Georg Cantor y la teoría de conjuntos transfinitos

¿Cuán grande es un conjunto infinito? Cantor hizo ver que hay una jerarquía de infinitos, cada uno "mayor" que su precedente. Su teoría es una de las piedras angulares de la matemática

Joseph W. Dauben

La naturaleza del infinito ha sido siempre objeto de controversia. Las famosas paradojas de Zenón de Elea, quien explicó con inquietante lucidez que el movimiento es imposible, porque exige que el móvil pase por una infinidad de puntos en un tiempo finito, suscitaron ya el problema en la antigüedad. El éxito de la física newtoniana es en gran parte consecuencia de haber introducido Newton el cálculo de tasas de variación de lo infinitamente pequeño, y ello a pesar de que durante más de 200 años no pudo ofrecerse una formulación matemáticamente rigurosa de esta idea, cuya eficacia es tan grande cuan delicado su manejo. En tiempos modernos han aparecido nuevos problemas asociados con el infinito en la teoría de conjuntos abstractos, teoría que proporciona fundamento y cimentación a prácticamente la totalidad de las matemáticas contemporáneas Además, la idea de infinito ha estado siempre, a través de la historia, cargada de tintes y matices teológicos, que han pesado en la aceptación o en el rechazo de este concepto y de las doctrinas matemáticas o filosóficas con él asociadas. Todas estas corrientes de pensamiento convergen en la vida y obra del matemático Georg Cantor.

La obra a la que Cantor dedicó su vida es, en substancia, bien conocida. Al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño; por consiguiente, es posible establecer comparaciones entre ellos) El conjunto de todos los puntos de una recta, por ejemplo, y el conjunto de todos los números fraccionarios son, ambos, conjuntos infinitos. Demostró que, en un sentido bien definido, el primero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el del segundo. Resultaron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos las ideas de Cantor, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", " renegado" y "corruptor de la juventud.

Es también sabido que Cantor padeció toda su vida de una serie de "colapsos nerviosos", que conforme envejecía iban haciéndose más frecuentes y agotadores. Estos colapsos nerviosos eran, seguramente, síntoma de una enfermedad mental de carácter orgánico. Un estudio reciente llevado a cabo por Ivor Grattan-Guinness, especialista inglés en historia de la matemática, sugiere, fundándose en una evaluación del historial clínico de Cantor realizada por psicólogos de la Halle Nervenklinik (hospital para enfermedades mentales de la ciudad de Halle, en Alemania Oriental), que Cantor era víctima de psicosis maníaco-depresiva Empero, nada más fácil para sus primeros biógrafos que presentarle como víctima desventurada de la persecución de sus contemporáneos, que, no obstante padecer colapsos nerviosos cada vez más frecuentes, se esforzaba en defender su compleja teoría.

Tales relatos deforman la verdad, pues trivializan las auténticas y profundas preocupaciones de carácter intelectual que motivaron parte de la oposición -sobre todo la más meditada- con que sus contemporáneos recibieron la teoría. Son igualmente insuficientes a la hora de hacer justicia al alcance y potencia de los argumentos que Cantor esgrimió en defensa de sus ideas. Al principio, él mismo se resistió a aceptar la existencia de números transfinitos, convencido como estaba de que era imposible formular coherentemente la noción de infinito actual, sin cabida por tanto en matemática rigurosa. No obstante, según refiere, pronto superó su "prejuicio" al respecto de los números transfinitos, por encontrarlos indispensables para el desarrollo ulterior de sus ideas matemáticas. Justamente a causa de sus dudas iniciales pudo Cantor prever la oposición que iba a encontrar en diversos campos, que intentó vencer aplicando no sólo razonamientos matemáticos sino también filosóficos y teológicos. Cuando fue convocado para responder a sus críticos, congregó sus ideas con fuerza considerable. Su enfermedad mental, lejos de desempeñar un papel enteramente negativo, pudo muy bien haber proporcionado, durante sus fases maníacas, la energía y la tenacidad obsesiva con que promovió su teoría.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo (hoy Leningrado). Su madre, María Anna Bóhm, procedía de una familia que contaba entre sus miembros varios músicos de talento; entre todos el más notable fue su tío Joseph Bóhm, director en Viena de un conservatorio y fundador de una escuela de violinistas donde se formaron muchos virtuosos de la época. El padre de Georg, Georg Woldemar Cantor, era un próspero comerciante y luterano devoto, que comunicó a su hijo profundas convicciones religiosa. Según el muy leído libro de Eric Temple Bell, Men of Mathematics ("Los grandes matemáticos") cuya primera edición data de 1937, la inseguridad que más tardíamente experimentaría Cantor hijo emanaba de un conflicto freudiano con su padre; pero las cartas que han llegado hasta nosotros, así como otras pruebas sobre la relación entre padre e hijo, más bien indican lo contrario. El padre parece haber sido un hombre de sentimientos, que prestó atención a sus hijos y que se tomó un interés especial, pero no coercitivo, por la educación y bienestar del mayor.

1. RETRATO DE CANTOR y su esposa, tomado hacia 1880, cuando se hallaba en el cénit de su carrera. Había comenzado ya a crear malestar entre las instituciones matemáticas alemanas con una demostración de que el conjunto infinito de los números reales, representado por el continuo de los puntos de una recta, es mayor que el conjunto infinito de todas las fracciones. Cantor demostró también ser posible definir cantidades infinitas, llamadas números transfinitos, que describieran tales diferencias. Algunos años después de hacerse esta fotografía, sufrió un grave ataque de psicosis maníaco-depresiva que terminaría por dar al traste con su trabajo de creación matemática. La fotografía original pertenece a la colección particular de Egbert Schneider.

Siendo todavía niño, la familia se mudó de Rusia a Alemania y fue en este país donde Cantor comenzó a estudiar matemáticas.

En 1868 recibió el título de doctor por la Universidad de Berlín, con una tesis sobre teoría de números; dos años más tarde, aceptaba un puesto de Privatdozent en la Universidad de Halle, institución respetada, si bien no de tan gran prestigio en matemáticas como las universidades de Gottingen o Berlín. Uno de sus colegas en Halle, Heinrich Eduard Heine, estaba a la sazón trabajando en la teoría de series trigonométricas; Heine animó a Cantor a atacar el difícil problema de la unicidad de tales series. En 1872, contando Cantor 27 años, publicó un artículo donde presentaba una solución muy general a tal problema, juntamente con el germen de lo que llegaría a convertirse en la teoría de conjuntos transfinitos

El problema que Heine sugirió a Cantor arrancaba del trabajo del matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier. En 1822 Fourier había mostrado que la gráfica de cualquier curva "razonablemente lisa" (es decir, una curva que presentase tan sólo un número finito de puntos de discontinuidad) podía representarse en todo un intervalo como suma de una serie trigonométrica infinita. Dicho de otro modo, superponiendo unas sobre otras un número infinito de ondas sinusoidales y cosinusoidales, en todos los puntos del intervalo, exceptuados los correspondientes a discontinuidades, podía aproximarse la curva con la precisión que se quisiera [véase la figura 2]. Se dice que entonces la serie converge hacia la curva -o hacia la función que la define- en casi todos los puntos, o también, que hay convergencia "casi por doquier". El resultado de Fourier es de importancia matemática capital, porque sugiere que ciertas funciones complicadas podrían representarse o descomponerse en sumas de senos y cosenos, matemáticamente mucho más fáciles de manipular que ellas. A fin de justificar tal sustitución, hacía falta, sin embargo, alguna garantía de que hubiera sólo una de tales series trigonométricas que convergiera hacia la función. Cantor comenzó a investigar condiciones bajo las cuales una serie trigonométrica convergente hacia una función es única.

