Elementos básicos para el estudio del cálculo 1.1 Sistema de los números reales

 La numeración es el acto de contar y medir; el resultado de contar y medir es el número. Es lógico pensar que tenemos la posibilidad de contar y medir los elementos de cualquier conjunto que consideremos, y de este acto de contar y medir los elementos de un conjunto se obtienen los números naturales (N).

Los números reales (R) son el conjunto de números formados por los siguientes subconjuntos.

Los números naturales (N) son el conjunto de los números que usamos ordinariamente para contar:

N= $ \{ 1,2,3,4,5,6,… \}$

Números enteros (I) son el conjunto de números naturales y sus inversos (u opuestos) junto con el cero.

I= $ \{… -4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,4 ,… \}$

El campo de los números compuestos es aquél en donde los números naturales no son primos, así por ejemplo: 4, 6, 8, 10,12.

Números racionales (Q) son el conjunto formado por todos los números que se pueden representar como cociente de 2 enteros en forma m/n, donde m y n son enteros y n $\neq$ 0.

5/2 ,  -7/8,   3/4   -19/2,  -17/1

Es lógico pensar que los números enteros son números racionales, ya que siempre se pueden expresar como cociente de un número entero.

Los números racionales también pueden escribirse como representaciones decimales periódicas.

Así por ejemplo los números racionales:

2/11 = 0.181818…  1/3= 0.3333333…  61/111= 0.549549…

Cualquier decimal periódico es infinito.

$ \sqrt[]{\frac{22}{7}}$  = 3.1428 decimal no periódico.

$ \sqrt[]{2}$  = 1.4142135...   decimal no periodico.

Números irracionales (Q´) son el conjunto de todos los números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Los números irracionales tienen representación decimal infinita y no periódica. Algunos ejemplos notables de números irracionales prácticos son los siguientes.

e= 2.718… $\sqrt[]{3}$ = 1.732… $\pi $ = 3.1416…

Conjunto de los números reales (R) es el conjunto formado por los números irracionales y por los números racionales,junto con sus inversos aditivos y el cero.

Representación gráfica de los números reales. Recta real o recta númerica. Dado que existe una correspondencia uno a uno entre un conjunto de puntos de una recta y el conjunto de números reales (axiomas de orden), podemos representar a los números reales (R ) como se muestra en la figura.

Propiedades de campo

Leyes conmutativas: $x +y = y+x$     
                               $xy = yx$

Leyes asociativas: $ x +(y+z) = (x+y) +z$

                              $ x (yz) =  (xy) z$

Ley distribuitiva: $ x (y +z ) = xy + xz$

Elementos Neutros. Hay dos números distintos,0 y 1 , que satisfacen las identidades 

(1)  $x + 0= x $. 
(2) $ x\cdot{1} = x $.

Inversos. Cada Número tiene un inverso aditivo  (también llamado negativo),  $-x$ , que satisface la expresión  $x+ (-x) = 0$. Además cada número, excepto 0, tiene un inverso multiplicativo (también llamado recíproco),  ${x^{-1}}$  , que satisface la expresión $x\cdot{x^{-1}} = 1$  .