB´= OC × OC´...,se dice que los puntos están en involución. El punto O es el centro de involución y los dos puntos que pertenecen al mismo par se llaman puntos conjugados de la involución. La línea misma es llamada base de la involución.
Ejemplos : (a) Si cada uno de los puntos A,A´, B,B´; C, C´; están separados armónicamente por los puntos P y Q, son puntos de una involución, cuyo centro es el punto medio de PQ.
(b) Considérese un conjunto de circunferencias coaxiales que se intersecan. Si una línea recta, interseca su eje radical en un punto finito distinto de los puntos comunes a las circunferencias, los puntos en los cuales esta línea interseca circunferencias del conjunto, están en involución , con puntos conjugados que están en la misma circunferencia. El centro de involución es el punto de intersección de la línea con el eje radical.

21.2 Dos clases de involución. Los dos puntos de un par conjugado de una involución, pueden ambos estar en el mismo lado del centro o pueden estar en lados opuestos del centro de la involución. Obviamente, si los de un par están en el mismo lado, o si están en lados opuestos del centro, lo mismo será para los puntos de cualquier par conjugado. Se dice que una involución es hiperbólica , si los dos puntos de un par conjugado, están en el miso lado del centro; y es elíptica si los dos puntos de dicho par están en lados opuestos del centro. Así la involución con centro en O y un par de puntos conjugados A,A´ es hiperbólica o elíptica, de acuerdo con que el producto OA × OA´ sea positivo o negativo.
La involución del Ej. (a) de la sección anterior, es del tipo hiperbólico. En el Ej. (b) se ilustran ambos tipos. Si la base de la involución interseca el eje radical entre los puntos comunes a las circunferencias, la involución es elíptica . En todos los otros casos es hiperbólica.
En una involución hiperbólica, dos puntos son autoconjugados, es decir , cada uno es su propio conjugado . Porque obviamente cuando OA × OA´ es positivo hay dos puntos y N en la línea para los cuales OA × OA´ = (OM) ² × (ON) ².

Estos puntos M y N son conocidos como los puntos dobles de la involución. La involución elíptica no tiene puntos dobles.
Otra forma de expresar lo anterior, es que, si la involución tiene puntos dobles y es por lo tanto hiperbólica, los segmentos AA´, BB´ o, están contenidos completamente o están fuera completamente el uno del otro ; es decir, los segmentos no se traslapan. Si no tiene puntos dobles, estos segmentos se traslapan y la involución es elíptica.
Lo que se sugiere en el Ej. (a) puede ser fácilmente probado , a saber que una involución hiperbólica de puntos siempre consiste de pares que son conjugados armónicos con respecto a un par de puntos fijos.

Cualquier involución elíptica de puntos puede considerarse como trazada en una línea recta por los lados de un ángulo recto que gira alrededor de su vértice. Porque, puesto que los segmentos AA´ y BB´ se traslapan, las circunferencias con estos segmentos como diámetros se intersecan en dos puntos H y K que son simétricos con respecto a la base de la involución , y OA × OA´ = OB × OB´ = - (OH) ² donde O es el punto medio de HK. Más aún si C, C´ son un par de puntos conjugados de la involución, la circunferencia con diámetro CC´, también pasa por H y K. De aquí cada uno de los segmentos AA´, BB´, CC´, subtienden un ángulo recto en H y también en K, y la involución puede considerarse como trazada en la forma descrita anteriormente. Obsérvese que H y K son los dos únicos puntos en el plano que satisfacen estas condiciones.

21.3 Una involución determinada por pares de puntos conjugados.
Teorema: Dos pares de puntos conjugados de una involución determinan la involución.

Para probar este teorema demostraremos que si se da un quinto punto arbitrario de la involución su conjugado es único. Sean A, A´; B, B´ (Fig. 90) los dos pares de conjugados. Por P un punto cualquiera fuera de su línea dibújense las dos circunferencias por los conjuntos de puntos P, A, A´ y P, B, B´ y sea Q el segundo punto en el cual estas circunferencias se intersecan. Para encontrar el conjugado de un punto C, dibújese la circunferencia que pasa por P, Q, C. El otro punto C´ en el cual esta circunferencia interseca la base de la involución es el conjugado de C. Porque
OP × OQ = OA × OA´ = OB × OB´ = OC × OC´ ;
y la determinación única de C es una consecuencia de la existencia de una y sólo una circunferencia por los puntos, P, Q, C. También , el punto O en el cual PQ interseca la base es el centro de involución.
Si uno e los puntos, digamos B´, es el punto ideal de la línea, su conjugado B es el centro de involución. El lector estará capacitado para demostrar sin dificultad que una involución puede ser determinada por su centro y un par de puntos conjugados. Si la involución tiene puntos dobles, ellos o uno de ellos y el centro determinan la involución.
21.4 Relaciones de razón cruzada de los seis puntos de una involución.
Una de las propiedades de gran alcance de una involución de puntos es una relación de razón cruzada que existe entre los puntos de cualesquiera tres pares conjugados. Esta relación se presenta en el siguiente
Teorema: La razón cruzada de cualesquiera cuatro puntos de un involución en la cual están representados tres pares conjugados, es igual a la razón cruzada de sus cuatro conjugados; e inversamente, si seis puntos son relacionados por pares y la razón cruzada de cuatro de ellos que representan tres pares es igual a la razón cruzada de los cuatro puntos correspondientes, entonces los pares son pares coordinados de una involución.
Si A, A´; B, B´; C, C´ son tres pares conjugados de una involución de centro O y cuya constante es K = OA × OA´, una de las numerosas formas del teorema es que
{ABA´C´} = {A´B´AC }
para demostrar esto debemos verificar que

En esta ecuación sustituyamos AA´ por OA´-OA , y análogamente para todos los demás segmentos. Si luego, además sustituimos en el lado derecho, OA por su igual K/ OA´, y análogamente para cada uno de los segmentos de la derecha, ese miembro se puede ver por una fácil reducción que es igual al miembro de la izquierda de la ecuación. Las pruebas para las otras formas de teorema son similares a la que se acaba de dar.
Una demostración del inverso puede hacerse depender de la determinación única del cuarto elemento de una razón cruzada que tiene dados los otros tres elementos y su valor.
Se observará que el teorema también es válido cuando uno o ambos de los pares conjugados consisten de puntos dobles. Así, si M y N son puntos dobles de la involución anterior, tenemos, por ejemplo
{ AA´MB } ={A´AMB´} y también { AMA´N} = {A´MAN }.
Como una consecuencia del teorema de esta sección, tenemos que cuando A,A´; B,B´ ;C,C´, son pares de puntos conjugados de una involución
AB´ × BC´ × CA´ +A´B ×B´C ×C´A = 0;
E inversamente, cuando esta relación se satisface, los puntos están en involución.
21.5 Haces de líneas de puntos en involución. Una consideración de las propiedades de razón cruzada de una involución de puntos, junto con el principio de dualidad, sugiere el concepto de una involución de las líneas de un haz. Definiremos un haz de líneas en involución si están correlacionadas por parejas y son tales que los puntos de intersección de estos pares con cualquier transversal que no pase por el vértice del haz son pares conjugados de una involución de puntos. Si la involución resultante de puntos tiene puntos dobles, las líneas del haz que pasan por ellos se llamaran líneas dobles de la involución. Las dos líneas que pertenecen al mismo par se llamarán líneas conjugadas. Los términos hiperbólico y elíptico serán usados con haces de líneas en involución en sentidos que corresponden a sus usos con hileras de puntos en involución.
De las propiedades de razón cruzada concluimos inmediatamente que si un haz de líneas corta cualquier transversal en una involución, cortará cualquier transversal que no pase por su vértice en una involución. También si rectas correspondientes de dos haces distintos se cortan en puntos colineales y uno de ellos está en involución, lo mismo será cierto del otro.
21.6 Haz de involución con vértice en una circunferencia.
Teorema: Si la involución de líneas en la cual a,a´; b,b´; c,c´; son pares conjugados, tiene su vértice en una circunferencia, y si estas seis líneas cortan la circunferencia, y si estas seis líneas cortan la circunferencia nuevamente en A,A´,B,B´C,C´ respectivamente, entonces las líneas AA´, BB´, CC´ son concurrentes.
Refiriéndonos a la Fig.92, en la cual S es el vértice del haz, tenemos
{aa´bc} = {a´ab´c´},
y en consecuencia
B´{AA´BC} = C {A´AB´C´}.
Si BB´, CC´ y B´C intersecan a AA´ en O, L y H respectivamente, entonces
{AAÓH} = {A´AHL},

de lo cual se infiere que L coincide con O ; esto es AA´, BB´ y CC´ son concurrentes .

Es aparente que cuando la involución es elíptica el punto O está en el interior de la circunferencia, puesto que, en este caso , las rectas conjugadas de la involución, cortan la circunferencia ( en puntos distintos al vértice del haz) en pares de puntos que se separan mutuamente y por lo tanto las rectas conjugadas se separan entre sí. Si la involución es hiperbólica, O está fuera de la circunferencia . Inversamente, según que O esté dentro o fuera de la circunferencia, la involución es elíptica o hiperbólica.
21.7 Líneas conjugadas en ángulos rectos. En cada involución de líneas hay un par de líneas conjugadas que son perpendiculares entre sí . Esto puede verse del hecho que cuando menos un diámetro de la circunferencia (Fig. 92) pasa a través del punto O , y las líneas del haz S, trazadas a sus extremidades, son un par de líneas tales de la involución. Si más de u diámetro pasa a través de O entonces también así sucede con todos los diámetros , en cuyo caso cada par de líneas conjugadas son perpendiculares. De aquí tenemos el
Teorema: En una involución de un haz de líneas siempre hay un par de líneas conjugadas perpendiculares entre si; y si hay más de un par de líneas conjugadas en ángulo recto, entonces todos los pares son perpendiculares y la involución es elíptica.
21.8 Involución de puntos en una transversal que interseca los lados de un cuadrángulo completo.
Teorema: Los tres pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo son cortados por cualquier transversal que no pasa a través de un vértice en tres pares de puntos conjugados de una involución.
Supongamos que los lados del cuadrángulo completo PQRS son cortados por la transversal μ en puntos tales como se indica en la Fig. 93.

Entonces considerando las intersecciones de μ con los haces R (AQTS) y P (AQTS), tenemos
{A´B´AC} = {A´C´AB}.
Y puesto que (sección 20.3) la última de estas razones cruzadas es igual a {ABA´C}, los puntos A,A´; B,B´;C,C´; son pares conjugados de una involución.(Sección 21.4)
Este teorema nos conduce a una solución lineal del problema de construir el conjugado de un punto dado de una involución , cuando son dados, dos pares conjugados.
Enunciaremos aquí sin dar su prueba el dual
Teorema: Las líneas rectas que unen un punto cualquiera que no esta en ninguno de los lados de un cuadrilátero completo, con los tres pares de vértices opuestos, son tres pares de líneas conjugadas de una involución.
21.9 Involución de puntos en una transversal que interseca una circunferencia y los lados de un cuadrángulo inscrito.
Teorema: Si en un cuadrángulo inscrito en una circunferencia, cualquier transversal que no pasa por un vértice interseca la circunferencia y los pares de lados opuestos del cuadrángulo en una involución.
Consideremos el cuadrángulo PQRS inscrito en una circunferencia y la transversal &#956 que interseca pares de lados opuestos y la circunferencia como se indica en la Fig. 94

Entonces, considerando las intersecciones de los haces P (CSC´Q) y R (CSC´Q) con la línea μ tenemos
{CAC´B} = {CB´C´A´}
Permutando, tenemos
{CAC´B} = {C´A´CB´},
lo cual demostrara que los pares de puntos A,A´; B,B´; C,C´ están en involución. Los puntos en los cuales el otro par de lados opuestos del cuadrángulo intersecan a μ , pertenecen también a la involución.
21.10 Cuadrángulo con pares ortogonales de lados opuestos. Los puntos en los cuales los pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo intersecan la línea al infinito están en involución . De aquí, si por un punto cualquiera P en el plano, se trazan líneas paralelas a los lados del cuadrángulo , estas líneas forman un haz en involución. Ahora, si dos pares de lados opuestos del cuadrángulo son perpendiculares uno al otro, se cumple también para las líneas correspondientes del haz P. Así, por el teorema de la sección 21.7, todos los pares de líneas conjugadas del haz, están en ángulos rectos y el tercer par de lados opuestos del cuadrángulo es también de lados ortogonales. De donde tenemos el

Teorema: Si dos pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo son ortogonales, el tercer par es también de lados ortogonales.
Un cuadrángulo que tiene estas propiedades, es un cuadrángulo ortocéntrico. (Ver 16.4)

20. Razón Cruzada

2009-09-29T00:11:00.021-05:00

20.1 Definiciones. Hemos considerado cuatro puntos colineales A, B,C,D cuyas posiciones son tales que el segmento AB está dividido por C y D en rezones cuya razón tiene el valor –1 . Cuando los puntos están así situados , A y B están separados armónicamente por C y D.
Si estos cuatro puntos tienen posiciones cualquiera en la línea en que están, esta razón de razones

Es llamada razón cruzada de los cuatro puntos A,B,C,D y la señalaremos con el símbolo { A, B, C, D}.
También , si OA, OB, OC, OD son cuatro líneas concurrentes, O un punto finito*, su razón cruzada es
y será denotada por O { ABCD}. Asimismo {abcd} indica la razón cruzada de cuatro líneas concurrentes a, b,c d.
Los términos razón anarmónica y razón doble son usados como sinónimos de razón cruzada. De estas dos la primera es más frecuente, pero razón cruzada es la más usada de las tres.
Si cuatro elementos, son armónicos, sus razones cruzadas tienen el valor -1 e inversamente.
Es fácil verificar que si A, B, C son tres puntos distintos colineales
Inversamente, se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores 1, 0, "∞, dos de los puntos coinciden. Más aún, si A, B, C son tres puntos colineales distintos, existe un único punto D colineal con ellos tal que{ ABCD} =λ, donde λ tiene un valor real cualquiera.
Se infiere enseguida de la definición de razón cruzada que los pares de puntos distintos A, B y C ,D se separan mutuamente o no, de acuerdo con que { ABCD} sea negativo o positivo.
*Para una definición que incluya el caso en que el vértice de un haz es un punto al infinito, ver la sección 20.2
20.2 Relaciones de razón cruzada de hileras y haces.
Fundamental en la teoría de razón cruzada es el siguiente
Teorema: La razón cruzada de un haz de cuatro líneas es igual a la razón cruzada de una hilera de cuatro puntos en los cuales cualquier transversal que no pase por el vértice corta las cuatro líneas.

La prueba, cuando el vértice del haz es un punto infinito, es semejante a la dada en la sección 15.6 Si el vértice del haz está al infinito, de tal manera que las cuatro líneas son paralelas, el contenido de este teorema será visto como definición de la razón cruzada del haz.
Consecuencias inmediatas del teorema anterior son los
Corolarios: (1) Si dos transversales a cuatro líneas de un haz, ninguna de las cuales pasa por el vértice, cortan a estas líneas en A,B,C, D y A´,B´,C´D´ respectivamente entonces
{ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }
(2) Si dos haces con vértices en O y O´son subtendidos por la misma hilera de puntos A,B,C,D,entonces
O { ABCD} = O´ {ABCD} .
(3) Si A, B, C,D y A´B´,C´D´ son dos hileras de puntos que están en diferentes líneas en el plano tales que {ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }, y si O y O´ son dos puntos distintos colineales con A y A´, entonces los puntos de intersección de los pares de líneas OB, O´B´ ; OC, O´C´; y OD, O´D´ son colineales.
20.3 Los seis valores de la razón cruzada. Puesto que hay veinticuatro permutaciones de cuatro letras, hay veinticuatro razones cruzadas de cuatro puntos colineales Sin embargo, los valores de estas razones cruzadas no son todos diferentes. En efecto, demostraremos que las veinticuatro permutaciones pueden ser agrupadas en seis grupos de cuatro tales que las razones cruzadas de cada grupo son iguales. Más aún , si uno de estos valores es llamado =λ , los restantes son

Así si { ABCD}= λ, encontraremos enseguida que cada uno de {BADC}, {CDAB}, Y {DCBA} es también igual a λ. También por aplicación directa de la definición demostraremos que cada uno de los cuatro {ABCD},{BACD},{CDBA} y {DCAB} es igual a 1/ λ.
Enseguida consideremos {ACBD}. Con este propósito la identidad
AB×CD+ AC× DB × AD× BC= 0
se utilizará ( Sección 12.2). Dividiendo por AD×BC y reordenando, reducimos la identidad a la forma

esto es, {ACBD}= 1- λ. Del mismo modo hay otras tres permutaciones que dan razones cruzadas que tienen este valor. Un intercambio entre B y D da
razonando como antes, encontramos que
y
Y también es fácil ver que hay cuatro razones cruzadas que corresponden a cada uno de los últimos tres valores.
La discusión anterior muestra que la razón cruzada de cuatro puntos no se altera por ningún cambio en su orden tal que cuando dos puntos se intercambian los otros dos también se intercambian.
20.4 Construcción del cuarto elemento dados tres. Nuestro primer problema es: Dados
tres puntos colineales distintos A,B,C; construir un cuarto punto D colineal con ellos tal que {ABCD} sea igual a un número dado λ.
Por C trácese cualquier línea que corte la línea dada y en ella tómese A´y B´ de modo que CA´/ CB´ = λ. Supongamos que AA´y BB´se intersecan en D´y por este punto de intersección trácese la paralela a CB´que corte la línea dada en D. Entonces D es el punto pedido, Ya que
Dividiendo y reordenando
La existencia y unicidad del punto D son evidentes de esta construcción.
El problema de construir una línea que pase por el punto de intersección de tres concurrentes tal que la razón cruzada de las cuatro tenga un valor dado, se reduce inmediatamente al problema anterior por las relaciones de la sección 20.2

20.5 Propiedades de razón cruzada de una circunferencia. Unamos cuatro puntos concíclicos cualesquiera A,B,C,D a dos puntos O y O´ en su circunferencia. Entonces los haces así obtenidos (ABCD) y O´(ABCD) tienen iguales razones cruzadas. La verdad de ellos es una consecuencia inmediata de la igualdad de los ángulos correspondientes de los dos haces involucrados.

Si tangentes en cuatro puntos fijos A,B,C,D de una circunferencia cortan una tangente en un punto variable P, la razón cruzada de los cuatro puntos de intersección es una constante puesto que (Fig. 80) los lados correspondientes de los ángulos AO´C´ y APC son perpendiculares , los senos de estos ángulos son iguales y análogamente para los otros cuatro ángulos de los haces O (A´B´C´D´) y P (ABCD) . Por lo tanto, las razones cruzadas de estos haces son iguales, y por consiguiente { A´B´C´D´} tiene un valor constante.

Sea una circunferencia que interseca las cuatro líneas de un haz cuyo vértice no está en la circunferencia, en los pares de puntos A,A´; B,B´; C,C´ y D,D´ . Entonces si S y S´ son dos puntos cualesquiera en la circunferencia , las razones cruzadas de los haces S (ABCD) y S´(A´B´C´D´) son iguales. Esto se demuestra haciendo ver que las intersecciones de AB´ y A´B ; AC´ y A´C ; y A´D y AD´, están todas en la polar del vértice O del haz dado. Entonces
A´ {ABCD} = A {A´B´C´D´}
Y de aquí S {ABCD} = S´ {A´B´C´D´}.
20.6 Teorema de Pascal. Un teorema de gran importancia descubierto por Blas Pascal cuando tenía 16 años, en 1639, se da aquí en la forma cómo se aplica a un hexágono inscrito en una circunferencia. Hay un teorema similar para u hexágono inscrito en cualquier sección cónica y es claro por lo tanto que el inverso del teorema de la circunferencia no es el el verdadero.
Teorema: Los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una circunferencia son colineales.
Refiriéndonos a la Fig. 82, vamos a probar la colinealidad de los puntos P,Q,R en los cuales los pares de lados opuestos AB, DE; BC, EF, CD ,FA del hexágono inscrito ABCDEF se intersecan. AF interseca a ED en H y EF interseca a CD en K. Entonces A {EBDF} es igual a C{ EBDF} y por lo tanto {EPDH} = {EQKF}. Si se une R a estos conjuntos se cuatro puntos en las líneas ED y EF, se sigue que
R {EPDH} = R{EQKF}.
Y puesto que, las primeras , terceras y cuartas líneas coinciden, las segundas líneas también coinciden; es decir P, Q y R son colineales.
La línea en que están P, Q y R es llamada la línea de Pascal de hexágono. Si los mismos seis puntos son unidos consecutivamente en algún orden, se obtiene un hexágono diferente con los mismos puntos concíclicos como vértices. Para cada uno de estos hexágonos hay una línea de Pascal, y se puede demostrar que estas sesenta líneas de sesenta posibles hexágonos son diferentes.*
* Ver Lachlan, Modern Pure Geometry , Macmillan and Co., Págs 113-117.
20.7 Teorema de Brianchon. De las varias formas en las cuales el siguiente teorema debido a Brianchon y que lleva su nombre, puede ser probado, elegiremos el que refleja la forma en la cual fue descubierto. Como el teorema de la sección anterior, este teorema, que es su dual , es aplicable a hexágonos circunscritos a cualquier sección cónica. Será enunciado y probado con respecto a la circunferencia.
Teorema: Las líneas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una circunferencia son concurrentes.

Considérese el hexágono ABCDEF circunscrito a la circunferencia O (Fig. 83), y sea A´B´C´D´E´F´ el hexágono cuyos vértices son los puntos de tangencia de los lados del hexágono dado, como se indica en la figura. Supongamos que A´B´ interseca a DÉ en P, B´C´ interseca a E´F´ en Q y C´D´ interseca a F´A´ en R. Entonces puesto que las polares de y D pasan por P, la polar de P es AD. Asimismo las polares de Q y R son BE y CF. Y puesto que por el teorema de Pascal , P, Q y R son colineales, sus polares AD, BE y CF son concurrentes.
El punto de concurrencia de estas líneas es llamado el punto de Brianchon del hexágono. Hay sesenta hexágonos diferentes cuyos lados están en las mismas seis tangentes, y sus sesenta puntos de Briachon son todos distintos.
20.8 Teorema de Pappus.
Teorema: Si los vértices de un hexágono están alternativamente en dos líneas rectas, los puntos de intersección de sus pares de lados opuestos son colineales.
Esto puede ser visto como un caso especial del teorema de Pascal para un hexágono inscrito en una sección cónica. Si la notación se toma como en la sección 20.6, la prueba dada allí es aplicable, sin modificación a este teorema.
20.9 Puntos autocorrespondientes. Si A, B, C y A´B´C´, son dos conjuntos de tres puntos en la misma línea recta, entonces a cualquier punto D en la línea corresponde un punto D´ tal que

{ABCD} {A´B´C´D}´.
Surge la pregunta de si existe un punto D que se corresponda a sí mismo, esto es tal que
{ABCD} = {A´B´C´D}´.
Si tal punto existe es llamado punto autocorrespondiente con respecto a estas dos razones cruzadas. Se demostrará que puede haber dos, uno o ninguno de estos puntos.
Para encontrar los puntos autocorrespondientes cuando existen, dibújese cualquier circunferencia en el plano y sobre ella tómese cualquier punto O únanse cada uno de los puntos dados a O, y llámense las segundas intersecciones de la circunferencia con estas rectas A₁,B₁,C ₁,A´₁,B´₁,C´ ₁, como se muestran en la Fig. 85.
Supongamos que A₁B´₁y A´₁B₁, se cortan en P, y que A₁C´₁y A´₁C₁se cortan en Q, trace la recta PQ. Si ésta corta a la circunferencia en D₁y E ₁, las rectas OD₁y OE₁cortarán la recta dada en los puntos autocorrespondientes D y E.

Para probar esto, supongamos que existen esas intersecciones de PQ con la circunferencia. También sea S la intersección de PQ con A₁A´₁. Entonces

{ABCD} = O{ A₁B₁ C₁ D₁ }= A´₁ {A₁ B₁ C₁ D₁ }={SPQD₁ }
=A₁ {A´₁ B´₁ C´₁ D´₁ }= O{A´₁ B´₁ C´₁ D´₁ }={A´B´C´D}´.
De aquí D es autocorrespondiente; y lo mismo es verdadero para E.
Se puede demostrar también, que si un punto D autocorrespondiente existe, la línea PQ deberá pasar por D ₁; es decir la línea PQ deberá tener un punto en común con la circunferencia. De aquí, cuando PQ es tangente a la circunferencia hay uno y sólo un punto autocorrespondiente y cuando no corta la circunferencia no hay ninguno. Nótese que la línea PQ es la línea de Pascal del hexágono A₁B´₁C ₁A´₁B₁C´₁, y por lo tanto B₁C´₁ y B´C₁ También Se intersecan en ella.
Las construcciones anteriores para los puntos autocorrespondientes D y E incluyen también la construcción para los rayos autocorrespondientes de dos haces que tienen un vértice común, donde tales rayos autocorrespondientes se definen en forma análoga a la dada anteriormente para puntos autocorrespondientes.
20.10 Regla geométrica de la falsa posición. Lo que es conocido como regla geométrica de la falsa posición, será ilustrado en la solución del
Problema : Construir un triángulo cuyos vértices están en los lados de un triángulo dado y cuyos lados pasan por los vértices de un segundo triángulo dado.
El triángulo buscado debe tener sus vértices en los lados del triángulo pqr, y sus lados deben pasar por los vértices del triángulo ABC. (Fig. 86).
Empezando con un punto cualquiera P en p, trácese PA que corte q en Q, trácese QB cortando r en R y trácese RC intersecando p en P ´. Si P coincide con P´, el problema está resuelto. Si no es así , pasamos similarmente desde P₁ a P´₁ y desde P₂ a P´₂, P₁ y P₂ siendo puntos arbitrarios en p; si ni P₁ y P´₁ ni P₂ y P´₂ coinciden, constrúyanse los puntos autocorrespondientes M y N determinados por los conjuntos P, P₁ y P₂ y P´,P´₁, P₂. Si tales puntos existen y si pasamos de uno de ellos, digamos M , en la misma secuencia de operaciones que la que seguimos para pasar de P a P´ regresaremos a M y tendremos una solución. Si existen dos puntos autocorrespondientes, hay dos soluciones al problema. Si no existen puntos autocorrespondientes, no hay solución.

La solución de este problema puede ser vista como una construcción lograda después de tres intentos infructuosos. Pero puesto que los resultados de estos fracasos constituyen la base del éxito, son puntos esenciales en la solución del problema.