2. UNA GRÁFICA CONTINUA Y LISA, cuya altura en cada punto depende del valor del punto correspondiente del eje x, puede ser aproximada con la precisión que se desee mediante una serie trigonométrica, esto es, mediante una suma de senos y cosenos. Así, por ejemplo, una línea recta y horizontal trazada a la altura de una unidad por encima del eje x (línea de color) puede ser aproximada superponiendo unas sobre otras ondas sinusoidales (curvas grises); hemos representado en la ilustración las dos primeras etapas de la aproximación (curvas negras de las figuras superior y central). La serie trigonométrica que converge hacia la gráfica es única. Empero, aunque la gráfica no sea continua, con frecuencia es posible aproximarla mediante una única serie trigonométrica. Por ejemplo, si la altura de la gráfica es en todo punto igual a una unidad, exceptuado el punto donde x es igual a 1/2, la serie trigonométrica que convergía hacia la línea continua converge también hacia esta otra fragmentada, excepto en el punto 1/2 (punto de color, abajo). Cantor demostró que una gráfica puede ser aproximada por una única serie trigonométrica incluso si el número de puntos donde la gráfica no es continua es un número infinito, con tal de que los puntos de discontinuidad se encuentren distribuidos sobre el eje x de cierto modo específico. Ello le condujo a analizar las propiedades estructurales de los conjuntos infinitos abstractos y los infinitos modos en que los elementos de los conjuntos infinitos pueden ser ordenados unos con relación a otros.

En 1870 logró su primer resultado: si una función es continua en todos los puntos de un intervalo, su representación trigonométrica esta unívocamente determinada. Su paso siguiente consistió en relajar la exigencia de que la función fuese continua sobre la totalidad del intervalo Supongamos, por ejemplo, que la función que debamos aproximar en serie sea como sigue: la gráfica de la función es una recta paralela al eje x -el eje horizontal- de la representación gráfica, a excepción del punto del eje x correspondiente a 1/2. Para el punto de abscisa 1/2, la función toma el valor 0, en lugar del valor 1 que le corresponde en todo el resto del eje. Cantor pudo demostrar que, sacrificando el requisito de convergencia en el punto donde x es igual a 1/2, sigue existiendo una única serie trigonométrica que converja a la función en todos los restantes puntos.

No existe ninguna otra serie trigonométrica de forma similar que también sea aproximación de la función. Fue entonces cosa sencilla para Cantor generalizar su resultado anterior para dar cabida a todas las funciones que presenten un número finito de puntos de discontinuidad, puntos que Cantor llamaba "puntos excepcionales".

En 1872, buscando Cantor un enunciado más general para su teorema de unicidad, publicó un notable descubrimiento: que en tanto los puntos excepcionales se encuentren distribuidos sobre el eje x en forma cuidadosamente especificada podría haber incluso un número infinito de ellos. El paso más importante de la demostración residía en la descripción precisa del conjunto infinito de puntos excepcionales, y Cantor comprendió que para tal propósito necesitaba proporcionar un método satisfactorio de analizar el continuo de puntos situado sobre el eje x. De es ta forma, el estudio que Cantor había efectuado para las series trigonométricas provocó en su pensamiento una notable transición: prestar mayor atención a las relaciones entre los punta del continuo que a los teoremas sobre series trigonométricas.

Cantor consideraba axiomático quecada punto de una recta continua le correspondía un número, llamado "real" para distinguirlo de los números "imaginarios", que eran los múltiplos de . Recíprocamente, a cada número real le correspondía un punto, y exactamente un punto, de una recta continua. Por consiguiente, el problema de describir el continuo de puntos de una recta era equivalente al problema de definir e investigar las propiedades del sistema de números reales. Uno de los principales logros del artículo de 1872 fue la exposición rigurosa de tales propiedades.

Las teorías de números reales encuentran sus máximas dificultades en números que, como
 y  , no son racionales. (Números racionales son los expresables por cociente de dos números enteros. Desde la antigüedad es conocido que y otras muchas raíces son irracionales.) Puesto que nadie ponía en tela de juicio la legitimidad de los números racionales, Cantor enfocó el problema de los números reales desde un ángulo que ya había sugerido Karl Weierstrass, uno de sus profesores de la Universidad de Berlín. Cantor propuso que todo número irracional podía representarse por una sucesión infinita de números racionales. Así, el número  por ejemplo, puede representarse por una sucesión infinita de números racionales: 1, 1,4, 1,41..., y así sucesivamente. De esta forma, todos los números irracionales pueden ser imaginados como puntos geométricos situados sobre una "recta numérica", al igual que había podido hacerse con los números racionales.

No obstante sus ventajas, algunos matemáticos encontraron difícil admitir el método de Cantor, pues presuponía la existencia de sucesiones o conjuntos formados por infinitos elementos. Filósofos y matemáticos habían venido rechazando desde los tiempos de Aristóteles la noción de infinitud completa, a causa, sobre todo, de las paradojas que parecía plantear. Galileo, por ejemplo, había ya hecho notar que, si en matemáticas fueran admisibles conjuntos infinitos completos, habría tantos números enteros pares cuantos pares e impares reunidos. Cada número entero par puede ser emparejado biunívocamente con el número entero de valor mitad, quedando así definida una correspondencia biunívoca entre los elementos de uno y otro conjuntos. Otras de las voces que manifestaban tradicionalmente oposición a la idea de infinidad completa eran las alzadas por teólogos como santo Tomás de Aquino, por considerar que tal noción comportaba un desafío directo a la naturaleza única, infinita y absoluta de Dios.

