A diferencia de los
Diez Mandamientos, la ciencia no se entregó a la humanidad en unas imponentes
tablas de piedra. La historia de la ciencia es la historia del auge y caída de
numerosas especulaciones, hipótesis y modelos. Muchas ideas aparentemente
ingeniosas resultaron ser disparos de fogueo o conducir a callejones sin
salida. Algunas teorías que en su momento se consideraban blindadas acabaron
por disolverse en la nada tras pasar por la cruel prueba de los sucesivos
experimentos y observaciones y quedar totalmente obsoletas. Ni siquiera la
mente formidable de los creadores de algunas de estas ideas erróneas les
proporcionó inmunidad para impedir que fueran sustituidas por otras. El gran
Aristóteles (384-322 a.C.), por ejemplo, pensaba que las piedras, las manzanas
u otros objetos pesados caían porque buscaban su lugar natural, que se encontraba en el centro de la Tierra. Al acercarse
al suelo, sostenía Aristóteles, estos cuerpos aumentaban su velocidad porque
estaban felices de regresar a casa. Por el contrario, el aire (y el fuego) se
movían hacia arriba porque el lugar natural del aire eran las esferas
celestiales. A todos los objetos se les podía asignar una «naturaleza» en
función de la relación percibida con los constituyentes más básicos: tierra,
fuego, aire y agua. En palabras de Aristóteles:
Algunas cosas son por
naturaleza, otras por otras causas. Por naturaleza son … los cuerpos simples
como la tierra, el fuego, el aire y el agua… Todas estas cosas parecen
diferenciarse de las que no están constituidas por naturaleza, porque cada una
de ellas tiene en sí misma un principio de movimiento y de reposo … Porque la
naturaleza es un principio y causa del movimiento o del reposo en la cosa a la
que pertenece primariamente … Se dice que son «conforme a naturaleza» todas
esas cosas y cuanto les pertenece por sí mismas, como al fuego el desplazarse
hacia arriba.[59]
Aristóteles intentó
incluso formular una ley del movimiento cuantitativa.
Afirmó que los objetos más pesados caen más deprisa, y su velocidad es
directamente proporcional al peso (es decir, se suponía que un objeto dos veces
más pesado que otro debía caer al doble de velocidad). Aunque nuestra
experiencia cotidiana puede hacernos creer que esta «ley» parece razonable (se
ha observado que un ladrillo llega al suelo antes que una pluma al dejar caer
ambos desde la misma altura), Aristóteles no se preocupó de examinar con
precisión su afirmación cuantitativa. De algún modo, nunca se le ocurrió (o
quizá no consideró que fuese necesario) comprobar si dos ladrillos atados entre
sí caían realmente el doble de rápido que un solo ladrillo. Galileo Galilei
(1564-1642), con un espíritu matemático y experimental mucho más acentuado y
con no demasiado respeto por el nivel de «felicidad» de los ladrillos y las
manzanas que caen, fue el primero en señalar el craso error de Aristóteles.
Mediante un astuto
«experimento mental», Galileo mostró que la ley de Aristóteles no tenía ningún sentido,
porque era incoherente desde el punto de vista lógico.[60] Su
argumentación era la siguiente: supongamos que atamos entre sí dos objetos, uno
más pesado que el otro. ¿Con qué velocidad caerá el objeto combinado en
comparación con la de cada uno de sus componentes? Por un lado, según la ley de
Aristóteles, se puede llegar a la conclusión de que caería a una velocidad
intermedia, ya que el objeto ligero reduciría la velocidad del más pesado. Por
otro lado, sin embargo, el objeto combinado es más pesado que sus dos
componentes, por lo que debería caer aún más rápido que el más pesado de los
dos, lo cual lleva a una clara contradicción. El único motivo por el que una
pluma cae con más suavidad que una tonelada de ladrillos es que la pluma
experimenta una resistencia mayor del aire; si se dejan caer desde la misma
altura en el vacío, ambos llegarán simultáneamente al suelo. Este hecho ha
quedado demostrado en numerosos experimentos, y el más espectacular de ellos lo
llevó a cabo el astronauta del Apolo 15 David Randolph Scott, la séptima
persona en caminar por la superficie de la Luna. Scott dejó caer
simultáneamente un martillo desde una mano y una pluma desde la otra. Puesto
que la Luna carece de una atmósfera sustancial, el martillo y la pluma golpearon
la superficie lunar al mismo tiempo.
Lo más sorprendente de
la falaz ley de movimiento de Aristóteles no es que fuese falsa, sino que
¡había sido aceptada durante más de dos mil años! ¿Cómo pudo disfrutar de tan
notable longevidad una idea errónea? Se trataba de un caso de «tormenta
perfecta»: tres fuerzas distintas combinadas para crear una doctrina
incuestionable. En primer lugar tenemos el hecho de que, en ausencia de medidas
precisas, la ley de Aristóteles parecía estar de acuerdo con el sentido común y
la experiencia: las hojas de papiro tienden a flotar en el aire mientras que no
lo hacen los pedruscos de plomo. En segundo lugar tenemos el colosal peso de la
inigualable reputación de Aristóteles y su autoridad como erudito. Después de
todo, estamos hablando de la persona que estableció los cimientos de una gran
parte de la cultura intelectual de Occidente. Ya fuese en la investigación de
los fenómenos naturales o los fundamentos de la ética, la metafísica, la
política o el arte, Aristóteles escribió, literalmente, el primer libro. Y la
cosa no acababa ahí. En cierto sentido, Aristóteles también nos enseñó cómo pensar, al iniciar los primeros
estudios formales de la lógica. En nuestros días, casi todos los niños en las
escuelas reconocen el cuasi-completo sistema de inferencia lógica de
Aristóteles, denominado silogismo:[61]
Todos los griegos son
personas.