20.11 Problema de Apolonio. Uno de los problemas más famosos de geometría, conocido como el problema de Apolonio, es el de dibujar una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas. La revisión de los diferentes casos demuestra que el número de soluciones varia desde ninguna hasta un máximo de ocho. Muchos métodos, algunos de los cuales son enteramente elementales, han sido desarrollados para resolver el problema. Otros más elegantes, dependen de la inversión, teoría de polos y polares, y propiedades de razón cruzada. El que vamos a ver aquí, en el cual se supone que los centros de las circunferencias son finitos y no colineales, es debido a Casey.
Supongamos que existe una circunferencia que toca a cada una de las tres circunferencias dadas de centros O₁,0₂, O₃,(Fig. 87) en los puntos P,Q,R respectivamente. Entonces los triángulos O₁O₂O₃ y PQR están en perspectiva, y el centro de perspectiva es el centro de la circunferencia tangente a las tres circunferencias dadas. Y puesto que una circunferencia tangente a dos circunferencias toca a éstas en un par de puntos antihomólogos , el eje de perspectiva pasa por tres centros de homotecia H,K,L de las circunferencias dadas tomadas en pares.
Por H tracemos una línea cualquiera que corte las circunferencias O₂ y O₃ en los puntos antihomólogos Q₁ y R₁, respectivamente . Trácense KR₁ y LQ₁, y denótense por P₁ y P´₁ los puntos antihomólogos a R₁ y Q₁ respectivamente, en los cuales estas líneas cortan a la circunferencia O₁ . En forma similar se obtienen otros dos pares de puntos P₂, P´₂ y P₃, P´₃ en la circunferencia O₁. Si los dos puntos de cualquiera de estos dos pares coinciden, se ha encontrado un punto de tangencia de O con una de las circunferencias.

Si ninguno de los pares son coincidentes, se consideran los haces S (P₁P2P3P₄) y S (P´₁P₂´P´₃P´₄),donde P₄ y P´₄ son un cuarto par de puntos correspondientes en la misma circunferencia. Es evidente, de consideraciones de simetría y de una propiedad de razón cruzada de la sección 20.5 que las razones cruzadas de estos haces son iguales. De aquí, si determinamos P en la circunferencia O₁, tal que
S{P₁P₂P₃P} = S {P´₁P´₂P´₃P´},
Este punto será un punto de tangencia con O, lo que se busca. Los puntos Q y R pueden ser encontrados entonces y puede construirse la circunferencia que pasa por ellos tres. Como hemos visto en la sección 20.9, pueden existir dos puntos autocorrespondientes tales. Ya que los seis centros de similitud están por tercias en cuatro líneas rectas, el número máximo de ocho soluciones se estima observando que hay dos para cada una de estas cuatro líneas. Sin embargo si dos puntos autocorrespondientes no existen para algunas de las cuatro líneas, como puede suceder el número de soluciones será correspondientemente menor.

19. Polos y Polares

2009-09-28T00:13:00.009-05:00

19.1 Definiciones . Sean P y P´ dos puntos inversos cualesquiera con respecto a una circunferencia dada de centro O. La línea que pasa por P´ y que es perpendicular a PP´ es la línea polar de P o simplemente la polar de P con respecto a la circunferencia.
También el punto P es llamado el polo de la línea P.

Es evidente que la polar de un punto interseca la circunferencia, es tangente a la circunferencia en el punto, o no interseca a la circunferencia, de acuerdo con que el punto esté fuera, en, o dentro de la circunferencia.
Cuando P está fuera de la circunferencia, se pueden dibujar dos tangentes de él a las circunferencia. Si A y B son los puntos de contacto de estas tangentes, las línea AB es la cuerda de contacto del punto P. Es fácil demostrar que la cuerda de contacto de un punto exterior es la polar de ese punto con respecto a la circunferencia.
La polar del centro de la circunferencia se define como la línea al infinito, y el polo de un diámetro es un punto al infinito. Con respecto a una circunferencia dada, la relación polo y polar, establecen una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano.
19.2 Teorema fundamental .
Teorema: Si con respecto a una circunferencia dada, la polar de P pasa por Q, entonces la polar de Q pasa por P.

Por hipótesis , la perpendicular a OP en P´, el inverso de P, pasa por Q. Si ahora Q´ es el inverso de Q, las líneas PQ´ y P´Q, son antiparalelas con respecto a OP y OQ, y entonces PQ´ es perpendicular a OQ; es decir , la polar de Q pasa por P.
Tenemos también el

Corolario: Si p y q son líneas tales que, con respecto a una circunferencia dada, el polo de p está en q, entonces el polo de q está en p.
Se concluye que las polares son una hilera de líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.
Dos puntos que tienen la propiedad de que la polar de uno pasa por el otro, son puntos conjugados; y dos líneas , que sean de modo que el polo de cada una este en la otra. Son líneas conjugadas . Cada punto de una línea dada, tiene un punto conjugado en tal línea, a saber. El punto en el cual la línea es cortada por la polar del punto. Asimismo, cada línea por un punto dado, tiene una línea conjugada por ese punto.
Lo siguiente es obvio:
(a) De dos puntos conjugados distintos en una línea que corte la circunferencia, uno está dentro y el otro está fuera de la circunferencia.
(b) De dos líneas distintas conjugadas que se corten fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
(c) Cualquier punto en la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente en ese punto.
(d) Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
19.3 Relaciones armónicas. La teoría de polos y polares, esta íntimamente relacionada con la teoría de división armónica . Alguna de esas relaciones se indican en los teoremas que siguen.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos puntos conjugados están en una línea que interseca la circunferencia, están separados armónicamente por los puntos de intersección.

Sean A y B dos de tales puntos (Fig.69) y sea A´ el inverso de A. Entonces A´B es la polar de A. Puesto que la circunferencia con AB como diámetro, pasa por A´, es ortogonal a la circunferencia dada y A y B están armónicamente separados por los puntos en los cuales su línea interseca la circunferencia.
Hemos visto entonces, que si una línea variable por un punto dado, interseca una circunferencia, los conjugados armónicos del punto con respecto a las intersecciones de la línea y la circunferencia, están todos en la polar del punto.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se corten fuera de dicha circunferencia, están separadas armónicamente por las tangentes desde su punto de intersección.

Sean a y b líneas conjugadas que se intersecan en S, un punto fuera de la circunferencia, y sean las tangentes p y q trazadas de S a la circunferencia, siendo los puntos de tangencia P y Q (Fig. 70). También la línea PQ interseca a a y b en los puntos A y B.
Entonces PQ, la polar de S, pasa a través de B , y por lo tanto la polar de B pasa por S. También puesto que el polo de b es un punto de C en a, la polar de C pasa por B y consecuentemente la polar de B pasa por C. Ahora, como S está en b, C es distinto S. Por lo tanto a es la polar de B, A y B son puntos conjugados, la hilera ABPQ es armónica y el haz a,b,p,q es armónico.

Teorema: Si cuatro puntos en una línea son armónicos, sus polares con respecto a una circunferencia dada también son armónicos.
Sean A, B, C, D los puntos armónicos dados (Fig. 71). Sus polares a,b,c,d, pasan por S, el polo de la línea en la cual están estos puntos. Y como cada polar es perpendicular a la línea que une su polo con el centro de la circunferencia , el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz O ( ABCD) es igual al ángulo entre las líneas correspondientes del haz, a,b,c,d. Se infiere que el haz es armónico.
19.4 Relación con un cuadrángulo inscrito. Sean A,B,C,D los vértices de un cuadrángulo completo inscrito en una circunferencia, y supongamos que los pares de lados opuestos se intersecan en los puntos P,Q,R como se indica en la Fig. 72.
Como el haz P ( TT´RQ) es armónico, la línea PR interseca a NC en el conjugado armónico , de Q con respecto a B y C. Asimismo interseca a AD en el conjugado, de Q con respecto a A y D. Por lo tanto, PR es la polar de Q. Análogamente QR es polar de P ; y por el teorema fundamental PQ es la polar de R. Así cada lado del triángulo diagonal es la polar de vértice opuesto. También Q y R están separados armónicamente por los dos pares de puntos S, S´ y T, T´.
Más aún si se trazan tangentes en B y C, su punto de intersección L está en PR. Puesto que la polar de L es BC y pasa por Q. De aquí PR, la polar de Q, pasa por L. De manera similar las tangentes por dos vértices cualesquiera del cuadrángulo se intersecan en la polar del vértice del triángulo diagonal que está en el lado que pasa a través de los puntos de tangencia.
De aquí obtenemos el
Teorema: Si los vértices de un cuadrángulo completo están en una circunferencia , y los lados de un cuadrilátero completo son tangentes a la circunferencia en los vértices del cuadrángulo, los seis vértices del cuadrilátero están por pares en los lados del triángulo diagonal del cuadrángulo.
El lector deberá dibujar una figura para ilustrar este teorema.
Una construcción lineal para la polar de un punto P que no está en la circunferencia, es una consecuencia de las relaciones presentadas arriba. Por P trazamos dos secantes, una de las cuales corta la circunferencia en A y B, la otra en C y D. Si Q es la intersección del AD con BC , y R la intersección de AC con BD, entonces QR es la línea buscada. Si P.
Si P está en la circunferencia, su polar, es decir, la tangente en P, puede ser construida con regla solamente. Para hacer esto trazamos cualquier secante por P, determinamos Q, su polo y trazamos PA, que es la línea buscada.
19.5 Principio de dualidad. Se dijo al final de la sección 19.1 que por medio de la relación de polos y polares con respecto a una circunferencia, se establece una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano. Estamos ahora en condiciones de ver lo que el principio de dualidad produce en esta relación. (Sección 15.13)
Desde el punto de vista de dualidad, una curva puede ser vista, por un lado como un conjunto de puno, y por otro como un conjunto de líneas ,a saber, la familia de líneas de la cual la curva es la envolvente. Así, punto en una curva y línea tangente a una curva , son elementos duales, y a cualquier teorema proyectivo que incluya uno o ambos de estos elementos, le corresponde un segundo teorema, que es su dual.

La discusión de la sección anterior, indica que toda la teoría de polos y polares, puede ser referida a la teoría de cuadrángulos completo inscritos y cuadriláteros completos circunscritos , de modo de librarla completamente de relaciones métricas. Cuando esto se realiza, es palpable que la dualidad mencionada anteriormente, existe, que el dual de un punto es su línea polar y que el dual de una línea es el polo de dicha línea . Así por ejemplo ,el teorema y el corolario de la sección 19.2, son duales el uno del otro. El lector deberá examinar todas las discusiones que siguen refiriéndose al principio de dualidad.
19.6 Triángulo autopolar. Un triángulo es autopolar o autoconjugado con respecto a una circunferencia, cuando cada vértice es el polo de lado opuesto. Las siguientes propiedades de un triángulo autopolar, cuyos vértices son todos puntos finitos, pueden ser fácilmente demostradas.
(a) Su ortocentro es el centro de la circunferencia.
(b) Uno y sólo uno de sus vértices está dentro de la circunferencia.
(c) El ángulo del triángulo cuyo vértice está dentro e la circunferencia es obtuso.

Un triángulo autopolar puede ser construido tomando un vértice arbitrariamente, un segundo vértice en la polar del primero, y el tercero en la intersección de las polares de los otros dos.

19.7 Circunferencia polar. Hay un número infinito de triángulos autopolares con respecto a una circunferencia dada, sin embargo, hay cuando más una circunferencia respecto a la cual un triángulo dado sea autopolar. Para que exista una tal cual circunferencia, el triángulo debe ser obtusángulo. Cuando tal circunferencia existe, se llama circunferencia polar del triángulo.
La circunferencia polar del triángulo obtusángulo ABC, puede ser construida, dibujando la circunferencia de centro en O y cuyo radio es la media proporcional de OA y OD, donde O es el ortocentro del triángulo y D es el pie de la altura por A.
Puesto que un vértice del triángulo y el pie de a altura que pasa por él, son inversos con respecto a la circunferencia polar, cualquier circunferencia que tenga una altura del triángulo como cuerda es ortogonal a la circunferencia polar el triángulo. Ejemplos particulares de tales circunferencias, ortogonales a la circunferencia polar, son las circunferencias con los lados del triángulo como diámetros.

19.8 Circunferencias polares del triángulo de un grupo ortocéntrico. Tres de los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico son obtusángulos.

En la Fig, 74 , el cuadrángulo del grupo es tal que los triángulo DAB, DBC y DCA son obtusángulos en D. Sean r ₁, r ₂, y r₃los radios de las circunferencia polares C,A,B de estos triángulos respectivamente. Entonces

demostrando que las circunferencias B y C son ortogonales.
Puesto que A r₁y Cson puntos inversos con respecto a la circunferencia B,A ₁,A es la polar de C referente a tal circunferencia y es fácil ver que pasa c0on los puntos comunes a las circunferencias B y C.
De aquí tenemos el
Teorema: Las circunferencias polares de tres triángulos obtusángulos de un grupo ortocéntrico son ortogonales en pares, y sus puntos de intersección están en los tres lados del cuadrángulo que pasan por el vértice común de los ángulos obtusángulos.

18 Inversión

2009-09-20T23:23:00.001-05:00

18.1 Puntos inversos. Si P y P´ son dos puntos colíneales con el centro O de una circunferencia, cuyo radio es r > 0 de tal forma que OP x OP ´= r² , cada uno de los puntos P y P´es inverso del otro con respecto a la circunferencia. El punto O es el centro de inversión , la Circunferencia O es la circunferencia de inversión , y su radio es el radio de inversión.
La relación es simétrica, es decir, si P´es el inverso de P, entonces P es el inverso de P´. De acuerdo con esta simetría, se dice que los puntos P y P´, son puntos inversos con respecto a la circunferencia. Los hechos siguientes son obvios:
Con respecto a una circunferencia dada:
(a) Cada punto en el plano excepto el centro, tiene un solo inverso.
(b) Un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
(c) De dos puntos inversos distintos, uno está dentro de la circunferencia de inversión y el otro fuera.
18.2 Curvas inversas. Sean P y P´ dos puntos inversos con respecto a una circunferencia de centro O, y supongamos que P se mueve de tal forma que traza una curva cualquiera. Entonces P´ también trazara una curva. Estas curvas son por definición una inversa de la otra; o se dice que son mutuamente inversas.
De esta manera el inverso de una circunferencia cuyo centro es el centro de inversión , es una circunferencia concéntrica con la circunferencia dada. En particular, si una circunferencia coincide con la circunferencia de inversión, es su propia inversa. Asimismo también es evidente, que una línea recta por el centro de inversión es su propia inversa.
Si dos curvas inversas se intersecan, todos sus puntos de intersección, están en la circunferencia de inversión. Inversamente, si una de dos curvas inversas interseca la circunferencia de inversión , la segunda interseca a ésta en el mismo punto.
18. 3 Circunferencia que pasa por puntos inversos.
Teorema: Cualquier circunferencia que pasa por un par de puntos inversos distintos, es su propia inversa y es ortogonal a la circunferencia de inversión; e inversamente , cualquier circunferencia que es ortogonal a la circunferencia de inversión es su propia inversa.

Sean P y P´ puntos inversos con respecto a la circunferencia de centro O, y PP´ corte la circunferencia de inversión en A y A´. Entonces puesto que OP × OP = (OA)² , los puntos A y A´ son conjugados armónicos con respecto a P y P´. De aquí, cualquier circunferencia por P y P´ e ortogonal a la circunferencia O. (sección 15.10)

Invirtiendo los pasos del razonamiento anterior, demostrando que, si una circunferencia dada es ortogonal a la circunferencia O, el inverso de cualquiera de sus puntos P con respecto a O, es el punto P´ donde OP interseca nuevamente la circunferencia dada. Entonces, al recorrer P la circunferencia en que está P´ traza la misma circunferencia.
Podemos resumir algunos resultados de esta sección y de la anterior observando que las siguientes son sus propios inversos con respecto a una circunferencia dada de inversión.
(a) La circunferencia de inversión.
(b) Líneas rectas por el centro de inversión
(c) Circunferencias ortogonales a la circunferencia de inversión.
18.4 El inverso de una línea recta.
Teorema: El inverso de una línea recta que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia por el centro de inversión, y recíprocamente, el inverso de una circunferencia de radio finito* que pasa por el centro, de inversión , es una línea recta que no pasa por el centro de inversión. Más aún, la línea recta es perpendicular al diámetro de la circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Si A es el pie de la perpendicular desde el centro de inversión O sobre una línea dada y P es un punto cualquiera en la línea, los triángulos OPA y OA´P´ son inversamente semejantes; A´ y P´ son los inversos de A y P respectivamente. De esta manera el vértice P´ del ángulo recto OP´A´ está en la circunferencia de diámetro OA´.

Inversamente si P´es un punto de esta circunferencia, se infiere , recorriendo al revés los pasos anteriores, que P está en la perpendicular a la línea del diámetro OA´que pasa por el inverso de A´.
Tenemos el siguiente

Corolario: Líneas rectas paralelas, ninguna de las cuales pasan por el centro de una circunferencia de inversión, se invierten en circunferencias tangentes una a otra en el centro de inversión.
18.5 El inverso de una circunferencia. Hemos determinado los inversos de todas las circunferencias por el centro de inversión, de todas las circunferencias puntuales , y de todas las circunferencias de radio finito. La determinación de los inversos de las circunferencias restantes en el plano es el siguiente
Teorema: El inverso de una circunferencia de radio finito que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia de radio finito que no pasa por este punto.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia A, cuya inversa con respecto a O es buscada, y sea Q la segunda intersección de OP con esta circunferencia. Por P´ el inverso de P dibujamos una paralela de QA, que interseca a OA en B**.
*Por radio finito, entendemos un radio cuya longitud es un número distinto de cero. Una línea recta puede ser considerada como el caso límite de una circunferencia cuyo radio se incrementa indefinidamente. Desde este punto de vista, se habla algunas veces de una línea recta, como una circunferencia de radio infinito.
** Para que B sea el único punto determinado en la forma aquí descrita, es necesario que P no esté en la línea OA. Pero una vez determinado B, el argumento es válido, aunque P sea uno de los puntos en que OA interseca a la circunferencia.
Ahora puesto que OP× OP´= r² y OP× OQ = κ, una constante, la razón OP´/ OQ tiene un valor constante . Y puesto que

Se sigue que B es un punto fijo y que BP´es finito y constante ; es decir el lugar geométrico de P´es una circunferencia de radio finito. También, puesto que ningún punto de la circunferencia dada está al infinito, el lugar geométrico de P´ no pasa por O.
Es evidente que el centro de inversión con respecto al cual las circunferencias A y B son curvas inversas, es un centro de homotecia de las dos circunferencias.

18.6 Ángulos conservados por la inversión.
Teorema: Si dos curvas se intersecan en un punto cualquiera distinto del centro de inversión, su ángulo de intersección en ese punto es igual en magnitud pero opuesto en signo al ángulo de intersección de las curvas inversas en el punto inverso.
Sean las curvas que se intersecan en P, un punto distinto de O el centro de inversión. Tracemos OP y una segunda línea por O que corte las líneas dadas en Q y R. Si P´, Q´, R´ son los inversos de P,Q,R, entonces las inversas de las curvas PQ y PR son curvas que pasan por P´, Q´ y P´ , R´, respectivamente (Fig. 62).
Puesto que OP × OP´= OQ × OQ´, PQ es antiparalela a P´Q con respecto a OP y OQ , y de aquí

Ð QPO = Ð OQ´P´.
Similarmente
Ð RPO = Ð OR´P´ ;
y por substracción
Ð QPR - Ð Q´P´R´.
Ahora si la línea OQ gira alrededor de O de tal forma que siempre corte la cuatro curvas, y tienda a OP como límite, los ángulos QPR y Q´P´R´ tienden en el límite a ser los ángulos de intersección de las curvas. Así los ángulos de intersección son iguales en magnitud , pero opuestos en signo.
La propiedad de las curvas respecto de la inversión, incluida en el teorema anterior, se expresa algunas veces diciendo que las curvas inversas son isogonales, y también diciendo que los ángulos son conservados por la inversión.

Como corolario se infiere, que si dos curvas son tangentes una a la otra en P, sus inversas son tangentes a la otra en P´.

18.7 Celda de Peaucellier. Un sistema mecánico articulado conocido como celda de Peaucellier, puede ser usado para construir el inverso de una curva dada.
Unamos los puntos A y B del rombo PAP´B al punto fijo O por medio de líneas iguales OA y OB ( OA > PA). Entonces, si todas las partes pueden moverse libremente, con excepción del punto O, los puntos P y P´ describirán curvas inversas con respecto a O como centro y r como radio de inversión, donde r ² = (OA)²- (PA)². Si llamamos C el punto de intersección de PP´ y AB y si observamos que O, P y P´ son colineales, tenemos

Y de aquí, P y P´ en todas sus posiciones son puntos inversos. Así, por ejemplo, si P describe un arco de circunferencia que pase por O, P´ describirá un segmento de línea recta.
Si los lados del rombo y las líneas OA y OB son substituidas por barras rígidas articuladas en sus puntos de intersección, y si una barra adicional DP = DO une el punto fijo D y el punto móvil P, entonces, cuando DP gira alrededor de D, P´ describirá un segmento de línea recta.
La celda de Peaucellier es de interés porque es uno de los primeros métodos inventados para trazar una línea recta sin uso de regla.
18.7Teorema de Feuerbach.
Como un ejemplo de la potencia y belleza del método de inversión, lo usaremos para probar la propiedad de la circunferencia de los nueve puntos enunciada sin prueba al final de la sección. 16.6

Teorema: La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a la circunferencia inscrita y a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

Probaremos que la circunferencia inscrita I ( Fig. 64) y una de las circunferencias excritas I´ del triángulo AB son tangentes a la circunferencia de los nueve puntos. Dibujemos la tangente interior común B´C´ y sea A´ su intersección con BC. Entonces A y A´ son los centros de similitud de las dos circunferencias, y son conjugado armónicos con respecto a I e I´. Y puesto que I´X´, IX y AD son perpendiculares cada una a BC, se sigue que X´, X, A´, D son puntos armónicos. Ahora bien , L , el punto medio de BC, es también el punto medio de X´X. Por lo tanto, con respecto a L como centro y LX como radio de inversión, A´ y D son puntos inversos.
Enseguida demostraremos que, con respecto a esta misma circunferencia, S y M son también puntos inversos, donde S es la intersección de B´C´ y LM. Ahora
Entonces el radio de inversión es (c-b ) /2. También LM = c/2. Para calcular LS, observamos que es la diferencia entre LM y SM, y que SM puede ser obtenido de la consideración de los triángulos semejantes B´SM y B´C´A. Esto es
De aquí el producto LS × LM = (c-b)² /4 , y los puntos S y M son inversos con respecto a la circunferencia de diámetro X´X.
El inverso de la línea B´C´ es una circunferencia por L, el centro de inversión, y los puntos D y M. Pero esta es la circunferencia de los nueve puntos. Puesto que las circunferencias I e I´ son ortogonales cada una a la circunferencia de inversión, son sus propias inversas.
Del hecho de que si dos curvas son tangentes una a la otra, sus inversas son también tangentes una a la otra, se sigue que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las circunferencias I e I´. De la misma manera se puede demostrar que es tangente a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

18.9 Inversión de un teorema. Por medio de la inversión podemos deducir y probar nuevos teoremas, de teoremas ya conocidos. Este proceso se llama inversión de un teorema. Será ilustrado en el siguiente ejemplo.
Dos circunferencias S y S´ se intersecan en los puntos distintos A y O. Los diámetros EO y FO de S´ y S intersecan S y S´ en B y C respectivamente. Entonces el eje radical AO pasa por el centro de la circunferencia S´´ determinada por O, B y C.
Inviértase la figura con O como centro de inversión , y sean A´, B´C´ los inversos de A, B, C respectivamente. Por conveniencia se da una segunda figura con los resultados de esta inversión. Cada una de las líneas AO, FO y EO se invierte en sí misma mientras que las circunferencias S, S´ y S´´ se invierten en A´B´ , A´C´ y B´C´ respectivamente.

Más aún puesto que un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, B´O y C´O, son por la propiedad isogonal de la inversión, alturas del triángulo A´B´C´; de aquí AÓ es perpendicular a B´C´. Por lo tanto, AO es ortogonal a la circunferencia de S´´, de lo que se sigue que pasa por el centro de S´´.
De un teorema familiar referente a las alturas de un triángulo, obtuvimos por inversión el teorema anterior referente a las circunferencias. Este método es muy fructífero y frecuentemente proporciona prueba de teoremas cuya prueba por otro método es más difícil.

18.10 Circunferencia de antisimilitud. Una circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias es una circunferencia respecto a la cual las dos son mutuamente inversas.
Hemos visto, que si dos circunferencias son mutuamente inversas, el centro de inversión es el centro de similitud de las circunferencias. También, cualquier par de puntos inversos son también antihomólogos con respecto a este centro de similitud. Entonces vemos que dos circunferencias pueden tener, cuando más, dos circunferencias de antisimilitud.
Si dos circunferencias no se intersecan ( Figs. 66 a ,b ), los segmentos que unen O, un entro de similitud, a un par de puntos antihomólogos P y P´ tienen el mismo signo para uno solo de los dos centros de similitud. Si las circunferencias son mutuamente excluyentes, el centro es externo, mientras que si una esta contenida dentro de la otra, el centro es interno, de donde los dos segmentos tienen el mismo signo.

