Elementos básicos para el estudio del cálculo 1.3 Desigualdades

La proposición de que una expresión algebraica es menor o mayor que otra se le da el nombre de desigualdad. En otras palabras, podemos decir que la desigualdad es una expresión algebraica en donde intervienen los signos de relación.

>  mayor que;  < menor que   ; $\geq$ mayor o igual que ; $\leq$ menor o igual que.

Definición: una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b” cuando la diferencia a-b es positiva; a > b  si y solamente si a – b > 0.

Toda cantidad positiva es mayor que cero.

Averiguar si 8 > 3

8-3 = 5

5> 0

5 es positivo por lo tanto 8 > 3.

Averiguar si -2 > -7

(-2) – (-7) = 5

5> 0

Por lo tanto -2 > -7.

Una cantidad “a” es menor que otra cantidad “b” cuando la diferencia a-b es negativa ; a < b si  y solamente a –b < 0.

Toda cantidad negativa es menor que 0.

Averiguar si 5 < 9.

5-9 = -4

-4 < 0

Luego 5 < 9 

Averiguar si -7 < -4

(-7)- (-4) = -3

-3 < 0

 Luego -7 < -4

Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a  la izquierda; y segundo miembro , a la que está a la derecha de la desigualdad.

Los términos de una desigualdad   son las cantidades  que están separadas de otra por el signo (+) o (-); o la cantidad que está sola en un miembro.

Observación: en las cantidades positivas, el número que se encuentra cerca del origen en la recta numérica es menor del que se encuentra lejos del origen.

En las cantidades negativas el número que se encuentra lejos del origen en la recta numérica es menor al que se encuentra cerca del origen.

Teoremas o propiedades de las desigualdades. Si a,b y c son números reales cualesquiera, tenemos:
 1.-Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una cantidad, el signo de desigualdad no varía.

   Si           a > b

             a +c > b +c

                 a-c >b-c 

Consecuencia. Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.

2.-Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Si               a > b

                ac > bc

                    $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$

Consecuencia. Podemos suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad.

3.- Si a los miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

Si a >  b

  -ac < -bc.

Inecuaciones

Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas.

Según las características de la solución de una desigualdad, tenemos la siguiente clasificación:

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x

Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x.

Las desigualdades condicionales son las inecuaciones.