Hasta el primer tercio de este siglo, los conocimientos que se poseían acerca de la matemática de los pueblos que habitaron la Mesopotamia: sumerios, acadios, babilonios, asirios… eran escasos y no revelaban mayor contenido científico.
Sin duda, ya había advertido la característica fundamental, entonces más bien sorprendente, que ofrecían los sistemas de numeración utilizados en los textos cuneiformes. En efecto, hacia el año 3.000 a. C. los sumerios introdujeron un sistema de numeración posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexagesimal que aun utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y angulares.
En ese sistema las cifras de 1 a 59 se escribían de acuerdo con un arcaico sistema decimal aditivo, sobre la base de dos signos cuneiformes: uno vertical para la unidad y otro horizontal para el 10. Pero a partir de 60 y para las fracciones el sistema se torna posicional, las potencias sucesivas de 60, en orden creciente o decreciente, se representan por la unidad y cada conjunto numérico hasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior.
La inexistencia de un signo para el cero, que no aparecerá hasta los tiempos helenísticos, así como de un signo que separe la parte entera de la fraccionaria, hace que el sistema no sea coherente para nosotros, aunque el contexto del problema, y a veces ocasionalmente ciertos signos especiales, impedían al calculista sumerio caer en equívocos.
Ya desde comienzos del siglo pasado (1906) se había revelado el carácter posicional del sistema sumerio al descifrarse textos cuneiformes con tablas de multiplicación, de recíprocos, de cuadrados…. Y algunos cálculos; pero fue recientemente con la labor de desciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) y Thureau Dangin (1938) que esta matemática sexagesimal muestra su verdadera faz.
Los textos últimamente descifrados pertenecen al periodo babilónico (II milenio a. C.) aunque registran conocimientos de los sumerios del milenio anterior; la índole y la solución de las colecciones de problemas que aportan esos textos no solo justifican la necesidad de un sistema de numeración flexible como el posicional, sin el cual aquella solución hubiera sido imposible, sino que arrojan nueva luz sobre relaciones entre matemática prehelénica y la matemática griega antigua, de manera que actualmente nociones y figuras de la matemática antigua adquieren nuevas interpretaciones en la historia de la matemática.
Aunque en algún caso se ha querido ver la expresión de reglas generales, los problemas de los textos babilónicos son problemas numéricos particulares, con datos escogidos al efecto, en especial para que los divisores no contengan sino factores 2, 3, y 4; en muchos casos no tienen otra finalidad que el cálculo numérico, en otros se trata de aplicaciones de distinta índole.
Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado “teorema de Pitágoras” y de sus consecuencias numéricas.
En los problemas de primer grado con una incógnita las tablas de multiplicación o de recíprocos ofrecen de inmediato la solución; en los sistemas lineales, en cambio, a veces con varias incógnitas, ya entra en juego la habilidad algebraica del calculista. (I)
Tal habilidad se pone de relieve más claramente en los problemas, a veces agrupados en colecciones, que exigen la resolución de ecuaciones cuadráticas o reducibles a cuadráticas; resolución que el calculista babilónico lleva a cabo utilizando la actual resolvente, a veces mediante el recurso de reducir el problema a la determinación de dos números de los cuales se conoce el producto y la suma (o la diferencia). (2)
Otros problemas, de interés aritmético o algebraico, traen la suma de términos en progresión geométrica de base 1; la suma de los cuadrados de los diez primeros números mediante una expresión correcta y hasta una ecuación exponencial resuelta en forma aproximada. (3)
Los problemas que se refieren a aplicaciones geométricas revelan el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados de triángulos semejantes, de las áreas de triángulos y trapecios así como de volúmenes de prismas y cilindros; en cambio, para la longitud de la circunferencia y el área del circulo se adoptan los valores poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tres diámetros (valores que se conservan en la Biblia) y para el circulo el triple del cuadrado del radio. También son erróneas las expresiones del volumen del tronco de cono y de la pirámide de base cuadrada y del cono.
Pero, sin duda, el conocimiento geométrico más interesante que revelan las tablillas es el del llamado “teorema de Pitágoras”, y en especial, como consecuencia, la ley de formación de los “tripletes pitagóricos”, es decir, de las ternas de números enteros, que a la par de representar medidas de los lados de triángulos rectángulos, expresan la posibilidad aritmética de descomponer un numero cuadrado en suma de dos cuadrados.