De aquí, en este caso hay una sola circunferencia de antismilitud, y su radio r, esta dado por r ² - OP × OP´. Obviamente hay solamente una circunferencia así cuando las dos circunferencias son tangentes la una a la otra . Cuando las dos circunferencias se intersecan ( Fig. 66 c) , cada uno de los centros de similitud llena los requisitos de antisimilitud. Cada una de éstas pasa por los puntos comunes a las circunferencias dadas.
Estos resultados pueden resumirse en el
Teorema: Dos circunferencias que se intersecan tienen dos circunferencias de antisimilitud cuyos centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y cada una de las cuales pasa por los puntos comunes de las circunferencias dadas. Dos circunferencias tangentes una a otra o que no se intersecan tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro es su centro interno o externo de similitud e acuerdo si las circunferencias son mutuamente excluyentes o si una está contenida dentro de la otra.
18.11 Inversión de circunferencias en circunferencias iguales.
Teorema: Dos circunferencias pueden siempre ser invertidas en dos circunferencias iguales.
Lema: Si una circunferencia y dos puntos inversos respecto a ella se invierten con cualquier punto de la circunferencia como centro de inversión, se transforman en una línea recta y dos puntos simétricos respecto a la línea.
Sean P y P´ puntos inversos respecto a la circunferencia C e invirtamos con un punto arbitrario O de la circunferencia C, como centro de inversión . Entonces la circunferencia C s transforma en una línea recta, la línea PP´ en una circunferencia ortogonal a esta línea y la circunferencia con PP como diámetro en una segunda circunferencia ortogonal a la misma línea. Entonces los transformados de P y P son los puntos de intersección de dos circunferencias cuyos centros están en la línea que es la transformada de C, y son simétricos respecto a la misma línea.
Para demostrar el teorema, inviértanse las dos circunferencias dadas, con cualquier punto de la circunferencia de antisimilitud como centro de inversión . Esta circunferencia es transformada en una línea recta respecto a la cual los transformados de todos los pares de puntos correspondientes de las circunferencias dadas son simétricos. Se sigue que las circunferencias dadas están invertidas en circunferencias iguales.
Estamos ahora en posición de responder la pregunta, cuándo es posible , por inversión , transformar tres circunferencias dadas en tres circunferencias iguales. Si las circunferencias de antismilitud de dos pares de circunferencias dadas se intersecan, tal transformación puede ser realizada. Una discusión más completa demuestra que hay cuando más ocho de tales puntos de intersección, pero en algunos casos no hay ninguno. Cuando cada una de estas circunferencias interseca a las otras dos, la transformación es posible.
18.12 Inversión de circunferencias en sí mismas.
Teorema: Cualquier par de circunferencias no concéntricas pueden ser invertidas en sí mismas en una infinitud de formas.
Si tomamos como circunferencia de inversión cualquier circunferencia ortogonal a cada una de las circunferencias dadas, estas circunferencias son invertidas en sí mismas. Siempre existe un número infinito de circunferencias ortogonales a cada una de las circunferencias no concéntricas (Sección 17.5) , y por lo tanto la inversión es posible en un número infinito de formas.
Tres circunferencias pueden ser invertidas en sí mismas, si existe una circunferencia ortogonal a las tres. Este es el caso cuando el centro radical es un punto finito que está fuera de las circunferencias dadas.
18.13 Circunferencias que intersecan una circunferencia dada en un ángulo dado.
Problema: Construir una circunferencia que pase por dos puntos dados y que corte una circunferencia dada en un ángulo dado.

Sean C la circunferencia y A y B los puntos dados. Si invertimos con respecto a la circunferencia de centro A y que es ortogonal a C, la última se invierte en sí misma y la circunferencia requerida se invierte en una línea recta que pasa por B´, el inverso de B. También esta línea intersecará la circunferencia C en el ángulo dado. Ahora , todas las líneas que cortan la circunferencia C bajo este ángulo son tangentes a la circunferencia C´ que es concéntrica con C y que se construye fácilmente . De aquí queda solamente por dibujar por B´ una tangente a la circunferencia C´ e invertir esta tagente en la circunferencia requerida. Hay dos soluciones, una , o ninguna, según B´ esté fuera, sobre , o dentro de la circunferencia C´.

17 Circunferencias Coaxiales

2009-05-22T17:54:00.009-05:00

17.1 Potencia de un punto. Si P es un punto cualquiera en el plano de una circunferencia dada, y una línea por P interseca la circunferencia en A y B, el producto de los segmentos PA y PB es constante. Esta propiedad característica de una circunferencia nos lleva a la formulación de la
Definición : La potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia que sean colineales con él.
Se sigue que la potencia de un punto es negativa , cero o positiva de acuerdo si el punto esta dentro, en o fuera de la circunferencia. Es también fácil verificar que, para cualquier posición de P, su potencia con respecto a una circunferencia cuyo centro es O y cuyo radio es r, es PO2 -r2 .
Si P está fuera de la circunferencia su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.
Un punto puede ser visto como una circunferencia de radio cero. Tal circunferencia es llamada circunferencia nula o circunferencia puntual. La definición anterior , propiamente interpretada, es aplicable a tal circunferencia. Entonces la potencia del punto P con respecto a una circunferencia nula O es PO2.
17.2 Eje radical. El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias es igual.
Para demostrar que el lugar geométrico definido anteriormente es una línea recta, vamos a considerar primero dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son O y O´ y cuyos radios son r y r´. Por P, un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencia , dibujamos PM perpendicular a la línea de los centros OO´. Entonces
Ahora solo hay un punto M en OO´ que satisface estas relaciones. Si N es un punto cualquiera semejante, tenemos

OM –MO´= ON –NO´;
Esto es
ON-MN –MO´= ON + MN –MO´ ,
Y entonces MN = 0; es decir , N coincide con M.
Por lo tanto, si un punto tiene potencias iguales con respecto a las dos circunferencias O y O´, está en una perpendicular a la línea de sus centros. Inversamente, se puede demostrar invirtiendo los primeros pasos de la discusión anterior, que , si P está en a perpendicular a OO´, en M, sus potencias con respecto a estas circunferencias son iguales.
Si los centros de dos circunferencias de radios desiguales se aproximan, el punto M se aproxima al punto al infinito en OO´ y la línea MP tiende a la línea al infinito. Así que el eje radical de dos circunferencias concéntricas desiguales se define como la línea al infinito. El eje radical de dos circunferencias iguales concéntricas, se dejara indefinido, y cualquier anunciado acerca del eje radical no es aplicable a tales circunferencias. Si dos circunferencias se intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si dos circunferencias s intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si son tangentes una a la otra, es su tangente común en el punto de contacto.
17.3 Centro radical.
Teorema: Los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares son concurrentes. Consideremos primero, tres circunferencias, cuyos centros no son colineales y sea P la intersección del eje radical de la primera y segunda con el de la segunda y tercera. Entonces P tendrá potencias iguales con respecto a las tres circunferencias, y entonces el eje radical de la primera y tercera también pasará por P.
Si los centros de las tres circunferencias son colineales, los ejes radicales son paralelos y distintos , o dos de ellos coinciden y la línea común es paralela al tercero, o los tres coinciden. En cada uno de estos casos especiales, las líneas son concurrentes en un punto al infinito.
El punto de concurrencia de tres de los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares, es llamado su centro radical.
17.4 Construcción del eje radical El eje radical de dos circunferencias no concéntricas puede ser construido como sigue:
Dibujemos una circunferencia cualquiera que corte las circunferencias dadas en A, A´ y B, B´ respectivamente. Por P, la intersección de AA´ y BB´, dibujamos la perpendicular a la línea de los centros de las circunferencias dadas. Esta perpendicular es el eje radical requerido como se puede comprobar fácilmente.
17.5 Circunferencias ortogonales a dos circunferencias.
Teorema: El centro de una circunferencia que corta a dos circunferencias ortogonalmente, está en el eje radical de estas últimas; y si una circunferencia cuyo centro está en el eje radical de dos circunferencias, es ortogonal a una de ellas, es también ortogonal a la otra.
Si P es el centro de una circunferencia que es ortogonal a las circunferencias O y O´, tenemos de los triángulos rectángulos PAO y O´A´P.
De esta manera P tiene potencias iguales con respecto a las circunferencias O y O´ y está en su eje radical.
En seguida, dejemos a P en el eje radical de las circunferencias O y O´ y hagamos que la circunferencia P corte ortogonalmente la circunferencia O. De la igualdad de las potencias de P y del hecho de que el ángulo OAP es recto, se sigue que el ángulo PAÓ´ también es recto y la circunferencia P es ortogonal a la circunferencia O´.
De acuerdo con su importancia en lo siguiente, probaremos enseguida estos dos teoremas:
Teorema: Todas las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias que no se intersecan la línea de sus centros en los mismos dos puntos.
Teorema: Una circunferencia que corta ortogonalmente a dos circunferencias que se intersecan, no interseca la línea de sus centros.
Para probar el primero de estos teoremas, nos referiremos a la Fig.55 y observando que, puesto que las circunferencias O y O´ no se intersecan , OM es mayor que el radio OA, entonces PM es menor que PA y, por lo tanto, la circunferencia P interseca OO´ en L y L´.
Entonces

Y
Esta ecuación nos muestra que la posición de L es independiente de la de P. Por lo tanto cualquier circunferencia ortogonal a O y O´ pasa por L. Asimismo cualquiera de estas circunferencias pasa por L y LL´ es bisecada por M.
Si las circunferencias O y O´ se intersecan , el punto M está dentro de ambas, OM es menor que el radio OA, PM es mayor que PA, y la circunferencia P no interseca OO´.
17.6 Ejes radicales del incírculo y excírculos.
Teorema: El eje radical de la circunferencia inscrita y de las circunferencias excritas de un triángulo tomadas por pares, son las bisectrices de los ángulo del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado.
Daremos las prueba para la circunferencia inscrita y para una de las excritas . Refiriéndonos a la Fig. 33, en la cual, L, M, N, son los puntos medianos de los lados, observamos que e eje radical de las circunferencias I e I 1 pasa por L , puesto que este punto tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias. También es perpendicular a II1, la bisectriz del ángulo interior A. Ahora la bisectriz del ángulo interior A, es paralela a la bisectriz del ángulo exterior en L, del triángulo LMN. Puede ser demostrado fácilmente que la bisectriz del ángulo interior en L es l eje radical de as otras dos circunferencias excritas.
De esta manera vemos que el centro radical de tres circunferencias excritas es el incentro del triángulo LMN, mientras que el de dos de sus excírculos y el incírculo es uno de sus excentros. Puesto que estas circunferencias no se intersecan, todos los centros radicales están fuera de las circunferencias. Los cuatro centros radicales forman un grupo ortocéntrico de puntos. 17.7 Circunferencias coaxiales. Si un conjunto de circunferencias es tal que la misma línea es eje radical de todo par, se dice que las circunferencias son coaxiales. El eje radical de los pares de circunferencias se llama eje radical del conjunto coaxial.
Obviamente, los centros de las circunferencias de un conjunto coaxial son colineales. También si dos de ellas se intersecan, cualquier circunferencia del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos. De otro modo no habría dos circunferencias del conjunto que se intersecaran. Es además inmediato que el eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales es el lugar geométrico de los puntos cuyas potencias con respecto a todas las circunferencias del conjunto son iguales.
Dos circunferencias distintas pueden pertenecer solamente a un conjunto coaxial; y dos circunferencias distintas determinan siempre, de modo único a un conjunto de circunferencias que son coaxiales con ellas. Además , si dos puntos diferentes tienen iguales potencias con respecto a tres o más circunferencias, las circunferencias son coaxiales.
Por la sección 17.5 se sigue que, si una circunferencia corta a dos circunferencias de un conjunto coaxial ortogonalmente, cortará a todas las circunferencias del conjunto tamién ortogonalmente.

17.8 Circunferencias coaxiales que se intesecan. Si una circunferencia de un conjunto coaxial corta al eje radical en dos puntos, entonces toda circunferencias del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos y la línea de los centros es mediatriz de la cuerda común. De acuerdo con que r sea menor que, igual a , o mayor que la mitad de la longitud de la cuerda común , existe : ninguna circunferencia, una circunferencia o dos circunferencias del conjunto que tengan a r como su radio,
De la discusión de la sección 7.5 obtenemos de inmediato:
Teorema: Todas las circunferencias que son ortogonales a dos circunferencias que no se corten, pertenecen a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical de las dos circunferencias.
17.9 Circunferencias coaxiales que no se intersecan. El eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales puede no intersecar a estas circunferencias, en cuyo aso ninguna de las circunferencias cortará a otra. Sean dos circunferencias cuyos centros son O y O´ (Fig. 56) dos circunferencias de tal conjunto, y sea M el punto en el que el eje radical corta a la línea de los centros. Trácense las tangentes MP y MP´a las dos circunferencias, y , trácese una circunferencia que corta a la línea de los centros en L y L´. Esta circunferencia es ortogonal a cada una de las circunferencias dadas en consecuencia también ortogonal a cada una de las circunferencias coaxiales del conjunto que determinan las dos primeras.
Como la tangente en P a la circunferencia M pasa a través de O, vemos que las otras circunferencias del conjunto pueden construirse del modo siguiente:
En cualquier punto S de la circunferencia M trácese su tangente y sea O´´ la intersección de esta tangente con la línea de los centros. La circunferencia con centro en O´´ y O´´S como radio es una circunferencia del conjunto. Además, para cada r mayor o igual a 0 hay dos circunferencias del conjunto que tienen a r como radio. A L y L´ las circunferencias puntuales del conjunto se les denomina puntos limites, Ninguna de las circunferencias coaxiales tiene como centro a un punto interior del segmento LL´.
17.10 Relación con las circunferencias de Apolonio.
Teorema : Cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial de circunferencias ajenas , es decir, que no se intersecan es una circunferencia de Apolonio con respecto a los puntos límites del conjunto.
Para probar esto, sean ( Fig. 56) B y B´ los puntos en que la circunferencia O, una circunferencia arbitraria del conjunto ,corta a la línea de los centros. Como las circunferencias cuyos diámetros son LL´ y BB´ son ortogonales , los puntos L y L están separados armónicamente por B y B´ . En consecuencia, la circunferencia de Apolonio que es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a L y L´ tiene el valor LB : L´B , pasa por B y B´ como extremidades de un diámetro, puesto Que sólo hay una circunferencia con BB´ como diámetro , la circunferencia O es la circunferencia de Apolonio con respecto a L y L´.
17.11 Sistemas de circunferencias ortogonales. Se concluye a partir del teorema de la sección 6.8 que toda circunferencia que interseca a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos son nuevamente ajenos, y que lo hace ortogonalmente, pertenece a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical del primer conjunto. Además , las circunferencias que son ortogonales a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos se cortan, tienen sus centros en el eje radical del primer conjunto. Se mostrará enseguida que estas circunferencias ortogonales formaran un conjunto coaxial.
Consideremos cualquier circunferencia del gruó que se interseca. Las tangentes desde su centro a las circunferencias que la intersecan ortogonalmente son sus radios y por lo tanto son iguales. De esta manera su centro tiene iguales potencias con respecto a las circunferencias ortogonales a ella, de lo que se sigue que las últimas son coaxiales, con la línea de los centros del otro conjunto como eje radical. Ninguna de estas circunferencias interseca su eje radical, y por ningún par de circunferencias del conjunto se cortan entre sí.
Estos resultados pueden resumirse como sigue:
Sean A y B puntos diferentes en el plano. Entones existen dos conjuntos de circunferencias coaxiales que tienen las siguientes propiedades:
(1) Las circunferencias de un conjunto tienen la línea como eje radical ; cada una de estas circunferencias pasa por A y B y la mediatriz de AB es la línea de sus centros.
(2) Las circunferencias del otro conjunto que es del tipo sin intersecciones, tienen como eje radical la mediatriz de AB; los puntos A y B son los puntos límites ; y la línea AB es la línea de los centros.
(3) Una y sólo una circunferencia de cada conjunto pasa por cada punto finito del plano distinto a A y B.
(4) Cada circunferencia de un conjunto interseca ortogonalmente todas las circunferencias el otro conjunto, Los dos conjuntos forman una red ortogonal de circunferencias en el plano.
17.12 Aplicación al cuadrilátero completo. Como una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, probaremos el siguiente
Teorema: Las circunferencias cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales; los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales , y los puntos medios de las diagonales son colineales.
En el cuadrilátero completo de lados p, q, r, s (Fig. 58), sea H, el ortocentro del triángulo ABC y sean A´, B´, C´ los pies de las alturas por A, B , C respectivamente. Puesto que A, C, C´, A´ y B, C, C´ , B´ son conjuntos de puntos concíclicos.
H1A × H1A´ = H1B × = H1B ´ =
H1C × H1C´.

Ahora AA´, BB´, CC´, son cuerdas de las circunferencias que tienen como diámetros a AF, BE y CD respectivamente y por las ecuaciones anteriores H1 tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias, De la misma manera se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos ADE, BDF, CEF, tienen cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Se sigue que las tres circunferencias son coaxiales; que los cuatro ortocentros están en el eje radical; y que sus centros, a saber, los puntos medios de las diagonales, están en una línea recta. Más aún, la línea en la cual están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales.

16.19 Los puntos de Brocard.

2009-05-20T19:36:00.019-05:00

16.19 Los puntos de Brocard.
Muchas de las investigaciones que fueron hechas durante la última parte del siglo XIX referentes al triángulo giran alrededor de conceptos y relaciones sugeridas por dos puntos, con los cuales vamos a trabajar nosotros mismos ahora. En el triángulo ABC, vamos a considerar la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en B, la que pasa por B y s tangente a CA en C, y la que pasa por C y es tangente a AB en A. Si llamamos a Ω el segundo punto de intersección de las dos primeras circunferencias, tenemos que Ð BAΩ = ÐCB Ω =Ð ACΩ ; y de la igualdad del primero y el último de estos ángulos se sigue que la tercera circunferencia pasa también a través de Ω .
De manera semejante, considerando las tres circunferencias correspondientes , la primera de las cuales pasa a través de A y es tangente a BC en C, etc., encontramos un segundo Ω ´ tal que
Ð Ω´AC =Ð Ω´CB = Ð Ω´BA.
Hemos encontrado en esta forma dos puntos Ω y Ω´,c ada uno de los cuales tiene la propiedad de que, si se trazan líneas de los vértices del triángulo a ellos, los ángulos que estas líneas forman con los lados del triángulo son iguales. Se puede demostrar que solamente existen dos de estos puntos.
De estos dos puntos, Ω es llamado el punto positivo de Brocard y Ω´ es llamado el punto negativo de Brodcard del triángulo dado . Las líneas que unen los puntos de Brodcard a los vértices serán llamados rayos de Brodcard del triángulo, los que pasan por Ω son los primeros rayos de Brodcard y los que pasan por Ω´ los segundos rayos de Brodcard.
16.20 El ángulo de Brodcard. Unamos Ω a los vértices del triángulo y hagamos que BΩ corte a la exmediana por A en D. Entonces los puntos A, Ω,C, D son concíclicos. Ya que sí denotamos ÐCBΩ por ω, tendremos también ÐACΩ = ÐADΩ = ω . Más aún ,
Ð CΩA= ÐB +
ÐC , entonces ÐADC = ÐA y, por lo tanto, ÐDCA= Ð B . Entonces CD es la exsimediana por C, y tenemos el importante resultado:
La exmediana por A, el primer rayo de Brocard por B y la exsimediana por C son concurrentes.
Si DE y AF son dibujadas perpendiculares a BC (Fig. 47) el ángulo ECD = ángulo A. También

Denotando por ω´ el ángulo Ω´AC y observando la simetría de la última ecuación encontramos que cotω = cotω´ y de aquí que ω= ω´. Por lo tanto, los puntos de Brocard de un triángulo son puntos conjugados isogonales. El ángulo ω es llamado el ángulo de Brocard del triángulo.
5.21 Relaciones con medianas y simedianas. Aplicando el inverso del teorema de Ceva a las líneas concurrentes AD, BD y CD (fig.47), encontramos que
donde Ω _b es la intersección de BΩ con CA. También la simediana por C divide a AB en la razón b² / a² ; entonces la mediana por A, el primer rayo de Brocard por B, y la simediana por C son concurrentes.
16.22 Valor límite del ángulo de Brocard. Se demostrará que el ángulo de Brocard cuyo valor es cot ^-1 (Cot A+ Cot B + Cot C) es cuando más igual a 30° . Del hecho de que la suma de CΩb y Ω _bA es b y su razón , encontramos
Ahora, del triángulo BCΩ _b
Y por lo tanto el sen ω no puede ser mayor que ½. Entonces ω no excede de 30°.
Obviamente sen ω = ½ y ω = 30° cuando el triángulo es equilátero.
16.23 La circunferencia de Brocard y los triángulos de Brocard. La circunferencia cuyo diámetro es el segmento de línea que une el circuncentro de un triángulo y su punto simediano es la circunferencia de Brocard del triángulo.
Cada una de las perpendiculares OL, OM y ON del circuncentro a los lados del triángulo intersecan la circunferencia de Brocard en O. Sean los segundos puntos de intersección de estas líneas con las circunferencias, A´, B´, C´.
El triángulo A´B´C´ es conocido como el primer triángulo de Brocard.
También las simedianas AK, BK y CK intersecan la circunferencia de Brocard en K. Si A´´B´´C´´ son los segundos puntos de intersección de las simedianas con esta circunferencia, el triángulo A´´B´´C´´ es llamado el segundo triángulo de Brocard.
16.24 Los triángulos de Brocard están en la circunferencia de Brocard. Puesto que (fig. 48) el ángulo KAÓ es un ángulo recto KA´ es paralela a BC y las distancias de K y A´ a BC son iguales. Resultados similares se obtienen con respecto a los otros lados del triángulo, entonces
y por lo tanto los triángulos rectángulos BLA´, CMB´ y ANC´ son semejantes, de lo que se sigue que BA´, CB´ y AC´ se intersecan en Ω.
Para demostrar que Ω está en la circunferencia de Brocard observamos que Ð ΩAO´ = ÐΩCÓ, entonces los cuatro puntos Ω, O , A´, C, son concíclicos. Pero la circunferencia por los últimos tres de estos puntos es la circunferencia de Brocard. . Análogamente se puede probar que Ω´ también está en la misma circunferencia. Es el punto de intersección de CA´, AB´y BC´.
El Triángulo ΩOΩ´ es isósceles y su base ΩΩ´ es perpendicular al diámetro OK. Esto se sigue del hecho de que los ángulos iguales ΩC´O y OC´Ω´ subtienden en la circunferencia de Brodcard losa arcos iguales Ωº y OΩ´.

16.25 El primer triángulo de Brodcard. En la fig. 48 los ángulos A´ΩC´ y B´ΩA´ son iguales respectivamente a los ángulos B y C del triángulo dado. Pero ellos también son iguales a los ángulos B´ y C´ del triángulo A´B´C´. Entonces el primer triángulo de Brocard es semejante al triángulo dado.
El primer triángulo de Brocard está en perspectiva con el triángulo ABC, las líneas AA´, BB´, y CC´ resultan concurrentes. Esto puede ser probado aplicando el teorema de Ceva a estas líneas considerándolas como transversales que pasan por los vértices del triángulo ABC. Puesto que cada ángulo de la base de los triángulos isósceles semejantes A´BC, B´CA, CÁB es el ángulo de Brocard ω, tenemos

La multiplicación de estas dos ecuaciones da el resultado deseado. Se sigue por el teorema de Desargues , que los puntos de intersección de los lados correspondientes de estos dos triángulos, son colineales.

Si trazamos líneas por los vértices del triángulo dado, paralelas a los lados correspondientes del primer triángulo de Brocard, ellas se intersecarán en un punto de la circunferencia circunscrita, conocido como punto de Steiner. El punto de la circunferencia circunscrita diametralmente opuesto al punto de Steiner es llamado punto de Tarry. Es el punto de concurrencia de líneas por los vértices del triángulo, que son perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard.
La concurrencia de las líneas antes mencionadas en el punto de Steiner es probada fácilmente. Sean AS y BS paralelas respectivamente a B´C´ y C´A´ (Fig. 49 ). Entonces Ð ASB = Ð B´C´A´= Ð ACB, y de aquí S esta en la circunferencia circunscrita. Obviamente las paralelas por C a A´B´ también pasan por S.
El que las perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard que pasan por los vértices del triángulo dado pasan por el punto de Tarry, puede ser probado de una manera semejante.

16.26 Segundo triángulo de Brocard. Prolonguemos las simedianas del triángulo ABC hasta cortar la circunferencias circunscrita en P, Q y R (Fig. 50). El vértice A´´ del segundo triángulo de Brocard , que está en AK es el pie de la perpendicular de O a AK, puesto que el ángulo OA´´K está inscrito en una semicircunferencia. Por lo tanto A´´ es el punto medio de AP. Es decir , los vértices del segundo triángulo de Brocard bisecan las cuerdas de la circunferencia circunscrita al triángulo dado sobre la cual están sus simedianas.
Las siguientes relaciones se verifican fácilmente:
(a) Los cinco puntos B, T, C, O, A´´ son concíclicos, donde T es el punto de intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita en B y C. El centro de la circunferencia en la cual están es el punto medio de OT.
(b) Ð AA´´B = Ð CA´´A = 180° - Ð BAC.
(c) La circunferencia por A, B, A´´ es tangente a CA y la que pasa por C , A, A´´ es tangente a AB. Entonces de las seis circunferencias usadas en la sección 5. 19 para localizar los puntos de Brocard, las dos que son tangentes a dos lados del triángulo dado en un vértice común se intersecan nuevamente en el vértice correspondiente del segundo triángulo de Brocard.
16. 27 La primera circunferencia de Lemoine. Si se trazan paralelas a los lados de un triángulo por su punto simediano, los seis puntos en que cortan los lados del triángulo están en una circunferencia que es llamada la primera circunferencia de Lemoine del triángulo.

Sean las paralelas por el punto K trazadas y señaladas como se muestra en la Fig. 51. Entonces AQ₂KP₃ es un paralelogramo, Q2P3 es antiparalela a BC y asimismo a P1Q1 (Sección 5.15). Por lo tanto P1, Q1, P3, Q3, son concíclicos. Los ángulos P3Q2A son iguales al ángulo ACB; y de aquí se sigue que el trapezoide Q2P1Q3P3 es un trapecio. Por lo tanto, sus vértices son concíclicos. Entonces los seis puntos P1, Q1, P2, Q2,P3,Q3 están en una circunferencia.
La primera circunferencia de Lemoine y la circunferencia de Brocard son concéntricas : Puesto que Q2P3 es antiparalela a BC y, por tanto, es perpendicular a AO. Entonces la mediatriz de Q2P3 es paralela a AO y biseca a KO en N. Análogamente el punto N, que es el centro de la circunferencia de Brocard, está en la mediatriz de Q3P1. Entones N es también el centro de la primera circunferencia de Lemoine.
Por triángulos semejantes y por el hecho de que la simediana de un triángulo divide el lado al que es dibujada en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes, obtenemos

Por lo tanto las cuerdas que la primera circunferencia de Lemoine determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cubos de esos lados.
16. 28 La segunda circunferencia de Lemoine.
Una situación parecida a la descrita en la sección anterior existe, si, en lugar de las paralelas trazamos las antiparalelas a los lados por el punto simediano. Los seis puntos en los cuales estas antíparalelas cortan los lados, también están en una circunferencia que es llamada la segunda circunferencia de Lemoine del triángulo. Obviamente K es el punto medio de cada uno de los segmentos P1Q1, P2Q2, P3Q3 . También por el antiparalelismo, cada uno de los triángulos KQ1P3, KQ2P1 y KQ3P2 es isósceles. Entonces los seis puntos están en una circunferencia cuyo centro es K.
Después del hecho de que esta circunferencia corta los lados del triángulo en las extremidades de tres de sus diámetros, su propiedad más interesante, es de que las cuerdas que determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cosenos de los ángulos opuestos. Debido a esta propiedad es llamada también la circunferencia de los cosenos del triángulo.
La primera circunferencia de Lemoine es llamad a menudo la circunferencia de Lemoine.

