El mundo no se está
quieto. La mayor parte de los objetos que nos rodean están en movimiento o
cambian continuamente. Incluso la Tierra bajo nuestros pies, que parece tan
firme, está de hecho rotando sobre su eje, girando alrededor del Sol y viajando
(junto con éste) alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. El
aire que respiramos se compone de billones de moléculas que se mueven sin cesar
de forma aleatoria. Al mismo tiempo, las plantas crecen, los materiales
radiactivos se desintegran, la temperatura de la atmósfera sube y baja de forma
cotidiana —además de con cada estación— y la expectativa de vida humana no deja
de aumentar. Sin embargo, esta agitación cósmica no amilanó a la matemática. Newton
y Leibniz introdujeron la rama denominada cálculo[147]
específicamente para poder efectuar un análisis riguroso y una modelización
precisa del movimiento y del cambio. En nuestros días, la potencia de esta
increíble herramienta que lo abarca todo permite utilizarla para examinar
problemas tan dispares como el movimiento de la lanzadera espacial o la
propagación de una enfermedad infecciosa. De igual modo que las películas
capturan el movimiento fraccionándolo en secuencias de fotogramas, el cálculo
puede medir el cambio mediante una retícula tan fina que permite determinar
cantidades cuya existencia es extremadamente efímera, como la velocidad, la
aceleración o el ritmo de cambio instantáneos.
Guiados por los
gigantescos avances de Newton y Leibniz, los matemáticos de la «Era de la
Razón» (finales del siglo XVII y siglo XVIII) desarrollaron el cálculo hasta
crear la poderosa rama de las ecuaciones
diferenciales, de innumerables aplicaciones. Esta nueva arma permitió a los
científicos presentar detalladas teorías matemáticas de fenómenos que iban
desde la música que produce una cuerda de violín al transporte del calor, desde
el movimiento de una peonza al flujo de líquidos y gases. Durante un tiempo,
las ecuaciones diferenciales se convirtieron en la herramienta favorita del
progreso en física.
Entre los primeros que
exploraron las nuevas perspectivas abiertas por las ecuaciones diferenciales se
hallaban algunos miembros de la legendaria familia Bernoulli.[148]
Entre mediados del siglo XVII y mediados del siglo XIX, esta familia produjo
nada menos que ocho matemáticos destacados. Estos talentosos individuos se
hicieron tan conocidos por sus disputas familiares como por su sobresaliente
habilidad para la matemática.[149] Aunque los conflictos de los
Bernoulli tenían siempre relación con su competencia por la supremacía en el
terreno matemático, algunos de los problemas que abordaron pueden no parecer
muy significativos desde un punto de vista actual. Sin embargo, con frecuencia
la solución a estos intrincados enigmas allanó el camino para la consecución de
logros matemáticos más destacados. En conjunto, no cabe duda que los Bernoulli
tuvieron un papel fundamental en el establecimiento de la matemática como el
lenguaje de los procesos físicos.
Como ejemplo de la complejidad
de las mentes de dos de los Bernoulli más brillantes —los hermanos Jakob
(1654-1705) y Johann (1667-1748)—, valga la siguiente historia. Jakob Bernoulli
fue uno de los pioneros de la teoría de
las probabilidades, y volveremos a mencionarlo en este capítulo. Sin
embargo, en 1690, Jakob estaba ocupado desempolvando un problema que el
renacentista por antonomasia —Leonardo da Vinci— había examinado hacía dos
siglos: ¿Qué forma adopta una cadena elástica pero inextensible suspendida de
dos puntos fijos (como se muestra en la figura 31)?