El conocimiento del “teorema de Pitágoras”, un milenio largo antes de la existencia de su pretendido autor, se pone de manifiesto en distintos problemas cuya solución correcta no podía lograrse sin ese teorema (4) y, en especial, mediante un texto: el Plimton 322 (del nombre de la colección que se conserva en la Columbia University) que se hizo conocer en 1945 y que presupone el conocimiento de la ley de formación de los “tripletes pitagóricos”, que aparecerá por primera vez en Occidente en los Elementos de Euclides hacia el 300 a. C. (5)
No es esta la única conexión entre los datos que aportan las tablillas de los babilonios y la clásica matemática griega. Desde el punto de vista técnico, es más importante señalar la atmósfera común de álgebra no lineal, de álgebra cuadrática, que preside ambos campos; atmósfera que en las tablillas de los babilonios se revela en las ecuaciones algebraicas, y en los Elementos en toda la obra, en especial el Libro II, que el historiados de la matemática Zeuthem bautizo proféticamente de “algebra geométrica” hace casi 90 años, cuando ni por asomo podía pensarse en la vinculación que hoy se vislumbra entre geometría griega y la milenaria “algebra de los babilonios”.
Es posible que mediante esta “algebra geométrica” podamos hacer alguna conjetura acerca del origen de los conocimientos de los babilonios. Sean dos números a y b representados por los segmentos AB y AD (fig. 1), respectivamente; si a continuación de AB se lleva BC = AD los segmentos AC y DB serán, respectivamente, a + b y a – b. Introduciendo el centro O de simetría de la figura, resulta fácilmente AO = OC = ½ (a + b) Y DO = OB = ½ (a - b) y, por tanto , de AB = AO + OB y AD = AO – OD se desprenden las relaciones entre dos números, su semisuma y su semidiferencia, que los babilonios utilizaron en sus problemas.
Supongamos ahora que en pos de conjeturas “elevamos al cuadrado” la figura y obtenemos el cuadrado de lado AC descompuesto en cuadrados y rectángulos, Así:
(a + b) ² = AE; (a - b) ² = FG; ab = LI = IM = MD = DL, y distintas composiciones de esas figuras llevan a la identidades:
(a + b) ² = a² + b² + 2ab; (a - b) ² + 2ab = a² + b² ;
(a + b) (a - b) = a² – b² ;
(a + b) ² – (a – b) ² = 4ab
ó
[ ½ (a + b)] ² – [ ½ (a - b)] ² = ab
que los babilonios utilizaron en la resolución de su ocupaciones cuadráticas.
Hagamos un paso más y traemos las diagonales LI, IM, MD, DL de los rectángulos que bordean la figura que no serán sino las hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado construido sobre esa hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado LM = DI es el cuadrado construido sobre esa hipotenusa. De la figura se deduce una propiedad geométrica que los babilonios parece que no utilizaron, como lo hará en cambio más tarde Diofanto; esa propiedad dice que si al cuadrado de la hipotenusa se le suma o se le resta cuatro veces el triangulo se obtiene, en ambos casos, un cuadrado, o en símbolos c2 ± 2ab = (a ± b) 2, propiedad que implícitamente contiene el llamado “teorema de Pitágoras”, aunque el teorema puede obtenerse directamente utilizando una de sus numerosas “demostraciones” por descomposición de figuras; así por ejemplo, una demostración muy simple, que aparecerá en escritos árabes del s. IX, consiste en suprimir del cuadrado DI los triángulos LGI e IHM, desplazándolos, respectivamente a DCM y LAD; el cuadrado DI se convierte en la figura equivalente LGHMCAL, suma de los cuadrados AG y BM de los catetos.
Como curiosidad agregamos que el matemático Hamilton del siglo pasado al reproducir esa demostración sombreo en la figura LIMCAL esos cuatro triángulos, inscribieron en el pentágono cóncavo LGHMDL una leyenda que parafraseamos: “Como se ve, soy a2 +b2- ab ; si me adoso los dos triángulos compongo el cuadrado de la hipotenusa, si me sustento sobre los dos triángulos, compongo la suma de los cuadrados de los catetos”.
Una última conjetura nos llevaría a los tripletes pitagóricos. De la propiedad (a + b) ² = (a - b) ² + 4ab se puede llegar a la descomposición de un cuadrado en suma de dos cuadrados, es decir, a la ecuación pitagórica (¿o habría que llamarla seudopitagórica?) x² + y² = z², sin más que tomar para a y b números cuadrados m² y n² , llegándole a las expresiones x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², con las cuales se ha construido la tabla del Plimpton 322.