Todas las personas son
mortales.
Todos los griegos son
mortales.
El tercer motivo de la
increíble capacidad de permanencia de la teoría incorrecta de Aristóteles era
que la iglesia cristiana adoptó su teoría como parte de la ortodoxia oficial,
lo que actuó como agente disuasorio contra cualquier intento de cuestionar las
afirmaciones de Aristóteles.
A pesar de sus
impresionantes contribuciones a la sistematización de la lógica deductiva,
definitivamente las matemáticas no eran el fuerte de Aristóteles. Es
sorprendente que el hombre que, en esencia, estableció la ciencia como
disciplina organizada, no le diera demasiada importancia a la matemática (desde
luego, mucha menos que Platón), y la física no se le diera muy bien. Aunque
Aristóteles reconocía la importancia de las relaciones numéricas y geométricas
en la ciencia, consideraba la matemática como una disciplina abstracta,
apartada de la realidad física. Por consiguiente, aunque no cabe duda de que
Aristóteles era una potencia intelectual, no
entraría en mi lista de «magos».
Utilizo aquí la palabra
«mago» para referirme a las personas capaces de sacar conejos de chisteras
literalmente vacías; aquellas que descubrieron conexiones nunca antes
imaginadas entre la matemática y la naturaleza; aquellas que, al observar
fenómenos complejos, fueron capaces de destilar de ellos precisas leyes
matemáticas. En algunos casos, estos pensadores de un nivel superior utilizaron
incluso sus experimentos y observaciones para hacer avanzar la matemática. La
cuestión de la colosal eficacia de la matemática para explicar la naturaleza no
hubiese surgido jamás de no haber sido por estos «magos». Este enigma nació
directamente de la milagrosa inspiración de estos investigadores.
Ningún libro puede
hacer realmente justicia a estos soberbios científicos y matemáticos que han
contribuido a nuestra comprensión del universo. En este capítulo y el siguiente
tengo previsto centrarme en cuatro de estos gigantes de siglos pretéritos, cuyo
estatus de «mago» no puede cuestionarse; la crème
de la crème del mundo científico. Al primero de los «magos» de mi lista se
le recuerda por un hecho insólito: ¡por atravesar corriendo completamente desnudo
las calles de su ciudad!
Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo
Cuando el historiador
de la matemática E. T. Bell tuvo que decidir a quién situaba en su lista de
«los tres mejores matemáticos», su conclusión fue:
En cualquier lista de
los tres mejores matemáticos de la historia debe aparecer el nombre de
Arquímedes. Los otros dos que suelen acompañarle suelen ser Newton (1643-1727)
y Gauss (1777-1855). Considerando la abundancia (o escasez) relativa de
matemáticos y científicos en las respectivas épocas en los que estos dos
gigantes vivieron y tomando en consideración sus logros en el contexto de su
época, algunos pondrían a Arquímedes en el primer lugar.[62]
Arquímedes (287-212
a.C; en la figura 10 se muestra un busto que, según se dice, representa a
Arquímedes, pero que podría corresponder en realidad a un rey de Esparta) era,
efectivamente, el Newton o Gauss de su época. Una persona tan brillante,
imaginativa e inspirada que tanto sus contemporáneos como las generaciones que
lo sucedieron mencionaban su nombre con respeto y admiración. Aunque se le
conoce sobre todo por sus ingeniosos inventos en el campo de la ingeniería,
Arquímedes era sobre todo matemático, y en esta disciplina se hallaba siglos
por delante de su época. Por desgracia, apenas hay información acerca de los
primeros años de su vida y de su familia. En su primera biografía, escrita por
un tal Heráclides,[63] no ha llegado hasta nuestros días, y los
escasos detalles que sabemos sobre su vida y su violenta muerte proceden
principalmente de los escritos del historiador romano Plutarco. Plutarco (ca.
46-120 d.C.) estaba, de hecho, más interesado en los logros militares del
general romano Marcelo, que conquistó la ciudad natal de Arquímedes, Siracusa,
en 212 a.C.[64] Por suerte para la historia de la matemática,
Arquímedes dio tantos problemas a Marcelo durante el sitio de Siracusa que los
tres principales historiadores de ese período —Plutarco, Polibio y Livio—
tuvieron que hablar de él.
Arquímedes nació en
Siracusa, en aquellos tiempos un enclave griego en Sicilia.[65]
Según su propio testimonio, era hijo del astrónomo Fidias, sobre el que se
tiene escasa información salvo que había hecho una estimación de los diámetros
del Sol y de la Luna. Arquímedes podría también estar emparentado de algún modo
con el rey Hierón II, que a su vez era hijo ilegítimo de un noble y de una de
sus esclavas. Independientemente de los lazos de parentesco que tuviese con la
familia real, tanto el rey como su hijo, Gelón, tuvieron siempre a Arquímedes
en muy alta consideración. En su juventud, Arquímedes pasó un tiempo en
Alejandría, en donde estudió matemáticas, antes de regresar a Siracusa para
dedicarse en cuerpo y alma a la investigación.[66]
Arquímedes era un
matemático de la cabeza a los pies. Según Plutarco, consideraba sórdido e
innoble «cualquier arte que sirviese meramente para el uso y el provecho, y su
ambición se limitaba a aquello que, por su belleza y su excelencia,
permaneciese al margen de las necesidades más comunes de la vida». La constante
preocupación de Arquímedes por la matemática abstracta y la atención que le
dedicaba hasta llegar a consumirle iba, al parecer, mucho más allá del
entusiasmo habitual entre los practicantes de esa disciplina. Citando de nuevo
a Plutarco:
Hechizado por la sirena
que le acompañaba a todas partes, se olvidaba de comer y de los cuidados más
básicos; y, cuando se veía forzado a bañarse y ungirse, solía dibujar figuras
geométricas en las cenizas o, con los dedos, trazaba líneas sobre su cuerpo
ungido, poseído por un sublime éxtasis y, en verdad, esclavizado por las musas.