Sólo un año después de
que Jakob Bernoulli plantease el problema, su hermano Johann lo resolvió
(mediante una ecuación diferencial). Leibniz y el físico matemático holandés
Christiaan Huygens (1629-1695) lo resolvieron también, pero la solución de
Huygens utilizaba un método geométrico más críptico. El hecho de que Johann
lograse resolver un problema que había frustrado los intentos de su hermano y
maestro, Jakob, seguía suponiendo una tremenda satisfacción para el joven
Bernoulli hasta trece años después de la muerte de Jakob. En una carta que
Johann escribió al matemático francés Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), no
podía ocultar su complacencia:
Dice que mi hermano
planteó este problema, y es cierto, pero ¿puede acaso colegirse que disponía de
una solución para él? En absoluto. Cuando planteó el problema después de que yo
se lo sugiriese (ya que yo fui el primero que pensó en él), ninguno de los dos
fuimos capaces de encontrar la solución y, perdida la esperanza, lo calificamos
de insoluble, hasta que el Sr. Leibniz publicó en el boletín de Leipzig de
1690, p. 360, que había resuelto el problema, pero no publicó la solución para
dar tiempo a otros analistas; y esto fue lo que nos animó a mi hermano y a mí a
volver a él con un nuevo enfoque.[151]
Después de atribuirse
con todo descaro la propiedad incluso de la sugerencia
del problema, Johann prosigue con mal disimulado deleite:
Los esfuerzos de mi
hermano no se vieron premiados por el éxito; yo, por mi parte, fui más
afortunado, ya que hallé la habilidad (y lo digo sin presunción; ¿por qué habría
de ocultarlo?) de resolverlo en su totalidad … Es cierto que su estudio me robó
el sueño durante una noche entera … pero, a la mañana siguiente, lleno de
júbilo, fui al encuentro de mi hermano, que seguía batallando miserablemente
con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, pensando como Galileo que la
catenaria era una parábola. «¡Detente! ¡Detente!», exclamé, «¡deja de
torturarte para intentar demostrar la identidad de la catenaria con la
parábola, puesto que es falsa …» Y ahora me asombro al ver que concluye que mi
hermano halló un método para resolver este problema … Y yo le pregunto, ¿cree
en realidad que, si mi hermano hubiese resuelto el problema en cuestión, habría
sido tan atento conmigo como para no aparecer en la lista de los que lo solucionaron,
con el fin de cederme la gloria de aparecer en solitario en escena como el
primero que lo resolvió, junto con los Srs. Huygens y Leibniz?
Por si era necesaria
alguna prueba de que los matemáticos son, después de todo, humanos, he aquí
esta historia. Sin embargo, esta rivalidad familiar no quita mérito alguno a
los logros de los Bernoulli. Durante los años posteriores al episodio de la
catenaria, Jakob, Johann y Daniel Bernoulli (1700-1782) no sólo resolvieron
otros problemas similares de cuerdas que cuelgan, sino que lograron un progreso
general de la teoría de ecuaciones diferenciales y resolvieron el problema del
movimiento de proyectiles con un medio con resistencia.
La historia de la
catenaria ilustra otra faceta de la potencia de las matemáticas: incluso los
problemas físicos de apariencia más trivial poseen soluciones matemáticas. A
propósito, la propia forma de la catenaria sigue haciendo las delicias de los
millones de visitantes del famoso Gateway Arch en Saint Louis, Missouri. El arquitecto
finés-americano Eero Saarinen (1910-1961) y el ingeniero de estructuras
germano-americano Hannskarl Bandel (1925-1993) diseñaron esta icónica
estructura con una forma similar a la de una catenaria invertida.