Conjeturas de otra índole merecería las consideraciones acerca de la finalidad que persiguen sumerios y babilonios con su sorprendente algebra. Sin duda en sus albores la matemática nació bajo los signos que Spranger señalo al calificarla de “semijuegos y semirreligiosidad”, pero en el algebra de los babilonios la atmosfera técnica que envuelve a sus problemas revela también aspectos más positivos, menos místicos. Una hipótesis verosímil, que la índole de los problemas corroborara fija a los textos matemáticos de los babilonios una finalidad formativa: su estudio y práctica serian considerados indispensables en el aprendizaje y adiestramiento de escribas y funcionarios de pueblos de un avanzado desarrollo comercial.
Notas complementarias
(1) Un problema de primer grado. He aquí un ejemplo del tipo de problema de mezclas en el que además se utilizan unidades de medidas agrarias de la época. Se conoce la extensión total (1.800) de un campo compuesto de dos parcelas, en cada una de las cuales el rendimiento del grano por unidad de área está afectado por coeficientes diferentes (2/3 y 1/2). Se desea saber la extensión de cada parcela conociendo la diferencia (500) del producido de la cosecha. De acuerdo con nuestros símbolos el problema exige la resolución del sistema de dos incógnitas:
x + y = 1800 ; ⅔ x – ½ y = 500
de solución x = 1200 ; y = 600
Aunque la marcha que sigue el calculista no es clara y aparentemente presupone un método de falsa posición, en realidad los cálculos encierran un proceso correcto en el cual implícitamente se hace intervenir al lado de la suma conocida de las incógnitas, su diferencia desconocida x – y = 2z.
En efecto, el calculista comienza admitiendo que las dos parcelas son guales (a la semisuma 900) y con esa hipótesis falsa llega al valor erróneo de la diferencia de producido: 150 (es decir ⅙ = ⅔ - ½ de 900). Para compensar el error de 350 = 500 – 150 reconoce, sin decirlo, que ese error es los ⁷⁄₆ (suma de ⅔ y ½) del valor que, sumado y restado al dato inicial erróneo, dará la extensión de las parcelas. Para obtener aquel valor deberá dividir 350 por ⁷⁄₆, operación que, por la presencia del factor 7, las tablas no facilitan; el calculista obvia la cuestión preguntándose simplemente por cuanto debe multiplicar ⁷⁄₆ para obtener 350: su respuesta es obvia: 300, y este dato sumado y restado a 900, da los valores de las incógnitas. Es fácil ver que, aun con un lenguaje de valores erróneos, la marcha del proceso es la que hoy se seguiría si se introducen los valores x = 900 + z ;
y = 900 – z , y se calcula z de acuerdo con la segunda ecuación.
(2) Un problema de segundo grado. He aquí el enunciado de un ejemplo típico tomado de una tablilla de los babilonios: “Largo y ancho. He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He agregado al área el exceso del largo sobre el ancho: 183, además he sumado largo y ancho: 27. Se pide largo, ancho y área”. Este problema, al sumar áreas y longitudes absurdo desde el punto de vista práctico, revela claramente que su interés es exclusivamente técnico o numérico. Con nuestros símbolos el problema lleva al sistema de segundo grado: xy + x = 183: x + y = 27, y aunque pueda parecer anacrónico conviene seguir con nuestros símbolos la marcha de los cálculos que señala la tablilla., para poner de manifiesto su carácter algebraico. El calculista comienza por sumar los dos datos numéricos 183 + 27 = 210; [x(y + 2) = 210] y agrega 2; (x + y + 2 = 29). Lo que sigue es el método actual de nuestra resolvente para obtener los valores de dos números (en este caso x e y +2), conociendo su suma 29 y su producto 210.
En efecto, toma la mitad de 29: 14 ½ de cuyo cuadrado resta 210, obteniendo ⅟₄, cuya raíz cuadrada ½ suma y resta a 14 ½ obteniendo los valores 15 y 14 de este ultimo resta 2, llegando a la solución del problema: 15, 12, 180.
Por supuesto que el calculista no advirtió la existencia de una segunda solución x = 13; y = 14, por cuanto estos problemas, por su probable carácter didáctico son problemas artificiales con soluciones preparadas de antemano y son estas solucione las que se buscan y no otras.