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos

2009-05-20T13:32:00.015-05:00

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos Sean P y P´ dos puntos en el lado BC del triángulo ABC tales que BP´ = PC. Entonces las líneas AP y AP son llamadas líneas isotómicas del triángulo.
Sean dibujadas por cada uno de los vértices de este triángulo , un par de líneas isotómicas, y sean tres de ellas, una de cada par, concurrente en el punto T. Se sigue inmediatamente por el teorema de Ceva, que las otras tres también son concurrentes. Si su punto de intersección es T´, entonces los puntos T y T´ son los puntos conjugados isotómicos del triángulo.
16.14 Simedianas y puntos simediano. Las líneas conjugadas isogonales de las medianas de un triángulo son sus simedianas. Puesto que las medianas son concurrentes, las simedianas también son concurrentes y su punto de intersección es el llamado punto simediano del triángulo. El punto mediano y el punto simediano son puntos isogonales conjugados del triángulo.
16. 15 Propiedades de las simedianas. Entre las propiedades de las simedianas de un triángulo , se dan algunas de las más importantes en los teoremas que siguen inmediatamente.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos medios de las antiparalelas a BC con respecto a los lados AB y AC del triángulo ABC, es la simediana por A.
Sean AL y AL´ la mediana y la simediana por A, y sea PQ antiparalela ABC. Con los ángulos en A como se indica en la figura, tenemos, ya que BL = LC,

Y por las igualdades de los ángulos en A debidas a la isogonalidad

Combinando estos resultados se obtiene que PM= MQ.
Inversamente, sea M el punto medio de la antiparalela PQ. Entonces

Ahora x +y = α + β < x =" α,">Teorema: Las distancias de cualquier punto en una simediana a los lados de un triángulo concurrentes con esta simediana, son proporcionales a las longitudes de estos lados.
Sea P (fig. 43) un punto en la simediana por A, y sean d 1y d2 sus distancias a los lados como se muestra. Entonces Teorema. Los segmentos en los cuales divide una simediana el lado de un triángulo al cual es trazada, son proporcionales a los cuadrados de los lados adyacentes.
En la Fig. 43
Y puesto que
16.16 el punto simediano.Muchos de los avances en la geometría moderna del triángulo están íntimamente relacionados con su punto simediano. En seguida agrupamos algunas de las propiedades de este punto importante y más adelante en el capítulo indicaremos las direcciones que han tomado algunos de estos avances.
Es obvio que el punto simediano siempre está dentro del triángulo. Como hemos señalado anteriormente , es el conjugado isogonal del punto mediano.
Del segundo teorema e la sección anterior, deducimos el hecho de que las distancias del punto simediano a los tres lados del triángulo, son proporcionales a estos lados . También se puede probar que es el punto dentro de triángulo para el cual la suma de los cuadrados de sus distancias es el mínimo.

Si son bajadas perpendiculares del punto simediano K a los lados del triángulo, los pies son los vértices de un triángulo del cual K es su punto mediano.
Prolongue la mediana AL al doble de su longitud, hasta A´ y trace CA´, y encuentre la intersección, K´ de XK con YZ (fig44). Entonces los triángulos ACA´ y YKZ son semejantes , porque sus ángulos en C y K son iguales, cada uno es el suplemento del ángulo BAC, y los lados que contienen estos ángulos son proporcionales. Más aún puesto que los ángulos ACL y YKK´ son iguales, las líneas CL y KK´, son líneas correspondientes en estos triángulos , de lo que se sigue XK´ es una mediana de XYZ. Similarmente las otras dos medianas pasan por K.

16. 17 Propiedades armónicas. En la Fig. 45, sea AL´´ la tangente en A de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC del cual K es el punto simediano. Entonces por la semejanza de los triángulos AL´´B y CL´´A encontramos que
Y puesto que L´ divide el segmento BC internamente en la razón AB² / AC², se infiere que este segmento es dividido armónicamente por L´ y L´´ . Entonces el haz A (BCL´L´´) es un haz armónico. La simediana BM´ es una transversal de este haz y si su intersección con AL´´ es el punto S, entonces S es el conjugado armónico de K con respecto a B y M´.
En una forma similar se puede demostrar que la tangente en C también corta la simediana por B en el punto S. De esta manera la línea que une un vértice de un triángulo con la intersección de las tangentes por los otros dos vértices es la simediana por ese vértice. Esto da una construcción conveniente para las simedianas.
Si se une el punto medio M de CA con B, K y S, obtenemos el haz armónico M ( BM´KS). Ahora la altura BE es paralela al rayo MS del haz , y por lo tanto MK interseca BE en su punto medio S´. En otras palabras, la línea que une el punto medio de un lado de un triángulo con el punto medio de la altura bajada a este lado, pasa por el punto simediano del triángulo. Esto nos lleva a una construcción simple del punto simediano sin construir las simedianas.
16.18 Exsimedianas y exmedianas . La importancia de las tangentes de las circunferencias circunscritas de un triángulo por sus vértices se señala claramente en la discusión anterior. De acuerdo con su relación a las simedianas, estas tangentes son llamadas las exsimedianas del triángulo, y los puntos en los cuales se intersecan dos a dos son llamados sus puntos exsimedianos. De esta manera podemos enunciar uno de los resultados importantes de la sección 16 .17 como sigue:
Dos exsimedianas cualquiera y la tercera simediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exsimedianos,
Igualmente, las líneas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices de éste son llamadas las exmedianas del triángulo y los puntos de intersección dos a dos son llamados los puntos exmedianos . Dos exmedianas cualesquiera y la tercera mediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exmedianos. Existen obvias relaciones armónicas con relación a las medianas , exmedianas, punto mediano y puntos exmedianos, análogas a las señaladas en la sección inmediata anterior.

16.12 Líneas isogonales y puntos conjugados isogonales.

2009-05-20T12:41:00.004-05:00

16.12 Líneas isogonales y puntos conjugados isogonales.
Dos líneas que pasan por el vértice de un ángulo son líneas conjugadas isogonales, o más simplemente isogonales, con respecto a este ángulo, si la misma línea es bisectriz del ángulo dado y del ángulo formado por las dos líneas. Por ejemplo, la línea que une el vértice de un triángulo a su circuncentro y la altura por ese vértice, son isogonales con respecto al ángulo en ese vértice.
De fundamental importancia en la teoría de isogonales es el
Teorema: Si tres líneas, cada una por el vértice de un triángulo son concurrentes, sus isogonales con respecto a los ángulos del triángulo son concurrentes.

Sean AP, BQ y CR las isogonales de las líneas concurrentes AS, BS y CS respectivamente.
Por el teorema de Ceva

Puesto que AS y AP son isogonales , el ángulo BAS = ángulo PAC y el ángulo SAC = ángulo BAP. Resultados similares se obtienen para los otros pares de isagonales. De ésta y de la ecuación anterior tenemos
Y de aquí AP, BQ y CR son concurrentes.

Sea S´ su punto común. Entonces S y S´son llamados puntos conjugados isogonales del triángulo ABC. El ortocentro y el circuncentro son los puntos conjugados isogonales del triángulo. La bisectriz del ángulo interior de un triángulo es autoisogonal, y el incentro es su propio conjugado isogonal.

16.11 Circuncírculos de los triángulos determinados por un cuarilátero.

2009-05-20T12:25:00.002-05:00

Teorema: Las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos cuyos lados son los lados de un cuadrilátero completo, tomados tres a un tiempo, tienen un punto en común.

Si son señalados los lados de un cuadrilátero por a, b, c y d; consideremos primero las circunferencias circunscritas a los triángulos abc y abd. Uno de los puntos comunes a estas circunferencias es el punto de intersección de las líneas a y b. Sea P su segundo punto común, y sean A, B, C y D los pies de las perpendiculares desde P a a, b, c ,d. Ahora las líneas de Simson de P con respecto a los triángulos abc y abd tienen a A y B como puntos comunes; entonces estas líneas coinciden y A, B, C y D son colineales. La aplicación del teorema inverso, enunciado en la sección 16.8, a los triángulos acd y bcd muestra que sus circunferencias circunscritas también pasan por el mismo punto P.

16.8 La línea de Simson.

2009-05-20T12:05:00.004-05:00

Sean PX, PY y PZ las perpendiculares bajadas a los lados del triángulo ABC, desde cualquier punto P de su circunferencia circunscrita . Entonces los puntos X, Y ,Z son colineales. La línea en que están ellos el llamada la Línea de Simson de P con respecto al triángulo ABC.

Para demostrar que los puntos son colineales, vemos que cada uno de los cuadriláteros PYXC, PZAY y PABC es inscriptible . Entonces los ángulos PYZ y PAZ son iguales, y cada uno es el suplemento del ángulo BAP. También el ángulo PCX es el suplemento del ángulo BAP, y es entonces igual al ángulo PYZ. Pero el ángulo XYP es el suplemento del ángulo PCX; entonces los ángulos XYP y PYZ son suplementarios y los puntos X, Y, Z son colineales. Esto prueba el
Teorema: Si desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita de un triángulo, bajamos perpendiculares a los tres lados, los pies de estas perpendiculares están en una línea recta.
El inverso de este teorema puede ser fácilmente probado. Su enunciado y demostración , se deja como un ejercicio para el estudiante.
16.9 Ángulo de intersección de líneas de Simson.
En la Fig. 38, dejemos que PX se prolongue hasta intersecar nuevamente la circunferencia circunscrita en Q, luego dibujemos AQ. Entonces AQ es paralela a XY, la línea de Simson de P ; ya que el ángulo YXP= ángulo YCP= ángulo AQP. Análogamente la línea de Simson de un segundo punto P´ en la circunferencia es paralela a AQ´ donde P´Q´ es la cuerda por P´ perpendicular a BC. Y ya que los arcos PP´ y Q´Q son iguales se sigue que el ángulo entre las líneas e Simson de P y P´ la mitad del ángulo del arco PP´. En particular, las líneas de Simson de los extremos de un diámetro de un circuncírculo, son mutuamente perpendiculares.
16.10La Línea de Simson y la circunferencia de los nueve puntos.
Hagamos que la altura por A encuentre la circunferencia inscrita en K (Fig. 39), y dejemos que PK corte BC en Q y la línea de Simson de P en R. Ahora, puesto que PBXZ es inscriptible, el ángulo RXP = ángulo ZBP = ángulo AKP= Ángulo XPR y los triángulos PXR y XQR son isósceles. Entonces R es el punto medio de PQ. También ya que el triángulo KHQ es isósceles , QH es paralela a XZ y T es el punto medio de HP.
Puesto que el ortocentro es un centro de homotecia de la circunferencia circunscrita y la circunferencia de los nueve puntos, con la razón 2:1, el punto T está en la circunferencia de los nueve puntos.

La línea de Simson de P´, el otro extremo del diámetro que pasa por P; es perpendicular a XZ e interseca a HP´ en su punto medio T´. Como una consecuencia de las relaciones homotéticas antes mencionadas y el hecho de que PP´ es el diámetro de la circunferencia circunscrita, se sigue que TT´ es el diámetro de la circunferencia de los nueve puntos. Entonces las dos líneas de Simson de P y P´ se intersecan en ángulos rectos en la circunferencia de los nueve puntos.
Estos resultados pueden ser resumidos en los siguientes

Teoremas: La línea de Simson de un punto P con respecto a un triángulo dado biseca el segmento de línea que une P al ortocentro del triángulo; y el mismo segmento de línea es bisecado por la circunferencia de los nueve puntos . Las líneas de Simson de dos puntos diametralmente opuestos de la circunferencia circunscrita de un triángulo se intersecan en ángulos rectos en la circunferencia de los nueve puntos.

16.7 Triángulos relacionados a un grupo ortócentrico de puntos.

2009-05-20T11:53:00.003-05:00

Ya que los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico, tienen el mismo triángulo pedal, (ver post 16.4) tienen también la misma circunferencia de los nueve puntos. Por lo tanto, los circuncírculos de estos cuatro triángulos son iguales. En la fig. 36, los circuncentros de los triángulos determinados por los puntos ortocéntricos H, A , B, C son O, O₁,O ₂, O₃. Entonces CO= CO₁, y L es el punto medio de OO₁ .En forma similar, M y N son los puntos medios de OO₂ Y OO₃. Por lo tanto, los triángulos LMN y O₁O₂O₃ son homotéticos en la razón 1:2, y el último es congruente al triángulo ABC.

Así también los cuatro puntos O, O₁,O₂,O₃ están en un grupo ortocéntrico y las posiciones de L, M, N con respecto a este grupo son las mismas que las de P, Q, R con respecto a H, A ,B ,C . Los ocho triángulos de estos dos grupos ortocéntricos tienen la misma circunferencia de los nueve puntos.

16.5 La circunferencia de los nueve puntos

2009-05-20T11:44:00.003-05:00

Teorema: Los puntos medios de los lados, de los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro de un triángulo cualquiera están en una circunferencia.

Esta importante circunferencia es llamada la circunferencia de los nueve puntos del triángulo. En la fig. 35 L, M, N son los puntos medios de los lados; D, E, F los pies de las alturas y P,Q,R son los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro H del triángulo ABC.

Ahora ND y LM son cada uno iguales a la mitad de AB, y NM es paralela a BC. Así DLMN es un trapecio , y la circunferencia determinada por los puntos medios de los lados pasa por D. También el cuadrilátero PNDL es inscriptible puesto que los ángulos PNL y PDL son ángulos rectos; entonces P está en la misma circunferencia que L, M, N y D análogamente puede probarse que E, F , Q, R también están en esa circunferencia.

16.6 Propiedades de la circunferencia de los nueve puntos. La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo tiene muchas propiedades interesantes e importantes, algunas de las cuales se dan aquí.
(a) La longitud del radio de la circunferencia de los nueve puntos es la mitad de la del radio del circuncírculo del triángulo. Esto se sigue del hecho de que el triángulo LMN es semejante al triángulo ABC, siendo la razón de semejanza de 1:2
(b) El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio del segmento que une el ortocentro y el circuncentro. En la fig 35, sea O el circuncentro del triángulo dado. Se demostrará primero que PH = OL. Para esto observamos que P y O son los ortocentros de los triángulos congruentes ANM y LNM, y que en estos triángulos los lados correspondientes AP y OL son iguales. Pero AP = PH. Entonces PH es igual a OL , y puesto que son paralelos, PHLO es un paralelogramo sea J el punto de intersección de sus diagonales. Entonces J es el punto medio de HO y PL. Pero el punto medio de PL es el centro de los nueve puntos, puesto que PDL es un triángulo rectángulo inscrito.
(c) El centroide y el ortocentro del triángulo dado, son los centros homotéticos de la circunferencia de los nueve puntos y del circuncírculo. Los centros homotéticos de dos circunferencias son los puntos que dividen el segmento que une sus centros interna y externamente en la razón de los radios de las circunferencias. En estas circunferencias la razón es 1:2. Puesto que el centroide G , y el ortocentro H dividen a JO de esta manera, son los centros homotéticos.
Se sigue que O y J están armónicamente separados por G y H. La línea de estos cuatro puntos es conocida como la línea de Euler del triángulo.

(d) La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita y cada una de las circunferencias excritas del triángulo. Esta notable propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Fewerbach, y se enuncia aquí sin prueba. Su demostración será dada en un capítulo posterior.

16.4 El cuadrángulo ortocéntrico.

2009-05-20T11:40:00.003-05:00

Las seis líneas que bisecan los ángulos interiores y exteriores de un triángulo, son concurrentes en cuatro puntos por tercias. Los cuatro puntos de concurrencia l, l₁,l₂, I₃, son el incentro y los excentros del triángulo dado. El cuadrángulo completo determinado por ellas, tiene la propiedad de que cada uno de sus vértices es el ortocentro del triángulo determinado por los otros tres. Debido a esta propiedad es llamado el cuadrángulo ortocéntrico del triángulo. Cualquier conjunto de cuatro puntos que determina un cuadrángulo tal, es llamado grupo ortocéntrico de puntos, y los cuatro triángulos que determinan tomando tres puntos a la vez, es llamado grupo ortocéntrico de triángulos.
El triángulo dado es obviamente el triángulo pedal de cada uno de los cuatro triángulos que están determinados por los vértices de su cuadrángulo ortocéntrico. Esto es, los cuatro triángulos de un grupo ortocentrico tienen el mismo triángulo pedal.

16.3 Propiedades que se refieren al incírulo y a los excírculos.

2009-05-19T23:49:00.009-05:00

Teorema: El punto medio de un lado de un triángulo es también el punto medio del segmento determinado por los puntos de contacto de dicho lado con la circunferencia inscrita y la correspondiente excrita.

En ésta y en las siguientes discusiones señalaremos los lados BC, CA y AB del triángulo ABC con a, b, c , respectivamente . También s nos representara (a+b+c) /2 , el semiperíetro del triángulo . Entonces con notaciones como en la Fig. 33, se sigue que

AZ 1 = Y1 A; BZ1 = BX1 ; X1 C = Y1 C;
de aquí
AB + BX1 = X1 C + CA = s,
y
BX 1 = s-c.

También, puesto que
AB + XC = s,
XC = s -c,

Y por lo tanto BX₁ = XC. Restando XX , tenemos BX= X₁ C. Entonces el punto medio L de BC es también el punto medio de XX.
Teorema: El área de un triángulo es igual al producto del semiperíemtro y el radio del círculo excrito; es también igual al producto del semiperímetro disminuido en un lado y el radio del excírculo correspondiente.
En la fig 33, sean l e l₁, los centros de r y r₁ los radios del incírculo y del excírculo correspondientes al lado de BC, respectivamente . El área del triángulo IBC es ½ ar ; la del triángulo ICA es ½ br; y la del triángulo IAB es ½ cr. De donde
Δ = ½ r (a+b+c) = rs,
donde Δ es el área del triángulo ABC.
También observando que Δ es la suma de las áreas de los triángulos I₁AB e I₁CA, menos la del triángulo I₁CB, tenemos

Δ = ½ r₁ ( b+c-a) = r₁ (s-a).
Resultados similares se obtienen para cada uno de los otros excírculos.
Si llamáramos r₂ y r₃ a los radios de los otros dos excírculos , tenemos el
Corolario

16.2 Triángulo pedal

2009-05-19T23:43:00.002-05:00

El ángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo es llamado el triángulo pedal del triángulo dado. En la figura anexa, DEF es el triángulo pedal de ABC.

Si en la fig. 32 e dibuja una circunferencia de diámetro AB, ésta pasará por D y E. Así los ángulos EDA y EBA, son iguales. De la misma manera, los ángulos ADF y ACD son iguales. También, por triángulos semejantes, el ángulo EBA es igual al ángulo ACF de lo cual se sigue que DA es la bisectriz del ángulo EDF.
Más aún, ya que el cuadrilátero ABDE es inscriptible , AB y DE son antiparalelos con respecto a AC y BC.
Así (1) las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos del triángulo pedal ; y (2) cada lado de un triángulo es con respecto a las líneas de los otros dos lados, antiparalela a aquel lado del triángulo pedal cuyas extremidades están en estos lados.

16 .-El triángulo

2009-05-19T23:34:00.002-05:00

16.1 Puntos importantes asociados. Este capitulo será dedicado al estudio del triángulo y otras figuras que están íntimamente relacionadas con él. Empezaremos por señalar algunos de los puntos importantes asociados al triángulo La existencia de cada uno de los cuales es demostrada en geometría elemental.
(a) El circuncentro, es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita (también llama circuncírculo) .
(b) El incentro,es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita (también llamado incírculo ).
(c) Los excentros, de los cuales hay tres que son cada uno de los puntos de intersección de la bisectriz de un ángulo exterior y las bisectrices de los ángulos interiores de los otros dos vértices. Son los centros de las circunferencias excritas (también llamadas excírculos).
(d) El ortocentro, es el punto de intersección de las alturas.
(e) El centroide o punto mediano, es el punto de intersección de las medianas.

Hasta donde sea conveniente hacerlo, será llevada a lo largo de este capítulo una notación standard. Por ejemplo, A, B, C, serán usadas para señalar los vértices del triángulo; D, E ,F , los pies de las alturas de estos vértices respectivamente , y L, M,N , los puntos medios de los lados BC, CA, AB , respectivamente. Notaciones standard posteriores, irán apareciendo conforme sean introducidas.

15.Puntos y líneas armónicos

2009-05-19T21:46:00.021-05:00

15.1 División armónica. Se dice que el segmento de línea AB esta dividido armónicamente por C y D si AC: AB = -AD:DB. Cuando AB está dividido así, los puntos y D son conjugados armónicos con respecto a A y B . Esta definición de división armónica es equivalente a la siguiente : Se dice que don puntos dividen un segmento de línea armónicamente si lo dividen interna y externamente en la misma razón.
Ya nos hemos encontrado, en nuestro trabajo anterior, con ilustraciones de tal división. Por ejemplo, las bisectrices de un ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior, de un triángulo dividen al lado opuesto armónicamente. Así también los centros de similitud de dos circunferencias son conjugados armónicos con respecto a los centros de las circunferencias.
15.2 La naturaleza recíproca de la división armónica.
De la proporción
AC: AB = -AD:DB
Se sigue que
CA: AD = - CB: BD.
De aquí si C y D dividen al segmento AB armónicamente , entonces también A y B dividen al segmento CD armónicamente. Esto es equivalente a el
Teorema: Si C y D son conjugados armónicos con respecto a A y B, entonces A y B son conjugados armónicos con respecto a C.
Cuando cuatro puntos A, B, C,D en una línea están en tal forma que cada uno de los pares A,B : C,D son conjugados armónicos con respecto al otro par, se dice que constituyen una hilera armónica; también se dice que son cuatro puntos armónicos .
Si dos de cuatro puntos armónicos coinciden, es obvio que un tercero coincide con ellos.
15.3 Construcción de conjugados armónicos.Hay varias maneras de construir D, el conjugado armónico de C con respecto a A y B. Aquí se da , una sencilla. Otras se entreverán más adelante en este capítulo.

Por A y B dibujemos dos líneas paralelas cualquiera, y por C dibujemos una línea que interseque estas paralelas en P y Q respectivamente. En QB , tomemos R tal que QB = BR. Entonces la línea PR interseca a AB en el punto deseado D. Porque, para los triángulos semejantes APC y BQC.
AC : CB = AP:QB;
Y por la semejanza de los triángulos APD y BRD,
AD: DB= - AP: BR
Y ya que QB = BR , se sigue que
AC:CB = -AD: DB.
La construcción anterior muestra que, cuando tres puntos están en una línea recta , el conjugado armónico de uno de ellos con respecto a los otros dos, siempre existe y es obvio que es único. En el caso especial en que C es el punto medio del segmento AB , D es el punto infinito en la línea AB.
Debe notarse,cuidadosamente, que en la notación aquí adoptada, cuando A,B,C,D , son cuatro puntos armónicos, los pares conjugados son A,B y C,D. Más aún , uno y sólo uno de cada par está en el segmento determinado por los tros dos.
15.4 Propiedades de los puntos armónicos. Si A,B,C, D son cuatro puntos :
(a) Cada una de las otra siete permutaciones de estos puntos en las cuales los pares conjugados se conservan, es armónica.
(b) Los segmentos AC, AB y AD están en progresión armónica, esto es

E inversamente
( c) Segmento OB ²= OC × OD, donde O es el punto medio de AB, e inversamente.
La prueba de (a) es una consecuencia inmediata de la definición de la sección 15.1 Las siete permutaciones son: A ,B ,D, C ; B, A ,C, D; B , A , D, C ; C , D ,A , B ; C, D , B, A; D, C, A , B y D, C, B, A.
Prueba de (b) : De la proporción
AC : CB = -AD : DB
Obtenemos
De lo cual
Siguiendo los pasos del argumento en sentido contrario, tenemos la prueba del inverso. La relación de los segmentos AC, AB y AD, puede ser también expresada diciendo que AB es la media armónica de AC y AD.
Prueba de (c) : Escribiendo las relaciones de los segmentos de línea involucrados ( Fig. 20 ) , y sustituyendo AO por OB, vemos que la proporción
AC: CB = -AD : DB
Es equivalente a

Y lo último es equivalente a OB: OC = OD: OB que nos da segmento OB ² = OC
× OD. El inverso es obvio.
15 .5 Líneas armónicas. Se dice que las líneas OA y OB
están separadas armónicamente por las líneas OC y OD, siendo O cualquier punto finito en el plano, si
cuando cuatro líneas de un haz están relacionadas como está expresado en la definición de arriba, OC y OD son conjugados armónicos con respecto a OA y OB.
De la definición dada arriba, se sigue que, si OA y OB están separadas armónicamente por OC y OD están separadas armónicamente por OA y OB así obtenemos el
Teorema : Si cuatro líneas de un haz están en tal forma que un par es conjugado armónico con respecto al segundo par, entonces el segundo par es conjugado armónico con respecto al primero.