El increíble éxito de
las ciencias físicas en el descubrimiento de las leyes matemáticas que
gobiernan el cosmos en general planteó de forma inevitable la pregunta de si
los procesos biológicos, sociales o económicos podían basarse en principios
similares. Los matemáticos se preguntaban si la matemática era únicamente el
idioma de la naturaleza, o también lo
era de la naturaleza humana. Aunque
no existan principios realmente universales, ¿pueden las leyes matemáticas
utilizarse, como mínimo, para modelar y ofrecer explicaciones de los
comportamientos sociales? Al principio, muchos matemáticos estaban convencidos
de que ciertas «leyes» basadas en una u otra versión del cálculo serían capaces
de predecir con precisión cualquier acontecimiento futuro, grande o nimio. Esta
era la opinión, por ejemplo, del gran físico matemático Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827). Los cinco volúmenes de la Mécanique
celeste de Laplace ofrecieron la primera solución prácticamente completa
(si bien de un modo aproximado) de los movimientos del sistema solar. Además,
Laplace dio respuesta a una pregunta que intrigó incluso al gigante Newton:
¿Por qué el sistema solar es estable en su estado actual? Newton pensó que,
debido a sus atracciones mutuas, los planetas debían caer hacia el Sol o salir
despedidos hacia el espacio, y atribuyó a la mano de Dios la responsabilidad de
mantener intacto el sistema solar. El punto de vista de Laplace era bastante
distinto. En lugar de confiar en el trabajo de Dios, se limitó a demostrar matemáticamente que el sistema
solar es estable a lo largo de períodos de tiempo mucho más prolongados que los
previstos por Newton. Laplace introdujo además otro formalismo matemático
denominado teoría de perturbaciones
que le permitió calcular el efecto acumulado de muchas perturbaciones reducidas
sobre la órbita de un planeta. Como remate, Laplace propuso uno de los primeros
modelos del origen del sistema solar:
su influyente «hipótesis nebular», en la que el sistema solar se formaba a
partir de la contracción de una nebulosa gaseosa.
Tras estas impresionantes
proezas, no es extraño que Laplace afirme con audacia en su Ensayo filosófico sobre las probabilidades:
Todos los
acontecimientos, incluso aquellos que por su pequeñez parece que escapan a las
grandes leyes naturales, forman un encadenamiento tan necesario como las
revoluciones del Sol. En la ignorancia de las relaciones que guardan con el
sistema total del universo, se los ha supeditado a causas finales o al azar …
Hay, pues, que considerar el estado actual del universo como efecto de su
estado precedente y como causa del que lo sucederá. Una inteligencia que en un
determinado instante pudiera conocer todas las fuerzas que impulsan la
naturaleza y la respectiva posición de los seres que la componen y que, además,
tuviera la suficiente amplitud para someter esos datos al análisis, incluiría
en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y los
más ínfimos átomos; nada le escaparía y tanto el pasado como el futuro estarían
en su presencia. El espíritu humano brinda un atisbo de tal inteligencia que se
manifiesta en la perfección la que ha sabido llevar la astronomía.[152]
Si se están preguntando
si, cuando Laplace hablaba de esta «inteligencia» suprema hipotética, se
refería a Dios, la respuesta es no. A diferencia de Newton y Descartes, Laplace
no era una persona religiosa. Al entregar una copia de su Mecánica celeste a Napoleón Bonaparte, éste, que había oído que en
la obra no se hacía referencia a Dios, observó: «M. Laplace, me han dicho que
en este inmenso libro que ha escrito sobre el sistema del universo no se
menciona siquiera a su creador». Laplace repuso de inmediato: «No tuve
necesidad de esa hipótesis». Napoleón, divertido, comentó esta respuesta al
matemático Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), y éste exclamó: «¡Ah! Es una bella
hipótesis, que explica multitud de cosas». Pero la anécdota no acaba ahí. Al
tener noticia de la reacción de Lagrange, Laplace comentó con sequedad: «Esta
hipótesis, sir, lo explica en realidad todo, pero no permite predecir nada. Como estudioso, mi deber
es proporcionarle obras que permitan efectuar predicciones». (La cursiva es
mía).
El desarrollo de la
mecánica cuántica —la teoría del mundo subatómico— en el siglo XX ha demostrado
que las expectativas de un universo totalmente determinista pecan de exceso de
optimismo. De hecho, la física moderna ha demostrado que no es posible predecir
el resultado de todos los experimentos, ni siquiera en principio. La teoría
puede únicamente predecir las probabilidades
de distintos resultados. En las ciencias sociales, la situación es aún más
compleja debido a la multiplicidad de elementos interrelacionados, muchos de
los cuales son, como mínimo, inciertos. Los investigadores sociales del siglo
XVII pronto se dieron cuenta de que su búsqueda de principios universales del
tipo de la ley de gravitación de Newton estaba condenada al fracaso de entrada.