Para evitar semejantes tropiezos, los matemáticos habían venido trazando una distinción taxativa entre lo infinito en tanto que cantidad completa, el infinito actual, y lo infinito en potencia, como podría quedar representado por una suma indefinida e ilimitada -lo que se llama serie- que convergiera hacia un cierto límite. Tan sólo estaban los matemáticos dispuestos a tolerar infinitos potenciales. En 1831, Carl Friedrich Gauss había ya expresado su oposición a que se utilizasen infinitos completos, manifestándose en términos que Cantor calificó de "autoritarios". En una carta a Heinrich Schumacher, Gauss escribía: "Pero con respecto a su demostración, yo protesto sobre todo del uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad completa, lo que en matemáticas jamás está permitido. El infinito es solo una facon de parler, en la que propiamente debería hablarse de límites".

Hablando de límites era posible eludir las paradojas que comportaban los infinitos actuales. Por ejemplo, añadiendo nuevas cifras al desarrollo decimal de  se puede aproximar el verdadero valor de   con precisión creciente. Gauss insistía, sin embargo, en que jamás deberían suponerse dados todos los términos del desarrollo decimal, con lo que el valor de   quedaría exactamente determinado. Hacerlo así equivaldría a tomar y comprender en su totalidad un conjunto infinito de números, operación que Gauss rechazaba.

No fue Cantor el único en estudiar las propiedades del continuo detallada y rigurosamente. En 1872, el mismo año en que fue publicado el artículo de Cantor, publicaba también el matemático alemán Richard Dedekind un análisis del continuo basado en conjuntos infinitos. En su artículo, Dedekind exponía una idea a la que luego Cantor confería mayor precisión: "La recta es infinitamente más rica en puntos individuales que lo es el dominio... de los números racionales en números individuales". Podemos dar a tal propiedad algo de perspectiva considerando la distribución de los puntos que en un segmento rectilíneo corresponden a números racionales, o brevemente, los puntos racionales. Por muy pequeño que sea tal segmento, hay en él infinitos puntos racionales. Así pues, el quid de la observación de Dedekind se encontraba en que a pesar de que los números racionales forman un conjunto denso en todo segmento rectilíneo, queda en éste suficiente sitio para alojar todavía un número infinito de números irracionales. Los puntos irracionales como   caen entre los puntos racionales, y por ello el conjunto de números racionales, aunque denso, se encuentra acribillado de poros, y no es continuo.

3. PARA COMPARAR LOS TAMAÑOS de dos conjuntos infinitos se van emparejando a los elementos del primer conjunto con los del segundo. Por ejemplo, para determinar si en un cubo hay más o menos bolas rojas que bolas negras, podemos irlas sacando por pares de una roja y una negra. Cuando ya no puedan formarse nuevas parejas, las bolas restantes en el cubo, si las hubiere, servirían de base de comparación. Cantor se valió de este principio elemental para comparar tamaños de conjuntos infinitos.

Si bien la observación de Dedekind es coherente con una correcta comprensión del continuo, esconde una grave flaqueza. De haberle alguien preguntado a Dedekind cuánto más rico en puntos era el continuo que el conjunto infinito de los números racionales, Dedekind hubiera quedado sin respuesta. La fundamental aportación de Cantor a este problema fue publicada en 1874, en el Journal für die reine und agewandte Mathematik de August Leopoid Crelle, más conocido por el Journal de Crelle, seguramente la publicación matemática de carácter periódico de mayor prestigio en aquella época.

En efecto: Cantor tomó prestada la paradoja citada por Galileo y la convirtió en un procedimiento de comparación de tamaño de conjuntos infinitos. Cantor definió como equivalentes dos conjuntos cuando podía definirse entre los elementos de uno y otro conjuntos una correspondencia biunívoca. Una tal correspondencia proporciona un procedimiento natural de comparación de tamaños. Imaginemos, por ejemplo, un cubo lleno de bolas de color rojo y color negro. La forma más sencilla de averiguar si hay el mismo número de bolas rojas y negras es irlas sacando del cubo en parejas de una bola roja y una negra. De ser posible emparejar cada bola con otra de distinto color los dos conjuntos de bolas son equivalentes. Si no es así, las bolas sobrantes en el cubo permiten decidir la cuestión.

4. PODEMOS EMPAREJAR, uno por uno, los números enteros con los números pares, sin que ninguno de ambos conjuntos llegue a agotarse. Por consiguiente, aunque pueda parecer que hay más números enteros que números pares, ambos conjuntos tienen en realidad el mismo número de elementos. Muchos otros conjuntos, como el de los cuadrados perfectos multiplicados por mil millones pueden también ser biunívocamente comparados con los números enteros. Tales conjuntos se llaman "numerables".

Aplicando el mismo principio de correspondencia, demostró que la propiedad que Galileo había considerado paradójica era, en realidad, una propiedad natural de los conjuntos infinitos. El conjunto de los números pares es equivalente al conjunto de todos los números enteros positivos, pares e impares reunidos, porque los emparejamientos entre miembros de uno y otro conjunto pueden proseguir por siempre, sin omitir a miembro alguno de ninguno de ambos conjuntos. Cantor pudo también exhibir un método, tan refinado como ingenioso, gracias al cual el conjunto de los números racionales podía quedar en correspondencia con el de todos los enteros [véase la figura 51. Cantor llamó numerables a aquellos conjuntos cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia, uno con uno, con los números del conjunto de enteros positivos, lo que equivale a poderlos contar.

5. CONJUNTO INFINITO de los números racionales: es decir, de los números expresables como cociente de dos números enteros. Puede parecer mucho mayor que el conjunto de los números enteros. Por ejemplo, entre dos enteros consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de números racionales. No obstante, Cantor mostró en el año 1874 de qué forma podían los números racionales ser emparejados biunívocamente con los números enteros. Cada número racional se halla encuadrado en la formación de la figura; a cada número racional puede entonces asociársele un número entero conforme se va recorriendo la trayectoria señalada con flechas de color. Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable.

Cantor comenzó su demostración suponiendo que exista una correspondencia biunívoca entre los conjuntos de los números reales y de los números enteros. Su razonamiento consiste en ver que tal hipótesis lleva a contradicción; se deduce entonces que la suposición inicial tiene que ser falsa, o sea, que es imposible que exista una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos. Su razonamiento puede ser simplificado atendiendo solamente a los números reales comprendidos entre 0 y 1. Si este conjunto de números ya fuera mayor que el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números reales lo sería también.

Supongamos, por consiguiente, que los números reales comprendidos entre 0 y 1 pudieran quedar uno por uno emparejados con números enteros. Establecer una tal correspondencia equivaldría a dar una lista de los números reales, cada uno representado por un número decimal infinito. Es entonces posible definir un nuevo número real comprendido entre 0 y 1 y no incluido en la lista. Fijémonos en la primera cifra del primer desarrollo decimal de la lista de números reales. Si esta cifra es un 1, como primera cifra decimal del número que estamos definiendo escribiremos un 9. Si la primera cifra del primero de los números de la lista no es un 1, en el número a definir tomaremos como primera cifra un 1. Continuamos construyendo el número a definir cambiando la segunda cifra del segundo desarrollo decimal de la lista por igual procedimiento, la tercera del tercero, etcétera. El número real así construido difiere al menos en una cifra de cada uno de los números que componen la lista, y representa un número comprendido entre 0 y 1. Se ha construido, pues, un número que no se encuentra en la lista de números reales y, por tanto, la hipótesis de que es posible confeccionar una lista donde figuren todos los números reales conduce a contradicción.