Tal haz de cuatro líneas es llamado haz armónico, y sus líneas son llamadas cuatro líneas armónicas. Aquí también , como con cuatro puntos armónicos, si dos líneas de un haz armónico coinciden, una tercera coincide con ellas.La existencia de una cuarta única línea , cuando res líneas de un haz están dadas, se demuestra fácilmente.
15.6 Transversal de un haz armónico.
Teorema: La hilera de puntos en que las líneas de un haz armónico cortan cualquier línea que no pase por el vértice del haz, es una hilera armónica ; e inversamente el haz de líneas obtenido uniendo cuatro puntos armónicos con cualquier punto que no este en esa línea es un haz armónico.
Si los miembros de la ecuación
Se multiplican
Por OA / BO , la ecuación resultante puede reducirse, por medio del teorema de la sección 12.5, a AC: CB = -AD: DB.
Inversamente podemos empezar con la última de las ecuaciones anteriores y obtener la primera.
De este teorema obtenemos inmediatamente el útil
Corolario : Si un haz de cuatro líneas es cortado por una trasversal en una hilera armónica de puntos , entonces cualquier otra transversal del haz también corta sus líneas en una hilera armónica de puntos.
15.7 Hileras armónicas en perspectiva
Teorema. Si las hileras armónicas A,B,C,D y A, B´,C´,D´ están en líneas distintas , entonces (1) BB´, CC´, y DD´ son c0oncurrentes, y (2) BB´, C´D y CD´ son concurrentes.
Para probar (1), supongamos que BB´y CC´, se intersecan en O. Dibújese OA; trácese OD, intersecando a AB´ en D´´ . Entonces por, el corolario de la última sección , por el corolario de la última sección, A,B,C´,D´´, son armónicos. De aquí , por la propiedad de la unicidad, D´´ coincide a con D´. La segunda parte se prueba de una manera semejante , notando que A, B´,D´,C´, es una de las permutaciones armónicas de A,B´,C´,D´
4.8 Líneas conjugadas perpendiculares.
Teorema: Si en un haz armónico de líneas diferentes, un par de líneas conjugadas es perpendicular, una a otra, entonces estas líneas bisecan los ángulos formados por las otras dos, e inversamente si en un haz de cuatro líneas distintas uno de los pares biseca los ángulos formados por el otro par, el haz es armónico.
En el haz armónico O (ABCD), * OC es perpendicular a OD (Fig. 24) Hagamos que la paralela transversal a OD corte a OA, OB y OC en A´, B´y C´, respectivamente . Entonces el conjugado de C´ con respecto a A´ y B´ es el punto al infinito en esta transversal y consecuentemente C´ es el punto medio de A´B´ de aquí que los triángulos rectángulos A´CÓ y OC´B´ son congruentes , y OC biseque el ángulo AOB. Se infiere de inmediato que OD biseca el ángulo BOA´´

Para la parte inversa del teorema , hagamos que OC y OD sean las bisectrices de los ángulos formados por las líneas OA y OB. Entonces sen AOC= sen COB; así también sen AOD=- sen DOB , ya que el ángulo AOD es el suplemento del ángulo DOA´´ que es igual al negativo del ángulo DOB. De estas igualdades se obtiene la conclusión.

15.9 Curvas ortogonales. El ángulo de intersección de dos curvas en un punto que ellas tengan en común es el ángulo entre las tangentes a las curvas en el punto común. Dos curvas se dice que son ortogonales si su ángulo de intersección es un ángulo recto.

Los siguientes hechos concernientes a circunferencias son obvios.
(1) Si dos circunferencias se intersecan, los ángulos de intersección en sus puntos comunes son iguales.
(2) Si dos circunferencias son ortogonales, una tangente a una de ellas en el punto de intersección pasa por el centro de la otra; y si el radio de una de las circunferencias trazado a un punto común es tangente a la otra las circunferencias son ortogonales.
(3) El cuadrado de la distancia entre los centros de dos circunferencias ortogonales es igual a la suma de los cuadrados de sus radios.
15.10 Una propiedad armónica en relación con circunferencias ortogonales.
Consideremos una circunferencia con diámetro AB, y hagamos que una segunda circunferencia corte la línea de este diámetro en C y D, un par de armónicos conjugados con respecto A y B. Entonces las son circunferencias son ortogonales. Dejamos que P sea el punto de intersección de las dos circunferencias y OP el radio de la primera circunferencia tratada a P . Puesto que OB ² = OC × OD (Sección 15.4), tenemos también OP ² = OC× OD, de lo que se sigue que OP es tangente a la segunda circunferencia y de aquí que las circunferencias sean ortogonales.
También se obtiene la propiedad inversa. Suponiendo que las dos circunferencias sean ortogonales; y que el diámetro de la primera interseca ambas en A, B y C, D respectivamente. Entonces (fig.26)
OB² = OP ² = OC × OD.
Entonces A, B, C y D son cuatro puntos armónicos .
Estos resultados pueden ser combinados en el
Teorema: Si se construye una circunferencia con diámetro AB , es ortogonal a cualquier círculo que pase por C y D , un par de conjugados armónicos de A y B ; e inversamente, si dos circunferencias ortogonales son cortadas por una línea que pasa por el centro de una de ellas, los cuatro puntos de intersección constituyen una hilera armónica.
15.11 Cuadrángulos completos.
Un triángulo consiste de tres puntos no colineales y de tres segmentos de línea que unes estos tres puntos por pares. Así también un cuadrángulo consiste de cuatro puntos , que tomados por tercias son no colineales, y de cuatro segmentos que los unen.
Estas figuras pueden ser generalizadas formando en cada caso la figura que consiste de los puntos y todas las líneas (completas) que ellos determinan por pares.
La figura que consiste de cuatro puntos , cualesquiera tres no alineados, y de seis líneas determinadas por esos puntos, es un cuadrángulo completo.

Los cuatro puntos son sus vértices, y las seis líneas son sus lados. Se dice de dos lados que son lados opuestos, si no tienen un vértice en común. En un cuadrángulo completo hay tres pares de lados opuestos.
Los tres puntos determinados por lados opuestos de un cuadrángulo completo, son sus puntos diagonales, y el triángulo determinado por estos tres puntos es el triángulo diagonal.
En la fig.27 , PQR es el triángulo diagonal del cuadrángulo completo ABCD. Esta figura deberá ser cuidadosamente estudiada con referencia a todas las definiciones dadas.
5.12 Cuadrilátero completo. La figura consiste de cuatro líneas, tres de las cuales no pasan por el mismo punto y los seis puntos determinados por la intersección de estas líneas es un cuadrilátero completo . Las cuatro líneas son sus lados y los seis puntos son sus vértices . Se dice de dos vértices que son vértices opuestos si ellos no están en el mismo lado. En un cuadrilátero completo hay tres pares de vértices opuestos.
Las tres líneas determinadas por los pares de vértices opuestos de un cuadrilátero completo, son sus diagonales, y el triángulo determinado por estas tres líneas, es su triángulo diagonal.
Las definiciones anteriores están ilustradas en la Fig. 28. En esta figura , pqr es el triángulo diagonal del cuadrilátero completo cuyos lados son las líneas a,b,c,d.

15.13 Principio de dualidad. En las definiciones de cuadrángulo completo y cuadrilátero completo se observa que si las palabras “punto” y “recta” son intercambiadas, y si además son hechas pequeñas modificaciones en el lenguaje, cada una de estas se convierte en la otra. Esta es una ilustración del principio de dualidad. Su importancia está en el hecho de que cuando es aplicado a cualquier enunciado o teorema de naturaleza proyectiva , se llega a un segundo enunciado o teorema llamado el dual del primero, y se puede probar que el dual de un teorema es verdad, si el teorema dado es verdadero. Los siguientes ejemplos san más claridad en sus aplicaciones y utilidad.
(a) Dos puntos determinan una línea.
(a´) Dos rectas determinan un punto.
(b) Tres puntos en un plano dado, o están alineados , o determinan un triángulo.
(b´) Tres rectas en un plano dado, o pasan por un punto, o determinan un trilátero.
(c) Un haz de rectas consiste en líneas que pasan todas ellas por un mismo punto.(c´) Una hilera de puntos, consiste en puntos que están todos en una línea.
15.14 Propiedades armónicas de cuadrángulos y cuadriláteros. Importantes propiedades de los cuadrángulos y cuadriláteros completos están contenidas en los siguientes teoremas duales.
Teorema: En cada diagonal de un cuadrilátero completo, hay una hilera armónica que consiste de los dos vértices de a diagonal y los puntos en los cuales es intersecada por las otras dos.
Teorema: Por punto diagonal, de un cuadrángulo completo, pasan cuatro líneas armónicas , que son los dos lados que pasan por el punto y las líneas que lo unen con los otros dos puntos diagonales.
En el cuadrilátero completo (Fig. 29) de lados AB, BC, CD y DA cuyo triángulo diagonal es PQR, deseamos probar que BDQR es una hilera armónica. Consideremos el triángulo ABD con líneas AQ, BE y DF concurrentes en C.
La transversal FE interseca BD en R, y por el teorema de la sección 14.6, Q y R dividen BD interna y externamente en la misma razón. Así la hilera BDQR es armónica. De manea análoga se prueba que FEPR y ACPQ son armónicos.
Para probar el segundo teorema, consideremos el cuadrángulo completo ABCD (Fig.30). Si PQ interseca a AD en R´, entonces por la sección 14.6 ADR´R es una hilera armónica . Así P (ADR´R) es un haz de líneas armónicas . Análogamente, los haces con Q y R como centro son armónicos.
15.15 Cuadrángulos y cuadriláteros con triángulo diagonal común. Siempre podemos obtener un cuadrángulo completo que tenga el mismo triángulo diagonal que un cuadrilátero completo dado. Una manera de hacer esto, es unir cada punto de intersección de dos diagonales del cuadrilátero a los dos vértices de este último que estén en la otra diagonal. Por las propiedades armónicas se sigue que las seis líneas así dibujadas pasan por tercias por cuatro puntos y que son por lo tanto los seis lados de un cuadrángulo completo. El cuadrángulo así obtenido tiene un triángulo diagonal en común con el cuadrilátero dado, Un resultado similar puede obtenerse si comenzamos con un cuadrilátero completo y aplicamos el principio de dualidad paso por paso en el procedimiento anterior.
Por cada vértice del cuadrilátero pasa un lado del cuadrángulo. Cada vértice del cuadrángulo es un centro de perspectiva, y correspondiendo a él hay una línea de cuadrilátero que es el eje de perspectiva para el triángulo diagonal, el triángulo cuyos vértices son los vértices restantes del cuadrángulo, y el triángulo cuyos lados son los lados restantes del cuadrilátero.

14 Teoremas de Ceva y Menéalo

2009-05-17T22:28:00.028-05:00

14.1 Concurrencia y colinealidad. Muchas de las propiedades importantes de las figuras geométricas, dependen de la concurrencia de líneas y de la colinealidad de puntos . Dos teoremas, elegantes por su poder y simplicidad, que son útiles en el establecimiento de tales propiedades, se darán en este capitulo. Uno debe su nombre a un trabajo escrito por Menéalo de Alejandría cerca del final del primer siglo D.C. El otro fue publicado por el matemático italiano Ceva en 1678.
Cada uno de estos teoremas se refiere a puntos en los lados de un triángulo, vistos los lados como líneas completas determinadas por pares de vértices del triángulo.
14.2 Teorema de Ceva.
Si tres líneas AO,BO y CO, dibujadas por los vértices de un triángulo ABC y un punto O de su plano, cortan los lados opuestos en L,M y N respectivamente, entoncese inversamente , si L, M y N son puntos en los lados BC, CA y AB del triángulo del triángulo ABC para los cuales se cumple la relación anterior, entonces AL, BM y CN son concurrentes.
Hagamos que BM y CN intersequen la paralela a BC que pasa por A , en R y S respectivamente. Entonces por triángulos semejantes tenemos
Multiplicando En estas ecuaciones obtenemos

Para probar el inverso, hacemos que BM y CN se intersecten y en O y hagamos que AO corte a BC en L´ entonces tenemos
Pero también
De lo cual se sigue que
Entonces L coincide con L´ es decir AL pasa por O, la intersección de BM y CN.
14.3 Forma trigonométrica del teorema de Ceva.
Teorema : Si la hipótesis del teorema de Ceva se satisface, entonces

E inversamente , si L , M y N son puntos de los lados BC, CA y AB, respectivamente del triángulo ABC, para el cual vale la relación anterior, entonces AL, BM y CN , son concurrentes

Luego

y
Multiplicando y observando que el producto de la izquierda es igual a la unidad, obtenemos la relación deseada.
Para el inverso, los pasos en la prueba anterior, pueden ser hechos en el orden inverso, llegando a la relación

De lo cual se sigue que AL, BM y CN son concurrentes.
14.4 Teorema de Menealo
Teorema. Si una línea recta interseca a los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en los puntos L,M y N respectivamente entonces
E inversamente , si L,M y N , son puntos de los lados BC, CA y AB del triángulo ABC para el cual vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Sean AP, BQ y CR las perpendiculares de A, B y C respectivamente a la línea LMN
Entonces por triángulos semejantes
Multiplicando, tenemos

El inverso puede ser probado haciendo que MN corte a BC en L´ y luego mostrando como se hizo en la sección 3.2 que L coincide con L´.
14.5 Forma trigonométrica del Teorema de Menelao.Teorema : Si la hipótesis del Teorema de Menéalo se satisface, entonces
E inversamente si L,M Y N son puntos en los lados BC, CA y AB respectivamente, del triángulo ABC, para los cuales vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Las pruebas son tan parecidas a las de la forma trigonométrica de Ceva que no se darán aquí . El lector deberá hacer ambas pruebas .
14. 6 Teorema de división interna y externa.
Teorema : Si L, M y N son puntos cualesquiera en los lados BC, CA y AB del triángulo ABC, tales que AL, BM y CN son concurrentes, y si la línea MN interseca a BC en L´, entonces los puntos L y L´ dividen el segmento BC interna y externamente en la misma razón.
Ya que AL, BM y CN son concurrentes, tenemos por el teorema de Ceva

Y puesto que L´, M y N son colineales, por el teorema de Menéalo

De lo que obtenemos

De aquí se ve que L y L´ dividen a BC interna y externamente en la misma razón.
En la fig.17 los tres puntos B, L y C están dados; el punto L´ esta determinado de manera única , ya que hay un solo punto que divide el segmento externamente en la misma razón numérica en la que un punto dado divide el segmento internamente. Así podemos concluir lo siguiente:
Sean B, L y C tres puntos fijos en una línea. Si A es un punto cualquiera fuera de esta línea, y M y N son puntos cualesquiera en los lados CA y AB del triángulo ABC de tal forma que AL, BM y CN sean concurrentes, entonces la línea MN intersecará la línea BC en un punto fijo.

14.7 Figuras en perspectiva. Se dice que dos figuras están en perspectiva , si todas las líneas que unen puntos correspondientes de las dos figuras son concurrentes. El punto por el cual pasan estas líneas es llamado centro de perspectiva.
Las figuras homotéticas están en perspectiva , pero las figuras en perspectiva, no necesariamente son Homotéticas, puesto que líneas correspondientes de figuras no son paralelas en general.

14.8 Teorema de Desargues.

Teorema: Si dos triángulos están en perspectiva, los puntos de intersección de lados correspondientes son colíneales; e inversamente, si los puntos de intersección de lados correspondientes de dos triángulos son colíneales, los triángulos están en perspectiva.
Sean los triángulos ABC y A´B´C´ en perspectiva, con O como centro de perspectiva, y hagamos que AB y A´B´ se corten en P, BC y B´C´ en Q y CA y C´A´ en R. Si aplicamos el teorema de Menéalo al triángulo ABO con B´A´P como transversal, obtenemos

Análogamente, del triángulo BCO, con B´C´Q como transversal , se sigue que

Y del triángulo CAO con A´C´R como transversal que

El producto de estas tres ecuaciones nos da
Que demuestra que P, Q y R son colineales. Ahora, sean dados P, Q y R colineales.
Ahora sean dados, P, Q y R colineales, y consideremos los triángulos AA´R y BB´Q. Estos triángulos están en perspectiva con P como centro de perspectiva. Más aún O, C y C´ son los puntos de intersección de sus pares de lados correspondientes. Entonces estos tres puntos son colineales; es decir, la línea CC´ pasa por el punto de intersección d AA´ y BB´ .Esto establece el inverso.
La línea en que están P, Q y R es el eje de perspectiva de los triángulos ABC y A´B´C´.

14.9 Importancia el teorema de Desargues. Las propiedades de las figuras geométricas pueden ser clasificadas como métricas y proyectivas. Expresado toscamente, aquellas propiedades que están necesariamente relacionadas, ya sea directa o implícitamente en la noción, a la noción de medida, son propiedades métricas, mientras que aquellas que están esencialmente desconectadas e la medida son propiedades proyectivas. Ejemplos de las primeras son; la igualdad de segmentos de línea ,la semejanza de triángulos, el antiparalelismo de líneas y como ejemplo de las últimas son la concurrencia de líneas y la colinealidad de puntos .La geometría proyectiva es un estudio de las propiedades proyectivas de una configuración .

Lo establecido por el teorema de Desargues , implica sólo propiedades proyectivas de las figuras a las que se aplica. Y como esto está tan relacionado con las ideas de concurrencia y colinealidad, y tales ideas son básicas en la geometría proyectiva , este teorema es uno de los más importantes en este campo. De hecho algunas veces se le toma como el teorema fundamental de la geometría proyectiva.
Es de notarse que, aunque la demostración dada tiene de carácter métrico, es posible dar una demostración que sea completamente de carácter no métrico. Tal demostración es deseable para el desarrollo de la geometría proyectiva, pero desde nuestro punto de vista es interesante ver como se puede demostrar este teorema, tan importante basándose en el Teorema de Menéalo.

13 Semejanza

2009-05-17T21:22:00.013-05:00

13.1 Polígonos semejantes. Dos polígonos con el mismo número de lados son semejantes , si sus lados correspondientes son proporcionales, y sus ángulos correspondientes son iguales. La correspondencia aquí mencionada es biunívoca, y es de tal forma que a cada par de lados consecutivos, en un polígono, y el ángulo entre ellos, corresponde un par de lados consecutivos y el ángulo incluidos entre ellos en el otro.
Estos dos polígonos se dice que son directamente semejantes o inversamente semejantes según que las partes correspondientes estén colocadas en el mismo orden o en el inverso.
Se prueba en geometría elemental que cuando los polígonos son triángulos la igualdad de sus ángulos se concluye de la proporcionalidad de sus lados; y la proporcionalidad de sus lados se concluye de la igualdad de sus ángulos.
13.2 Figuras homotéticas. Si unimos los vértices de un polígono a un punto O del plano, y a cada una de estas líneas de unión las dividimos en la misma razón , los puntos de división son los vértices de un polígono semejante. Más generalmente, consideramos cualquier figura plana, que consiste en los sistemas de puntos A,B, C... y sean las líneas OA, OB, OC,... las que unen estos puntos a cualquier punto O del plano. Si A´,B´,C´,...son puntos de estas líneas respectivamente y si existe un número k tal que

entonces la figura formada por los puntos A´, B´, C´,... es semejante a la figura dada, y está semejantemente colocada. Se sigue inmediatamente que, si tres o más puntos de una figura dada están en línea recta, los puntos correspondientes de la segunda figura están también en una línea recta y estas dos líneas son paralelas.
Dos figuras semejantes colocadas semejantemente, se llaman figuras homotéticas. El punto O es su centro de homotecia y la constante k es su razón de homotecia. La razón homotética de dos figuras homotéticas es también llamada razón de similitud, y su centro de homotecia es llamado centro de similitud.
13.3 Simetría con respecto a un punto. La razón de similitud puede ser positiva negativa. Un caso importante y especial de esto último, es aquel en el cual tiene el valor-1. Las dos figuras se dice que son simétricas. Así , si la circunferencia de un círculo esta dividida en dos medias circunferencias por cualquier par de puntos diametralmente opuestos, estas dos medias circunferencias son simétricas con respecto al centro del círculo como centro de simetría. Algunas veces mencionamos este hecho, diciendo que un círculo es simétrico con respecto a su centro. El cuadrado, el rectángulo y el rombo, son cada uno simétrico con respecto a su centro.

13.4 Líneas antiparaleas. Si dos pares de líneas están en tal forma que la bisectriz del ángulo formado por el primer par, es transversal al segundo par y los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son iguales, las líneas del segundo par son antiparalelas la una a la otra, con respecto a las líneas del primer par. En la fig.9, las líneas c y d forman ángulos iguales α y β con l como bisectriz del ángulo formado por las líneas a y b. Entonces c y d son antiparalelas con respecto a a y b.
Si una de las dos antiparalelas es girada 180° alrededor de la bisectriz l. Queda paralela a la otra. Esta es la propiedad que sugiere el uso del termino antiparalelo.
Puesto que las líneas, c , d y l, determinan un triángulo isósceles, se sigue que la bisectriz de uno de los ángulos formados por c y d es perpendicular a l y que esta bisectriz y las líneas , a y b, también determinan un triángulo isósceles. Por lo que tenemos

Teorema : Si dos pares de líneas están colocadas de tal forma que las líneas del prime par son antiparalelas con respecto a las líneas del segundo par, entonces las líneas del segundo par son antiparalelas con respecto al primero.
Ejemplo (a) En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa y uno de los lados perpendiculares son antiparalelos con respecto a los otros dos lados del triángulo.
(b) Los lados no paralelos de un trapecio son antiparalelos con respecto a los lados paralelos.
(c) Dos líneas paralelas son antiparalelas con respecto a otras dos, si las primeras son perpendiculares a la bisectriz de uno de los ángulos del ángulo formado por las otras dos. En particular, en un rectángulo, cada par de lados opuestos es antiparalelo con respecto a los otros dos lados. Así también las bases de un trapecio son antiparaleas con respecto a los lados no paralelos.

13.5 Cuadriláteros cíclicos. Si un conjunto de puntos están todos en la misma circunferencia, se dice que estos puntos son concíclicos. Un cuadrilátero cuyos vértices son concíclicos, es llamado un cuadrilátero cíclico.
Se prueba fácilmente que cuando los dos pares de líneas de la Fig. 9 , se intersecan en cuatro puntos distintos y forman un cuadrilátero convexo, sus ángulos opuestos son suplementarios; si forman un cuadrilátero cruzado, estos ángulos son iguales en magnitud. Así en cada caso los cuatro puntos son concíclicos y en el cuadrilátero que determinan es un cuadrilátero cíclico.

Teorema: Si dos líneas que son antiparalelas con respecto a otras dos , cortan a estas últimas en cuatro puntos distintos, estos cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero cíclico; e inversamente , cada par de lados opuestos en un cuadrilátero cíclico, es antiparalelo con respecto al otro par.

13.6 Teoremas de Ptolomeo. Un famoso teorema de cuadriláteros cíclicos es el debido a Ptolomeo (150 d.c ) y usado por él en El Almagest, es el siguiente:
Teorema: El producto de as diagonales de un cuadrilátero cíclico, es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

En la Fig. 10, dibujamos la línea AE, formando el ángulo DAE igual al ángulo CAB y hagámosla intersecar DB en E. Entonces , puesto que los triángulos DAE y CAB son semejantes, se infiere por la proporcionalidad de sus lados que AD × BC = ED × AC. Y de los triángulos semejantes ADC y AEB, tenemos también AB × CD = BE × AC. Sumando estas ecuaciones y señalando que BE + ED = BD, tenemos AD × BC + AB × CD = AC × BD .
El inverso de este teorema es verdad. Su prueba se sugiere al estudiante como un ejercicio.

13.7 Circunferencias homotéticas. Si dos circunferencias son concéntricas , evidentemente son homotéticas, siendo el centro de las circunferencias el centro de homotecia y la razón de sus radios la razón de homotecia.
Consideremos dos circunferencias no concéntricas. Unamos el centro O de una de ellas a cualquier punto A de la circunferencia, no colineal con los centros. Dibujemos el diámetro de la otra circunferencia paralela a OA cortando la circunferencia en A’ y A’’. Hagamos Que AA´ y AA´´ corten a la línea de los centros en H y K respectivamente . Entonces el triángulo OAH es similar al triángulo O’A’H’ , y el triángulo OAK es similar al triángulo OÁ´´K. De esto se sigue que las dos circunferencias son homotéticas en dos formas, siendo los puntos H y K los centros de homotecia. Más aún, H y K dividen el segmento OO´ interna y externamente en la razón de los radios de las circunferencias.
Puede ser probado fácilmente que si las circunferencias tienen tangentes externas comunes ,ellas se encuentran en el punto K de la línea de los centros, y que si tienen tangentes internas comunes , ellas se cortan en el punto H. De lo cual tenemos el:
Teorema: Si dos circunferencias tienen tangentes externas comunes, estas tangentes pasan por uno de sus centros de homotecia, y si tienen tangentes internas, éstas pasan por el otro centro de homotecia.

13.8 Puntos homólogos y antihomólogos. Si una línea que pasa por un centro de similitud de dos circunferencias no concéntricas , interseca una de ellas en dos punto distintos , intersectará también la otra en dos puntos distintos . Estos cuatro puntos de intersección son homotéticos en pares, y los dos puntos de cada par homotético, son llamados puntos homólogos . Pero pueden ser apareados de tal forma que cada par contenga un punto en cada circunferencia , y no sean homotéticos. Los puntos de estos pares se dice que son puntos antihomólogos con respecto al centro de similitud que está en la línea que pasa por estos puntos. Así en la Fig 12, AA´ ,y BB´ , son pares homólogos , mientras que A,B´ y A´B son pares de puntos antihomólogos con respecto al centro de homotecia K.
13.9 Propiedades de los puntos homólogos y antihomólogos . En la Fig. 12, A´, B y C´D son pares de puntos antihomólogos con respecto al mismo centro de similitud y están en distintas líneas que pasan por dicho centro. Así también A,A´, B,B´, C,C´, D,D´, son pares homólogos. Algunas propiedades referentes a estos puntos son las siguientes:

(1) B´D´ es paralela a BD , y los triángulos KB´D´, y KBD son directamente similares.
(2) A´C´ es antiparalela a BD con respecto a A´B y C´D, y los triángulos KA´C´y KDB son inversamente semejantes. Esto por ser el ángulo CÁ´B´ suplemento del ángulo B´D´C´ y por lo tanto del BDC, e inferimos que el cuadrilátero A´C´DB es cíclico. (Sección 2.5)
(3) El producto de los segmentos KA´y KB ,es constante. Esto se ve en la semejanza de los triángulos KA´C´y KDB.
(4) Cada uno de los conjuntos de puntos A´C´,D,B y A,C,D´,B´ es concíclico.
(5) Tangentes a las circunferencias en A´y B forman ángulos iguales con la línea A´B. Si estas tangentes se intersecan en E el triángulo EA´B es isósceles.
13.10 Circunferencia de similitud. La circunferencia de similitud de dos circunferencias no concéntricas, es la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une sus centros de similitud.
Teorema: La circunferencia de similitud de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos (1 ) tales que las razones de sus distancias a los centros de las circunferencias don iguales a las razones entre los radios; y (2) desde los cuales las dos circunferencias subtienden ángulos iguales.

Consideremos primero dos circunferencias desiguales y sea P (Fig .13) un punto tal que PO : PO´ = r : r´ , donde r y r´ son los radios de las circunferencias O y O´, de los cuales H y K son los centros de similitud. Entonces ya que OH : HO´= r: r´PH es la biectriz del ángulo interior en P del triángulo OPO´. Asimismo, PK es la bisectriz del ángulo exterior en P del mismo triángulo. Entonces PH y PK son perpendiculares, y P está en la circunferencia de similitud.