Durante un tiempo parecía que, al introducir las complejidades de la naturaleza
humana en la ecuación, es virtualmente imposible llegar a predicción segura
alguna. La situación aún parecía más desesperada si se tomaba en cuenta el
pensamiento de toda una población. Sin embargo, en lugar de desesperar, algunos
astutos pensadores desarrollaron un innovador arsenal de herramientas
matemáticas: la estadística y la teoría de probabilidades.
Probabilidades en la muerte y en los impuestos
El novelista inglés
Daniel Defoe (1660-1731), célebre por su obra de aventuras Robinson Crusoe, es también el autor de una obra de temática
sobrenatural titulada Historia política
del diablo. Defoe, que veía por todas partes pruebas de la acción del
maligno, escribió: «Cosas tan seguras como la muerte y los impuestos se pueden
creer más firmemente». Benjamín Franklin (1706-1790) parece ser del mismo
parecer en lo que respecta a esa seguridad. En una carta que escribió a los
ochenta y tres años, dirigida al físico francés Jean Baptiste LeRoy, decía:
«Nuestra Constitución ya está en funcionamiento. Todo parece indicar que será
duradera, pero en este mundo nada se puede afirmar con certeza salvo la muerte
y los impuestos».
En efecto, nuestras
trayectorias vitales parecen seguir caminos impredecibles, somos propensos a
desastres naturales, susceptibles a errores humanos y nos afecta la pura
casualidad. Frases como «así es la vida» se han inventado especialmente para
expresar nuestra vulnerabilidad a lo inesperado y nuestra incapacidad para
controlar el azar. A pesar de estos obstáculos, o quizá debido a ellos, los
matemáticos, los científicos sociales y los biólogos han intentado desde el
siglo XVI enfrentarse seriamente a la incertidumbre. Tras la fundación de la
mecánica estadística y la comprensión de que la base misma de la física —en
forma de mecánica cuántica— se basa en la incertidumbre, los físicos del siglo
XX se han unido a la batalla con entusiasmo. Los investigadores del sector del
armamento utilizan, para combatir el indeterminismo, su capacidad para calcular
las probabilidades de un resultado
determinado, que es lo mejor que podemos esperar una vez establecido que no
podemos predecir el resultado real. Las herramientas —la teoría de
probabilidades y la estadística— creadas para mejorar la simple especulación
constituyen no sólo los cimientos de una buena parte de la ciencia moderna,
sino también de numerosas actividades sociales, de la economía a los deportes.
Todos nosotros
utilizamos las probabilidades y la estadística en casi todas las decisiones que
tomamos, aunque sea de forma inconsciente. Por ejemplo, quizá no sepa que el
número de muertes en accidentes de automóvil en 2004 en Estados Unidos fue de
42.636. Sin embargo, si esa cifra fuese de, pongamos, tres millones, estoy
convencido de que la conocería. Es más, es probable que esa información hubiese
hecho que se lo pensase dos veces antes de entrar en su coche por la mañana.
¿Por qué precisamente estos datos sobre muertes por accidente nos ofrecen una
cierta confianza para decidirnos a conducir? Como veremos enseguida, uno de los
ingredientes esenciales de su Habilidad es que se basan en números muy grandes. El número de accidentes mortales en Frio Town,
Texas, con una población de 49 personas en 1969, no sería tan convincente. La
teoría de probabilidades y la estadística son una extraordinaria munición para
las armas de los economistas, consultores políticos, genetistas, compañías de seguros
y, en general, cualquiera que quiera extraer conclusiones significativas de una
gran cantidad de datos. Cuando decimos que la matemática penetra incluso las
disciplinas que no se hallan dentro del grupo original de las ciencias exactas,
esta penetración suele ser a través de ventanas abiertas por la teoría de
probabilidades y la estadística. ¿Cómo surgieron estos provechosos campos?
