Álgebra -Preeliminares 1

Concepto de número en los pueblos primitivos (25000-50000 A.C) Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los arboles lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética. El origen del Algebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto abstracto del número, base indispensable para la formación de la ciencia algebraica.

 

Álgebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

 

Carácter del álgebra y su diferencia con la aritmética.
 El concepto de la cantidad en álgebra es mucho mas amplio que en aritmética. 

En aritmética las cantidades se expresan en números y estos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor menor o mayor que este habrá que escribir un número distinto de 20.

En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

 

Notación Algebraica

Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por la primera letra del alfabeto: a, b, c, d...

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a’, a’’, a’’’, que se lee a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: , que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

 Formulas .
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las formulas algebraicas.

Formula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

 Así, la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A al área del rectángulo, b a la base, y h a la altura, la formula: A = b x h, representara de una forma general el aria de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir a y h en la formula anterior por sus valores en el caso dado.

 Así, si la base de un rectángulo es 3m y su altura es 2m, su área será:

 A=b x h = 3m x 2m = 6 $m^2$

 El área de otro rectángulo cuya base fuera 8 m y su altura 3 ½ m sería:

A=b x h = 8m x $3 \frac{1}{2}$ m = 28 $m^2$

Signos del álgebra 

Los símbolos empleados en álgebra son de tres clases: signos de operación , signos de relación  y signos de agrupación. 

Signos de operación.

 En algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: Suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencia y extracción de raíces, que se indican con los signos siguientes:

El signo de la suma es +, que se lee más. Así  a + b se lee "a+b".

El signo de la resta es - que se lee menos. Así a-b se lee "a menos b".

El signo de la multiplicación es ×, que se lee multiplicado por. Así a × b se lee "a multiplicado por b".

En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.

Asi $a\cdot{b}$ y (a)(b) equivalena a a × b.

Entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de la multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a × b × c. 5xy equivale a 5 × x × y.

El signo de la división es ÷ que se lee dividido entre. Así a ÷ b se lee “a dividido entre b”. Tambien se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. Así $\frac{m}{n}$ equivale a m ÷ n.

El signo de la elevación a potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado  arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor .Así

$a^3 = aaa        b^3 = bbb. $

Cuando una letra no tiene exponte, su exponente es la unidad. Así a  equivale $a ^1$; mnx equivale a 

$m^1n^1x^1$.

El signo de raíz es $\sqrt[]{}$, llamado signo radical y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. Así,  $\sqrt[]{a}$equivale a la raíz cuadrada de a,  o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad a;  $\sqrt[3]{b}$ equivale a raíz cubica de b, osea la cantidad que elevada al cubo produce la cantidad b.