En agosto de 1874, Cantor contrajo matrimonio con Vally Guttmann; la joven pareja pasó el verano en las montañas del Harz, donde se reunieron también con Dedekind. Este período fue extraordinariamente fructífero para el trabajo de Cantor. En época anterior de ese mismo año, Cantor había propuesto a Dedekind el problema inmediatamente siguiente en importancia al recién explicado, a saber: "¿Sería posible poner en correspondencia una superficie (tal vez un cuadrado, incluido su contorno) con una línea recta (quizás un intervalo, juntamente con sus extremos), de manera que a cada punto de la superficie le correspondiera un único punto de la recta, y recíprocamente?". Aunque Cantor opinaba que la respuesta debiera ser negativa, no conseguía, ni tampoco Dedekind, dar razón para tal creencia.

Sin embargo, hacia 1877 Cantor pudo enviar a Dedekind la estupefaciente noticia de que, contrariamente a la opinión matemática prevaleciente, no era imposible establecer una correspondencia biunívoca entre recta y plano. La demostración consiste en representar cada punto de un cuadrado por un par ordenado de coordenadas en notación decimal. Las representaciones decimales de las coordenadas se entremezclan entonces conforme a un procedimiento estrictamente especificado, a fin de engendrar un único desarrollo decimal; este decimal es asociado luego con un punto del segmento rectilíneo. El proceso completo es reversible [véase la figura 8^]. Tal resultado cogió desprevenido al propio Cantor; tanto que le hizo exclamar "¡Lo veo, pero no lo creo!"

Cantor preparó inmediatamente un manuscrito donde exponía su descubrimiento, y lo envió, como había hecho con su artículo de 1874, al Journal de Crelle. Aunque el artículo de Cantor revestía una importancia fundamental, fue también la primera ocasión de abierta declaración de hostilidades entre Cantor y Kronecker, su maestro de antaño. Siendo uno de los editores del Journal, Kronecker se encontraba en situación de bloquear la publicación de cualquier artículo, y hacia 1877 quedó tan consternado por la dirección que estaba tomando el trabajo de Cantor, que eso fue precisamente lo que hizo. Aunque este había presentado su escrito el 12 de julio, no se hizo preparativo alguno para publicarlo, y no apareció en el volumen de 1877. Cantor, sospechando la intervención de Kronecker, escribió a Dedekind una amarga carta quejándose del tratamiento dado a su artículo y mencionando la posibilidad de retirarlo de la revista. Dedekind, recordando experiencias propias en tales asuntos, persuadió a Cantor para que esperase. Al cabo, Dedekind resultó tener razón. El artículo apareció en el volumen de 1878; pero Cantor quedó tan ofendido por el incidente que se negó a publicar nada más en el Journal.

Aunque la controversia surgida entre Cantor y Kronecker estuviera en tenebrecida por animosidades personales, su causa más radical yacía en las concepciones, tajantemente diferentes, que de la matemática tenían ambos. Concepciones que todavía hoy se reflejan en el debate entre matemáticos formalistas y matemáticos constructivistas. Kronecker, precursor de los constructivistas, es famoso por una iró nica agudeza que capta muy bien la esencia de sus convicciones: "Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre". En este espíritu, Kronecker abogaba por la construcción de una matemática fundada en los números enteros y en combinaciones finitas de ellos. En los primeros años del decenio de 1870 comenzó a rechazar los procesos de paso al límite del cálculo infinitesimal tradicional, oponiéndose a que pudieran definirse objetos matemáticos mediante límites. Así pues, incluso los números irracionales, que durante siglos habían encontrado cobijo en las matemáticas, habrían de ser expulsados de ella, a menos que pudiese hallarse algún procedimiento para construirlos, como se construyen los racionales, a partir de los enteros.

6. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES, representado por el continuo de los puntos de una recta; dicho conjunto no es numerable. Si lo fuera, los números reales entre 0 y 1, por ejemplo, podrían ser biunívocamente emparejados, uno a uno, con los números enteros. Cada número real de la lista está representado por un número decimal ilimitado. (Los decimales infinitos como 0,5000... han de ser representados por otro decimal infinito, tal como 0,4999...) Independientemente de la ordenación que se dé a una tal lista de números decimales ilimitados, siempre puede ser construido un nuevo decimal que defina un número real no contenido en ella: como primera cifra decimal del número a construir se escribe un 9 si es que el primer decimal del número que encabeza la lista es un 1; de no ser así, se escribe un 1. A continuación se cambia la segunda cifra decimal del segundo número real; después, la tercera del tercero, y así sucesivamente. El número decimal de esta forma construido representa un número real comprendido entre 0 y 1, y que habrá forzosamente de diferir al menos en una cifra decimal de cada uno de los números de la lista. Por tanto, la hipótesis de que los números reales puedan ser biunívocamente emparejados con los números enteros conduce a contradicción. La idea clave de esta demostración es conocida por "método de diagonalización".

Cantor, que en sus tiempos de estudiante había redactado dos importantes artículos bajo la dirección de Kronecker, tenía perfecta conciencia de la posición extrema que éste había adoptado, y no dejaba de percibir sus ventajas, al garantizar el máximo de certidumbre y corrección en las demostraciones matemáticas y poder ser aplicada como correctivo a la especulación matemática más desbocada. Cantor adujo, no obstante, que aceptar la postura de Kronecker conllevaría eliminar muchos de los más prometedores desarrollos matemáticos y, lo que es más, podría gravar la investigación matemática más novedosa con escrúpulos metodológicos demasiado estrictos, y e última instancia, caducos.

La definición de número irracional dada en el artículo de Cantor de 1872 equivalía a aceptar la existencia de conjuntos infinitos completos. Cantor abrazó una postura formalista acerca de la existencia de los irracionales, arguyendo que la única razón y fundamento para poner en tela de juicio su existencia matemática habría de ser su coherencia formal e interna. "Al introducir nuevos números -escribió en una ocasión- la matemática tan sólo está obligada a dar definiciones de ellos, mediante las cuales... puedan ser definitivamente distinguidos unos de otros. En cuanto un número satisfaga todas estas condiciones puede y tiene que ser considerado en matemática como existente y real.

Este punto  de vista, que alude a los irracionales, resultó crucial para la justificación que dio para introducir los números transfinitos. En su artículo de 1872 había definido conjuntos de puntos excepcionales introduciendo la noción de punto límite (también llamados puntos de acumulación). El número  irracional  , por ejemplo, es punto de acumulación de la sucesión 1, 1,4, 1,41,... Con mayor generalidad, se dice que un punto es de acumulación de un conjunto si el conjunto contiene siempre una infinidad de puntos arbitrariamente próximos al punto.