La palabra estadística
[del italiano stato (estado) y statista (persona que se encarga de
asuntos del estado)] se refería en primer lugar simplemente a la recopilación
de datos por parte de los funcionarios gubernamentales. El primer trabajo
importante en estadística en el sentido moderno lo llevó a cabo un insólito
investigador: un tendero del Londres del siglo XVII. John Graunt (1620-1674)
vendía botones, agujas y telas, y lo hacía bien.[153] Como su
trabajo le dejaba una considerable cantidad de tiempo libre, Graunt estudió
latín y francés por su cuenta y empezó a interesarse por las Listas de mortalidad (cifras semanales
de los fallecimientos, parroquia por parroquia) publicadas en Londres desde
1604. El proceso de emisión de estos informes surgió principalmente con el fin
de disponer de una señal de alarma rápida ante devastadoras epidemias. A partir
de estas cifras en bruto, Graunt empezó a efectuar interesantes observaciones
que acabó publicando en un pequeño volumen de 85 páginas al que tituló Observaciones naturales y políticas
mencionadas en un índice anexo y efectuadas a partir de las listas de
mortalidad.
En la figura 32 se
muestra un ejemplo de una tabla del libro de Graunt en la que se enumeran
alfabéticamente nada menos que 63 enfermedades y fallecimientos. En una
dedicatoria al presidente de la Royal Society, Graunt señala que, puesto que su
trabajo concierne «el aire, comarcas, estaciones, fertilidad, salud,
enfermedades, longevidad y la proporción entre el sexo y las edades de la
humanidad», se trata en realidad de un tratado de historia natural.
Efectivamente, Graunt fue mucho más allá de la simple recopilación y
presentación de datos. Por ejemplo, al examinar los promedios de bautismos y
entierros de hombres y mujeres en Londres y en la parroquia rural de Romsey, en
Hampshire, demostró por primera vez la estabilidad de la proporción de sexos en
el nacimiento. En particular, halló que en Londres nacían 13 mujeres por cada
14 hombres y en Romsey, 15 mujeres por cada 16 hombres. Graunt, con notable
capacidad de previsión, expresaba el deseo de que «los viajeros se informasen
de si la situación era la misma en otros países». También indicó que «es una
bendición para la humanidad que este exceso de Hombres sea un obstáculo natural para la Poligamia: pues, en tal estado, las Mujeres no podrían vivir en la
paridad e igualdad de expensas con sus Esposos en que lo hacen aquí y ahora».
En la actualidad, la proporción esperada entre niños y niñas en el momento del
nacimiento es de aproximadamente 1,05. Tradicionalmente, la explicación de esta
diferencia es que la Madre Naturaleza favorece los nacimientos masculinos
debido a la mayor fragilidad de los fetos y bebés de ese sexo. A propósito, por
razones que no están del todo claras, en Estados Unidos y en Japón, la
proporción de bebés de sexo masculino sufre un descenso paulatino desde los
años setenta.
Graunt fue también
pionero en la construcción de una distribución de edades o «Tabla de vida» de
la población viva a partir de las cifras de muertes y sus causas, cuya
trascendencia política fue considerable, ya que ofrecía datos acerca del número
de «hombres capaces para el combate» —hombres entre dieciséis y cincuenta y
seis años de edad— en la población. En un sentido estricto, Graunt no poseía
información suficiente para deducir la distribución de edades, y en este
aspecto es precisamente donde dio muestras de su ingenio y creatividad. He aquí
la forma en que describe su estimación de la mortalidad infantil:
Nuestra primera
observación acerca de los fallecimientos debe ser que, en veinte años, de los
229.250 que han muerto de todas las enfermedades y desgracias, 71.124 han
perecido a la fiebre aftosa, convulsiones, raquitismo, males de los dientes y
gusanos, y como abortos, bautizados, infantes, hígado hinchado y sofocación; lo
que es decir que cerca de 1/3 de todos ellos murieron de estos males, que
suponemos que cayeron sobre niños de menos de cuatro o cinco años de edad.
Murieron también de la viruela, fiebre porcina, sarampión y gusanos sin
convulsiones 12.210, cifra de la que suponemos que 1/2 pueden ser niños de
menos de seis años de edad. Si tenemos en cuenta que 16 de los mencionados 229
mil murieron de esa extraordinaria y gran desgracia, la plaga, hallaremos que
alrededor del 36 por 100 de todas las concepciones murieron antes de los seis
años de edad.
