Notas sobre el concepto de número

El concepto de número natural que satisface las  exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y abstracción características de la operatoria algebraica.

En álgebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cualquier tipo especial de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado el campo de los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacen las leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos más adelante el número natural no nos sirve para efectuar la resta y la división en todos los casos. Baste por el momento, dado el nivel matemático que alcanzaremos a lo largo de este texto, explicar cómo se ha  llegado al concepto de número real.

Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio histórico que nos haga conocer la gradual aparición d las distinta clases de números; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto cómo ciertas necesidades materiales han obligado  a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos. Este doble criterio, permitirá al principiante alcanzar una comprensión clara de  concepto formal (abstracto) de los números reales.

El número entero y el número fraccionario.

Mucho antes de  que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios (según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 2000-1800 A.C.) y los egipcios ( como se ve en el papiro de Rhind) conocían las fracciones.

La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los números fraccionarios.

Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de estas dos cosas: que la unidad esté contenida un número entero de veces, o que no esté contenida un número entero de veces. En el primer caso, representamos el resultado de la medición con un número entero. En el segundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres o en cuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la unidad que este contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta última medición lo expresamos con un par de números enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dará en  el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el numerador, el número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números fraccionarios  ½, 1/3, 3/5, etc.

Podemos decir también, que son números fraccionarios los que nos permiten expresar el cociente de una división inexacta, o loo que es lo mismo, una división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor.

Como se ve, en oposición a los números fraccionarios tenemos los números enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una división exacta, como por ejemplo 1, 2, 3, etc.

El número racional y el número irracional.

Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cuándo y cómo surgieron los números irracionales.

Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los números irracionales. Los historiadores de la matemática, están de acuerdo en atribuir a Pitágoras  de Samos (540 A.C.), el descubrimiento de estos de estos números, al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. Más tarde, Teodoro de Cirene (400 A.C.), matemático de la escuela pitagórica, demostró geométricamente  que √‾2, √‾3, √‾5, √‾7, etc., son irracionales. Euclides (300 A.C.), estudió en el Libro X  de sus 2Elementos”, ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables y los  números que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales. Ejemplos de tales magnitudes son la relación del lado de un cuadrado con la diagonal del mismo, que se expresa con el número irracional $\sqrt[]{a^2 + b^2}$ y la relación de la circunferencia al diámetro que se expresa con la letra $\pi  = 3.141592...$

 Como consecuencia de la introducción de  los números irracionales, consideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto de los números enteros. Definimos el número racional como aquel número que puede expresarse como cociente de  dos enteros. Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Llamamos  números reales al conjunto de  los números racionales e irracionales.

Los números positivos y negativos

Los números negativos no fueron conocido por los matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de  Diofanto (siglo III D.C.), que en su aritmética, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +. En el siglo VI,  los hindúes  Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fueron Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo  los signos + y – para caracterizar  los números positivos y negativos.

La significación de los  números relativos o con signos (positivos y negativos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir , magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geográfica de un región determinada; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente (Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o grados bajo cero. Convencionalmente fijamos los números positivos o con signo +  en una dirección  y los números negativos o con signo - en la dirección opuesta.

Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos que  representan una determinada unidad, nos resultan los puntos A, B, C, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del punto cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendremos los puntos a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indicado  a la derecha del punto cero representan  números positivos (A,B,C, etc.); los puntos señalados a la  izquierda (a, b, c, etc.), representarán números negativos.

Históricamente, los números negativos surgen para hacer posible la resta de todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.

Los números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo – que llevan antepuesto. 

El número cero.  Cuando tratamos de aprehender  el concepto de número natural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí. Por extensión  llamamos conjunto al que tiene un solo elemento y que se representa por el número 1.  Ahora, consideramos el número cero como expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos.

Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. 

El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar:

Álgebra preliminares V

Términos semejantes.

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, ósea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes

Ejemplos

$2a$ y   $a$   ; $-2b$ y $8b$ ; $-5a^{3}b^{2}$  y  $-8a^{3}b^{2}$  ; $x ^{n+1}$ y $3x^{n+1}$.

Los términos $4ab$ y $-6ab^{2} $ no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primer término tiene exponente 1 y la a del segundo término tiene de exponente 2.

Los exponentes $-bx^{4} $ y $ab^{4}$ no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.

Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término, dos o más términos semejantes.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.

Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos

1.- $3a + 2a = 5a$

2.-$-5b – 7b = -12b$

3.-$-a^{2} – 9a^{2} = -10a^{2}$

4.- $3a^{x-2} + 5a^{x-2} = 8a^{x-2}$

5.-$-4a^{m+1} – 7a^{m+1} = -11a^{m+1}$

6.-$ \frac{1}{2}ab +\frac{2}{3}ab = \frac{7}{6}ab$

7.-$ \frac{1}{3}xy -\frac{2}{3}xy = -xy$

8.-5x +2x +x  = 8x

9.-$-m -3m -5m -6m = -15 m$

10.- $\frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{4}x^2y + \frac{1}{8}x^2y = \frac{7}{8}x^2y$

Reducción de dos términos semejantes de distinto signo

Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

1.-$2 a – 3a = -a$

2.-$18 x-11x = 7x$

3.-$ -20 ab +11ab = -9ab$

4.-$-8a^{x} + 13a^{x} = 5a^{x}$

5.-$25a^{x+1}-54a^{x+1}=-29a^{x+1}$

6.-$ \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}a= -\frac{1}{6}a$

7.-$ -\frac{3}{7}a^{2}b +a^{2}b =\frac{4}{7}a^{2}b$

8.-$ -\frac{10}{12}a^{x+1} +\frac{3}{4}a^{x+1} = -\frac{1}{12}a^{x+1}$

De la regla anterior se deduce que dos términos semejantes de iguales coeficientes y de signo contrario se anulan.

Así:

$-8ab +8 ab = 0. $

$-\frac{2}{5}x^{2}y +\frac{2}{5}x^{2}y= 0.$

Reducción de más de dos términos semejantes de distintos signos.

Se reducen a un solo término todos los términos positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla anterior.

Ejemplos

1).- Reducir $5a -8a +a -6a +21a$

Reduciendo los positivos $5a +a +21a =27a$

Reduciendo los negativos $-8a -6a = -14a$

Aplicando a estos resultados obtenidos, $27a$ y $ -14$a la regla del caso anterior, se tiene $27a-14a =13a$

Esta reducción también puede hacerse término a término, de esta manera

$5a -8a =-3a $ ;  $ -3a  +a = -2a$ ;  $-2a  - 6a   = -8a $;   $-8a +21a = 13a  $

Reducir 

$-\frac{2}{5}bx^2 + \frac{1}{5}bx^2 + \frac{3}{4}bx^2 -4bx^2 + bx$

Reduciendo los positivos

$ \frac{1}{5}bx^2 + \frac{3}{4}bx^2  + bx^2 = \frac{39}{20}bx^2$

Reduciendo los negativos

$-\frac{2}{5}bx^2  -4bx^2 = -\frac{22}{5}bx^2$

Tendremos $\frac{39}{20}bx^2 - \frac{22}{5}bx^2 = -\frac{49}{20}bx^2$.

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases.

Ejemplos

(1)Reducir el polinomio $5a$  $-6b$ + $8c$  $+9a$ $-20c$ $-b$ $+6b$ $-c$

Se reducen por separado los de cada clase:

$5a$ $+ 9a$ $= 14 a$

$-6b$ $-b$ $+6b$ $= -b$

$8c$ $-20c$ $– c$ $= -13c$.
Tendremos $14a -b -13c $

Reducir el polinomio

$8a^3b^2$ $+ 4a^4b^3$  $+  6a^3b^2$ $-a^3b^2$ $-9a^4b^3$ $-15 -5ab^5$ $+8 -6ab^5$

Se reducen por separado los de cada clase

$4a^4b^3$  $-9a^4b^3$ $=  -5a^4b^3$

$8a^3b^2$ $+  6a^3b^2 -a^3b^2$ $=13a^3b^2  $

$ -5ab^5$ $-6 ab^5$  $=-11 ab^5 $

$-15+8 =-7$

Tendremos

$-5a^4b^3 + 13a^3b^2  - 11 ab^5  -7$

Valor numérico

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Valor númerico de expresiones simples.

Ejemplos

1).-Hallar el valor numérico de $5ab$ para $a=1$, $b=2$.

Sustituimos la a por su valor 1, y la b por 2 y tendremos

$5ab = 5 × 1 × 2 = 10$.

2).-Valor numérico de $a^2b^3c^4$ para $a=2, b= 3 , $$c =\frac{1}{2}$
    $a^2b^3c^4$$= 2^2 × 3^3× (\frac{1}{2}) ^4$ $= 4 × 27 × \frac{1}{16} = 6\frac{3}{4}$

3.-El valor numérico de $3ac\sqrt[]{2ab}$ para $a=2, b= 9, c= \frac{1}{3}$

$3ac\sqrt[]{2ab}$ $= 3× 2 × \frac{1}{3}  × \sqrt[]{2 × 2 × 9} = 2  × \sqrt[]{36}= 2×6 =12$
Valor numérico de expresiones compuestas

1.-) Hallar el valor numérico de $a^2 -5ab + 3b^3$ para a=3, b=4.

