Historia de las Matemáticas / La Matemática Empírica

I. La prehistoria

La expresión: el mundo esta impregnado de matemática, convertida en lugar común en una era tecnológica como la actual, es una expresión válida para todas las épocas humanas, tan consustanciados  están el contar y el comparar con las especificas actividades del hombre: pensar, hablar  y  fabricar instrumentos.
En la mente y en la acción del hombre prehistórico no están ausentes los números más simples, las formas más elementales y la ordenación más visible de las cosas. En el hombre que da nombre a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas para cazar animales; que construye viviendas y tumbas;  que observa el movimiento de los astros y destaca direcciones especiales; que computa distancias con su cuerpo y sus pasos; que graba escenas de un impresionante realismo; en ese hombre y en esas actividades están  prefigurados los conceptos básicos de la matemática: numero, medida, orden.

Al pasar de la etapa paleolítica a la neolítica el proceso se afín: las nuevas técnicas agrícolas y pastoriles, al cerámica y la carpintería: la industria textil; la minería y la metalurgia, el trueque de bienes y objetos, la navegación y el transporte, las normas que rigen la naciente organización familiar, social y económica exigen una precisión cada vez  mayor en el contar, en el medir y en el ordenar. El hallazgo del proceso deductivo y de la relación causa-efecto y los inagotables recursos de la imaginación humana harán el resto.
Y cuando asoma la escritura, como subproducto de la cultura urbana, ese saber matemático, aun vago y nebuloso, comienza a adquirir consistencia.
Una hipótesis verosímil acerca del origen de la escritura vincula este rigen con practicas aritméticas. En efecto, según tal hipótesis, la escritura nace a mediados del lV milenio antes de Cristo en la Baja Mesopotamia, en el seno de la cultura urbana de los sumerios, cuyas ciudades estaban construidas alrededor del templo, edificado sobre la colina artificial, como una torre escalonada, que no solo representaba la unidad espiritual de la comunidad, sino que encerraba además su riqueza económica. Los bienes del templo, acumulados en sus talleres y graneros, eran administrados por los sacerdotes, y es explicable que a medida que esos bienes aumentaban con el crecimiento de la población, se tornaba mas difícil retener de memoria las “cuentas del templo”, es decir, los datos relativos a los tributos que se debían al dios y la cantidad de semillas de ganado que se entregaba a los campesinos y pastores; de ahí la necesidad de fijar signos convencionales que permitieran retener esos datos sin confiar en la memoria individual. Que tal fuera el origen de los primeros signos grabados, lo comprobaría el hecho de que las tablillas pictográficas de Erech del 3.500 a. C., que son las más antiguas que se conocen, contienen signos que representan una cabeza de vaca, una espiga de trigo, un pez, acompañados de signos especiales que sin duda representan signos numéricos. Por lo demás, cabe recordar que entre los sumerios existía la costumbre de marcar con sellos individuales los objetos de propiedad personal, y que por ser el dios de la ciudad el único propietario de la tierra y todos sus frutos, los sellos que marcarían los bienes del templo adquirían un sentido más convencional y una mayor difusión.