Dado un conjunto infinito cualquiera P, Cantor definía el conjunto derivado de P, P¹, como conjunto de todos lospuntos de acumulación de P. Análogamente, si  P¹ fuese también un conjunto infinito su conjunto derivado P² está definido como conjunto de todos los puntos de acumulación de P¹. Demostró que la relación de ser subconjunto establece una ordenación natural de los conjuntos: resulta que cada elemento de P2 es también elemento de P¹, esdecir, que  P² es subconjunto de P¹. Análogamente, P³ lo es de P², y así sucesivamente. Puede suceder que, para algún número entero finito n, el conjunto Pⁿ sea un conjunto finito; cuando tal condición se verifique, el conjunto infinito P de puntos que dará lugar al Pⁿ será el conjunto de puntos excepcionales requeridos para demostrar la versión general del teorema de Cantor sobre unicidad de las representaciones en serie trigonométrica de las funciones. Por otra parte, puede suceder que ninguno de los conjuntos derivados que integran la sucesión P¹, P², P³,... sea un conjunto finito. Cantor argumentó que también en este caso tenía sentido considerar el conjunto de los puntos que sean comunes a todos los conjuntos derivados P¹, P², P³ ....Pⁿ . Designó poral conjunto de puntos comunes a todos los conjuntos derivados;  a partir de 1880 comenzó a referirse al superíndicecon el carácter de símbolo transfinito. Además, si    constase de infinitos puntos, podría formarse el conjunto derivado  , el cual, a su vez, abriría las puertas de toda una sucesión de conjuntos derivados:    y siguientes.

En vista de la densidad de los números racionales sobre la recta, y la relativa rareza de los números enteros al sersituados sobre ella, puede parecer burdamente contrario a la intuición que ambos conjuntos resulten ser de igual tamaño. El siguiente paso de Cantor fue, empero, todavía mucho más impresionante: demostró que no puede existir ninguna correspondencia biunívoca como las explicadas entre el conjunto de los números enteros y el conjunto de los puntos de una recta, es decir, el conjunto de los números reales. Brevemente: los números reales forman un conjunto no numerable. La demostración que de este aserto dio Cantor en 1874 es un tanto complicada; presentaré aquí, en cambio, la idea principal de una versión simplificada y mucho más potente dada por él en 1891.

7. LA PROBABILIDAD DE QUE AL ELEGIR AL AZAR UN PUNTO DEL CONTINUO de los números reales el punto seleccionado corresponda a un número racional nos da indicación de los tamaños relativos de los conjuntos de números racionales y números reales. La probabilidad es la razón del número de puntos de valor racional contenidos en un cierto intervalo al número total de puntos situados sobre él. El intervalo entre 0 y 1 ha sido representado en la ilustración por la circunferencia de una rueda de la fortuna. (Los valores 0 y 1 se consideran idénticos sobre la rueda.) Se supone que al hacer girar y luego dejar detenerse la rueda queda seleccionado aleatoriamente un solo punto. Los puntos representantes de números racionales forman un conjunto infinitamente denso, en el sentido de que a lo largo de cualquier arco comprendido entre dos puntos racionales de la circunferencia, por pequeño que sea, se encuentran un número infinito de puntos racionales en su interior. Vemos en la figura algunos puntos de esos. Empero, el conjunto de los puntos situados sobre la circunferencia es infinitamente mayor que el conjunto de puntos racionales; la probabilidad de que la rueda de la fortuna se detenga en un punto racional es cero. Con mayor precisión, tal probabilidad es menor que cualquier número positivo dado de antemano.

Cantor pudo haber añadido que los superíndices  ,,, y sucesivos constituyen en realidad números de un tipo nuevo, pero al principio no lo hizo así. En 1872 había tenido el cuidado de analizar los números irracionales tan sólo en términos de sucesiones de números racionales; análogamente, al principio consideraba que los símbolos , ,  eran meras etiquetas de identificación de conjuntos. Sin embargo, en 1883 dejó de lado sus reticencias y los presentó como números transfinitos, a modo de extensión autónoma y sistemática de los números naturales.

La razón inmediata para introducirlos, mantenía Cantor, estaba en que eran necesarios para seguir avanzando en la teoría de conjuntos y en el estudio de los números reales. No obstante, para poder responder a críticos como Kronecker, Cantor argumentó desde una postura filosófica formalista: una vez reconocida la consistencia interna de los números transfinitos no podía negárseles un puesto junto a otros miembros otrora controvertidos y hoy admitidos en matemáticas, como por ejemplo los números irracionales. Habiendo formulado una teoría de lo infinito capaz de sortear las conocidas paradojas matemáticas, Cantor estaba convencido de haber eliminado la única objeción que los matemáticos podían oponer para negarse a considerar en sus trabajos conjuntos infinitos completos.

Los números transfinitos que finalmente Cantor introdujo son hoy conocidos por una notación que para ellos adoptaría en años posteriores, a saber, la primera letra del alfabeto hebreo,  . Los alephs designan la cardinalidad, o número de elementos, de los conjuntos infinitos, y por ello las equivalencias entre conjuntos infinitos que Cantor puso de manifiesto en el decenio de 1870 son frecuentemente expresadas con auxilio de los números transfinitos, los alephs. Tiene, pues, considerable interés histórico que los primeros números transfinitos que Cantor introdujo no fueran cardinales sino ordinales.

Los números ordinales quedan definidos por el orden o posición que ocupan en una lista. El número ordinal asociado con un conjunto finito se corresponde con el número cardinal de ese conjunto) Por ejemplo, cualquier conjunto formado por cinco elementos (esto es, cualquier conjunto cuyo número cardinal sea cinco) puede en un cierto sentido ser considerado como sucesor inmediato de cualquier conjunto formado por cuatro elementos. Dicho de otra forma, el ordinal del conjunto es también cinco; el conjunto ocupa el quinto lugar dentro de una lista de conjuntos. Sin embargo, para conjuntos infinitos es preciso distinguir su número cardinal de su número ordinal. En efecto, Cantor descubrió más tarde que es posible convertir esta propiedad de los conjuntos infinitos en un criterio para distinguirlos de los conjuntos finitos. Un conjunto es finito solamente si su número cardinal y su número ordinal son iguales.

8. PUEDEN PONERSE LOS PUNTOS DEL PLANO en correspondencia biunívoca con los puntos de la recta. Cada punto del plano está representado por un par de decimales infinitos; estos son fragmentados en grupos: cada cifra, excepto si es 0, da motivo a un nuevo grupo. Los grupos son refundidos en un nuevo número decimal único por el procedimiento de ir tomándolos alternativamente; este número decimal representa un punto de la recta. El proceso es reversible. Una demostración parecida prueba que el número de puntos de un espacio de dimensión finita es equivalente al número de puntos de una recta.