A pesar de su desprecio
por la matemática aplicada y la poca importancia que concedía a sus propias
ideas sobre ingeniería, sus ingeniosos inventos le supusieron una mayor
celebridad a nivel popular que su genio matemático.
La leyenda más conocida
sobre Arquímedes resalta aún más su imagen arquetípica de matemático despistado.
Este divertido relato fue narrado por primera vez por el arquitecto romano
Vitruvio en el siglo I d.C., y dice así: el rey Hierón quería consagrar una
corona de oro a los dioses inmortales. Cuando el rey recibió la corona acabada,
su peso era igual al del oro entregado para su creación. Sin embargo, el rey
sospechaba que una cierta cantidad de oro había sido sustituida por el mismo
peso en plata. Incapaz de corroborar sus sospechas, el rey pidió consejo al
maestro de los matemáticos: Arquímedes. Un día, prosigue la leyenda,
Arquímedes, que seguía enfrascado en la resolución del problema del posible
fraude de la corona, fue a bañarse. Mientras se sumergía en el agua de la
bañera, se dio cuenta de que su cuerpo desplazaba un cierto volumen de agua,
que desbordaba por encima de la bañera, y en su mente vio la solución.[67]
Sin poder contener su alborozo, Arquímedes saltó de la bañera y salió corriendo
desnudo por las calles al grito de ¡Eureka!
¡Eureka! («¡Lo encontré! ¡Lo encontré!»).
Otra de las famosas máximas
arquimedianas, «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo», aparece
actualmente, en distintas versiones, en más de 150.000 páginas web de acuerdo
con los resultados de Google. Esta osada afirmación, que parece algo así como
el lema de una gran corporación, ha sido citado en discursos de Thomas
Jefferson, Mark Twain y John F. Kennedy, y hasta en un poema de Lord Byron.[68]
Al parecer, la frase era la culminación de los estudios de Arquímedes sobre el
problema de mover un peso determinado con una fuerza determinada. Según
Plutarco, cuando el rey Hierón solicitó ver una demostración práctica de la
capacidad de Arquímedes para manejar un peso muy grande con una fuerza muy
pequeña, Arquímedes se las arregló, mediante una polea compuesta, para botar un
barco con toda su carga. Plutarco agrega, admirado, que «movió el barco con
suavidad y seguridad, como si estuviese navegando por el mar». En otras fuentes
se pueden encontrar versiones ligeramente distintas de esta misma leyenda.
Aunque es difícil creer que Arquímedes fuese capaz de desplazar un barco entero
con los aparatos mecánicos de los que disponía, las leyendas no dejan lugar a
dudas sobre una impresionante demostración de un invento que le permitía
maniobrar grandes pesos.
Aunque Arquímedes es el
responsable de muchos inventos pacíficos, como un tornillo hidráulico para
elevar agua y un planetario que mostraba los movimientos de los cuerpos
celestes, en la Antigüedad se hizo célebre por su intervención en la defensa de
Siracusa contra los romanos.
A los historiadores
siempre les han gustado las guerras. Por tanto, los hechos del sitio romano de
Siracusa durante los años 214-212 a.C. aparecen descritos con todo lujo de
detalles en las crónicas de diversos historiógrafos. El general romano Marco
Claudio Marcelo (ca. 268-208 a.C.), cuya fama militar era notable en aquellos
días, preveía una victoria rápida. Pero lo que al parecer no tuvo en cuenta fue
la testarudez del rey Hierón, ayudado por un genio de la matemática y la
ingeniería. Plutarco ofrece una vivida descripción del caos que las máquinas de
Arquímedes provocaron en las huestes romanas:
Al ejército, [disparó
Arquímedes] con armas arrojadizas de todo género y con piedras de una mole
inmensa, despedidas con increíble violencia y celeridad, las cuales no habiendo
nada que resistiese a su paso, obligaban a muchos a la fuga y rompían la
formación. En cuanto a las naves, a unas las asían por medio de grandes maderos
con punta, que repentinamente aparecieron en el aire saliendo desde la muralla,
y, alzándose en alto con unos contrapesos, las hacían luego sumirse en el mar,
y a otras, levantándolas rectas por la proa con garfios de hierro semejantes al
pico de las grullas, las hacían caer en el agua por la popa, o atrayéndolas y
arrastrándolas con máquinas que calaban adentro las estrellaban en las rocas… A
veces hubo nave que suspendida en alto dentro del mismo mar, y arrojada en él y
vuelta a levantar, fue un espectáculo terrible hasta que estrellados o
expelidos los marineros, vino a caer vacía sobre los muros, o se deslizó por
soltarse el garfio que la asía.
El miedo a los
dispositivos de Arquímedes llegó hasta tal punto que «si [los soldados romanos]
veían la sombra de un trozo de cuerda o un madero sobre una pared, gritaban
horrorizados “ahí está de nuevo”, refiriéndose a que Arquímedes estaba lanzando
contra ellos alguno de sus ingenios, y se daban media vuelta y salían huyendo».
El propio Marcelo, profundamente impresionado, se quejaba a su equipo de
ingenieros militares: «¿Es que nunca terminaremos de luchar contra este Briareo
[el gigante de cien brazos hijo de Urano y Gea] de la geometría que, sentado
junto al mar, juega al tejo con nuestros barcos para confundirnos y, por las
armas arrojadizas que lanza contra nosotros, supera a los gigantes de cien brazos
de la mitología?».