En otras palabras, la
estimación de Graunt era que la mortalidad antes de los seis años era de
(71.124 + 6.105) / (229.250 − 16.000) = 0,36. Mediante argumentos similares y
suposiciones razonables, Graunt pudo hacer una estimación de la mortalidad en edad
avanzada. Finalmente, completó el espacio entre los seis y los setenta y seis
años de edad mediante una hipótesis matemática acerca del comportamiento de la
tasa de mortalidad con la edad. Aunque muchas de las conclusiones de Graunt no
eran demasiado sólidas, su estudio sirvió para dar inicio a la ciencia de la
estadística tal como la conocemos. Su observación de que los porcentajes de
determinados eventos que antes se consideraban simples coincidencias (como las
muertes causadas por las diversas enfermedades) mostraban en realidad una
notable regularidad introdujo el pensamiento científico y cuantitativo en las
ciencias sociales.
Los investigadores que
siguieron los pasos de Graunt adoptaron algunos aspectos de su metodología,
pero desarrollaron también una mejor comprensión matemática del uso de la
estadística. Puede resultar sorprendente saber que la persona que efectuó las
mejoras más significativas en la «Tabla de vida» de Graunt fuese el astrónomo
Edmond Halley, la misma persona que logró persuadir a Newton para que publicase
sus Principia. ¿A qué se debía este
interés por las tablas de vida? En parte, la razón era que éstas constituían (y
aún constituyen) la información básica para los seguros de vida. Las compañías
de seguros de vida (¡y, desde luego, los cazafortunas que se casan por dinero!)
están interesadas en cuestiones tales como: si una persona llega a los sesenta
años, ¿cuál es la probabilidad de que viva hasta los ochenta?
Para construir su tabla
de vida, Halley utilizó registros detallados que se conservaban en la ciudad de
Breslau, Silesia, desde finales del siglo XVI. El Dr. Caspar Newmann, un
párroco local de Breslau, utilizaba estas listas para luchar en su parroquia
contra la superstición de que la salud se ve afectada por las fases de la Luna
o por las edades que eran divisibles por siete o por nueve. El documento de
Halley, cuyo extenso título era: Un
cálculo de los grados de mortalidad de la humanidad, deducido de curiosas
tablas de los nacimientos y fallecimientos de la ciudad de Breslau, con un
intento de establecer el precio de las anualidades sobre vidas, se
convirtió en la base de la matemática de los seguros de vida.[154]
Para hacerse una idea de la forma en que las compañías de seguros evalúan sus
probabilidades, examinemos la tabla de vida de Halley.
En la tabla se puede
ver, por ejemplo, que, de las 710 personas que estaban vivas a los seis años de
edad, 346 seguían vivas a los cincuenta años. Se puede pues tomar la proporción
de 346/710, o 0,49, como cálculo estimativo de la probabilidad de que una
persona de seis años de edad viva hasta los cincuenta. De forma similar, de las
242 personas de sesenta años de edad, 41 seguían vivas a los ochenta años. La
probabilidad de llegar de sesenta a ochenta años puede entonces estimarse en
41/242, o alrededor de 0,17. El razonamiento subyacente es simple: se basa en
experiencias pasadas para determinar la probabilidad de diversos
acontecimientos futuros. Si la muestra en la que se basa la experiencia es de
un tamaño suficiente (la tabla de Halley se construyó para una población de
unas 34.000 personas) y si se cumplen determinadas hipótesis (como una tasa de
mortalidad constante en el tiempo), la fiabilidad de las probabilidades
calculadas es notable. Jakob Bernoulli describió el mismo problema de este
modo:[155]
¿Qué mortal, me
pregunto, podría determinar el número de enfermedades, contando todos los casos
posibles, que afligen al cuerpo humano en cada una de sus muchas partes y en
cada edad, y decir en qué medida una enfermedad es más mortal que otra y,
basándose en ello, efectuar una predicción sobre la relación entre la vida y
muerte en las generaciones futuras?