(3) Un problema de interés compuesto. Se trata del clásico problema de la determinación del tiempo en que se duplica un capital, a una determinada tasa de interés compuesto. En el caso de la tablilla esa tasa es del 20%, dato que a la par que puede interesar a la historia económica de esos pueblos, facilita bastante la soluciona aritmética. El problema es trascedente y exige la solución de la ecuación exponencial 1,2x = 2, para lo cual el calculista después de comprobar que x está entre 3 y 4 y más próximo a 4 que a 3, determina el incremento 4 – x mediante la proporcionalidad de los incrementos ofreciendo quizás el primer ejemplo de la aplicación del mas arde llamado “método de falsa posición”, De acuerdo con esa hipótesis, aquel incremento esta dado por el cociente
(1,24 - 2) : (1,24 – 1,23)
que da el tiempo de doble capitalización con un error por defecto inferior a seis días.
(4) El teorema de Pitágoras. Varios problemas de las tablillas son variantes de un problema frecuente en el folklore matemático: el problema de la caña, cuya solución exige el conocimiento del teorema de Pitágoras.
Veamos un caso simple: una caña que se apoya en una pared de igual altura que ella se desliza sin caer. Calcular su altura x conociendo el deslizamiento a de su tope y la distancia b en que se ha apartado el pie de la caña respecto de la pared. Este problema, que equivale a la determinación del radio de un circulo del cual se conoce una semicuerda y la flecha respectiva, exige la aplicación del teorema de Pitágoras que da por solución x = = ½ (a2 + b2): a; y son estos cálculos, efectivamente, los que efectúa el calculista babilonio partiendo de a = 3; b = 9, obteniendo x = 15.
(5) El texto “Plimtom 322”. (Se reproduce a continuación del texto de la tablilla en signos modernos, tomada de O. Neugebauer. The exact Sciences in Antiquity, Nueva York, Dover, 1969, pág. 37) Se trata de la parte derecha de una tablilla mutilada que comprende cuatro columnas; la primera, a partir de la derecha, no contiene sino los números 1 a 15 para ordenar las filas; la segunda y tercera, encabezadas respectivamente con las palabras “diagonal” (d) y “ancho” (b), contienen números enteros aparentemente sin orden alguno, mientras que la cuarta columna, encabezada por un término ininteligible, contiene expresiones fraccionarias, a veces hasta con siete fracciones sexagesimales. Descifradas la tablilla, el resultado fue que las columnas (d) y (b) comprenden los componentes de tripletes
I II(= b) III(= d) IV
[ 1,59,0 ]15 1,59 2,49 1
[ 1,56,56,]58,14,50,6,15 56,7 3,12,1 2
[ 1,55,7, ]41,15,33,45 1,16,41 1,50,49 3
[ 1,]5[ 3, 1]0,29,32,52,16 3,31,49 5,9,1 4
[ 1,]48,54,1,40 1,5 1,37 5
[ 1,]47,6,41,40 5,19 8,1 6
[ 1,]43,11,56,28,26,40 38,11 59,1 7
[ 1,]41,33,59,3,45 13,19 20,49 8
[ 1,]38,33,36,36 9,1 12,49 9
1,3510,2,28,27,24,26,40 1,22,41 2,16,1 10
1,33,45 45 1,15 11
1,29,21,54,1,15 27,59 48,49 12
[ 1,]27,0,3,45 7,12,1 4,49 13
1,25,48,51,35,6,40 29,31 53,49 14
[ 1,]23,13,46,40 56 53 15
pitagóricos correspondientes a la hipotenusa y a un cateto, es decir, d = m2 + n2 y b = m2 – n2, y cuyo otro cateto b = 2mn, del cual sus valores, que figurarían probamente en la parte que falta, deben cumplir la condición de no contener sino divisores de 2, 3, 5, circunstancia que explicaría el aparente desorden de las columnas d y b, pues la cuarta columna contiene los valores numéricos de (d/a)2 , es decir, con nuestro léxico los valores de a decrecen bastante uniformemente entre 45° y 31°, lo que hace suponer que otras tablillas contendrían los valores correspondientes a los otros sectores de 15°.
Por ejemplo, en la fila sexta los valores de las tres columnas son en el sistema sexagesimal.
d = 8.1; b = 5.19; (d/a)2 = 1.47.6.41.40
Es fácil ver que en este caso m = 20, n = 9; d = 481; b = 319 resultando a = 360, que no figura, pero que cumple con la condición de no contener sino factores 2, 3, 5 y que (d/a)2 = (481/360) expresando en el sistema sexagesimal es precisamente el valor que aparece en la cuarta columna. Para estos valores a es aproximadamente 40°
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