10.3 Mínimo común múltiplo.

Definición 10.6 Si a,b son enteros (no ambos cero), entonces el mínimo común múltiplo de a y b es el menor entero positivo que es múltiplo tanto de a como de b. Este número lo denotamos con [a,b].
Podemos extender la definición a un conjunto a₁,a₂,a₃,...a_n de enteros que no sean todos cero, definiendo su mínimo común múltiplo como el menor entero positivo que es múltiplo de todos ellos.
Estamos interesados en buscar alguna relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Escojamos dos números, digamos
a =252=2² ×3²×7 y b = 735 = 3×5×7²
Para facilitar el análisis, podemos “completar” los factores para que los primos que aparecen en ambas expresiones sean los mismos:
a = 252 = 2²×3²×5⁰×7¹
b = 735= 2⁰×3¹×5¹×7¹
Si calculamos manualmente (a,b) y [a,b] obtenemos
(252,735 ) = 21 = 2⁰ ×3¹ × 5¹×7¹
[252,735] = 8820 = 2² ×3² × 5¹×7¹
Podemos ver que los primos que aparecen en ambas expresiones son los mismos que los que aparecen en las factorizaciones (acompletadas ) de los números variando únicamente los exponentes. Esto lo enunciamos como sigue:
Teorema 10.17 Sea p un número primo.
El exponente con el que p aparece en (a,b) es el mínimo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones de a y n.
El exponente con el que p aparece en [a,b] es el máximo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones de a y b.
El teorema anterior puede deducirse del Teorema fundamental de la aritmética y de las definiciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Ya tenemos la herramienta necesaria para demostrar la siguiente relación, cuya prueba se deja como ejercicio.
Teorema 10.18 Si a,b son enteros, entonces
ab= (a,b) [a,b] .