Según otra leyenda
popular que hizo su primera aparición en los escritos del gran médico griego
Galeno (ca. 129-200 d.C.), Arquímedes utilizó un conjunto de espejos que
enfocaban los rayos del Sol para quemar los barcos romanos.[69] El
arquitecto bizantino del siglo VI Antemio de Tralles y varios historiadores del
siglo XII repitieron esta historia fantástica, aunque la viabilidad de tamaña
proeza sigue siendo incierta. Aun así, el número de relatos cuasi-mitológicos
nos proporciona un abundante testimonio de la veneración que «el sabio» inspiró
en las generaciones posteriores.
Como ya he mencionado,
Arquímedes (ese «Briareo de la geometría» tan altamente considerado) no tenía
en demasiada consideración sus juguetes militares; más bien los veía como
diversiones geométricas. Por desgracia, esa actitud distante podría finalmente
haberle costado la vida. Cuando los romanos capturaron por fin Siracusa,
Arquímedes estaba tan absorto dibujando sus diagramas geométricos en una
bandeja de arena que apenas prestó atención al tumulto de la batalla. Según
algunas narraciones, cuando un soldado romano ordenó a Arquímedes que lo
siguiera para presentarlo ante Marcelo, el anciano geómetra repuso indignado:
«Apártate de mis diagramas».[70] Esta respuesta encolerizó al
soldado hasta tal punto que, desobedeciendo las órdenes expresas de su
superior, desenvainó su espada y dio muerte al mayor matemático de la
Antigüedad.
La figura 11 muestra lo
que se considera una reproducción del siglo XVIII de un mosaico hallado en
Herculano en el que se representan los últimos momentos de la vida del
«maestro».
En cierto sentido, la
muerte de Arquímedes marcó el final de una era de extraordinaria vitalidad en
la historia de las matemáticas. Tal como señaló el matemático y filósofo
británico Alfred North Whitehead:
La muerte de Arquímedes
a manos de un soldado romano es el símbolo de un cambio de primera magnitud a
nivel mundial. Los romanos fueron un gran pueblo, pero estaban condenados por
la esterilidad que se deriva del sentido práctico. No eran soñadores que
alcanzasen nuevos puntos de vista para llegar a un control más fundamental de
las fuerzas de la naturaleza. Ningún
romano perdió nunca la vida por estar absorto en la contemplación de un
diagrama matemático. (La cursiva es mía).[71]
Por suerte, aunque los
detalles acerca de la vida de Arquímedes escasean, muchos (aunque no todos) de
sus increíbles escritos han sobrevivido. Arquímedes tenía la costumbre de
enviar notas sobre sus descubrimientos matemáticos a algunos matemáticos amigos
suyos o a personas que le merecían respeto. Esta exclusiva lista de
corresponsales incluía, entre otros, al astrónomo Conón de Sanios, al
matemático Eratóstenes de Cirene y al hijo del rey, Gelón. Tras la muerte de
Conón, Arquímedes envió algunas notas al pupilo de aquél, Dositeo de Pelusio.
La obra de Arquímedes
abarca una asombrosa variedad dentro de la matemática y la física.[72]
Estos son algunos de sus numerosos logros: ideó métodos generales para hallar
las áreas de diversas figuras planas y los volúmenes limitados por todo tipo de
superficies curvas, entre los que se encontraban las áreas del círculo, el
segmento de parábola y la espiral, y los volúmenes del segmento de cilindro, de
cono y de otras figuras generadas por la rotación de parábolas, elipses e
hipérbolas; demostró que el valor del número π, la relación entre la
circunferencia de un círculo y su diámetro, debía ser mayor que 3 10/71
y menor que 3 1/7; en una época en la que no existía
método alguno para describir los números muy grandes inventó un sistema que le
permitía, no sólo escribir, sino también manipular, números de cualquier
magnitud. En física, Arquímedes descubrió las leyes que gobernaban el comportamiento
de los cuerpos flotantes, estableciendo así la ciencia de la hidrostática. Además, calculó los
centros de gravedad de muchos sólidos y formuló las leyes mecánicas de las
palancas. En astronomía, efectuó observaciones para medir la longitud del año y
las distancias a los planetas.
Los trabajos de muchos
matemáticos griegos se caracterizaron por su originalidad y su atención a los
detalles. Sin embargo, los métodos de razonamiento y resolución de Arquímedes
lo situaban en una clase aparte de los científicos de su época. Permítanme
describir únicamente tres ejemplos representativos que ofrecen una somera idea
de la inventiva de Arquímedes. El primero de ellos, a primera vista, no parece
más que una entretenida curiosidad, pero un examen más atento revela la
profundidad de su inquisitivo cerebro. Las otras dos ilustraciones de los
métodos arquimedianos demuestran un pensamiento tan avanzado que bastan para
elevar a Arquímedes a lo que he denominado el estatus de «mago».
Al parecer, Arquímedes
estaba fascinado por los números grandes. La notación ordinaria es demasiado
tosca para expresar números muy grandes (intente escribir un cheque personal de
8,4 billones de dólares, la deuda nacional de Estados Unidos en julio de 2006,
en el espacio asignado para la cantidad). De modo que Arquímedes desarrolló un
sistema con el que podría representar incluso números de 80 trillones de
dígitos. Este sistema lo utilizó en un original tratado llamado El arenario, para mostrar que el número
total de granos de arena en el mundo no era infinito.