Cantor hizo notar que el número ordinal de una sucesión de conjuntos finitos de tamaños crecientes 1, 2, 3, ... etc. está basado en la adición repetitiva de unidades. No hay un ordinal máximo asociado con la sucesión de conjuntos finitos, pero al igual que es posible definir   como límite de una sucesión de números racionales sin que por ello  haya de ser un número racional, así, creía Cantor, es lícito definir un número ordinal, transfinito y nuevo, , como primero de los números situados a continuación de la sucesión completa de números ordinales ordinarios, 1, 2, 3, ... etcétera. Una vez definidoes posible, por adición repetida de unidades, generar nuevos  ordinales transfinitos sucesivos 
 etcétera. Puesto que esta sucesión carece igualmente de  elemento máximo podríamos imaginar otro número ordinal , +  , que denotamos , definido por ser el  primer ordinal posterior a la sucesión  ,... Por repetición alternada de estos dos principios de  generación, Cantor pudo definir  una jerarquía de números oordinales transfinitos progresivamente mayores [véase la figura 9].

¿Y cómo podremos distinguir, por ejemplo, el número ordinal del  ? La diferencia queda determinada por el orden de los elementos que forman parte de los conjuntos representantes de   y de  . Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, dispuestos en la secuencia (1, 2, 3, ...) tiene número ordinal w, que denota la sucesión de números naturales ordenada en la forma familiar. Sin embargo, el conjunto de los números naturales, escrito con un último elemento como en (2, 3, 4, ..., 1), o el conjunto de números naturales de la sucesión (10, 30, 40, ..., 20) tiene ordinal . Con otras palabras, la distinción se funda en el orden correlativo de los elementos de la sucesión y en el emplazamiento de la a laguna infinitamente larga, que está denotada por los puntos suspensivos; si solamente es desplazado un número al final de la sucesión, el número ordinal de la nueva sucesión será   . La sucesión (2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, ...) tiene dos lagunas infinitas, y su número ordinal será entonces  +  , o sea, . Observemos que todos los conjuntos tienen igual número de elementos, es decir, sus elementos pueden ponerse siempre en correspondencia biunívoca con los elementos de los otros y con los números enteros positivos. Por tanto, sus números cardinales son iguales, a pesar de que sus ordinales sean muy diferentes.

Una vez definidos los números transfinitos, Cantor procedió a escribir sus propiedades aritméticas Era preciso hacer al respecto de la propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación una importante distinción entre números transfinitos y números ordinarios. Para dos números ordinarios, la propiedad conmutativa expresa que A+B es igual que B+A, y que A xB es igual que BxA, cualesquiera que sean A y B. Al definir la adición y multiplicación también para números transfinitos no puede quedar garantizada en todos los casos la propiedad conmutativa Por ejemplo, , que representa la sucesión (1, 2, 3, ..., 1, 2) no es igual que, que representa la sucesión (1, 2, 1, 2, 3, ...).

Aunque para conjuntos finitos la distinción entre sus números cardinal y ordinal esté muy difuminada, ayuda a ex plicar cómo la aplicación del concepto de número a un conjunto infinito podía conducir a confusión y paradoja. Puesto que para conjuntos infinitos los conceptos de número cardinal y número ordinal son fundamentalmente distintos, todo razonamiento que analice el número asociado a un conjunto infinito sin plantear claramente esta distinción está sujeta a ambigüedad. Por tanto, no es legítimo extender las propiedades en apariencia bien definidas de los conjuntos finitos a los conjuntos infinitos, como Galileo y otros habían hecho.

No obstante los logros alcanzado por Cantor en la década de 1880, que daba por llenar una grave laguna. La cuestión del número cardinal (la potencia, en la primitiva terminología d Cantor) que debía asignarse al continuo de los números reales se encontraba todavía sin respuesta. Recordemos que en su artículo de 1883 había definido la sucesión de ordinales transfinitos de acuerdo con dos principios de generación. Al objeto de poder introduce en la sucesión divisiones naturales, había añadido un tercer principio. Tomemos el conjunto de todos los números enteros finitos, conjunto al que Cantor llamó primera clase numérica. Su potencia, o número cardinal, es mayor que cualquiera de los elementos del conjunto. Análogamente, observó, podríamos considerar el conjunto de todos los ordinales transfinitos correpondientes a conjuntos denumerablemente infinitos, o sea, conjuntos cuya potencia sea la misma que la potencia del conjunto de todos los números enteros. Cantor llamó "segunda clase numérica" a este conjunto de ordinal transfinitos. Resulta que la potencia os la segunda clase numérica es estrictamente mayor que la potencia asociada con cualesquiera de los conjuntos ordinales transfinitos que la componen. En breve, la segunda clase numérica no es un conjunto numerable. Y aunque Cantor jamás lograse demostrarlo, estaba convencido de que la potencia de esta segunda clase numérica era equivalente a la potencia del continuo de los números reales.

9. LOS NÚMEROS ORDINALES TRANSFINITOS quedan determinados por el lugar de orden, o posición, que ocupan en una lista. La lista está generada de conformidad con dos principios. Primero, cada número ordinal transfinito se deduce del inmediatamente precedente añadiéndole una unidad, como estuviéramos "contando" más allá del ordinal transfinito 

asociado con el conjunto de los números naturales dispuestos en un orden habitual. Segundo, cuando se tiene una sucesión de ordinales transfinitos que carece de último elemento, o elemento máximo, queda definido un nuevo ordinal transfinito, que es el primero mayor que todos los otros. Tales nuevos números figuran en la lista inmediatamente continuación de puntos suspensivos verticales; así, por ejemplo,  

es el primer ordinal transfinito mayor que todos los números

 y sucesivos. Es el emplazamiento de las lagunas infinitas (los puntos suspensivos horizontales) situadas en el seno de los conjuntos asociados con los números ordinales lo que distingue unos de otros a los ordinales transfinitos. Así, en el diagrama se dan para cada uno de ordinales  

y  dos ejemplos de conjuntos con ellos asociados. Cada conjunto infinito de representados por los ordinales de la lista tiene, sin embargo, el mismo número cardinal, a saber, aleph subcero  (

)  ; esdecir, que cada uno de estos conjuntos está formado por igual número de elementos.

