Álgebra preliminares V

Términos semejantes.

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, ósea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes

Ejemplos

$2a$ y   $a$   ; $-2b$ y $8b$ ; $-5a^{3}b^{2}$  y  $-8a^{3}b^{2}$  ; $x ^{n+1}$ y $3x^{n+1}$.

Los términos $4ab$ y $-6ab^{2}$ no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primer término tiene exponente 1 y la a del segundo término tiene de exponente 2.

Los exponentes $-bx^{4}$ y $ab^{4}$ no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.

Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término, dos o más términos semejantes.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.

Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos

1.- $3a + 2a = 5a$

2.-$-5b – 7b = -12b$

3.-$-a^{2} – 9a^{2} = -10a^{2}$

4.- $3a^{x-2} + 5a^{x-2} = 8a^{x-2}$

5.-$-4a^{m+1} – 7a^{m+1} = -11a^{m+1}$

6.-$\frac{1}{2}ab +\frac{2}{3}ab = \frac{7}{6}ab$

7.-$\frac{1}{3}xy -\frac{2}{3}xy = -xy$

8.-5x +2x +x  = 8x

9.-$-m -3m -5m -6m = -15 m$

10.- $\frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{4}x^2y + \frac{1}{8}x^2y = \frac{7}{8}x^2y$

Reducción de dos términos semejantes de distinto signo

Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

1.-$2 a – 3a = -a$

2.-$18 x-11x = 7x$

3.-$-20 ab +11ab = -9ab$

4.-$-8a^{x} + 13a^{x} = 5a^{x}$

5.-$25a^{x+1}-54a^{x+1}=-29a^{x+1}$

6.-$\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}a= -\frac{1}{6}a$

7.-$-\frac{3}{7}a^{2}b +a^{2}b =\frac{4}{7}a^{2}b$

8.-$-\frac{10}{12}a^{x+1} +\frac{3}{4}a^{x+1} = -\frac{1}{12}a^{x+1}$

De la regla anterior se deduce que dos términos semejantes de iguales coeficientes y de signo contrario se anulan.

Así:

$-8ab +8 ab = 0.$

$-\frac{2}{5}x^{2}y +\frac{2}{5}x^{2}y= 0.$

Reducción de más de dos términos semejantes de distintos signos.

Se reducen a un solo término todos los términos positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla anterior.

Ejemplos

1).- Reducir $5a -8a +a -6a +21a$

Reduciendo los positivos $5a +a +21a =27a$

Reduciendo los negativos $-8a -6a = -14a$

Aplicando a estos resultados obtenidos, $27a$ y $-14$a la regla del caso anterior, se tiene $27a-14a =13a$

Esta reducción también puede hacerse término a término, de esta manera

$5a -8a =-3a$ ;  $-3a  +a = -2a$ ;  $-2a  - 6a   = -8a$;   $-8a +21a = 13a$

Reducir 

$-\frac{2}{5}bx^2 + \frac{1}{5}bx^2 + \frac{3}{4}bx^2 -4bx^2 + bx$

Reduciendo los positivos

$\frac{1}{5}bx^2 + \frac{3}{4}bx^2  + bx^2 = \frac{39}{20}bx^2$

Reduciendo los negativos

$-\frac{2}{5}bx^2  -4bx^2 = -\frac{22}{5}bx^2$

Tendremos $\frac{39}{20}bx^2 - \frac{22}{5}bx^2 = -\frac{49}{20}bx^2$.

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases.

Ejemplos

(1)Reducir el polinomio $5a$  $-6b$ + $8c$  $+9a$ $-20c$ $-b$ $+6b$ $-c$

Se reducen por separado los de cada clase:

$5a$ $+ 9a$ $= 14 a$

$-6b$ $-b$ $+6b$ $= -b$

$8c$ $-20c$ $– c$ $= -13c$.
Tendremos $14a -b -13c$

Reducir el polinomio

$8a^3b^2$ $+ 4a^4b^3$  $+  6a^3b^2$ $-a^3b^2$ $-9a^4b^3$ $-15 -5ab^5$ $+8 -6ab^5$

Se reducen por separado los de cada clase

$4a^4b^3$  $-9a^4b^3$ $=  -5a^4b^3$

$8a^3b^2$ $+  6a^3b^2 -a^3b^2$ $=13a^3b^2$

$-5ab^5$ $-6 ab^5$  $=-11 ab^5$

$-15+8 =-7$

Tendremos

$-5a^4b^3 + 13a^3b^2  - 11 ab^5  -7$

Valor numérico

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Valor númerico de expresiones simples.

Ejemplos

1).-Hallar el valor numérico de $5ab$ para $a=1$, $b=2$.

Sustituimos la a por su valor 1, y la b por 2 y tendremos

$5ab = 5 × 1 × 2 = 10$.

2).-Valor numérico de $a^2b^3c^4$ para $a=2, b= 3 ,$$c =\frac{1}{2}$
    $a^2b^3c^4$$= 2^2 × 3^3× (\frac{1}{2}) ^4$ $= 4 × 27 × \frac{1}{16} = 6\frac{3}{4}$

3.-El valor numérico de $3ac\sqrt[]{2ab}$ para $a=2, b= 9, c= \frac{1}{3}$

$3ac\sqrt[]{2ab}$ $= 3× 2 × \frac{1}{3}  × \sqrt[]{2 × 2 × 9} = 2  × \sqrt[]{36}= 2×6 =12$
Valor numérico de expresiones compuestas

1.-) Hallar el valor numérico de $a^2 -5ab + 3b^3$ para a=3, b=4.

$a^2 -5ab +3b^3 = 3^2 -(5×3×4) +3(4)^3 = 9 -60 +192 = 141$

2.-) Valor numérico de $\frac{3a^2}{4}-\frac{5ab}{x} + \frac{b}{ax}$, para $a =2 , b= \frac{1}{3}, x = \frac{1}{6}$.

$\frac{3a^2}{4}-\frac{5ab}{x} + \frac{b}{ax} =\frac{3(2)^2}{4} -\frac{5(2)(\frac{1}{3})}{\frac{1}{6}} + \frac{\frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{6})}=3-\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{6}}+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=3 -20 +1=16.$

Ejercicios sobre notación algebraica

Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden hacerse las mismas operaciones que con los números aritméticos. A continuación algunos ejemplos.

1).- Escriba la suma del cuadrado de a con el cubo de b.

$a^2 + b^3$.

2).-Un hombre tenía $\$a$ ; después recibió $\$b$ y después pago una cuenta de $\$c$ ¿Cuánto le queda?

Teniendo $\$a$ recibió $\$b$ luego tenia $\$(a+b)$. Si entonces gasta $\$c$ le quedan $\$(a+b-c)$

3).- Compre 3 libros a $\$a$ cada uno ; 6 sombreros a $\$b$  cada uno y m trajes a $\$x$ cada uno ¿Cuánto he gastado?

3 libros a $\$a$ importan $\$a$.

6 sombreros a $\$b$   importan $\$6b$.

m trajes a $\$x$ importan $\$mx$.

Luego el gasto total ha sido  de $\$(3a+ 6b + mx)$.

4).-Compre 4 libros iguales por $\$m$ ¿Cuánto me ha costado cada uno?

Cada libro me ha costado $\frac{m}{x}\$$.

5).- Tenia $\$9$ y gaste $\$x$ ¿Cuánto me queda?

Me quedan $\$(9-x)$