La misma introducción
de ese tratado es tan ilustrativa que reproduciré aquí un fragmento de la misma
(la introducción estaba dirigida a Gelón, el hijo del rey Hierón II):
Hay algunos, rey Gelón,
que creen que el número de los granos de arena es infinito por su multitud; y
cuando digo arena no solamente me refiero a la que existe alrededor de Siracusa
y del resto de Sicilia sino también a la que se puede encontrar en toda región,
ya sea habitada o deshabitada. También hay algunos que sin creer que sea
infinita, piensan sin embargo que no existe ningún número que sea lo bastante
grande como para superar tanta abundancia. Y es claro que, si aquellos que
sostienen esa opinión imaginasen una masa hecha de arena tan grande como la masa
de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y los huecos de la Tierra
llenos hasta la altura de la más alta de los montañas, seguirían muy lejos de
reconocer que se puede expresar cualquier número que supere esta multitud de
arena. Pero intentaré mostrarte, con pruebas geométricas que podrás entender,
que de los números a los que nombré y que incluí en la obra que envié a Zeuxipo
[por desgracia, esta obra se ha perdido], algunos de ellos superan no sólo el
número de los granos de arena cuya masa es igual en magnitud a la de la Tierra
llena de la forma en que lo he descrito, sino también a una masa de igual
magnitud que el universo. Como sabes, «universo» es el nombre con el que los
astrónomos llaman a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo
radio es igual a la longitud de una línea recta entre el centro del Sol y el
centro de la Tierra. Esto es lo que los astrónomos dicen, y es conocimiento
común. Pero Aristarco de Samos escribió un libro en el que exponía algunas
hipótesis que conducían al resultado de que el universo es muchas veces mayor
que lo que ahora se llama así. Sus hipótesis eran que las estrellas fijas y el
Sol están inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia
de un círculo, con el Sol en el centro de la órbita…[73]
De esta introducción
sobresalen de inmediato dos aspectos: (i) Arquímedes estaba preparado para
poner en duda incluso las creencias más habituales (por ejemplo, que el número
de granos de arena es infinito), y (ii) que respetaba la teoría heliocéntrica
del astrónomo (en otro lugar del tratado corrige incluso una de las hipótesis
de Aristarco). En el universo de Aristarco, la Tierra y los planetas giraban
alrededor de un Sol estacionario ubicado en el centro (¡recuerde que este
modelo se propuso mil ochocientos años antes de Copérnico!). Tras estas
observaciones preliminares, Arquímedes se aboca a la tarea de los granos de
arena, avanzando mediante una serie de pasos lógicos. En primer lugar efectúa
una estimación del número de granos que puestos en fila son necesarios para
abarcar el diámetro de una semilla de amapola. Luego, cuántas semillas de
amapola abarcarían la anchura de un dedo, cuántos dedos en un estadio, y
continúa hasta los diez mil millones de estadios. Sobre la marcha, Arquímedes
inventa un sistema de índices y una notación que, combinados, le permiten
clasificar estos descomunales números. Arquímedes supuso que la esfera de
estrellas fijas es menos de diez millones de veces mayor que la esfera que
contiene la órbita del Sol (según se ve desde la Tierra), halló que el número
de granos de arena en un universo lleno de ella sería inferior a 1063
(un uno seguido de sesenta y tres ceros). La conclusión de su tratado era una
respetuosa nota a Gelón:
Imagino que estos
hechos, rey Gelón, parecerán increíbles a la gran mayoría de las personas que
no han estudiado matemáticas, pero a aquellos que están versados en ellas y han
meditado sobre la cuestión de las distancias y tamaños de la Tierra y el Sol y
la Luna y el universo entero, la prueba les resultará convincente. Y por ese
motivo he pensado que el asunto no sería inapropiado para someterlo a tu
consideración.
La belleza de El arenario reside en la facilidad con
la que Arquímedes pasa de los objetos cotidianos (semillas de amapola, arena y
dedos) a los números abstractos y la notación matemática, y de ahí a los
tamaños del sistema solar y del universo entero. Arquímedes poseía sin duda una
flexibilidad intelectual de tal calibre que podía utilizar cómodamente sus
matemáticas para descubrir propiedades desconocidas del universo y también
utilizar las características del cosmos para avanzar en los conceptos
aritméticos.
El segundo factor que
hace a Arquímedes acreedor del título de «mago» es el método utilizado para llegar a sus notables teoremas geométricos.
Apenas se sabía nada sobre este método ni sobre los procesos mentales en
general de Arquímedes hasta el siglo XX. En 1906, un espectacular
descubrimiento abrió una ventana a la mente de este genio. La historia de este
descubrimiento recuerda tanto a una de esas novelas históricas de misterio del
escritor y filósofo italiano Umberto Eco que me siento en la obligación de
desviarme brevemente para contarla.[74]
El palimpsesto de Arquímedes
En algún momento del
siglo X,[75] un escriba anónimo de Constantinopla (la actual
Estambul) copió tres importantes obras de Arquímedes: El método, Stomachion y De
los cuerpos flotantes. Probablemente se debió a un interés general por los
matemáticos griegos suscitado por el matemático del siglo IX León el Geómetra.
Sin embargo, en 1204, los caballeros de la cuarta cruzada decidieron saquear
Constantinopla en busca de soporte financiero. En los años venideros, la pasión
por las matemáticas decayó, mientras que el cisma entre la Iglesia Católica de
Occidente y la Iglesia Ortodoxa de Oriente se convirtió en un hecho consumado.
En algún momento antes de 1229, el manuscrito con las obras de Arquímedes
sufrió un catastrófico proceso de reciclaje: fue desencuadernado y lavado para
reutilizar el pergamino en un libro de oraciones cristiano. El escriba Ioannes
Myronas terminó de copiar el libro de oraciones el 14 de abril de 1229.[76]
Por fortuna, el borrado del texto original no lo eliminó por completo.