Tal conjetura ha llegado a ser conocida por hipótesis del continuo de Cantor, y jamás ha sido demostrada. En 1963, Paul J. Cohen, de la Universidad de Stanford, construyendo sobre la obra de Kurt Gódel, del Instituto de Estudios Avanzados, demostró que aunque la hipótesis del continuo es coherente con los axiomas de una versión estándar de la teoría de conjutos , es también independiente de ellos) De hecho, la hipótesis del continuo desempeña en teoría de conjuntos un papel análogo al que en geometría tiene el postulado euclídeo de las paralelas. Es posible construir diferentes versiones de la teoría de conjuntos según que la hipótesis del continuo se suponga verdadera o falsa) lo mismo que pueden construirse geometrías euclídeas o noeuclídeas según se admita que se cumple o no el postulado de las paralelas.Los infructuosos esfuerzos de Cantor para demostrar la hipótesis del continuo le provocaron no poca ansiedad y fatiga mental. A comienzos de 1884 creyó haber descubierto una demostración, pero unos cuantos días después mudó de opinión completamente, seguro de poder refutar la hipótesis. Finalmente, se dio cuenta de que no había progresado lo más mínimo. A lo largo de todo este período tuvo que soportar las amenazas y la oposición, cada vez más fuertes, de Kronecker, quien aseguraba estar preparando un artículo donde demostraría que "los resultados de la moderna teoría de funciones y de la teoría de conjuntos carecían de importancia en realidad."

Poco después, en mayo de 1884, Cantor sufrió el primer colapso nervioso verdaderamente grave. Aunque la frustración de no poder avanzar y la tensión de ánimo que suponían los duros ataques de Kronecker contribuyeran quizás a desencadenar la crisis, parece hoy claro que tales acontecimientos poco tuvieron que ver con la causa subyacente. La enfermedad se impuso con rapidez sorprendente, y duró algo más de un mes. En la época tan solo se reconocía la fase maníaca de la psicosis maníaco-depresiva; cuando Cantor se "recobró", a finales de junio de 1884, entrando en la fase depresiva, se quejó de carecer de la energía e interés necesarios para retornar al pensamiento matemático riguroso, contentándose con cuidar en la universidad de las más baladíes cuestiones administrativas, incapaz de acometer otras tareas.

Si bien acabó retornando a las matemáticas, fue también interesándose, de forma caca vez más absorbente, por otros temas. Emprendió un estudio de la historia y la literatura inglesas, progresivamente más y más embebido en una cuestión académica, que muchos de sus contemporáneos se tomaron con notable seriedad: la conjetura de que la obra dramática de Shakespeare la compuso Francis Bacon. Aunque sin éxito, Cantor probó suerte un tiempo como profesor de filosofía, y comenzó a mantener correspondencia con geólogos interesados por las consecuencias filosóficas de sus teorías acerca del infinito. Tal correspondencia revestía para él especial importancia, pues estaba convencido de que los números transfinitos le habían llegado como mensaje divino, y ansiaba que sus opiniones fuesen cuidadosamente examinadas por geólogos, a fin de reconciliar su concepto matemático de infinito con las doctrinas de la Iglesia

Lo que es más importante, Georg Cantor tuvo papel esencial en la creación de una sociedad profesional para el desarrollo de las matemáticas en Alemania: la Deugsche MaghemagikerVereinigung. Convencido como estaba de que su propia carrera había padecido grave daño al haber sido su trabajo rechazado en forma prematura y cargada de prejuicios por el aparato matemático institucional, confiaba en que una organización independiente serviría para alentar y acicatear a  los matemáticos jóvenes y para servir de foro de ideas nuevas, por radicales o extremas que fueran.

Quedaba en la teoría de conjuntos transfinitos un último elemento al que Cantor debía plantar cara, a saber, la naturaleza y status de los números cardinales transfinitos. Es curiosa la evolución que experimentó su pensamiento. Los cardinales transfinitos fueron los últimos en ser definidos rigurosamente o recibir notación especial. Es, en efecto, difícil reconstruir desde la claridad de la retrospectiva las obscuridades entre las que a ciegas Cantor tuvo que tantear su camino; hasta aquí he venido comentando su obra como si Cantor hubiese comprendido ya que la potencia de un conjunto podía ser entendida como número cardinal. De hecho, si bien Cantor había comprendido que es la potencia de un conjunto la que establece su equivalencia (o su no equivalencia) con otro conjunto cualquiera, inicialmente eludió toda sugerencia de que la potencia de un conjunto infinito pudiera ser considerada como un número.

10. UNA SUCESIÓN INFINITA DE CONJUNTOS, donde cada uno es mayor que el precedente, puede construirse tomando para cada conjunto dado el conjunto de todos sus subconjuntos. Podemos utilizar aquí una ingeniosa variante del método de diagonalización de Cantor para mostrar que, de suponer existente una correspondencia biunívoca  f   entre un conjunto cualquiera M  y el conjunto  N  de todos sus subconjuntos, siempre podemos construir un subconjunto S que carece de homólogo en la correspondencia, sea  f  la que fuere. Para comprender su construcción, tomemos el conjunto finito M  formado por un disco rojo, un disco azul y un disco verde. Este conjunto tiene ocho subconjuntos (contando entre ellos al conjunto vacío,, que carece de elementos). Definamos S como conjunto todos los elementos m de M que no sean miembros del subconjunto f (m) que les corresponde. Para el ejemplo de la ilustración superior, S contiene únicamente al disco azul. Puesto que S es subconjunto de M, y puesto que se supone que la correspondencia f es biunívoca, ha de existir algún elemento a perteneciente a M que se encuentre asociado con S, esto es, un elemento a para el cual f(a) sea idéntico a S. Ahora, o bien a es elemento de S, o bien no lo es. Si a es elemento de S, ha de serlo también de f(a), pues f(a) es igual a S; por otra parte, si a es elemento de S no puede serlo de f (a), en vista de cómo ha sido definido S. Por tanto, a no es elemento de S. Pero, de nuevo, si a no es elemento de S, por la definición de S, a tiene que ser elemento de f(a), y puesto que f(a) es igual a S, a tiene también que ser elemento de S. Así pues, sea cual fuere la situación de a, al suponer que el conjunto M puede ser, elemento a elemento, biunívocamente emparejado con el conjunto de todos sus subconjuntos se produce una contradicción. Es por tanto forzoso desechar tal hipótesis. De igual forma se demuestra que incluso si un conjunto es infinito, el conjunto de todos sus subconjuntos es mayor que el conjunto original. Es posible construir una sucesión de conjuntos progresivamente mayores formando el conjunto N de todos los subconjuntos de un conjunto infinito M, luego, el conjunto P de todos los subconjuntos de N, y así sucesivamente. La sucesión no contiene un conjunto máximo.

Cantor comenzó a considerar como idénticos ambos conceptos allá por septiembre de 1883; empero, no propuso todavía ningún símbolo que sirviera para distinguir unos de otros a los cardinales transfinitos. Puesto que había ya adoptado el símbolo    para designar al mínimo de los ordinales transfinitos, es evidente que los ordinales fueron mucho más importantes que los cardinales en las primeras fases del desarrollo conceptual de la teoría de conjuntos cantoriana Cuando, finalmente, Cantor introdujo un símbolo para denotar al primero de los cardinales transfinitos fue tomándolo prestado de la simbología ya en servicio para ordinales transfinitos, y así, el primer cardinal transfinito fue denotado.