$a^2 -5ab +3b^3 = 3^2 -(5×3×4) +3(4)^3 = 9 -60 +192 = 141$

2.-) Valor numérico de $\frac{3a^2}{4}-\frac{5ab}{x} + \frac{b}{ax} $, para $a =2 , b= \frac{1}{3}, x = \frac{1}{6}$.

$\frac{3a^2}{4}-\frac{5ab}{x} + \frac{b}{ax} =\frac{3(2)^2}{4} -\frac{5(2)(\frac{1}{3})}{\frac{1}{6}} + \frac{\frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{6})}=3-\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{6}}+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=3 -20 +1=16.$

Ejercicios sobre notación algebraica

Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden hacerse las mismas operaciones que con los números aritméticos. A continuación algunos ejemplos.

1).- Escriba la suma del cuadrado de a con el cubo de b.

$a^2 + b^3$.

2).-Un hombre tenía $\$a$ ; después recibió $\$b$ y después pago una cuenta de $\$c$ ¿Cuánto le queda?

Teniendo $\$a$ recibió $\$b$ luego tenia $\$(a+b)$. Si entonces gasta $\$c$ le quedan $\$(a+b-c)$

3).- Compre 3 libros a $\$a$ cada uno ; 6 sombreros a $\$b$  cada uno y m trajes a $\$x$ cada uno ¿Cuánto he gastado?

3 libros a $\$a$ importan $\$a$.

6 sombreros a $\$b$   importan $\$6b$.

m trajes a $\$x$ importan $\$mx$.

Luego el gasto total ha sido  de $\$(3a+ 6b + mx)$.

4).-Compre 4 libros iguales por $\$m$ ¿Cuánto me ha costado cada uno?

Cada libro me ha costado $\frac{m}{x}\$$.

5).- Tenia $\$9$ y gaste $\$x$ ¿Cuánto me queda?

Me quedan $\$(9-x)$

Álgebra preliminares IV

Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

 $a, 5x, \sqrt[]{4a} , (a+b)c , \frac{(5x-3y)a}{x^2} $

Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por los signo s + o -. Así  $a, 3b, 2 xy, \frac{4a}{3x} $ son términos.

Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Por el signo, son  términos positivos los que van precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo -. Así $ +a , + 8x, + 9 ab$ son términos positivos y $-x ,  -5bc y -\frac{3a}{2b}$ son términos negativos.

El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así b equivale a +b; 3ab equivale a +3ab.

Por lo tanto cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.

El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el primero, de los factores del término. Así, en el termino $5a$ el coeficiente es 5; en $-3a^2x^3$ es -3.

La parte literal la constituyen las letras que haya en el  término. Así en 5xy la parte literal es xy ; en $\frac{3x^3y^4}{2ab}$ la parte literal es $\frac{x^3y^4}{ab}$.

El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término $4a$ es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1 ; el termino ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes e sus factores literales es 1 +1 =2 ; el término $ a^{2}b$ es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 +1 =3; $5^{4}b^{3}c^{2}$ es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4 + 3 +2 =9.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así el término $b x^{3}$ es de primer grado con relación a  b y de tercer grado con relación a x; $4x^{2}y^{4}$ es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y.

Clases de términos

Término entero es el que no tiene denominador literal como $5a , 6a^{4}b^{2}, \frac{2a}{5}$.

Término fraccionario es el que tiene denominador literal como $ \frac{3a}{b}$.

Término racional es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional es el que tiene radical como $ \sqrt[]{ab} , \frac{3b}{2\sqrt[]{a}}$.

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así $4x ^{4}y^{3}$ y $6x^{4}y^{3}$ son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto como $5a$ que es de primer grado, y $3a^{2}$, que es de segundo grado.

Clasificación de las expresiones algebraicas

Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término como

3a , -5b , $\frac{x^{2}y}{4a^{3}}$.

Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término, como $a+b , a+x-y , x^{3}+2^{2} + x +7$.

Binomio es un polinomio que consta de dos términos, como

$ a+b, x-y,  \frac{a^{2}}{3} -\frac{5mx^{4}}{6b^{2}}$

Trinomio es un polinomio que consta de tres términos, como

$a+b+c, x^{2} – 5x + 6, 5x^{2} -6y^{3}+\frac{a^{2}}{3}$.