Después de llegar a la
conclusión de que este y otros pronósticos similares «dependen de factores
confusos y que constantemente engañan a nuestros sentidos por la complejidad
sin fin de sus interrelaciones», Bernoulli sugería también un punto de vista
estadístico/probabilístico:
Existe, no obstante,
otro método que nos conducirá a aquello que buscamos y nos permitirá cuanto
menos averiguar a posteriori aquello que no podemos determinar a priori, esto
es, averiguarlo a partir de los resultados observados en numerosos casos
similares. En tal sentido, debemos asumir que, en condiciones similares, la
incidencia (o no incidencia) de un determinado acontecimiento en el futuro
seguirá el mismo patrón observado para acontecimientos como éste en el pasado.
Por ejemplo, si se ha observado que, de 300 personas de la misma edad y
constitución que un tal Tito, 200 han muerto al cabo de diez años mientas que
los demás han sobrevivido, podemos llegar a la razonable conclusión de que
existe el doble de posibilidades de que Tito vaya a pagar en la década subsiguiente
su deuda con la naturaleza que de que viva más allá de ese tiempo.
Tras sus artículos
matemáticos sobre la mortalidad, Halley escribió un interesante artículo con un
trasfondo más filosófico. Uno de sus pasajes es especialmente emocionante:
Aparte de los usos
mencionados en anteriores escritos, podría ser admisible inferir de las mismas
Tablas con qué escasa justicia nos atribulamos por la brevedad de nuestras
vidas y nos sentimos engañados si no llegamos a la edad anciana; mientras que,
por lo que podemos ver aquí, la mitad de los nacidos han muerto antes de llegar
a los diecisiete años, pues 1.238 se ven reducidos a 616. Así, en lugar de
quejarnos por lo que llamamos una muerte a destiempo, deberíamos someternos con
paciencia y despreocupación a la disolución que forma necesaria parte de la
condición de nuestros perecederos materiales y de nuestra bella y frágil
estructura y composición: y considerar una bendición que hayamos sobrevivido,
quizá muchos años, ese período de la vida que la mitad de la raza humana no
puede alcanzar.
Aunque la situación en
la mayoría del mundo moderno ha mejorado de forma significativa en comparación
con las lúgubres estadísticas de Halley, por desgracia no se puede decir lo
mismo de todos los países. En Zambia, por ejemplo, la mortalidad antes de los
cinco años en 2006 se ha calculado en unas pasmosas 182 muertes por cada mil
nacidos vivos. La esperanza de vida en Zambia sigue estando en unos
desgarradores treinta y siete años.
Sin embargo, la
estadística no es sólo una cuestión de muertes. Esta disciplina penetra en
todos los aspectos de la vida, desde los rasgos físicos a los productos del
intelecto. Una de las primeras personas que reconoció el poder de la
estadística para, potencialmente, crear «leyes» para las ciencias sociales fue
el erudito belga Lambert-Adolphe-Jacques Quetelet (1796-1874). Quetelet fue el
principal responsable de la introducción del concepto estadístico del «hombre
medio» o, como diríamos actualmente, «la persona media».
La persona media
Adolphe Quetelet nació
el 2 de febrero de 1796 en la antigua ciudad belga de Gante.[156] Su
padre, funcionario municipal, murió cuando Adolphe contaba tan sólo siete años
de edad. Obligado a buscar su propio sustento, Quetelet empezó a enseñar
matemáticas a la joven edad de diecisiete años. Cuando no estaba ejerciendo de
profesor, componía poesía; también escribió el libreto de una ópera, fue
coautor de dos obras de teatro y tradujo diversas obras literarias. Sin
embargo, su tema favorito seguían siendo las matemáticas, y fue la primera
persona que obtuvo el grado de Doctor en Ciencias por la Universidad de Gante.
En 1820, Quetelet fue elegido miembro de la Real Academia de Ciencias de
Bruselas, y no tardó en convertirse en su asociado más activo. Los años posteriores
los dedicó especialmente a la enseñanza y a la publicación de diversos tratados
de matemáticas, física y astronomía.
Quetelet solía empezar
su curso de historia de la ciencia con la siguiente perspicaz observación:
«Cuanto más avanzan las ciencias, más invaden el dominio de la matemática, que
actúa como una especie de punto de convergencia. Podemos juzgar el grado de
perfección al que ha llegado una ciencia por la mayor o menor facilidad con la
que se le pueden aplicar cálculos».