En la figura 12 se
muestra una página del manuscrito; las líneas horizontales representan las
oraciones y las verticales, el contenido matemático. Alrededor del siglo XVI,
el palimpsesto —el documento reciclado— había llegado de algún modo a Tierra
Santa, concretamente al monasterio de San Sabas, al este de Belén. A principios
del siglo XIX, la biblioteca del monasterio contenía no menos de un millar de
manuscritos. Sin embargo, por razones no del todo conocidas, el palimpsesto de
Arquímedes volvió a ser trasladado a Constantinopla. En la década de 1840, el
famoso erudito bíblico alemán Constantin Tischendorf (1815-1874), descubridor
de uno de los manuscritos más antiguos de la Biblia, visitó el metoquio del
Santo Sepulcro en Constantinopla (dependiente de la abadía del Patriarcado
Griego en Jerusalén) y allí vio el palimpsesto. Probablemente, Tischendorf
quedó intrigado por el parcialmente visible texto matemático subyacente, porque
al parecer ¡arrancó y robó una página del manuscrito! Los herederos de
Tischendorf vendieron esa página en 1879 a la Biblioteca de la Universidad de
Cambridge.
En 1899, el estudioso
griego Anastasius Papadopoulos Kerameus catalogó todos los manuscritos del
Metoquio, y el manuscrito de Arquímedes apareció en su lista como Ms. 355.
Papadopoulos Kerameus fue capaz de leer algunas líneas del texto matemático y,
quizá dándose cuenta de su posible importancia, escribió estas líneas en su
catálogo. El texto matemático en el catálogo captó la atención del filólogo danés
Johan Ludvig Heiberg (1854-1928). Heiberg reconoció el texto como perteneciente
a Arquímedes, de modo que viajó a Estambul en 1906, examinó y fotografió el
palimpsesto y, un año después, anunció su extraordinario descubrimiento: dos
tratados inéditos de Arquímedes (y otro del que sólo se conocía hasta entonces
su traducción al latín). Aunque Heiberg fue capaz de leer fragmentos del
manuscrito y luego publicarlos en su libro sobre la obra de Arquímedes, aún
había huecos importantes. Por desgracia, en algún momento después de 1908, el
manuscrito desapareció de Estambul en misteriosas circunstancias, para
reaparecer en manos de una familia de París, que afirmaba haberlo poseído desde
los años veinte. El palimpsesto había sufrido daños irreversibles por moho
debido a un almacenaje incorrecto, y tres de las páginas anteriormente
transcritas por Heiberg habían, simplemente, desaparecido. Además,
posteriormente a 1929, una persona pintó cuatro miniados de estilo bizantino en
cuatro de sus páginas. La familia francesa que poseía el manuscrito decidió
finalmente enviarlo a Christie's para que fuese subastado. La propiedad del
manuscrito fue disputada en un juzgado federal de Nueva York en 1998. El
Patriarcado de Jerusalén de la Iglesia Ortodoxa griega reclamaba que el
manuscrito había sido robado en los años veinte de uno de sus monasterios, pero
el juez acabó decidiendo en favor de Christie's. El palimpsesto fue subastado
en Christie's el 29 de octubre de 1998, y un comprador anónimo pagó por él dos
millones de dólares. El propietario depositó el manuscrito de Arquímedes en el
museo de arte Walters en Baltimore, donde recibe un exhaustivo tratamiento de
conservación y está siendo sometido a un concienzudo examen.
Los modernos
científicos especialistas en imagen disponen de herramientas en su arsenal que
no estaban disponibles a los investigadores de épocas pasadas. Luz
ultravioleta, imagen multiespectral y rayos X enfocados (producidos por
electrones acelerados en el Acelerador lineal de Stanford) han ayudado a descifrar
porciones del manuscrito previamente ocultas. En el momento de redactar estas
líneas, los especialistas prosiguen con el cuidadoso estudio del manuscrito de
Arquímedes. Yo mismo tuve la suerte de conocer al equipo «forense» del
palimpsesto.[77]
La dramática historia
que rodea al palimpsesto es de lo más adecuada para un documento que nos
permite echar un vistazo sin precedentes al método del insigne geómetra.
El método
Al leer cualquier libro
de geometría griega, no deja de impresionar la economía de estilo y la
precisión con la que se enunciaban y se demostraban los teoremas hace más de
dos milenios. Sin embargo, lo que esos libros no proporcionan son pistas claras
sobre cómo se concibieron esos teoremas. El excepcional documento de Arquímedes
El método ayuda a cubrir parcialmente
esta misteriosa laguna, ya que revela cómo el propio Arquímedes se convenció de
la verdad de ciertos teoremas antes de saber cómo demostrarlos. Este texto es
parte de lo que decía al matemático Eratóstenes de Cirene (ca. 284-192 a.C.) en
la introducción:
Te haré llegar las
demostraciones de los teoremas de este libro. Como te tengo por una persona
diligente, un excelente profesor de filosofía, y sé de tu interés por las
investigaciones matemáticas, juzgué apropiado escribir y exponer para ti en
este mismo libro ciertométodo especial que te permitirá comprender determinadas
cuestiones matemáticas con la ayuda de la
mecánica. Estoy convencido de la utilidad de tal método para hallar las
demostraciones de estos mismos teoremas. Porque algunas cosas que primero pude
apreciar por el método mecánico se probaron luego de forma geométrica, ya que
al investigarlas por ese método no se alcanzaba una verdadera demostración.
Pues es más fácil llegar a la demostración cuando, mediante el método, se ha
adquirido un conocimiento de las cuestiones, que no llegar a ella sin
conocimiento previo. (La cursiva es mía).[78]
Arquímedes se refiere
aquí a uno de los aspectos fundamentales en la investigación científica y
matemática: con frecuencia es más complicado describir cuáles son las preguntas o teoremas importantes que
encontrar la respuesta a las preguntas o la demostración de los teoremas
conocidos. Entonces, ¿cómo descubrió Arquímedes los nuevos teoremas? A partir
de su magistral comprensión de la mecánica, el equilibrio y los principios de
la palanca, pesó mentalmente los
sólidos o figuras cuyo volumen o área intentaba hallar comparándolos con otros
que ya sabía. Tras determinar así la solución
del área o volumen desconocidos, le resultaba mucho más sencillo probar
geométricamente la corrección de esa solución. Así, El método se inicia con una serie de afirmaciones relativas a
centros de gravedad para luego proseguir a las proposiciones geométricas y sus
demostraciones.