                                             2. Letras y números
Esta notación numérica de las “cuentas del templo” pone de relieve ciertas conexiones entre escritura y los sistemas de numeración que pueden dan pábulo a la tentadora hipótesis de admitir que los sistemas escritos de numeración fueron anteriores a la escritura misma.
Observemos en primer lugar que todos los pueblos sin excepción, sean o no primitivos, tengan o no escritura, disponen de palabras, así como disponen de gestos y signos convencionales para indicar números o unidades.
Igualmente se encuentra en los pueblos primitivos una gran variedad de procedimientos de cómputos, que se presentan siempre como una relación cualitativa de un signo a la cosa significada y siempre también bajo el imperio de una imagen concreta. (l)
Tal presencia constante de lo concreto en la numeración primitiva se puede presentar bajo diversos aspectos. Así , un primitivo dirá que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y si designa este hecho con la palabra que deriva de la palabra “mano”, esa palabra no quiere significar el numero 5, sino solamente que los objetos en cuestión son tantos como los dedos de la mano. Por otra parte, el ejemplo abstracto no cabe en la mentalidad primitiva, Así, un indio norteamericano, a quien se trataba de familiarizar con el inglés, no pudo traducir: “ayer el hombre blanco mato seis osos”, pues ese hecho significaba una imposibilidad material.
En otros casos los números 1, 2, 3 se designan con vocablos diferentes según se refieran a personas, días, u objetos, y este último caso según sean ellos esféricos o alargados. Quizá pueda verse un residuo en nuestro léxico actual cuando al referirnos a zapatos decimos, “un par”, mientras que para los bueyes, por ejemplo decimos “una yunta”.
También se han facilitado los cálculos mediante el uso de objetos materiales, como hojas secas o piedrecillas, que actúan a la manera de unidades en la forma como aun se acostumbra para el puntaje en los juegos de naipes. Nuestra palabra “calculo” proviene del latín calculi (guijarros), y los ábacos para contar y sumar que se perfeccionaron en los tiempos históricos, hasta construir rudimentarias maquinas de calcular, no son sino dispositivos mecánicos fundados en el agrupamiento de objetos materiales.
En este campo como en tantos otros la variedad preside la actividad humana; así nativos de la isla Fidji indican el numero de víctimas logrado en la caza mediante entalladuras en sus mazas con la característica de que nueve entalladuras iguales, la siguiente es algo más larga, de ahí que con un sistema limitado de numeración hablada pueden llegar a contar números relativamente grandes. Por ejemplo, al observar cinco entalladuras largas y cuatro últimas cortas, el nativo tendrá el número 54 para el cual seguramente en su lenguaje no dispone de la palabra adecuada. Si este sistema de entalladuras se torna convencional, entre él y un sistema de numeración escrita de tipo decimal aditivo solo existiría una diferencia de grado, no esencial. (2)
Al pasar a los sistemas escritos de numeración, se advierte igual variedad; ya en la base, es decir en el numero simple que sirve de jalón para expresar los números mayores; ya en la lectura, que puede ser tipo aditivo, con variantes distintas, o posicional. En los sistemas aditivos el valor del numero se obtiene sumando (en ocasiones restando) los valores correspondientes a cada signo individual, independientemente de la posición del signo en el contexto; mientras que en los sistemas posicionales el valor de cada signo depende de la posición de este en el contexto. Por la base 10 y el tipo de lectura, nuestro sistema actual es decima y posicional.

En cuanto a la base de los sistemas escritos antiguos, que probablemente provienen de bases ya existentes en los sistemas orales, se advierte igual variedad: puede ser 2, como lo comprueba el hecho de que seguimos hablando de pares y yuntas, puede ser 3, 4 ó 5 aunque la base más difundida es 10, que ya Aristóteles justificaba en vista del numero de dedos de la mano. En el idioma francés actual quedan rastros de una base 20 de los celtas, base que fue adoptada también por pueblos primitivos descalzos;  nuestras docenas son también residuos de una base 12, utilizada ya por el número (aproximado) de lunaciones del año, ya por su comodidad en las medidas, en vista de la facilidad que ofrece el mayor número de sus divisores, frente por ejemplo a los de la base 10.
Casi todos los sistemas antiguos de escritura disponen de signos especiales para representar los números. Constituyen excepción el griego, el árabe, el hebreo y otros que utilizan para ese fin las letras del alfabeto respectivo. El caso griego tiene un interés especial, ya que se conocen dos sistemas de numeración escrita, ambos aditivos. Un sistema, cuyos signos se llaman herodiánicos (por Herodiano, gramático griego del siglo II que estudio y expuso estos signos), en el cual la unidad y las primeras cuatro potencias de 10 se indican con las iniciales de las palabras respectivas, agregándose un signo especial para el 5; y un segundo sistema en el cual los nueve dígitos, las nueve decenas y las nueve centenas se representan por las 24 letras del alfabeto arcaico para el 6, el 90 y el 900; y en el cual se indican con ápices y otros signos especiales las fracciones unitarias y los números superiores al millar. Por el empleo de las letras del alfabeto arcaico se supuso que el segundo sistema fuera anterior al primero, pero el hecho es que el primer sistema cayó en desuso hacia el s. IV a. C., quedando en vigencia el segundo.
Es interesante destacar que en algunos casos el sistema de numeración escrita presenta, frente a la escritura, cierta prelación si no cronológica, por lo menos en el sentido de la sencillez, y de la abstracción. Un ejemplo lo ofrecen las escrituras cretenses de las que se reconocen tres tipos: uno pictográfico y dos lineales A y B. Son todas del II milenio y la última de ellas: la línea B, que resulto pertenecer a un idioma griego arcaico, fue descifrada por Michel Ventris en 1952. De tal escritura ya se habían identificado no solo los signos numéricos pertenecientes a un sistema decimal aditivo, sino también algunas operaciones aritméticas simples: sumas y probamente cálculos de porcentajes, y sin duda tal desciframiento previo ayudo al posterior desciframiento de la escritura. (3)

Notas complementarias

(I) Los “números corporales “Es natural que el hombre para contar y hasta para sumar haya acudido a lo que tenía más cerca; su propio cuerpo en especial los dedos de las manos y eventualmente de los pies. Aun hoy hablamos de dígitos  (del latín digitus = dedo) para referirnos a las cifras 1 a 9 inclusive. Los antiguos romanos hablaban de “numerare per dígitos” contar por los dedos; también el primitivo y el niño “cuentan con los dedos” (no “cuentan los dedos”), como ocurre entre ciertos pueblos primitivos, que además de los dedos de las manos y de los pies utilizan otras partes del cuerpo, para contar y sumar; mientras que el cálculo digital mismo, mediante simbolismos adecuados relacionados con las posiciones de los dedos frente a otras partes del cuerpo, se perfecciono permitiendo el recuento de números bastante grandes, como se presenta en sistemas de épocas históricas: ya en la antigüedad y hasta en tiempos medievales.