Inversamente, supongamos que P está en la circunferencia de similitud. En la línea de los centros tomemos O´´ tal que PH biseque al ángulo O´PO´´. Entonces puesto que PH y PK son perpendiculares y que bisecan los ángulos interior y exterior en P del triángulo O´´PO´, tenemos

Y O´´ coincide con O. Se sigue que PO: PO´ = r : r´.
Si se trazan las tangentes de P a las circunferencias dadas, y en cada circunferencia el punto de tangencia es unido al centro de la circunferencia, se obtienen triángulos rectángulos similares de lo cual es consecuencia directa la según aparte del teorema.
Si dos circunferencias son iguales , su circunferencia de similitud degenera en la mediatriz del segmento que une sus centros y la línea a infinito.
13.11 Círculo de Apolonio.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos cuyas razones de distancias a dos puntos fijos es una constante, es un círculo, el círculo de Apolonio.
Sean los puntos fijos O y O´ y la razón de sus distancias a P sea r:r´. Construyamos circunferencias con centros n O y O´ cuyos radios tengan la razón r:r´. Luego por la sección inmediata anterior, el lugar geométrico de los puntos P es la circunferencia de similitud.
13.12 Construcciones basadas en la similitud. Muchas construcciones geométricas pueden basarse directamente en la teoría de la similitud. Como un ejemplo resolvamos el problema: inscribir un cuadrado en un triángulo dado.

En la línea del lado AC del triángulo dado ABC, tomamos un segmento arbitrario PS y sobre este segmento como lado construimos el cuadrado PQRS que está en el mismo lado de AC que el triángulo dado. Por P Q y R dibujamos paralelas a AB y BC respectivamente, que determinan con línea AC el triángulo A´B´C´. Fijamos el punto Q´que divide a AB en la misma razón que Q divide a A´B´ , y por Q´dibujamos líneas perpendicular y paralela a AC, que cortan a AC y BC en P´y R´respectivamente. Dibujamos R´S´ perpendicular a AC y que la corta en S´. Así , P´Q´R´S´es el cuadrado buscado, lo cual se demuestra fácilmente.

Introducción

2009-05-17T20:22:00.012-05:00

Segmentos lineales dirigidos. La inclusión de los números negativos significó un adelanto notable en el sistema de los números del álgebra. Trajo consigo avances mayores de los que pudieron prever aquellos que tomaron parte en realizarlo.

Si en una línea recta (fig 1) tomamos dos puntos distintos A y B, ellos nos determinaran un segmento de línea. En geometría elemental nos referimos a este segmento como el segmento AB y usualmente estamos interesados nada más en su longitud. Podemos, sin embargo, asociar a la idea de este segmento , la idea de dirección. Así si la porción de línea entre estos dos puntos la imaginamos extendida de A y B, tenemos el segmento dirigido AB. Las magnitudes de los segmentos dirigidos AB y BA son las mismas, pero sus direcciones son opuestas. Esta diferencia en direcciones es análoga a la diferencia en signos de los números algebraicos y es convenientemente indicada por medio de tales signos.

En lo sucesivo, cuando hablemos de un segmento de línea, se entenderá un segmento dirigido, a menos que claramente se considere el segmento de línea no dirigido.

Relaciones entre segmentos líneales dirigidos. Los segmentos dirigidos AB y BA son, como se ha señalado anteriormente, iguales en magnitud, pero opuestos en dirección. Estos hechos están indicados en la ecuación
AB = -BA
O por la ecuación equivalente
AB +BA = 0
Si A, B y C son tres puntos diferentes en una línea recta,
AB + BC +CA = 0.
En el caso de que los puntos A y B coincidan, podemos considerar como si ellos determinaran un segmento AB de longitud 0. Todas las relaciones de esta sección son válidas cuando, debido a estas coincidencias alguno o todos los segmentos incluidos tienen longitud cero. Extensiones obvias de las relaciones anteriores son posibles cuando se consideran más de tres puntos en la línea recta.
Si A, B, C y D son cuatro puntos cualesquiera en una línea y consideramos los segmentos que determinan, tenemos la útil identidad siguiente, conocida como el teorema de Euler.
AB × CD + AC × DB + AD × BC = 0.
Esto se prueba haciendo notar que el miembro de la izquierda puede ser puesto en la Forma
(DB-DA) CD + (DC- DA) DB + (DC-DB)AD,
cuyo desarrollo y simplificación muestra cómo se anula.
La razón de la partición d un segmento de línea. Si P es un punto cualquiera en la línea AB (A distinto de B) ya sea entre A y B o externo al segmento AB, se dice que divide al segmento AB en la razón AP : PB. Si P está entre A y B divide al segmento internamente y la razón y la razón de partición es positiva; si está fuera del segmento AB divide al segmento externamente, y la razón de partición es negativa. Así en la Fig.2 los puntos P y Q dividen a AB interna y externamente en las razones AP: PB y AQ: QB respectivamente. Si P coincide con A o B, el segmento no esta propiamente dividido por P. Puede decirse entones que lo divide impropiamente, la razón de partición es cero o infinito según P coincida con A o con B. Puede hacerse una discusión para tratar el poco frecuente, pero importante caso en el cual el segmento tiene longitud cero.

Cuando cuatro puntos A, B, P y Q están situados de tal manera que P y Q dividen a AB interna y externamente en razones numéricas iguales, esto es:
AP: PB =- AQ: QB.
Entonces se dice que P y Q dividen al segmento AB interna y externamente en la misma razón.

Es fácil demostrar que si dos puntos dividen a un segmento de línea en razones iguales, los dos puntos coinciden.
Ángulos dirigidos. Es conveniente asociar la idea de dirección no sólo con los segmentos de línea sino también con los ángulos. El ángulo formado por las líneas OA y OB (Fig 3) puede ser generado por una línea en movimiento que gira con eje en O de la posición OA a la posición OB en el sentido opuesto al avance de las manecillas del reloj, o puede ser generado por rotación en el mismo eje de la posición OB a la posición OA en el sentido del avance de las manecillas del reloj. Si en cada una de estas rotaciones la misma porción de plano es barrida por la línea en movimiento los ángulos así generados son iguales, pero opuestos en signo. Cuando la rotación es en sentido contrario a las manecillas , el signo del ángulo resultante es, por convención considerado como positivo; y cuando la rotación es en el sentido de las manecillas, el signo del ángulo es negativo. De los dos ángulos descritos arriba, el positivo es designado ángulo AOB y el negativo como el ángulo BOA.

Podemos notar (Fig.3) que hay un ángulo positivo BOA así como un ángulo negativo BOA, a saber , la rotación de OB alrededor de O, en el sentido opuesto al de las manecillas que lleva a OB a coincidir con OA.

Podemos notar (Fig.3) que hay un ángulo positivo BOA así como un ángulo negativo BOA, a saber , la rotación de OB alrededor de O, en el sentido opuesto al de las manecillas que lleva a OB a coincidir con OA.
Con relación a su utilidad es frecuentemente ventajoso considerar el ángulo positivo AOB como la rotación de la línea completa OA alrededor de O, en sentido opuesto al de las manecillas, que por primera vez la lleva a coincidir con la línea completa OB (Figs 4a, b, c).

La utilidad de esta definición esta en parte en el hecho de que sirve para quitar ambigüedades. Por ejemplo, la muy conocida afirmación: si los lados de dos ángulos son paralelos respectivamente son iguales o suplementarios; es con esta convención: si los lados de dos ángulos son paralelos respectivamente los ángulos son iguales. Así , si en una prueba se asegura que dos ángulos son iguales porque son respectivamente paralelos, se entenderá que se refiere a ángulos dirigidos en el sentido explicado anteriormente. El estudiante deberá dibujar varias figuras para ilustrarse.
Se tiene también que tal definición identifica situaciones que en otros casos serían consideradas distintas, como esencialmente iguales. Como un ejemplo de esto, vemos que si usamos ángulos no dirigidos, la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos P, P´, A y B estén en una circunferencia estando P y P´ del mismo lado de la línea AB; es que el ángulo APB sea igual al ángulo AP´B (Fig.5) .Pero si P y P´ están en lados opuestos de AB, esta condición es que el ángulo APB sea el suplemento del ángulo AP´B. Cuando se usan ángulos dirigidos en la forma explicada anteriormente, las dos situaciones no son esencialmente diferentes y el resultado puede ser enunciado en la forma: la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos P, P´, A y B estén en una circunferencia es que los ángulos APB y AP´B sean iguales.

En las pruebas de algunos teoremas, se encuentran varios casos a los cuales hay que darles un tratamiento por separado si los ángulos incluidos son considerados como no dirigidos. Considerando ángulos dirigidos estos casos por separado, que aparentemente pueden parecer fundamente diferentes, se encuentra que son aspectos similares de uno y que pueden ser tratados juntos.

Será necesario el criterio del lector para determinar cuándo debe considerare un ángulo como dirigido o no, en alguno de los sentidos explicados anteriormente. Pero esto generalmente no es más difícil o incierto que cuando se debe decidir si el termino línea significa una línea curva o una línea recta, y si es una línea recta, cuándo es completa y cuándo es un segmento.

Una generalización importante. En geometría elemental encontramos el siguiente

Teoema: La bisectriz de un ángulo en un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos cuya razón es la misma a la de los lados adyacentes del ángulo.

En algunos de los desarrollos subsecuentes haremos uso de lo siguiente, que es una generalización del teorema antes mencionado.
Teorema. Si el vértice A del triángulo ABC es unido a cualquier punto L en la línea BC, entonces

Esto puede ser probado aplicando la ley de los senos a los triángulos ABL, ALC (recordando en la Fig. 6a que, sen ALB= sen CLA). El estudiante deberá probarlo tomando especial cuidado en los signos algebraicos usados en los dos casos.

Correspondencia uno a uno (biunívoca). La idea de correspondencia biunívoca es fundamental en toda la estructura de las matemáticas. Para presentar esto, consideremos dos clases o conjuntos de objetos de cualquier tipo. Estos conjuntos se dice que están en correspondencia biunívoca cuando a cada objeto de un conjunto corresponde uno y sólo un objeto del otro conjunto. Esto implica un apareamiento de los dos conjuntos. Es indiferente como se realiza este apareamiento, siempre que dos objetos que pertenecen al mismo par sean tomados uno de cada conjunto, y cada objeto sea usado una vez y solo una.

Ejemplos. (a) Los vértices de un triángulo y sus lados pueden ser puestos en correspondencia biunívoca, apareando cada vértice con su lado opuesto.
(b)Si dos polígonos tienen el mismo número de lados, sus lados así como sus ángulos, pueden ser puestos en correspondencia biunívoca. Esta correspondencia es de importancia en el estudio de la similaridad de los polígonos y la usaremos en el siguiente capitulo.
(c)El conjunto de todas las líneas que pasan por O (fig.7) contenidas en el ángulo agudo AOB pueden ser puestas en correspondencia biunívoca con todos los puntos del segmento de línea AB que están entre A y B. Una manera en que esto puede ser realizado es asociar cada línea con el punto en que corta en AB.

Puntos al infinito. Consideremos (Fig.8 ) una línea AB y un punto O fuera de ella. Cualquier línea no paralela a AB y que pasa por O interseca a AB en un punto P y si esta línea gira con centro en O, el punto P se mueve a lo largo de AB. Más aún, cada punto de AB está determinado como la intersección de AB con una línea que pasa por O. Si el punto P de la línea AB es apareado con la línea OP se establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de AB y las líneas que pasan por O, con la sola excepción de la línea que pasa por O y es paralela a AB.De acuerdo con la definición euclidiana estaos acostumbrados a considerar dos líneas paralelas como aquellas que no tienen ningún punto en común. Aunque este punto de vista puede ser más satisfactorio a nuestra intuición es lógicamente permisible y aun deseables, asociar la línea AB con un

punto ideal llamado punto al infinito, en AB, el cual tiene la propiedad de que la línea que pasa por O es paralela a AB, interseca con AB en este punto ideal. Si esto se realiza, la excepción antes mencionada desaparece, y podemos decir que cualquier línea del plano que pasa por O, interseca a la línea AB. Uno de los puntos de intersección es el punto al infinito en AB. Todos los puntos que restan son los puntos reales de la línea AB.
Se sigue que hay, en cada conjunto de líneas paralelas en el plano, uno y el mismo punto al infinito. Esto sugiere que el punto al infinito en una línea es lógicamente un equivalente de la dirección de esta línea. Ya que hay infinitud de direcciones en el plano, hay infinidad de puntos de puntos al infinito en el plano. El lugar geométrico de todos estos puntos al infinito, tiene la propiedad de ser intersecado por una línea recta arbitraria en uno y sólo un punto. Entonces este lugar geométrico queda definido como una recta ideal, la línea al infinito.
Volviendo al punto O y la línea AB, podemos ahora establecer una correspondencia biunívoca entre todas las líneas del plano que pasan por O y todos los puntos de AB, apareando cada línea con el punto en el cual intercepta AB. Inherente al perfeccionamiento de esta correspondencia es la utilidad de la noción de los puntos ideales y la línea ideal que han sido agregados a los puntos y líneas usuales del plano.
1.8 Hileras y haces. Puntos que están en la misma línea recta se dice que son colineales. Si ciertos puntos son colineales constituyen una hilera de puntos. La línea en la cual están situados es la base de la hilera.
Líneas que pasan a través de un mismo punto se dic que son concurrentes. Si un cierto número de líneas son concurrentes, constituyen un haz de líneas. Las líneas individuales del haz son frecuentemente llamados rayos, y el punto a través del cual pasan estas líneas es el centro o vértice del haz.
Un haz de líneas puede consistir en un conjunto de líneas paralelas. El vértice de dicho haz es el punto al infinito. Así también una hilera de puntos puede consistir en un número de puntos al infinito, en cuyo caso la base de la hilera es la línea al infinito.

11.-Congruencias

2009-02-08T00:00:00.000-06:00

En muchos problemas, la idea central para encontrar la solución es considerar los residuos de los números que se relacionan al dividirse entre otro número fijo. Esto nos llevara a desarrollar la noción de congruencias de números, la cual unifica y extiende muchos resultados desarrollados hasta ahora.
Congruencias
Definición. Sean a y b dos números enteros, y sea m un entero distinto de cero. Decimos que a es congruente a b módulo m si m divide a b-a. Esto lo escribimos como
a ≡ b (mod m) ⇔ m | b-a.
A grandes rasgos lo que decimos es que dos números a y b son congruentes (equivalentes, iguales) módulo m si ambos son de la forma mk +r con una misma r, esto es, si dejan el mismo residuo al dividirse por m . Para decir que a no es congruente a b modulo m escribimos

Ejemplos.
8 ≡ 23 (mod 5) puesto que 5 |(23-8)= 15 Notemos que tanto 23 y 5 son de la forma 5k +3.
36≡0 (Mod 12) puesto que 12 |(36-0)=36.
-22≡ 6 (mod 7) dado que 7|(6 –(-22))= 28.
Las ventajas de usar congruencias es que estas comparten muchas propiedades con la igualdad (de ahí que sea apropiado decir que los números son “congruentes”) ;
Si a,b,c,d,n son enteros y n ≠ 0 entonces :
I.-. a ≡ a (mod n)
II.- Si a ≡ b (mod n ) entonces b ≡ a (mod n)
III.- Si a ≡ b (mod n) y b ≡ c (mod n) entonces a ≡ c (mod n).
IV.-Si a ≡ b (mod n) entonces a +x ≡ b + x (mod n) para todo entero x
V.-Si a ≡ b (mod n) y c ≡d (mod n) entonces ( a +c)≡ (b +d) (mod n)
VI.- Si a ≡ b (mod n) entonces ax ≡ bx (mod n) para todo entero x
VII.-Si a ≡ b(mod n) y c ≡ b (mod n) entonces ac ≡ bd (mod n)
VIII.-Si a ≡ b (mod n) entonces a^x ≡b^x (mod n) para x ∈Z+
IX.- Si f(x) es un polinomio de coeficientes enteros, entonces a ≡b (mod n) implica que f (a) ≡ f(b) (mod n)
X.-Si a ≡b (mod n) y d |n entonces a ≡b (mod d).
XI.- Si a ≡b (mod m), a ≡b (mod n)y (m,n) = 1 entonces a ≡b (mod mn)
XII.-a ≡0 (mod n) si y solo si n| a.
El teorema anterior se prueba a partir de los teoremas de divisibilidad. Como ejemplo a ≡b (mod n) entonces a+x ≡ b+x (mod n).
Prueba a ≡b (mod n) quiere decir que n |(b-a). Pero b-a = b +x+a-x=(b+x) - (a+x) por lo que n |(b+x) –(a+x), lo que significa que a+x ≡b+x (mod n).
Hay sin, embargo, una propiedad que la igualdad no comparte con la congruencia. Si ax =bx , con x no igual a cero podemos decir que a =b , pero con las congruencias no. Por ejemplo 10×6 ≡ 4×6 (mod 4) pero
Es decir, no se permite cancelar factores en las congruencias. El siguiente teorema nos proporciona condiciones para poder efectuar tal operación.
Teorema 11.2 Sean a,b enteros. Entonces

II.-Si ax ≡ bx (mod n) y (n,x)=1 entonces a ≡ b(mod n ).
III.- a≡ b (mod n_k) para k =1,2,…r si y sólo si a≡ b (mod [n₁,n₂,...n_r]).
Prueba. Si ax ≡ bx (mod n) entonces bx-ax= nz para algún entero z. Entonces

Y por tanto

Pero
Por lo que

divide a b-a, es decir,
De este modo hemos probado que ax ≡ bx (mod n)implica
Ahora, supongamos que
Esto quiere decir que
De donde (b-a)(n,x)=nz, es decir ,n |(b-a)(n,x). Pero x es un múltiplo de (n,x) lo cual nos dice que n |(b-a)x. Se sigue que ax ≡ bx (mod n).Ya hemos probado el primer inciso, el segundo es una aplicaciòn directa del primero.Para probar el tercero, notemos que n_i| (b-a) nos dice que (b-a) es un múltiplo comùn de todas las n_i, por lo que [n₁,n₂,...n_r ] |b-a.Ya queda probado que a ≡b (mod n_k) (k=1...r) implica a≡ b(mod[n₁,n₂,...n_r])
Para el regreso , notemos que n_k es un divisor de [n₁,n₂,...n_r], por lo que a ≡ b (mod [n₁,n₂,...n_r )]implica a≡ b (mod p)
Un caso muy especial y útil del teorema anterior es el siguiente resultado:
Teorema 11.3 Sea p un número primo y t un número que no es divisible entre p. Si at ≡ bt (mod p) entonces a ≡b (mod p).
Para ilustrar el uso de congruencias al resolver problemas, demostraremos el siguiente teorema:
Teorema 11.4. Si a es impar, entonces a²-1 es divisible entre 8.
Prueba .Si a es impar, entonces alguna de las siguientes proposiciones es cierta.
a ≡ 1 (mod 8)
a ≡ 3 (mod 8)
a ≡ 5 (mod 8)
a ≡ 7 (mod 8)
Por otro lado 1² ≡ 1 (mod 8),3² ≡ 1 (mod 8),5²≡1 (mod 8), 7² ≡1 (mod 8) , por lo que en cualquier caso, a² ≡ 1 (mod 8), lo que es lo mismo que decir a²-1 es divisible entre 8.
Una prueba ligeramente distinta:
Prueba. Supongamos que a es impar es decir , a≡ 1 (mod 2). Entonces
a² ≡ 1² ≡1 (mod 2).
Por otro lado, si a²-1 no fuese divisible entre 8 tendríamos

Y como 2 8 esto implicaría que
Esto es una contradicción , por lo que concluimos que a²-1 debe ser divisible entre 8.
Los teoremas principales sobre divisibilidad pueden formularse con congruencias. El teorema 10.15 se enuncia:
Teorema 11.5 Si p es primo, ab ≡ 0 (mod p) y

entonces b ≡0 (mod p).
El teorema anterior es el análogo (para la igualdad) de la afirmación ab = 0 entonces a=0 o b =0 . Es importante recalcar que el módulo debe ser primo. Como ejercicio, encontrar un contraejemplo cuando el número no es primo.
El teorema que dice que si a = bq +r entonces (a,b) = (b,r) puede rescribirse como
Teorema 11.6 Si x ≡y (mod n) entonces (x,n) =(y,n)
Para terminar , es importante recalcar que aunque los resultados de congruencia se puedan rescribir como resultados de divisibilidad y viceversa, las congruencias generalmente permiten realizar pruebas más claras y concisas, además de que familiarizarse con ellas permite entender resultados más profundos y poderosos. Por esto es que se recomienda especialmente que en lo posible se intente usar congruencias en vez de divisibilidad para resolver los problemas.

10.4 Ecuaciones lineales diofantinas.

2009-02-05T15:02:00.000-06:00

Una ecuación lineal diofantina es una ecuación de la forma
ax +by = c
donde a,b,c son números enteros y x, y son variables que toman valores enteros.
Veamos algunos ejemplos:
La ecuación 4x-6y=5 no tiene soluciones enteras, ya que sin importar el valor de x y y el lado izquierdo siempre es un número par, mientras que el derecho es un número impar.
La ecuación 4x-6y =2 tiene solución , ya que (4,6)=2 y entonces existe una combinación lineal de 4 y 6 que es igual a dos.
La ecuación 4x- 6y = 10 tiene solución . Si x₀ y y₀ son solución de 4x –6y =2 entonces 5x₀ y 5y₀ son solución de 4x- 6y = 10.
Podemos generalizar los últimos dos ejemplos. Si d = (a,b) sabemos que existen enteros x₀, y₀ tales que ax₀ + by₀ = d, es decir, la ecuación.
ax + by =(a,b)
Siempre tiene solución.
Más aún si c es un múltiplo de d (por ejemplo c =kd) entonces
a (kx₀) + b(ky₀) = k (ax₀ +by ₀)= kd =c
es decir, una ecuación de la forma
ax +by = k (a,b)
siempre tiene solución. Esto constituye el primer teorema de la sección.
Teorema 10.19 Si (a,b)| c entonces la ecuación lineal diofantina
Ax +by = c
Siempre tiene solución entera.
Un corolario muy importante es:
Corolario 10.20Si a y b son primos relativos, la ecuación ax +by =c siempre tiene solución entera.
Ahora nos preguntamos: ¿Habrá alguna ecuación lineal ax +by =c que tenga solución y en donde (a,b) no divida a c?
Vamos a restringirnos únicamente al caso en que c es positivo, puesto que si u y v son solución de ax + by = c entonces –u y –v son solución de ax +by = -c.
Por un lado, como (a,b) es la mínima combinación lineal positiva si c = 1,2,...,(a,b)-1 la ecuación ax +by = c no puede tener solución. De esta manera, si existe una solución, necesariamente c ≥ (a,b).
Supongamos que la ecuación ax +by = c tiene como solución a x₁ y y₁ , que d =(a,b), no divide a c, y sean x₀ y y₀ una solución para ax + by =d. De esta manera tenemos
ax₁ +by₁ =c
ax₀ +by₀ =d
Por el algoritmo de la división tenemos c = md +r con 0 < r < c puesto que d no divide a c. Entonces:
ax+ by = md +r
= m (ax₀ + by₀ ) +r
=a (mx₀) +b (my₀)+r
y por tanto
a(x₁- mx₀) + b (y₁-my₀) = r.
¡Lo anterior es una contradicción! Puesto que tenemos una combinación lineal positiva de a y b igual a r y 0 < r < d, eso contradice que d era la combinación lineal mínima positiva (es decir, d no era el máximo común divisor). La contradicción surgió de suponer que ax + by =c podía tener solución aunque (a,b) no dividiera a c, por lo que hemos demostrado el siguiente teorema.
Teorema 10.21La ecuación lineal diofantina
Ax +by = c
Tiene solución si y solo si (a,b) |c

Ya estamos en condición de determinar si una ecuación dada tiene solución o no, ahora nos interesa determinar cuales son las soluciones. Supongamos que la ecuación ax +by =c tiene solución, es decir c = kd donde d= (a,b).
Si u y v son una solución de ax +by =d, entonces x ₀ =k y y₀ =kv son una solución de ax + by =c. De este modo podemos encontrar al menos una solución a la ecuación . Sea x₁, y₁ otra solución. Como x₁ ≠ x₀ existe un entero r tal que x₁ =x₀ +r. Sustituyamos en la ecuación.

a (x₀ +r) +by ₁ = c =ax₀ +by₀
Y al simplificar obtenemos
Un argumento simétrico muestra que si y₁ = y₀-s entonces Una vez más sustituimos en la ecuación

Y al simplificar llegamos a bs-ar= 0. Sean
Entonces (a`,b`) = 1 y (r`,s)`=1 Además
b`s`- a`r`=0.
Esto implica que b`s` =a`r`. Además, la coprimalidad implicara que r’ =b’ y s`=a`.Por tanto tenemos que,
Así toda solución es de la forma
Donde t es un entero que satisface la relación
Para terminar, notemos que

¡Esto quiere decir que todo entero satisface la relación anterior! En otras palabras , los números de la forma x =x₀ +bt/d y y=y₀-at/d siempre son soluciones y además toda pareja de números que es de esa forma es solución.

Para recapitular todo el trabajo desarrollado en esta sección establecemos el teorema principal.
Teorema 10.22 (Resolución de la ecuación lineal de congruencia.)
La ecuación ax +by =c tiene solución si y solo si d = (a,b) divide a c. Además , las soluciones son los números de la forma
Donde x₀ y y₀ son una solución particular y t es cualquier número entero.

10.3 Mínimo común múltiplo.

2009-02-03T00:15:00.000-06:00

Definición 10.6 Si a,b son enteros (no ambos cero), entonces el mínimo común múltiplo de a y b es el menor entero positivo que es múltiplo tanto de a como de b. Este número lo denotamos con [a,b].
Podemos extender la definición a un conjunto a₁,a₂,a₃,...a_n de enteros que no sean todos cero, definiendo su mínimo común múltiplo como el menor entero positivo que es múltiplo de todos ellos.
Estamos interesados en buscar alguna relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Escojamos dos números, digamos
a =252=2² ×3²×7 y b = 735 = 3×5×7²
Para facilitar el análisis, podemos “completar” los factores para que los primos que aparecen en ambas expresiones sean los mismos:
a = 252 = 2²×3²×5⁰×7¹
b = 735= 2⁰×3¹×5¹×7¹
Si calculamos manualmente (a,b) y [a,b] obtenemos
(252,735 ) = 21 = 2⁰ ×3¹ × 5¹×7¹
[252,735] = 8820 = 2² ×3² × 5¹×7¹
Podemos ver que los primos que aparecen en ambas expresiones son los mismos que los que aparecen en las factorizaciones (acompletadas ) de los números variando únicamente los exponentes. Esto lo enunciamos como sigue:
Teorema 10.17 Sea p un número primo.
El exponente con el que p aparece en (a,b) es el mínimo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones de a y n.
El exponente con el que p aparece en [a,b] es el máximo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones de a y b.
El teorema anterior puede deducirse del Teorema fundamental de la aritmética y de las definiciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Ya tenemos la herramienta necesaria para demostrar la siguiente relación, cuya prueba se deja como ejercicio.
Teorema 10.18 Si a,b son enteros, entonces
ab= (a,b) [a,b] .