El método de Arquímedes
resulta extraordinario desde dos puntos de vista. En primer lugar, introduce el
concepto de «experimento mental» en la investigación rigurosa. El físico del
siglo XIX Hans Christian Oersted denominó por primera vez a esta herramienta
—un experimento imaginario realizado en lugar de uno real— Gedankenexperiment (en alemán, «experimento efectuado en el
pensamiento»). En física, donde este concepto ha resultado extremadamente
fructífero, los experimentos mentales se utilizan para percibir ciertos
aspectos de un problema antes de efectuar el experimento real, o bien en casos
en los que éste no se puede llevar a cabo. En segundo lugar, y más importante
aún, Arquímedes liberó a la matemática de las cadenas más bien artificiales que
Euclides y Platón le habían impuesto. Para ellos sólo había una forma de hacer
matemáticas. Debía empezarse por los axiomas y proseguir a través de una
inexorable secuencia de pasos lógicos, utilizando herramientas perfectamente
establecidas. Arquímedes, de espíritu más libre, utilizaba en cambio cualquier
recurso que se le ocurría para formular nuevos problemas y resolverlos. No
vacilaba en explorar y sacar provecho de las relaciones entre los objetos
matemáticos abstractos (las formas platónicas) y la realidad física (sólidos y
objetos planos reales) para progresar.
Un último ejemplo que
consolida aún más el estatus de «mago» de Arquímedes: fue capaz de prever el cálculo diferencial e integral[79]
—una rama de la matemática desarrollada formalmente por Newton (y, de forma
independiente, por el matemático alemán Leibnitz) a finales del siglo XVII—.
La idea básica que
subyace al proceso de integración es
bastante simple (¡después de señalarla!). Supongamos que queremos determinar el
área de un segmento de elipse. Se puede dividir el área en muchos rectángulos
de la misma anchura y luego sumar las áreas de esos rectángulos (figura 14).
Por supuesto, cuantos
más rectángulos se utilicen, más se aproximará la suma al área real del
segmento. En otras palabras, el área del segmento es en realidad igual al límite al que se acerca la suma de los
rectángulos cuando el número de éstos tiende a infinito. El proceso de hallar
este límite se denomina integración.
Arquímedes utilizó su propia versión del método que acabo de describir para
hallar los volúmenes y las superficies de la esfera, del cono y de elipsoides y
paraboloides (los sólidos que se obtienen al hacer girar elipses o parábolas
sobre sus ejes).
Uno de los principales
objetivos del cálculo diferenciales
hallar la pendiente de una línea recta tangente
a una curva en un punto determinado (la línea que toca a la curva únicamente en
ese punto). Arquímedes resolvió el problema para el caso especial de una
espiral, en un atisbo de lo que serían los futuros trabajos de Newton y
Leibnitz. En la actualidad, el cálculo diferencial e integral y las ramas
derivadas constituyen la base de la mayoría de los modelos matemáticos, tanto
en física como en ingeniería, economía o dinámica de poblaciones.
Arquímedes cambió
profundamente el mundo de las matemáticas y la percepción de su relación con el
cosmos. Con su asombrosa combinación de intereses teóricos y prácticos, ofreció las primeras pruebas empíricas, no
míticas; del diseño aparentemente matemático de la naturaleza. La
percepción de que las matemáticas son el «idioma» del universo nació con la
obra de Arquímedes. Sin embargo, Arquímedes dejó algo por hacer: nunca comentó
las limitaciones de sus modelos
matemáticos al aplicarlos a las circunstancias físicas reales. Sus comentarios
teóricos sobre palancas, por ejemplo, suponían que éstas tenían una rigidez
infinita, y que las varas carecían de peso. Así, en cierto modo, abrió la
puerta a la interpretación de «salvar las apariencias» de los modelos
matemáticos. Me refiero a la idea de que los modelos matemáticos pueden
representar únicamente lo que los humanos
observan, y no describen la verdadera realidad física. El matemático griego
Gémino (ca. 10 a.C.-60 d.C.) fue el primero en hablar con cierto detalle de las
diferencias entre los modelos matemáticos y las explicaciones físicas en
relación con el movimiento de los cuerpos celestes.[80] Distinguía
entre astrónomos (o matemáticos), que, en su opinión, sólo tenían que sugerir
modelos que reprodujesen los
movimientos celestiales, y físicos, que debían hallar explicaciones para los movimientos reales. Esta distinción en
particular llegaría a un punto crítico en la época de Galileo, y volveré a ella
más adelante en este capítulo.
Sorprendentemente, el
propio Arquímedes consideraba uno de sus mayores logros el descubrimiento de
que el volumen de una esfera inscrita en un cilindro (figura 15) era siempre
2/3 del volumen del cilindro. Estaba tan satisfecho con este resultado que hizo
que lo grabaran en su lápida.[81] Unos ciento treinta y siete años
después de la muerte de Arquímedes, el famoso orador romano Marco Tulio Cicerón
(ca. 106-43 a.C.) descubrió la tumba del insigne matemático, lo que describe de
esta forma conmovedora:
Siendo yo cuestor en
Sicilia pude localizar su tumba [de Arquímedes]. Los siracusanos no sabían nada
de ella, y de hecho negaban incluso su existencia. Pero allí estaba,
completamente oculta por arbustos de zarzas y espinos. Recordé haber oído
hablar de unos versos inscritos en su lápida que hablaban de un modelo de una
esfera y un cilindro sobre la piedra que coronaba su tumba. Así que examiné con
atención las numerosas tumbas que se erguían junto a la puerta de Agrigento.