(2) Los “quipos” peruanos. Un dispositivo semejante para contar es el fundado en las cuerdecillas con nudos, de los cuales el más conocido es el “quipo” (del quechua kipu=nudo) peruano con el cual, mediante un sistema de cuerdas de distintos colores en número y disposición diferentes, los antiguos peruanos, sin disponer de escritura, realizaban un cabal sistema de numeración escrita que les permitió registrar cuanto dato de utilidad para el estado podía registrarse, gracias claro es, también a la prodigiosa memoria de sus calculadores.

(3) La cronología maya. Otro ejemplo lo ofrecen los mayas de cuya escritura jeroglífica se descifra últimamente (1961) con calculadoras electrónicas, algunos textos religiosos: mientras que ya se conocían sus dos sistemas de numeración. En uno de ello, con signos jeroglíficos cada número se indica con una cabeza de dios, de hombre o de animal, mientras que en el otro de índole mas abstracta se utiliza un sistema posicional de base 20 (aunque no coherente), en el cual no figuran sino tres signos , un punto para la unidad, una barra para cinco unidades y una especie de conchilla u ojo semicerrado para indicar el cero, de manera que en este sistema cada “cifra” esta representada por un determinado grupo de pocos puntos y barras. El numero se forma ordenando las cifras de abajo hacia arriba. Este sistema, utilizado principalmente con fines cronológicos, no es coherente en el sentido que la tercera unidad no es 400=20, sino 360 discrepancia que se explicaría en vista de aquellos fines por ser el año oficial maya de 360 días.
Mientras que este sistema permite expresar números muy grandes, en los códices mayas aparecen números que superan los doce millones, es sintomático destacar en cambio que la escritura maya no ha superado la etapa pictográfica. Es posible que el afán de fijar con precisión las fechas vinculadas con los dioses patronos de cada ciudad o de cada individuo estimulara en los mayas la búsqueda de un adecuado sistema de numeración escrita que resulto dotado de un grado de abstracción muy superior al que revela su incipiente escritura.


                                        3. Formas y problemas

El contar y el numerar, con ser actividades comunes y frecuentes no agotan el campo de las nociones matemáticas del hombre primitivo y conjeturalmente del prehistórico.
Por su nombre: geometría en griego alude a “medir la tierra” los conocimientos geométricos tuvieron un origen práctico. Por lo menos, así lo atestigua Herodoto en un conocido pasaje de su historia;  “El rey de Egipto dividió el suelo del país entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados de igual extensión a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente. Si el rio arrasaba una parte del lote de un habitante, este se presentaba al rey y el exponía lo ocurrido, a lo cual el rey enviaba personas a examinar y medir la extensión exacta de la perdida y más adelante la renta exigida era proporcional al tamaño reducido del lote. Es en virtud de esta práctica que pienso, comenzó a conocerse la geometría en Egipto, de donde paso a Grecia.”
Mas no solo el hombre midió la tierra; otras mediciones exigió la construcción de sus viviendas y tumbas, de sus graneros y canales. Por lo demás nuevas nociones geométricas surgieron de las formas y figuras con que el hombre decoro y ornamento sus viviendas y sus objetos, así como  de la observación de formas que atrajeron su atención por su sencillez o su simetría: (“la línea” viene de lino), el circulo, los polígonos y poliedros regulares. El ladrillo de antigua data, aporto probamente  la noción de ángulo recto, mientras que nuevas formas geométricas nacían de los movimientos: ya de las danzas humanas, ya del andar de los astros en la bóveda  celeste.
Por último, cabe mencionar otras nociones matemáticas de origen completamente distinto: es el conjunto de problemas, enigmas y adivinanzas que componen el folklore matemático que practican todos los pueblos, mostrando a veces curiosas coincidencias solamente por transmisión oral a la manera de semillas que lleva el viento, favorecida por el carácter recreativo, enigmático y a veces, sorprendente del problema.
Sin embargo, no obstante tal finalidad extramatemática, las cuestiones del folklore matemático encierran interesantes nociones de orden aritmético y, a veces hasta algebraico.