10.2 Máximo común divisor.

2009-02-02T15:49:00.001-06:00

Definición 1.3 Dados dos números a y b no negativos y no ambos cero el mayor número que divide a los dos se denomina máximo común divisor de a y b. Denotamos a este número como(a,b). En general, dado un conjunto de enteros no negativos y no todos cero{a₁,a₂...a_n}, definimos a su máximo común divisor (a₁,a₂....a_n)como el mayor entero positivo que los divide a todos.
La definición anterior implica que (a,b) siempre es positivo. Algunas propiedades básicas son:
1.-(a,1) =1 para toda a
2.-(a,a) =a para toda a.
3.-(a,0) =a para toda a.
4.-(a,b) = (b,a).
5.-(a,b) = (b, a-b).
Para probar la última propiedad notemos que si un número divide a a y b, divide a a-b por lo que es un divisor común de b y a-b. A la inversa si divide a b y a a-b divide a (a-b)+b=a. Esto implica que los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y a-b y por tanto el mayor de ambos conjuntos es el mismo número.
Esta propiedad también nos permite calcular el MCD de dos números dados. Por ejemplo, sean a= 26, b = 10. Entonces
(26,10)=(10,16)=(16,10)=(10,6)=(6,4)=(4,2)=2
Estas cuentas se pueden acelerar mediante el uso del algoritmo de la división. Si a =bq + r con o ≤ r < b (entonces (a,b)=(b, a-bq)= (b,r) se deja la prueba de estas igualdades al lector. Así como 26 = 10 × 2 +6 el cálculo anterior se convierte en:
(26,10)= (10,6) =(6,4) =(4,2) = 2.
El proceso arriba mencionado se conoce como algoritmo de Euclides.

(Teorema 10.7) Si g es el máximo común divisor de a y b, entonces existen enteros u,v tales que g =au +bv..
Prueba Consideremos el conjunto de todos los números de la forma ax +by con x,y enteros (el conjunto de combinaciones lineales de a y b). De este conjunto escojamos el menor enteo positivo y llamémosle d. Sean u,v tales que d = au +bv. Si

aplicamos el algoritmo de la división a = dq +r con 0 < r < d. Pero
r=a – dq=a- (au +bv)q =a(1-qu) +b (-qv)
Significa que r es positivo, está en el conjunto y es menor a d. Esto es una contradicción ya que habíamos supuesto que d era el menor número positivo del conjunto. Por tanto. d | a. Por un argumento similar obtenemos que d |b.
Ahora sea g el máximo común divisor de a y b. Como g |a y g | b, g | au +bv. Si g ≠ d tendríamos que g < d, es decir g no era el mayor de todos los divisores comunes de a y b, lo cual es una contradicción, concluimos pues ,que g=d.

Corolario 10.8 El máximo común divisor de a y b es la combinación lineal positiva más pequeña de ambos.
Corolario 10.9 = Si (a,b)=1 , la ecuación ax + by =1 tiene solución entera.
Prueba . Hállese los enteros x, y para los que (a,b) = ax +by.
Corolario 10.10 (a, a +a) =1.
Prueba (-1) × a +(1) × (a-1)=1. Entonces 1 es la combinación lineal positiva más pequeña y por lo tanto igual a (a,a +1).
Teorema 10.11 (am,bm) = m(a,b).
Prueba. (am,bm) es el menor valor positivo de amx + bmy = m (ax +by). Esto es lo mismo que m veces el menor valor positivo de ax +by el cual es a,b).
Corolario 1.12 Si d = (a,b) entonces

Otra manera de caracterizar l máximo común divisor de a y b es como sigue. Supongamos que d es cualquier divisor común de a y b. Entonces d divide a cualquier combinación lineal de a y b. , en particular divide a la menor positiva es decir, es decir divide a (a,b). Y como a |b implica a ≤ b, (a,b) es el único número con esta propiedad. Lo cual prueba el siguiente teorema.
Teorema 10.13 El máximo común divisor de a y b es el único entero positivo que es divisible entre cualquier número que divida tanto a a como a b.
Definición 10.4 Dados dos números a, b decimos que son primos relativos, si (a,b)= 1. En general, decimos que un conjunto (x₁,x₂,...x_n) de enteros son primos relativo entre si cuando (x₁,x₂,...x_n)=1.
Definición 10.5 dado un conjunto {x ₁,x,₂...x_n } de enteros, decimos que son primos relativos dos a dos si (x_i,x_j)=1 para cualquier pareja x_i,x_j.
Ser primos relativos entre sí y ser primos relativos dos a dos no es lo mismo. Por ejemplo, los números 4,6,9 son primos relativos entre sí puesto que (4,6,9)= 1, pero no son primos relativos dos a dos ya que (4,6)=2.
A continuación se enuncia no de los resultados más usados en relación al máximo común divisor y a la vez uno de los más fuertes, ya que será pieza clave en la demostración del Teorema fundamental de la aritmética.
Teorema 10.14 Si c |ab y (c,a)=1 entonces c |b.
Prueba. Como c |ab y c| bc, c |(ab, bc) .Pero (ab,bc)= b (a,c)= b. Por tanto, c| ab.
Un caso muy especial se obtiene cuando c es primo.
Teorema 10.15
Si p es primo y divide a ab, y p no divide a a entonces p divide a b.
Prueba sea d = (a,p). Entonces d |p por lo tanto d solo puede ser 1 o p . Como
Tenemos que d≠ p y por lo tanto d =1. Aplicando el teorema anterior llegamos a que p| b.
Teorema 10.16 (Teorema fundamental de la aritmética) Todo número se puede factorizar de manera única como producto de primos.
Prueba. Ya hemos probado que todo número se puede factorizar en primos, y nos resta probar la unicidad de esta factorización. Sean

dos factorizaciones distintas donde por conveniencia suponemos que los primos aparecen listados en orden creciente. Cada p_i divide a n y por tanto a alguna q_j(aplicando varias veces el argumento anterior). Pero un primo divide a otro si y solo si son el mismo. Entonces cada p_i es alguna q_j, y por un argumento similar cada q_j es una p_i, esto implica que p _i=q_i para cada i.
Falta ver que las potencias son las mismas, pero si por ejemplo a_j < b _j dividimos a ambos lados entre

y del lado derecho nos sobran factores p_j que dividen al lado izquierdo y son iguales a alguna p_k, lo cual es imposible. Una contradicción similar elimina el caso a_j > b_j.
Así podemos concluir que las factorizaciones son las mismas.
Ahora, retomemos el problema de expresar el máximo común divisor de dos números como combinación lineal de los mismos. Probamos que siempre es posible escribir (a,b) en la forma au + bv donde u y v son enteros y hemos usado este hecho en diversas pruebas, aunque no mencionamos de manera explícita como hallar esos números. El procedimiento para hallar los coeficientes a y b se basa en el algoritmo de la división y más que escribir explícitamente el proceso, lo ilustraremos con un ejemplo.
Así, deseamos expresas (124,44) como combinación lineal de 124 y 44.
124 = 44 × 2 +36
44 = 36 × 1 + 8
36 = 8 ×4 +4
8 = 4 × 2 +0
Entonces (124,44) =4. Despejamos el 4 y empezamos a sustituir de la siguiente manera:
4 = 36 -(4×8)
=36-4(44-36)
=5 × 36 – (4 ×44)
=5 (124- )44×2)) –( 4 × 44)
= (5 ×124) – 14 ×44
Así, 4 = (124 × 5) –(44 ×14). Comparemos esto con el proceso para calcular únicamente (124,44)(versión rápida):
(124,44)=(44,36)= (36,8)=(8,4)=(4,0)=4
y notemos que los números que aparecen son los mismos que aparecen al desarrollar todo el algoritmo de la división, con lo que comprobamos que el algoritmo de Euclides es en realidad la aplicación sucesiva del algoritmo de la división.
Vale la pena recalcar que los coeficientes que se encuentran no son los únicos, de hecho hay una infinidad de soluciones. Para este caso en particular notamos que:

Cada entero t nos genera una combinación distinta.

Divisibilidad

2009-02-01T00:23:00.003-06:00

Conceptos básicos
El concepto fundamental en el que estaremos interesados ahora, será el de divisibilidad, por ello introduciremos la siguiente definición .
Definición 1.1 Sean a y b dos números enteros. Decimos que a divide a b (lo que simbolizamos con a|b) si existe un entero c tal que
b = ac. Esto equivale a decir que b es múltiplo de a , o a que la división b ÷a no deja residuo.
Si a no divide a b, escribimos:

Esto es lo mismo que decir que la división b ÷a deja residuo.
Ejemplos:
3|12 pues 12 =4×3
4|20 ya que si c=5, 20= 4c.
3|0 dado que 0=3c cuando c=0

Para cualquier entero a, a+1 | a² -1, ya que a ² -1 =(a +1) × k con k = a-1.
De la definición podemos derivar ciertas propiedades básicas:
1.Todo número se divide a sí mismo: a | a
2.Si a | b, entonces a |-b. Como 4 |8 (8=4×2), 4|-8. (pues -8=4×(-2)).
3.Si a | b, entonces a |bc para todo entero c. (4|12, entonces 4|12×5).
4.Si a y b son positivos y a |b, entonces a≤ b.
5.Si a | b y b | c entonces a | c. Ejemplo: 2|10 y 10 |30, entonces 2 |30.
Si a |b y a |c entonces a | (b+c).Así 2|4 y 2|6 implica 2 | (4+6)
La prueba de la última propiedad es típica de las pruebas de problemas de divisibilidad, así que se incluye para tener un modelo.
Prueba. Si a | b y a |c, entonces existen números enteros m y n tales que b =am y c= an. Entonces b+c = am+ an = a (m+n). Como b + c = ak cuando k = (m+n), la definición de divisibilidad nos dice que a | b +c. La prueba queda terminada.
La prueba anterior puede extenderse a varios sumandos:
Teorema 10.1 Si a |x₁ ,a |x₂, a |x₃,... a |x_n, entonces
A | (c₁x₁ +c₂x₂+c₃x₄+...+c_nx_n)
Para cualquier combinación de enteros, c₁,c₂,c₃,...c_n.

Dados a y b, un número de la forma ax + by se denomina una combinación lineal de a y b. En general dados x₁,x₂,...,x_n, un número de la forma u₁x₁ + u₂x₂+...+u_nx_n se conoce como una combinación lineal de los números x₁,x₂,....x_n. Entonces el teorema anterior lo enunciamos: “Si un número divide a un conjunto de enteros, divide a cualquier combinación lineal de los mismos.”

Por ejemplo dado que 3 |6 , 3|12 y 3|15, aplicando el teorema anterior con c₁=5, c₂= -7, c₃=2, deducimos que 3 | (6 ×5 + 12× (-7) +15 ×2 )
El concepto de divisibilidad puede generalizarse de la siguiente manera:
Teorema 10.2 (Algoritmo de la división)Sean a y b dos enteros con b > 0. Entonces existen enteros únicos c y r tales que a = bc+r y 0≤ r < b.
Lo importante a notar es que el residuo es positivo y cumple o ≤ r < b, y si

Entonces 0 < r < b. Básicamente, el entero c es el cociente de la división a÷b y r es el residuo.
Ejemplos:A= 12, b= 5. a=b×2+2.
A= 38, b= 8. a=b×4+6.
A= 20, b= 4. a=b×5+0.
A= 7, b= 10. a=b×0+7.
A= -15, b= 4. a=b×(-4)+1.
A= 18, b= -5. a=b×(-3)+3.
A= -14, b= -3. a=b×5+1.

Este algoritmo adquirirá mayor importancia en la siguiente sección.
Definición 10.2
Un número positivo se llama número primo si tiene solo dos divisores positivos distintos. Un número mayor a 1 que no es primo se denomina compuesto.
Teorema 10.3
Todo número mayor a 1 es divisible por algún primo.
Prueba. Sea n >1. Supongamos que no es divisible por ningún primo. En particular, n mismo no puede ser primo pues seria divisible entre si mismo. Como n no es primo, tiene algún divisor positivo d₁ distinto de 1 y n, es decir 1 < d₁ < n. Pero d₁ no puede ser primo porque dividiría a n. Entonces existe un d₂ que divide a d₁ tal que 1 < d₂ < d₁ < n. Como d₂ no puede ser primo porque divide a n, repetimos el argumento con d₂ para obtener un d₃ tal que 1 < d₃ < d₂ < d₁ < n. Como d₃ no puede ser primo existe un d₄ que divide a d₃ y así sucesivamente. Esto lleva a una contradicción pues no es posible continuar indefinidamente este proceso ya que entre 1 y n solo hay un número finito de términos. Por tanto n debe ser divisible entre algún primo.
Este tipo de pruebas se conoce como por descenso infinito y se basa en que si la condición pedida no se cumple se crea una sucesión infinita decreciente de elementos positivos, lo cual es imposible porque los enteros positivos tienen elemento mínimo. Las pruebas por descenso infinito fueron ampliamente usadas por Fermat.
El teorema anterior será usado en muchas pruebas en la siguiente forma “Si n es un número compuesto , hay un primo p que lo divide”.
Sea n un entero mayor a 1. Si n es primo, es igual a sí mismo. Si no es primo existe un primo p₁ que lo divide y entonces p = p₁n₁. Si n₁ es primo, n es igual a un producto de primos, de lo contrario existe un primo p₂ que divide a n₁ y así p=p₁p₁n₂. Si n₂ es primo, n es igual a un producto de primos, en caso contrario existe un primo p₃ que lo divide. Continuamos aplicando este argumento y construimos una sucesión n₁,n₁,n₃... decreciente de enteros positivos que debe terminar, es decir en algún momento n_k es un número primo. De esta manera ya probamos el siguiente teorema:
Teorema 10.4 Todo número mayor a 1 puede escribirse como producto de primos.
Es decir, un número n> 1 puede escribirse de la forma:

Donde cada p_j es un número primo.
Por ejemplo 12=2²×3, 60=2²×3×5, 101=101,99=3²×11. Ahora bien, al igual que 12= 2×6=3×4 tiene varias factorizaciones, nada nos garantiza que un número dado no se pueda factorizar de maneras diferentes en producto de primos (sin importar el orden). Pero después probaremos que para cada número dado la factorización en primos sí es única. Así podemos establecer el siguiente teorema (aunque la prueba de la unicidad la posponemos hasta tener las herramientas necesarias).
Teorema 10.5 (Teorema fundamental d la aritmética)Todo número se puede factorizar de manera única como producto de primos.
Para finalizar la sección probaremos uno de los resultados clásicos de la teoría de los números y que fue establecido hace cerca de 2000 años.
Teorema 10.6 (Euclides) Hay una cantidad infinita de números primos.
Prueba. Supongamos que hay una cantidad finita de números primos y sea p₁,p₂,...p_n la lista de todos ellos. Consideremos el número p₁×p₂×... ×p_n+1. Como ese número es mayor a 1 hay un primo que lo divide. Sea p tal que p | p₁×p₂×... ×_np+1. Como p | p×p₂×... ×p_n+1 se sigue que p |1 , lo cual es imposible. Concluimos que debe existir una cantidad infinita de primos.

9.1 Problemas y ejercicios

2009-01-21T23:51:00.000-06:00

1.-Demostrar que la suma de los ángulos de un polígono de n lados es ( n-2) 180 º.
2.-Demostrar las siguientes identidades:
3.-Verifica que
4.-Todos los números de la forma 1007, 10017,100117,1001117,... son divisibles entre 53.
5.-Se tienen 2n puntos, y de todos los segmentos que los unen se colorean n² +1. Prueba que existen 3 puntos tales que los 3 segmentos que los unen están pintados.

Inducción matemática

2009-01-20T23:45:00.000-06:00

Consideremos por un momento el polinomio p (x) = x + x+41. Sustituyendo x = 1,2,3... obtenemos los valores
Observemos que todos los valores obtenidos son números primos ¿Será cierto que para cualquier entero x el valor que se obtiene es un número primo?

Responderemos esta pregunta más adelante. Veamos otro problema de ejemplo.

Considera un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a 1 sobre la hipotenusa de éste se levanta un segundo triángulo de cateto igual a 1, sobre la hipotenusa de este nuevo triángulo se levanta un tercer triángulo rectángulo y así sucesivamente. Encuentra la longitud de la hipotenusa del triángulo número 1998.

Usando el teorema de Pitágoras obtenemos que la primera hipotenusa vale √2, la tercera vale √3, la cuarta vale √4. Si este patrón continuara, obtendríamos que la hipotenusa del triángulo 1998 sería √1999. Pero, ¿podemos asegurar que este patrón realmente continúa?

El método de inducción matemática.

En muchos problemas necesitamos demostrar que una propiedad que depende de un número entero n se cumple para todos los enteros positivos. La técnica canónica que usaremos para lograr este objetivo se denomina inducción matemática.
En su forma simple, este método consta de dos etapas:

1.Se verifica que la propiedad se cumple para un valor inicial ( n=1).
2. Se demuestra que si la propiedad se cumple para algún entero k, entonces se cumple para el siguiente (k +1).

Una vez verificados esos 2 requisitos, podemos verificar que la propiedad se cumple para n = 1, 2,3,....

Veamos un ejemplo práctico antes de analizar porque funciona el método. En el problema del triángulo, queremos comprobar la propiedad
La hipotenusadel triángulo n es √(n +1).
Notemos que la propiedad depende de un y sólo un número entero, el valor de n.Esto es un indicador de que el método de inducción matemática podría ser apropiado.
La primera etapa pide mostrar que la propiedad se cumple para n=1, es decir , que la hipotenusa del primer triángulo es √2, lo cual es cierto en virtud del teorema de Pitágoras.
En la segunda etapa, imaginamos que ya sabemos que la propiedad se cumple para algún valor de k ( o sea la hipotenusa del triángulo k es √(k +1) ).Queremos probar que la propiedad también se cumple para k +1 (o sea, la hipotenusa del triángulo k+1 es √(k +2)).
Para calcular la hipotenusa del triángulo k +1 aplicamos el teorema de Pitágoras. Uno de sus catetos es 1, y el otro es la hipotenusa del triangulo anterior, el cual estamos suponiendo que vale √(k +1). Entonces

Comprobamos que si la propiedad se cumple para un entero k, se cumple para k +1 . Entonces la inducción matemática nos garantiza que la propiedad siempre se cumple, y ya somos capaces de asegurar que la hipotenusa del triangulo 1998 es √1999.
¿Por qué funciona el método?
Este proceso puede compararse a una escalera, donde la primera etapa nos da el primer peldaño, y la segunda etapa construye nuevos peldaños a partir de los anteriores. La primera etapa prueba que la propiedad se cumple para n=1, dándonos un punto de partida. La segunda etapa dice que si sabemos que la propiedad se cumple para algún entero, se cumple para el siguiente.¡ Pero la primera etapa nos dice que la propiedad se cumple para n =1! Entonces podemos asegurar que la propiedad se cumple para el siguiente entero, es decir n =2. Como la propiedad se cumple para n=2, la segunda etapa nos dice que se cumple para el siguiente n =3.Como ahora ya sabemos que se cumple para n=3 ,la segunda etapa nos dice que la propiedad se cumple para n =4, y así sucesivamente.
Esto basta para asegurar que la propiedad se cumple para n= 1,2,3,4... ya que no importa que número escojamos, en algún momento la escalera “alcanza” ese número.
Variantes del método de inducción.

El análisis del método de inducción sugiere algunas variantes. Por ejemplo, en la primera etapa , el valor inicial no necesariamente tiene que ser 1. Si en la primera etapa probamos (por ejemplo) que la propiedad se cumple para n =10 , el método de inducción nos garantiza que la propiedad se cumple únicamente para n= 11,12... y si probásemos que la propiedad se cumple para n = -3, el método de inducción nos garantiza que la propiedad se cumple para n = -3,-2,-1, 0, 1,2,... Sin embargo, en la mayoría de los problemas el paso inicial es n =0 o n = 1.
La segunda etapa también es susceptible de modificación. Un ejemplo sería probar que si la propiedad se cumple para algún entero k , se cumple para k +2 . En este caso suponiendo que el valor inicial fuese n =1, habríamos que la propiedad se cumple para n = 1, 3,,5,7... ( Cerciorarse de este hecho). Sin embargo, las modificaciones a la segunda etapa son bastante raras, y con frecuencia pueden evitarse escogiendo adecuadamente las variables de la inducción.

Importancia de las dos etapas.
Si bien es cierta que la segunda etapa es la que “demuestra” que la propiedad se cumple, la primera tiene una importancia fundamental. Un error común es dar por sentada la primera parte del método y comprobar únicamente la segunda. Este es un error que se debe evitar, pues es necesario tener un punto inicial para que la inducción pueda funcionar. Consideremos el siguiente ejemplo.
En el problema del triángulo, imaginemos que equivocadamente hubiéramos notado que la hipotenusa del triangulo n era √(n-1).
En la segunda etapa suponemos que la propiedad se cumple para un k e intentamos probar que también se cumple para un k +1. Usando el teorema de Pitágoras:

Y concluimos que la hipotenusa del triangulo n es ! √(n-1) en vez de √(n+1)!
El error provino de omitir la primera etapa, que es la que nos provee de una base verdadera para que la segunda etapa construya una escalera de verdades.
Analicemos ahora el problema del polinomio. Después de probar los primeros 20 números obtenemos siempre números primos ( esto equivaldría a realizar la primera etapa), sin embargo, como nos es difícil probar la segunda parte, nos vemos tentados a decir “ después de hacer muchos casos”, concluimos que el polinomio siempre devuelve números primos”. Este es un error aún más grande que el anterior ,pues
P (41) = 41₂ +41 +41 = 41 (41 +1+ 1)= 41× 43
Y tenemos que el polinomio no siempre genera números primos. La moraleja es que si algún patrón parece repetirse de manera constante, es bueno señalarlo, pero hasta no realizar ambos pasos de la inducción no podemos garantizar que la propiedad siempre se cumple (aunque la comprobemos en muchos casos particulares).

8 Principio de las casillas

2009-01-19T16:24:00.006-06:00

El principio de las casillas es también conocido como el principio del Palomar se enuncia como sigue:

(Principio de las casillas)Si se dispone de n casillas para colocar m objetos y m >n, entonces en alguna casilla deberán colocarse por lo menos dos objetos.

Este principio puede parecer tan obvio a simple vista que parecería un poco extraño estudiarle en un capitulo aparte. Pero como veremos, una gran variedad de problemas combinatorios pueden atacarse con este principio, especialmente aquellos en los que se desea demostrar la existencia de alguna situación. Veamos unos ejemplo muy sencillos.

Ejemplo. En cualquier grupo de seis personas, hay tres personas que se conocen todas entre sí o tres personas que no se conocen ninguna a la otra (asumiendo que si x conoce a Y entonces Y también conoce a X).
Consideremos una persona de las seis, digamos a A. Las restantes cinco personas caen en dos clases: conocen a A o no conocen A. Por principio de las casillas, una de esas clases debe tener al menos tres personas.
Supongamos que hay al menos tres personas que no conocen a A, si algún par de ellas no se conocen, junto con A ya son personas que no se conocen entre sí, y en el caso restante las tres personas se conocen todas entre sí. Un argumento similar se ocupa en el caso cuando las tres personas conocen a A.

Ejemplo. Algunos de los cuadritos de una cuadricula de 3 × 7 se pintan de negro y los otros se dejan en blanco. Probar que forzosamente las líneas de la cuadrícula forman un rectángulo en cuyas cuatro esquinas los cuadraditos tienen el mismo color (los cuatro blancos o los cuatro negros).
Solución. Supongamos que tenemos una cuadricula pintada de manera tal que no se forma el rectángulo con las esquinas del mimo color.Simbolicemos por N al color negro y por B al blanco, y observemos que los cuadritos de una columna pueden haber quedado pintados según las siguientes8 posibilidades :p₁=NNN,p₂=NNB,p₃,p₄=BNN,p₅=NBB,P₆=BNB,p₇=BBN,p₈=BBB.

Supongamos que una de las columnas esta pintada según la posibilidad p ₁; entonces con cualquiera de las posibilidades en que la columna tiene dos N`s se formara un rectángulo con las esquinas negras, así que ninguna columna está pintada así; pero entonces las columnas están solo pintadas según las según las posibilidades p ₁, p ₅,p ₆,p ₇,p ₈; como el número de columnas es 7, entonces el principio de las casillas nos dice que debe haber dos columnas iguales, pero aquí también, por el principio de las casillas, como son tres cuadritos en cada columna y sólo dos colores hay un color que se repite, y entonces es obvio que se forma un rectángulo con las esquinas del mismo color. Concluimos entonces que la posibilidad p ₁ no aparece. Lo mismo ocurre al considerar la posibilidad p ₈. Entonces ninguna de las posibilidades p ₁ y p ₈ aparece; pero así sobran sólo 6 posibilidades, con lo cual , otra vez aplicando el principio de las casillas, tenemos dos columnas iguales, y de ahí una contradicción.

7.2 El triángulo de Pascal y el teorema del binomio

2009-01-19T00:20:00.000-06:00

Acomodemos en una tabla los valores de C (n,k) con los valores de n por filas y los de k por columnas

La identidad de Pascal nos dice que todo elemento del triangulo es igual a los dos que se encuentran directamente sobre de ella .Esto quiere decir que si construimos un arreglo triangular de números (comenzando con el 1 en la primera fila) de modo que toda entrada sea la suma de las dos que están encima de ella, los números que aparecen son precisamente los coeficientes binomiales. El arreglo que se forma se conoce como triángulo de Pascal.
El triángulo de Pascal encierra muchas relaciones numéricas, por ejemplo, la suma de todos los números en la n- ésima fila es 2ⁿ equivalente al teorema 7.3. Fijémonos ahora en la suma de las “diagonales”. En la siguiente figura, consideremos las diagonales cuarta (en verde), quinta (en rojo) y sexta (en azul) contando desde cero. Sus sumas son respectivamente 1+3+1=5, 1+4+3=8 y 1 +5+6+1=13.
Entonces tenemos que la suma de los elementos de la diagonal verde y la roja es igual a la suma de los elementos de la diagonal azul. Esto sucede en general si d _rdenota la suma de los elementos de la r-ésima diagonal, entonces:

d_r+1 =d _r + d_r-1 .

