7.2 El triángulo de Pascal y el teorema del binomio

Acomodemos en una tabla los valores de C (n,k) con los valores de n por filas y los de k por columnas

La identidad de Pascal nos dice que todo elemento del triangulo es igual a los dos que se encuentran directamente sobre de ella .Esto quiere decir que si construimos un arreglo triangular de números (comenzando con el 1 en la primera fila) de modo que toda entrada sea la suma de las dos que están encima de ella, los números que aparecen son precisamente los coeficientes binomiales. El arreglo que se forma se conoce como triángulo de Pascal.
El triángulo de Pascal encierra muchas relaciones numéricas, por ejemplo, la suma de todos los números en la n- ésima fila es 2ⁿ equivalente al teorema 7.3. Fijémonos ahora en la suma de las “diagonales”. En la siguiente figura, consideremos las diagonales cuarta (en verde), quinta (en rojo) y sexta (en azul) contando desde cero. Sus sumas son respectivamente 1+3+1=5, 1+4+3=8 y 1 +5+6+1=13.
Entonces tenemos que la suma de los elementos de la diagonal verde y la roja es igual a la suma de los elementos de la diagonal azul. Esto sucede en general si d _rdenota la suma de los elementos de la r-ésima diagonal, entonces:

d_r+1 =d _r + d_r-1 .

Además, dado que d₀= 1 y d₁ =1.Los números que se forman de esta manera se conocen como números de Fibonacci. Decimos entonces que la suma de los números en la r-ésima diagonal del Triángulo de Pascal es igual al r-ésimo número de Fibonacci.Otra relación interesante es la propiedad hexagonal

Escojamos un número en el interior, por ejemplo el 10 = C (5,3). Fijémonos en el hexágono de números que se forma a su alrededor con 6= C(4,2), 4 =C (4,3), 10=C (5,2), 5=C(5,4) ,20=C(6,3), 15=C (6,4).Si se multiplican vértices alternados de este hexágono se obtiene en ambos casos la misma cantidad:
4×10×16= 600= 6 ×5×20.
Esta propiedad también es válida formando hexágonos de este tipo en cualquier parte del triángulo. Sin embargo, quizás la relación más interesante en el triángulo de Pascal se relaciona con el teorema del binomio.
Consideremos el producto (a+b⁵). Al desarrollarlo, ¿con qué coeficiente aparece ab ? Aquellos que conozcan el teorema del binomio dirán enseguida: El coeficiente es C (5,3).¿Pero porque sucede así? Uno podría decir: “porque si desarrollamos (a+b)⁵=a⁵ +5ab⁴ + 10a²b³ + 10a³b² +5ab⁴ +b⁵ +vemos que el coeficiente es 10”.Pero esa respuesta en realidad no esta diciendo la razón de porque el coeficiente se calcula precisamente como C (5,3).
Para analizar la situación vamos a diferenciar los factores:
(a+b)⁵= (a₁+b₁) + (a₂+b₂) +( a₃+b₃) +( a₄+b₄) +( a₅+b₅) .
Donde las a_i y las b_j, son iguales entre sí.pero que estamos considerando como diferentes por ahora. Si efectuamos el producto de la derecha vemos que los términos que cuentan con ab³² son:
a₁a₂a₃b₄b_{5 ,} a₁a₂b₃a₄b₅ , a₁a₂b₃b₄a₅ , a₁b₂a₃a₄b₅ , a₁b₂a₃b₄a₅ ,

a₁b₂a₃a₄b₅ , b₁a₂a₃a₄b₅ , b₁a₂a₃b₄a_5, b₁a₂b₃a₄a_{5 ,} b₁b₂a₃a₄a₅ .

En otras palabras, si efectuamos la multiplicación “larga” de los cinco factores, los 10 términos de arriba son los que quedan en la columna de ab. Una manera de contar la lista consiste en fijarnos que siempre hay precisamente cinco posiciones de las cuales dos son ocupadas por b`s y tres por a`s. Entonces, dependiendo si nos fijamos en las a`s o en las b`s obtenemos que hay C (5,3) o C (5,2) que en ambos casos es 10.

Ejercicios y problemas

1.-Interprete combinatoriamente la siguiente afirmación:

2.-Demuestre la propiedad hexagonal del triángulo de Pascal
3.-Demuestre que la suma de los elementos en la r-ésima diagonal del triángulo de Pascal es precisamente el r- ésimo número de Fibonacci.
4.-Demuestre que