Cantor no se resolvió por la notación de alephs hasta 1893. Por entonces, el matemático italiano Giulio Vivanti estaba preparando una exposición sistemática de la teoría de conjuntos, y Cantor comprendió que era hora de adoptar una notación bien tipificada. Decidió representar mediante alephs los cardinales transfinitos porque consideraba que los alfabetos griego y romano habituales estaban ya demasiado utilizados en matemáticas para otros fines. Sus nuevos números merecían algo único y distinto. Así, eligió la letra, de la que la tipografía alemana disponía de surtido suficiente. Y como Cantor admitió complacido, tal elección fue particularmente perspicaz, porque en el alfabeto hebreo el aleph es también símbolo del número 1. Puesto que los números cardinales transfinitos eran a su vez unidades infinitas, con el aleph podía darse a entender un nuevo punto de partida de las matemáticas. Cantor designó por o(aleph-subcero) al número cardinal de la primera clase numérica infinita, número al que hasta entonces había venido llamando  ; el número cardinal de la segunda clase infinita se designó  (aleph-subuno).

Las dos últimas contribuciones importantes que Cantor hizo a la teoría de conjuntos fueron un par de artículos publicados en 1895 y 1897. Había demostrado ya, en un artículo presentado antes de la primera reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, ocurrida en 1891, que el número cardinal de cualquier conjunto es siempre menor que el número cardinal del conjunto formado por todos sus subconjuntos [Se da una versión e la demostración en la figura 10.]. Algunos años más tarde dedujo de este resultado un corolario, a saber, que el número cardinal del continuo es igual a un número cardinal que designó 
. Confiaba él en que este resultado conduciría pronto a una solución de la hipótesis del continuo, porque tal hipótesis podía ahora enunciarse en forma algebraica muy clara:Empero, los razonamientos de la demostración de Cantor acerca del número cardinal del conjunto de subconjuntos condujeron a muy diferentes conclusiones. La más importante de ellas fue la obtenida por Bertrand Russell en 1903. Russell mostró que al considerar la colección de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos se planteaba en teoría de conjuntos una paradoja. La paradoja de Russell hacía pensar que la definición de conjunto dada por Cantor adolecía de algo esencialmente erróneo, y las consecuencias que ha tenido el comprenderlo así han llegado a constituir uno de los problemas fundamentales de la lógica matemática en nuestro siglo. Mas, ninguno de los resultados importantes alcanzados por Cantor en matemática transfiníta ha quedado ínvalidado por estos desarrollos posteriores.

Desdichadamente, hacia 1903 Cantor estaba padeciendo cada vez con más frecuencia ataques de depresión maníaca, y no se han encontrado pruebas que sugieran que Cantor llegase nunca a tener conocimiento del resultado de Russell. De hecho, la enfermedad le movió a solicitar licencia para abandonar la Universidad de Halle durante el otoño de 1899, permiso que le fue concedido. En noviembre de ese mismo año, Cantor notificaba al Ministerio de Cultura que deseaba renunciar por completo a la labor docente, contentándose con un modesto puesto en la biblioteca, siempre que no le fuese por ello reducido su salario Al reseñar sus méritos, Cantor hacía hincapié en sus publicaciones sobre la cuestión shakespeariana, y su petición concluía con la extraordinaria demanda de que el Ministerio le diera respuesta en el plazo de dos días. De no ofrecérsele más alternativa que seguir ejerciendo la docencia, escribió, entonces, como persona nacida en Rusia que era, buscaría entrar al servicio del cuerpo diplomático ruso.

Ningún resultado parece haber tenido la demanda de Cantor; tampoco entró al servicio del zar Nicolás II. No obstante, todo el episodio es coherente con su línea de conducta de 1884, cuando consideró seriamente abandonar las matemáticas y dedicarse a la filosofía, tras su primera crisis nerviosa de importancia. Al igual que entonces fue hospitalizado por depresión maníaca a finales de 1899, y de nuevo en los cursos de 1902 y 1903, y a partir de entonces, por períodos cada vez más frecuentes y largos. Cantor falleció el 6 de enero de 1918, en la Halle Nevenklinik, a causa de un fallo cardíaco.

Existen entre la enfermedad mental de Cantor y las matemáticas que creó importantes conexiones. Ciertos documentos sugieren que ocasionalmente la enfermedad le proporcionó periódicos respiros de los asuntos cotidianos, durante los cuales pudo insistir con ahínco en sus ideas matemáticas, ya fuera en la soledad del hospital, ya en la tranquilidad de su casa. La enfermedad pudo también alentar su convicción de que los números transfinitos le habían sido comunicados por Dios. Tras un largo periodo de hospitalización, en 1908, Cantor le escribió a una amiga de Göttingen, la matemática inglesa Grace Chisholm Young. Según él mismo la describía, su enfermedad maníaca tomó una sorprendente cualidad generativa: "Un sino peculiar, que gracias a Dios no me ha roto en forma alguna; antes bien, me ha vuelto interiormente más vigoroso, feliz y lleno de gozo expectante de lo que he estado durante un par de años, me ha tenido apartado de mi hogar, y puedo decir que también del mundo... En mi largo aislamiento, ni las matemáticas ni más en particular la teoría de números transfinitos han dormido o estado en barbecho en mi interior".

En otra ocasión, Cantor describió en términos casi religiosos su convicción en la veracidad de su teoría: "Mi teoría se yergue firme como la roca; las flechas que contra ella se lancen, rápidamente se volverán contra su arquero. ¿Cómo puedo yo saberlo? Porque la he estudiado desde todos los ángulos durante muchos años; porque he examinado todas las objeciones que hayan podido hacerse contra los números infinitos, y sobre todo porque, por así decirlo, he seguido sus raíces hasta la causa primera e infalible de todas las cosas creadas".

Generaciones posteriores podrán tal vez prescindir de las connotaciones filosóficas de Cantor, mirar desdeñosos sus abundantes referencias a santo Tomás o a los Padres de la Iglesia, hacer caso omiso de sus pronunciamientos metafísicos y no comprender lo más mínimo de las profundas raíces religiosas de la fe que finalmente tendría Cantor en la absoluta veracidad de su teoría. Todos estos compromisos ayudaron a consolidar su decisión de no abandonar los números transfinitos. Parece como si la oposición con que debió luchar contribuyese a reforzar su determinación. Su paciencia, no menos que cualquier otra cosa que Cantor haya podido aportar, aseguró que la teoría de conjuntos sobreviviera a los años iniciales de duda y denuncia, floreciendo finalmente con fuerza vigorosa y revolucionaria en el pensamiento científico del siglo XX.