Además, dado que d₀= 1 y d₁ =1.Los números que se forman de esta manera se conocen como números de Fibonacci. Decimos entonces que la suma de los números en la r-ésima diagonal del Triángulo de Pascal es igual al r-ésimo número de Fibonacci.Otra relación interesante es la propiedad hexagonal

Escojamos un número en el interior, por ejemplo el 10 = C (5,3). Fijémonos en el hexágono de números que se forma a su alrededor con 6= C(4,2), 4 =C (4,3), 10=C (5,2), 5=C(5,4) ,20=C(6,3), 15=C (6,4).Si se multiplican vértices alternados de este hexágono se obtiene en ambos casos la misma cantidad:
4×10×16= 600= 6 ×5×20.
Esta propiedad también es válida formando hexágonos de este tipo en cualquier parte del triángulo. Sin embargo, quizás la relación más interesante en el triángulo de Pascal se relaciona con el teorema del binomio.
Consideremos el producto (a+b⁵). Al desarrollarlo, ¿con qué coeficiente aparece ab ? Aquellos que conozcan el teorema del binomio dirán enseguida: El coeficiente es C (5,3).¿Pero porque sucede así? Uno podría decir: “porque si desarrollamos (a+b)⁵=a⁵ +5ab⁴ + 10a²b³ + 10a³b² +5ab⁴ +b⁵ +vemos que el coeficiente es 10”.Pero esa respuesta en realidad no esta diciendo la razón de porque el coeficiente se calcula precisamente como C (5,3).
Para analizar la situación vamos a diferenciar los factores:
(a+b)⁵= (a₁+b₁) + (a₂+b₂) +( a₃+b₃) +( a₄+b₄) +( a₅+b₅) .
Donde las a_i y las b_j, son iguales entre sí.pero que estamos considerando como diferentes por ahora. Si efectuamos el producto de la derecha vemos que los términos que cuentan con ab³² son:
a₁a₂a₃b₄b_{5 ,}a₁a₂b₃a₄b₅ , a₁a₂b₃b₄a₅ , a₁b₂a₃a₄b₅ , a₁b₂a₃b₄a₅ ,

a₁b₂a₃a₄b₅ , b₁a₂a₃a₄b₅ , b₁a₂a₃b₄a_5,b₁a₂b₃a₄a_{5 ,}b₁b₂a₃a₄a₅ .

En otras palabras, si efectuamos la multiplicación “larga” de los cinco factores, los 10 términos de arriba son los que quedan en la columna de ab. Una manera de contar la lista consiste en fijarnos que siempre hay precisamente cinco posiciones de las cuales dos son ocupadas por b`s y tres por a`s. Entonces, dependiendo si nos fijamos en las a`s o en las b`s obtenemos que hay C (5,3) o C (5,2) que en ambos casos es 10.

Ejercicios y problemas

1.-Interprete combinatoriamente la siguiente afirmación:

2.-Demuestre la propiedad hexagonal del triángulo de Pascal
3.-Demuestre que la suma de los elementos en la r-ésima diagonal del triángulo de Pascal es precisamente el r- ésimo número de Fibonacci.
4.-Demuestre que

7 Coeficientes binomiales

2009-01-18T00:32:00.001-06:00

En el capitulo anterior, vimos que C (n, k) representa el número de subconjuntos de k elementos que tiene un conjunto con n elementos. Además, vimos que se puede calcular mediante la formula

A lo largo de este capitulo veremos una gran variedad de otras propiedades, pero el enfoque será distinto al anterior. Para poder desarrollar las habilidades de demostración en combinatoria, nuestras pruebas no se basaran en el cálculo explicito con la fórmula, sino en el hecho de que son el número de k-subconjuntos de un conjunto con n elementos. Así, aunque podemos demostrar las propiedades desarrollando la formula con factoriales, de este modo las combinaciones nunca serán más que herramientas de conteo para nosotros, mientras que el uso de su definición como número de subconjuntos nos permite adquirir nuevas habilidades que nos serán extremadamente útiles al momento de enfrentarnos a la resolución de problemas.
7.1 Identidades básicas.
Al usar las combinaciones en el capitulo anterior, habían unos casos especiales (cuando los subconjuntos son de un elemento, cuando se escoge todo el subconjunto), que tal vez notaste. A continuación los enunciamos para poder usarlos libremente

Dado que sólo hay una manera de escoger todos los elementos, y solo una manera de no escoger ninguno, tenemos que C (n,n) = C (n,0)=1 . Por otro lado, si un conjunto tiene n elementos y queremos escoger uno, tenemos n opciones. Así C (n,1)=n.

Para demostrar la segunda, notamos que cada vez que escogemos k elementos para formar el subconjunto, estamos determinando a los n-k que no estén en el subconjunto. Y viceversa, escoger n-k que no estén en el subconjunto automáticamente determina a los k que si están. Si para cada una elección de unos hay una elección correspondiente de los otros, el total en ambos casos es el mismo ( igual número de formas de escoger los k que sí van a estar y los n-k que no van a estar). Esto es,

La demostración dada es un ejemplo de como se evita la aplicación mecánica de la fórmula, usando un argumento basado en le definición. El siguiente resultado ya no es tan simple y a la vez es muy interesante, se conoce como la identidad de pascal.

Hagamos un análisis previo .Supongamos que S = { a₁,a₂,a₃,...,a_n }es el conjunto que tiene n elementos, con los que queremos formar subconjuntos con k elementos. Fijémonos en un elemento cualquiera, digamos a₁. De todos los conjuntos que queremos formar, algunos contendrán a a y otro no, sin embargo
Total de subconjuntos con k elementos =
(subconjuntos con k elementos que contienen a a₁)
+ (subconjuntos con k elementos que no contienen a a₁).

El total es, por definición C (n,.k).Ahora queremos contar cuantos de ellos contienen a a₁.
Si uno de tales conjuntos tiene a a₁, hay que llenar k-1 posiciones con cualquiera de los otros n-1. En otras palabra, como ya sabemos que a₁ es un elemento, hay que escoger k-1 de los n-1 restantes, lo que se puede hacer de C (n-1,k-1) formas.
Para formar un conjunto que no contiene a a₁, hay que escoger k elementos de los n-1 que son distintos a a. Esto lo podemos hacer de C (n-1,k)formas. Entonces, por las observaciones de arriba, concluimos que C (n,k)= C (n-1,k-1) + C (n-1,k)
Sabemos contar cuantos subconjuntos de tamaño k tiene un conjunto de n elementos, ¿pero cuántos subconjuntos tiene en total? Hay un conjunto con 0 elementos (el vacío), hay n con un solo elemento, hay C (n,2), que tienen dos elementos,etc. En otras palabras , queremos calcular la suma
Como hemos estado haciendo, analizaremos primero un caso particular como ejemplo. Imaginemos que tenemos el conjunto S= { p,q,r,s,t}. Como tiene 5 elementos, queremos calcular C (5,0)+ C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5). La idea que usaremos será “representar” los subconjuntos con sucesiones de unos y ceros del siguiente modo: consideramos cinco espacios _ _ _ _ _ y escogemos un subconjunto; si un elemento aparece en el conjunto escribimos un 1 en su posición, y de lo contrario ponemos un cero.
Ejemplo: Si el conjunto escogido fuera {q,s,t , escribiríamos 01011 porque solo el segundo, el cuarto y el quinto elementos están en el subconjunto. Si el subconjunto fuera { p,q} la sucesión seria 11000, y al subconjunto vacío le toca 00000. También es claro que si escogemos cualquier sucesión de longitud cinco hecha de unos y ceros, representa algún subconjunto. Por ejemplo la sucesión 10101 es el subconjunto {p,r,t} y la sucesión 00001 es el subconjunto { t}.
Así cada sucesión es un subconjunto y cada subconjunto una sucesión. Entonces contar subconjuntos es lo mismo que contar sucesiones. El principio de la multiplicación nos dice que hay 2⁵ de tales sucesiones. Por tanto, hay 32 subconjuntos.
No había nada especial en que el subconjunto tuviera 5 elementos. Si tuviese n elementos, usaríamos sucesiones de longitud n. El argumento es completamente análogo. De nueva cuenta resumimos nuestro análisis en un teorema.
Teorema 7.3
Un subconjunto con n elementos tiene 2 Un subconjunto con n elementos tiene 2ⁿ subconjuntos diferentes.

6.3 Combinaciones

2009-01-14T23:50:00.001-06:00

Para terminar esta sección, consideramos el siguiente tipo de problemas: “Dada una colección de n objetos. ¿De cuantas maneras se peden escoger k de ellos?
Veamos un ejemplo concreto. El conjunto a considerar será A = {a,e,i,o,u} y nos preguntamos de cuantas maneras se pueden escoger tres vocales. Un primer intento diría:
Como hay que formar arreglos de tres letras a partir de un conjunto que tiene 5 elementos, hay P (5,3) = 60 arreglos.Sin embargo, el razonamiento anterior es incorrecto. Para ver el porqué, imaginemos que las letras escogidas, son, a, i, u. Estas forman los arreglos aiu,aui, iua,iau,uia,uai. Entonces seis diferentes arreglos representan la misma elección . El problema es que aquí no se nos pide el número de arreglos, sino simplemente el numero de formas de escoger las letras. Es decir,no importa el orden.
Nuestro problema es, que si contamos arreglos, estamos contando seis veces el número que queremos. Esto es así porque cada vez que escogemos tres letras, hay 3! = 6 formas de revolverlas entre si .Si por cada grupo de 3 letras hay 6 arreglos, entonces el número que buscamos es un sexto del numero de arreglos. Entonces la respuesta que buscamos es 60/6 = 10.
¿Qué habría pasado si en vez de grupos de 3 hubiéramos formado grupos de cuatro?¿o de dos? ¿Y si en vez de un conjunto de 5 elementos hubiésemos comenzado con uno de 10 o de 20?
Para encontrar la formula, supongamos que comenzamos con un conjunto de n elementos y queremos contar de cuantas formas se puede hacer un grupo de k de sus elementos. Al igual que en el razonamiento anterior, comenzamos contando el numero de arreglos de tamaño k. El teorema 6.4 nos dice que este número es

Pero al igual que en el ejemplo, este no es el número que buscamos ya que varios arreglos pueden representar el mismo grupo. Pero ya sabemos que k objetos se pueden revolver de k! maneras entre si. Entonces el número de grupos es 1/ k! veces el número de arreglos. De este modo, el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos (sin importar el orden) es
Un subconjunto de k elementos de un conjunto con n se llama a veces una combinación, por lo que al número calculado se le llama combinaciones de n en k (o “n en k” por brevedad). También se le da el nombre de coeficiente binomial por razones que aprenderemos más adelante. Se representa de varias maneras algunas de las cuales son entre otras, son:
Resumimos Nuestro trabajo n el siguiente teorema.
6.5Combinaciones de n en k. El numero de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos es
Las combinaciones juegan un papel central n la combinatoria, por lo que dedicaremos todo el capitulo siguiente al estudio de sus propiedades. Por ahora únicamente nos interesa su aplicación al conteo (cálculos numéricos) .

Ejemplo. El poker se juega con 32 cartas, cada una de las cuales tiene un “número” que puede ser 7,8,9,10,J, Q ,K,A y un símbolo (o “palo”) que puede ser ♠, ♣,♥,♦.De este modo, (10, ♥) representa el diez de corazones. Un jugador recibe 5 cartas.

1.Si de las cinco cartas, hay 3 de u mismo número y dos de otro, ¿de cuántas maneras se puede hacer?
2.Si el jugador recibe cuatro cartas del mismo número (por tanto la última de distinto ¿Cuantos casos posibles hay?
3.¿De cuantas formas puede recibir sus cartas de modo que las cinco sean del mismo palo?

1.Primero usamos el principio de la multiplicación para ver que hay 8 × 7= 56 formas de escoger que número se va a repetir 3 veces y cual se va a repetir dos (porque en total hay 8 números .
Ahora para cada una de esas elecciones, hay que escoger tres cartas de las cuatro que tienen el primer número. Esto puede hacerse de C(4,3) maneras. Para formar las dos restantes , escogemos dos de las cuatro que tienen el segundo número, lo cual puede hacerse de C (4,2) formas. El total de formas es
2.-Hay 8 formas de escoger el número que se repite cuatro veces (que es lo mismo que hacer C (8,1)). La carta restante necesariamente es de un número distinto, porque solo hay cuatro de cada número, así que la podemos escoger de cualquiera de las 28 restantes (en total son 32 cartas) por lo que el número de casos posibles es 8 × 28= 224.
3. El palo tiene cuatro opciones (que es lo mismo que (C 4,1)). De las 8 cartas de cada palo hay que escoger 5. Entonces el total es

6.21 k permutaciones de n objetos.

2009-01-12T23:55:00.013-06:00

El alfabeto tiene 27 letras.¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar en las que ninguna letra se repita? El principio de la multiplicación nos dice que podemos llenar los espacios _ _ _ _ _ de 27×26×25×24×23 = 9687600 formas.
Si en vez de 5 hubiésemos pedido palabras de 10 letras, el numero habría sido 27×26× 25 ×...18, y si en lugar de 10 pidiéramos arreglos de k letras, el total seria
27 × 26 × 25 ×... (27-k +2) × (27-k +1 )
(podemos sustituir varios valores de k para comprobar) ¿Por qué funciona esa formula? En todas las etapas las opciones vienen del mismo conjunto, pero como cada vez que hacemos una elección ya no podemos volver a usa esa letra, las opciones van disminuyendo de una en una, y como hay k posiciones, tenemos k factores consecutivos.
Tampoco tenia nada de especial el 27. La situación general es como sigue: se tiene un conjunto con n objetos (en el ejemplo anterior fue un conjunto de 27 letras), de las cuales se escogen k elementos (en el ejemplo fueron 5) para formar arreglos (palabras), ¿de cuantas formas se puede hacer? La primera posición tiene n opciones, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llenar las k posiciones. El total de arreglos es entonces

Un arreglos formado por k elementos que se escogen de un conjunto con n elementos se llama una k-permutación (de n objetos) o simplemente permutaciones de n en k. El número de las mismas se calcula con el producto de arriba. El producto anterior “se parece” a un factorial. Si lo completamos y dividimos entre los factores que hicieron falta obtenemos la formula que buscamos.

Teorema 6.4
(Permutaciones de n en k) Si de un conjunto de n elementos se escogen k para formar arreglos, entonces el número de tales arreglos se representa como

Este número también se representa comoAsí la solución de las palabras de cinco letras la pudimos haber calculado como P (27,22).

Ejemplo. Si en un concurso de matemáticas participan 50 personas, de cuántas maneras pueden quedar repartidos el primer, segundo y tercer lugar?
Para los premiados se escogen 3 de las 50 personas, y como el orden importa, la respuesta es

6.2 Permutaciones.

2009-01-08T22:17:00.001-06:00

En varios de los ejemplo anteriores usamos el principio de la multiplicación en una situación muy especial: en cada posición, siempre teníamos las mismas opciones (como en el ejercicio de la sección anterior que se pedía formas números que solo tenían cuatros y doses). Si hay que llenar n posiciones y cada posición tiene k opciones, el total de arreglos es:

Es importante notar que la formula anterior es valida únicamente cuando en todas las posiciones siempre tenemos la misma cantidad de opciones.

Ejemplo. Se escriben las letras a, b, c, d, e , f en papelitos distintos y luego se resuelven los seis papelitos en una bolsa. Se desea formar palabras de cuatro letras con esas letras. Se extrae un papelito, se apunta la letra, y se regresa a la bolsa, repitiendo este proceso 4 veces ¿cuántas palabras de puede formar?
Las palabras son arreglos de cuatro letras, cada letra puede ser de seis tipos distintos, Entonces el total de palabras es 6⁴ = 1296 palabras.

Otra situación especial que aparece con frecuencia, es que cada vez que hacemos una elección, no podemos volver a escoger esa opción (como en el ejercicio que había que formar números cuyos dígitos no se repitieran). Imaginemos primero que se tienen n objetos y nos preguntamos de cuantas maneras podemos ordenarlos en fila. Como ejemplo concreto, consideremos las 5 vocales, a,e,i,o,u y nos preguntamos de cuantas maneras podemos ordenarlas . Posibles arreglos serian aeiou, ueoia, aioue. Son 5 posiciones y 5 objetos . La primera posición tiene 5 opciones, la segunda 4 (porque ya no podemos usar la misma letra), la tercera 3, la cuarta 2 y la ultima 1. Entonces en total hay 5×4×3×2×1= 120 arreglos.

Hacemos notar que lo importante aquí es que no podemos repetir lo que escogemos. Podemos ver que si en vez de 5 tuviésemos n objetos que ordenar, el total habría sido n (n-1)(n-2)...3×2×1.
Si n es un numero entero positivo, al numero n (n-1)(n-2)...3×2×1 se conoce como n factorial y se representa como n! . Notemos que la definición anterior dice que n! Es un entero positivo una de las propiedades que cumple el factorial es que

Esa propiedad nos dice una manera de “extender” la definición para incluir al cero, ya que entonces 0! seria
Regresando a nuestro problema, podemos enunciarlo con esta nueva notación como sigue:

Hay n! Maneras de ordenar n objetos cualquiera.

Ejemplo. Si se tienen 7 libros, el numero de formas de ordenarlos en un librero (uno junto a otro) es 7! = 7×6×5×4×3×2×1= 5040.

Ejemplo si se baraja un paquete completo de 52 cartas.¿De cuantas formas pueden quedar ordenadas?
El número d e arreglos de las 52 cartas es 52!=
80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000.

6.1 Principios básicos de conteo.

2009-01-05T14:20:00.000-06:00

Hay dos principios básicos en combinatoria:

Principio de la adición. Si se desea escoger un objeto que puede tener r tipos distintos, y para el primer tipo hay t₁ opciones, para el segundo tipo hay t₂ opciones, para el tercer tipo t₃ opciones, y así sucesivamente hasta t_r opciones para el ultimo tipo, entonces el objeto puede escogerse de t₁ +t₂ ...+t₃ maneras.

Lo que el principio anterior dice, es que el total de opciones es la suma del número de opciones en cada tipo. Como por ejemplo, supongamos que hay que escoger un libro de entre tres materias: matemáticas, historia y biología. Hay seis libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de biología . Entonces tenemos 6+9+4 = 19 opciones.

Principio de la multiplicación. Si una tarea se ha de realizar en n etapas, y si la primera etapa tiene k₁ maneras de realizarse, la segunda tiene k₂ maneras, y así sucesivamente hasta k_n , maneras de realizar la ultima, entonces el numero de formas de realizar la tara es k ₁× k₂ ×...×k_n.

Si una persona ha de escoger como vestirse, teniendo 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo que se duplica el total y al final tiene 240 formas de vestirse. El principio de la multiplicación puede visualizarse mediante un diagrama de árbol

Veamos algunos ejercicios que usan estos principios.
Ejemplo ¿cuántos números de 5 cifras están formados únicamente de cuatros y doses (ejemplos:44242, 24422)? Nos están pidiendo números de cinco cifras, es decir nos piden llenar con doses y cuatros las cinco rayitas _ _ _ _ _ . En la primera rayita podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), en la segunda podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), lo mismo en la tercera, cuarta y quinta rayita. El principio de la multiplicación dice que el total es 2× 2 × 2× 2 × 2= 2⁵ = 32. Así la respuesta es que hay 32 números pedidos.

Ejemplo ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?
Como en el ejemplo anterior, tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _.En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8⁴ = 28672.

Ejemplo. Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?
Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.
Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3³ = 54.
Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3⁴ = 81 números de esta forma.
Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.

Ejemplo ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?
Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.

Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida. En las siguientes secciones estudiaremos las principales.

5.4 La línea de Simson

2009-01-02T22:30:00.001-06:00

Teorema 5.4.1 Los pies de las perpendiculares trazadas desde cualquier punto del circuncírculo de un triángulo a los lados de éste, son colineales.
Demostración. Sea P un punto perteneciente al circuncírculo de un triángulo cualquiera ΔABC, y sean X, Y y Z los pies de las perpendiculares trazadas desde P respectivamente hacia los lados BC, AC y AB como en la figura.

La circunferencia de diámetro AP pasa por los puntos Y y Z, al ser ÐAZP y ÐAYP ángulos rectos . De aquí que ÐZAP = ÐZYP, y claramente ÐZAP y ÐBAP son suplementarios. Pero como el cuadrilátero ABCP es cíclico , se sigue que Ð BAP es suplemento de ÐBCP. Por lo tanto
ÐBCP = ÐZAP = ÐZYP.

Por su parte la circunferencia de diámetro PC pasa por los puntos X y Y, ya que los ángulos ÐPYC y ÐPXC son rectos. Así Ð XYC = ÐXPC. Además, como ÐXPC + Ð BCP = 90°, tenemos ÐXYC + ÐBCP = 90°.
Por último
ÐXYZ = ÐXYC + 90° + ÐZYP = ÐXYC + 90° + Ð BCP = 180°.
A la línea recta que pasa por los puntos X, Y y Z, que son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P del circuncírculo a los lados del triángulo, se le llama la línea de Simson.

5.3 Teorema de Ptolomeo

2009-01-02T22:30:00.000-06:00

Teorema 5.3.1 (Teorema de Ptolomeo) En todo cuadrilátero cíclico no cruzado, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales.
Demostración. Sea ABCD cualquier cuadrilátero cíclico y no cruzado. Considerando el punto E sobre la diagonal BD, tal que ÐBAE = ÐCAD, como en la figura.

Tenemos que los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, ya que los ángulos ÐBAE y ÐCAD son iguales por definición de E, y ÐEBA = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AD.
Por lo tanto

y de aquí que
AB × cd = AC × BE
Tenemos quE los triángulos Δ AED y ΔABC son semejantes, puesto que ÐEAD = ÐAEC + ÐCAD =ÐEAC + ÐBAE = ÐBAC y además ÐADE = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AB.
Por lo tanto

, en otras palabras
AD × BC = AC × ED.
Sumando miembro a miembro las igualdades que obtuvimos,
AB×CD + AD× BC = AC×BE + AC×ED
= AC ×(BE + ED)
= AC×BD.
Demostración de lo que queríamos.
Teorema 5.3.2 (Teorema inverso de Ptolomeo) Si un cuadrilátero no cruzado es tal que la suma de los productos opuestos es igual al producto de las diagonales, tal cuadrilátero es cíclico.
Demostración. Sea ABCD un cuadrilátero no cruzado, el cual cumple con la hipótesis AB × CD + AD × BC = AC × BD. Consideremos el punto E tal que ÐBAE = Ð CAD y ÐABE= ÐACD, como en la figura.

Para demostrar que ABCD es inscriptible bastará probar que ÐABD = ÐACD; o lo que es lo mismo, que E esté sobre el segmento BD, es decir que BE + ED = BD.
Por la construcción de E, los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, por lo que Y asi,

BE × AC =CD × AB .

Por otro lado, observamos que ÐBAC = Ð BAE + ÐEAC = Ð CAD + ÐEAC = Ð EAD utilizando la primera identidad , garantizamos que los lados adyacentes a los ángulos ÐBAC y ÐEAD son proporcionales, entonces, por el criterio L.A.L los triángulos ΔABC y ΔAED son semejantes, con lo cual obtenemos que

y así
AC ED = BC AD
Sumando miembro a miembro esta identidad con la segunda que habíamos obtenido, veríamos que
BE AC + AC ED = CD AB +BC AD
AC (BE + ED) = CD AB + BC AD
Y utilizando la hi´pótesis de que AB CD + AD BC = AC BD, concluimos que
BE+ ED = BD,
Ya que AC es diferente de cero 0.

5.2 Rectas Antiparalelas

2009-01-02T22:00:00.000-06:00

Definición 5.2.1 Dadas dos rectas a y b no paralelas y l la bisectriz del ángulo formado por a y b. Decimos que las rectas c y d son antiparalelas con respecto a las rectas a y b si solo si α = β, en donde α y β son los ángulos formados por la bisectriz l y las rectas c y d como en la figura.

Teorema 5.2.1 Si las rectas c y d son antiparalelas con respecto a las rectas a y b, y si A,B,C Y D son los puntos de intersección entonces el cuadrilátero ABCD es cíclico.
Demostración. Tenemos dos casos
Caso 1.
Sean A, B, C, D, P , R y Q como en la figura . Hagamos α= ÐAPR = ÐCPR ,β = ÐARQ = ÐBQR, γ = ÐBAC y finalmente δ= ÐBDC. Para demostrar este caso, veremos que γ+ δ= 180°.

Como ÐPQD = 180°- β y α+ δ+ ÐPQD = 180°, puesto que son los ángulos interiores del triángulo ΔPQD, entonces
δ = 180° -α - ÐPQD =β - α.
Consideremos ahora el triángulo Δ PAR. Como Para Ð PRA= 180°- β y α +Ð PRA + Ð PAR = 180° por ser los ángulos interiores de tal triángulo, tenemos
PAR = 180° -α -Ð PRA = β-
α
Y como γ = 180°- ÐPAR = 180°- β+α , entonces

γ+ δ =( 180° -β + α) + (β-α) = 180°.
Así y son suplementarios. Además γ + δ + ÐACD + ÐABD =360°, por lo que ÐACD +Ð ABD = 180°. De esta forma obtenemos un cuadrilátero convexo con ángulos opuestos suplementarios; y por el corolario (5.1.5), ABCD es inscriptible.
Caso 2.
Sean A,B,,D,P,R y Q como en la figura, y α= ÐAPR = ÐCPR, β= ÐAQR= ÐBRQ, γ=Ð ADC y δ=Ð ABC.
Para este caso tracemos la recta que pasa por el segmento AC para que los puntos D y B queden en el mismo semiplano determinado por la recta AC. Demostraremos que δ= γ.

Los ángulos interiores del triángulo Δ PQD suman 180°, por lo tanto β= α+ γ. Y por otro lado, considerando el triángulo Δ PRB, podemos ver que β= α+δ.
Lo anterior implica que γ= β-α= δ. Así vemos que el segmento de la recta AC, desde los puntos B Y D bajo ángulos iguales. Y por la condición suficiente de concíclicidad de cuatro puntos, el corolario (5.1.4), tenemos que el cuadrilátero ABCD es inscriptible.