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el polinomio $x^{4} – 5 x^{3} + x^{2} – 3x$, el primer termino es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de segundo grado y el último de primer grado; luego el grado absoluto del polinomio es el cuarto.

Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio $a^{6}+ a^{4}x^{2}-a^{2}x^{4}$ es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.

Clases de polinomios.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal como $x^{2} + 5x-6 ; \frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{3}+\frac{1}{5}$, fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador como $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b}{c}-8$ ; racional cuando no tiene radicales como en los ejemplos anteriores, irracional cuando tiene radical, como $\sqrt[]{a}+  \sqrt[]{b}-\sqrt[]{c}-\sqrt[]{abc}$; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto, como $a ^{3} + 5a^{2}b + 6a^{2}b + b^{3}$ y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como $x^{3} +x^{2} +x -6$.

Polinomio completo con respecto a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto, a más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así el polinomio $x^{5} + x^{4} + x^{3}+x^{2}-3x$ es completo respecto de la x , porque  contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, ósea 5,4,3,2,1 ;  el polinomio $a^{4}-a^{3}b +a^{2}b^{2} -ab^{3}+b^{4}$ es completo respecto de a y b.

Polinomio ordenado respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz van aumentado o disminuyendo.

Así, el polinomio $x^{4} – 4x^{3} + 2x^{2} – 5x +8$ esta ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz x ; el polinomio $a^{5}- 2a^{4}b + 6a^{3}b^{2} -5a^{2}b^{3} + 3ab^{4} -b^{5}$ está  ordenado en orden descendente respecto de la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto a la letra ordenatriz b.

Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Así, ordenar el polinomio $-5x^{3} + x^{5} -3x +x^{4} -x^{2}+6$ en orden descendente con relación a x será escribir $x^{5} + x^{4}- 5x^{3} -x^{2}-3x+6$.

Ordenar el polinomio $x^{4}y -7x^{2}y^{3} – 5x^{5} + 6xy^{4} + y^{5} -x^{3}y^{2}$ en orden ascendente con relación a x será escribirlo $y^{5} + 6xy^{4}-7x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2} + x^{4}y – 5x^{5}$.

Termino independiente de un polinomio con relación a una letra es el termino que no tiene dicha letra.

Así en el polinomio $a^{3} - a^{2} + 3a -5$ el termino independiente con relación a la a es 5 porque no tiene a ; en $x^{4}-6x^{3}+8x^{2}-9x + 20$ el termino independiente es 20 ; en $a^{3} -a^{2}b +3ab^{2} +b^{3}$     el término independiente con relación a la a es $b^{3}$, y el termino independiente con relación a la b es $a^{3}$. El término independiente con relación a una letra  puede considerarse que tiene esa letra con exponente cero.

Así en el primer ejemplo -5 equivale a $-5a^{0} $, y en el último ejemplo, $b^{3} $ equivale a $a^{0}b^{3}  $.

Álgebra Preliminares III

Valor absoluto y valor relativo.

Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es el sentido de la cantidad representado por el signo.

Así el valor absoluto de + 8 es 8, el valor absoluto de -20 es 20.

Las cantidades +7° y -7° tienen el mismo valor absoluto, pero su valor relativo es opuesto, pues el primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero.

El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representa colocando el número que corresponda a dicho valor entre dos líneas verticales. Así el valor absoluto de +8 se repsenta $\left |{8}\right |$.

Cantidades aritméticas y algebraicas.

De lo expuesto anteriormente se deduce la diferencia entre cantidades aritméticas y algebraicas.

Cantidades aritméticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por los números, pero no nos dicen el sentido o valor relativo de las cantidades.

Así, cuando en Aritmética escribimos que una persona tiene $\$$ 5  , tenemos solamente la idea del valor absoluto  $\$$ 5 de esta cantidad, pero con esto no sabemos si la persona tiene  $\$$ 5 en haber o en deuda. Escribiendo que el termómetro marca 8°, no sabemos si son sobre cero  o bajo cero.

Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor relativo por medio de signo.

Los signos + y menos tienen en Algebra dos aplicaciones: una indicar las operaciones de suma y resta, y otra indicar el sentido de las cantidades.

 Representación algebraica de la serie algebraica de los números.

Teniendo en cuenta que 0 es la ausencia de la cantidad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0, la serie algebraica de los puntos se puede representar de este modo.