Finalmente, observé una pequeña columna apenas visible por encima de la maleza,
sobre la que se distinguían una esfera y un cilindro. Inmediatamente me volví a
los ilustres ciudadanos de Siracusa que me acompañaban, y les indiqué que creía
que ése era el objeto que estaba buscando. Enviaron a llamar a hombres con
hoces para despejar el lugar y, cuando el monumento quedó al descubierto, nos
acercamos a él. Y los versos aún podían verse, aunque aproximadamente la
segunda mitad de cada línea se había desgastado. Así, una de las ciudades más
famosas del mundo griego, un centro de sabiduría de la Antigüedad, habría
permanecido ignorante de la tumba del más brillante de sus ciudadanos, ¡de no
haber sido porque un hombre de Arpino acudió a señalarla! [82]
Mi listón para ser
merecedor del título de «mago» lo he colocado deliberadamente a una altura tal
que, desde el gigante Arquímedes, es necesario saltar más de diecisiete siglos
antes de hallar a alguien de una estatura similar. A diferencia de Arquímedes,
que dijo que podía mover la Tierra, este «mago» insistía en que la Tierra ¡ya se
estaba moviendo!
Continua en
¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo III Magos: El maestro y el hereje (II) Galileo Galilei
[58] Bell 1940. <<
[59] Aristóteles ca. 330
a.C. (Hardy y Gaw, Wickstead y Comford 1960); véase también Koyre 1978.
<<
[60] Galileo 1589-1592
(Drablein y Drake 1960). <<
[61] En el capítulo 7 se
tratarán exhaustivamente estas y otras construcciones lógicas. <<
[62] Bell 1937. <<
[63] Se menciona en los
comentarios de Medición de un círculo
del matemático Eutocio (ca. 480-540 d.C.); Heiberg 1910-1915. <<
[64] Plutarco ca. 75 d.C.
(Dryden 1992). <<
[65] Su año de nacimiento
se ha determinado a partir del documento histórico denominado Chiliades, del
escritor bizantino del siglo XII Joannes Tzetzes. <<
[66] En Dijksterhuis 1957
se comentan las pruebas de ello. <<
[67] El arquitecto romano
Marco Vitruvio Polio (siglo I a.C.) nos cuenta esta historia en su tratado De Architectura (véase Vitruvio, siglo I
a.C.). Explica que Arquímedes sumergió en agua un trozo de oro y un trozo de
plata, ambos del mismo peso que la corona, y halló que la corona desplazaba más
agua que el oro pero menos que la plata. No es difícil demostrar que, a partir
de la diferencia de volumen desplazado se puede calcular la proporción de pesos
del oro y la plata en la corona. Así, a diferencia de lo que dicen algunas de
las narraciones populares, Arquímedes no tuvo que utilizar las leyes de la
hidrostática para resolver el problema de la corona. <<
[68] En una carta de Thomas
Jefferson a M. Correa de Serra en 1814, escribía: «la buena opinión de la
humanidad, como la palanca de Arquímedes, mueve el mundo si cuenta con el punto
de apoyo adecuado». Lord Byron menciona la frase de Arquímedes en Don Juan. John Fitzgerald Kennedy la utilizó
en un discurso de su campaña, citado en el periódico The New York Times el 3 de noviembre de 1960. Mark Twain la usó en
un artículo titulado «Arquímedes» en 1887. <<
[69] Un grupo de
estudiantes del MIT intentó reproducir la quema de un barco mediante espejos en
octubre de 2005. Algunos de ellos repitieron también el experimento en el
programa de TV Cazadores de mitos.
Los resultados no
fueron muy definitivos; aunque los estudiantes lograron producir un área que
quemaba y se mantenía sola, no lograron producir un fuego demasiado grande. Un
experimento similar efectuado en Alemania en septiembre de 2002 logró encender
las velas de un barco mediante el uso de 500 espejos. Véase el sitio web de
Michael Lahanas para un comentario acerca de los espejos incendiarios. <<
[70] Exactamente estas
palabras se mencionan en Chiliades de
Tzetzes; véase Dijksterhuis 1957. En 75 d.C., Plutarco dice que Arquímedes
simplemente se negó a ser conducido ante Marcelo hasta no haber resuelto el
problema que captaba su atención. <<
[71] Whitehead l911.
<<
[72] Heath 1897 es un
trabajo estupendo acerca de Arquímedes. Otras obras excelentes son Dijksterhues
1957 y Hawking 2005. <<
[73] Heath 1897. <<
[74] Véase Netz y Noel 2007
para una magnífica descripción del Proyecto Palimpsesto. <<
[75] Probablemente en 975
d.C. <<
[76] Netz y Noel 2007.
<<
[77] Will Noel, director
del proyecto, organizó una reunión con William Christensen-Barry, Roger Easton
y Keith Knox. Éste fue el equipo que diseñó el sistema de captación de imágenes
de banda estrecha e inventó el algoritmo utilizado para revelar parte del
texto. Los investigadores Anna Tonazzini, Luigi Bedini y Emanuele Salerno han
desarrollado técnicas de proceso de imágenes adicionales. <<
[78] Dijksterhuis 1957.
<<
[79] Berlinski 1996
contiene una bella descripción sobre la historia y el significado del cálculo.
<<
[80] Heath 1921. <<
[81] Plutarco ca. 75 d.C.
(Dryden 1992). <<
[82] Cicerón, siglo I a.C.
Para un análisis académico del texto de Cicerón en términos de estructura, retórica
y simbolismo, véase Jaeger 2002. <<
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