En diciembre de 1823, Quetelet
fue a París enviado por el estado con el fin de que estudiase técnicas de
observación en astronomía. Sin embargo, esta visita de tres meses a la que
entonces era la capital matemática del mundo hizo que Quetelet fijase su
atención en algo completamente distinto: la teoría de probabilidades. El
principal responsable en despertar el entusiasmo de Quetelet en este tema fue
el propio Laplace. Más adelante, Quetelet hablaría de este modo de su
experiencia con la estadística y la probabilidad:
El azar, ese misterioso
vocablo del que tanto se ha abusado, se debe considerar nada más que como un
velo para nuestra ignorancia; es un espectro que domina de forma absoluta la
mente común, acostumbrada a considerar los acontecimientos de un modo aislado,
pero que queda reducido a nada ante el filósofo, cuyo ojo abarca largas series
de eventos y cuya lucidez no se extravía en variaciones, que desaparecen cuando
adquiere una perspectiva suficiente para aprehender las leyes de la naturaleza.[157]
La importancia de esta
conclusión es fundamental. En esencia, Quetelet negaba el papel del azar y lo
sustituía por la audaz (aunque no del todo demostrada) inferencia de que
incluso los fenómenos sociales poseen causas y que las regularidades que
presentan los resultados estadísticos se pueden emplear para desentrañar las
reglas que subyacen al orden social.
Con la intención de
probar la validez de su punto de vista estadístico, Quetelet puso en marcha un
ambicioso proyecto de recopilación de miles de medidas relacionadas con el
cuerpo humano. Estudió, por ejemplo, la distribución de medidas de pecho de
5.738 soldados escoceses, y de altura de 100.000 reclutas franceses, y
representó gráficamente la frecuencia
de aparición de cada rasgo humano. En otras palabras, representó el número de
reclutas cuya altura estaba entre, por ejemplo, 150 y 155 centímetros, luego
entre 155 y 160 centímetros, etc. Luego construyó curvas similares incluso para
aquellos rasgos «morales» (según él los denominaba) de los que poseía
suficientes datos. Entre estas cualidades se hallaba la propensión al
comportamiento criminal, los suicidios y los matrimonios. Para su sorpresa,
Quetelet descubrió que todas las características humanas siguen lo que ahora se
denomina una distribución de frecuencias normal
(o gaussiana, por el nombre del
«príncipe de la matemática» Carl Friedrich Gauss, aunque no está demasiado
justificado el porqué de esta denominación), con forma de campana (figura 33).
Ya se tratase de
alturas, pesos, longitudes de extremidades o incluso cualidades intelectuales
determinadas a través de los antepasados de los tests psicológicos, una y otra
vez aparecía el mismo tipo de curva. La curva no era desconocida para Quetelet;
los matemáticos y los físicos la conocían desde mediados del siglo XVIII, y
Quetelet estaba familiarizado con ella por su trabajo en astronomía; lo
asombroso fue la asociación de esta curva con características humanas.
Anteriormente, se la solía denominar curva de error, porque solía aparecer en
cualquier tipo de errores de medida.
Imaginemos, por
ejemplo, que debe medir con mucha precisión la temperatura de un líquido en un
recipiente. Puede utilizar un termómetro de alta precisión y tomar mil medidas
a lo largo de un período de una hora. Debido a errores aleatorios y
posiblemente a fluctuaciones en la temperatura, hallará que no todas las
mediciones dan exactamente el mismo valor, sino que tienden a agruparse
alrededor de un valor central; algunas mediciones dan un valor superior y
otras, uno inferior. Si representa el número de veces que aparece cada medida
en función de la temperatura, obtendrá el mismo tipo de curva en forma de
campana que Quetelet halló para las características humanas. De hecho, cuanto mayor
sea el número de mediciones efectuadas de cualquier magnitud física, más se
aproximará la distribución de frecuencias a la curva normal. La influencia inmediata de este hecho en la cuestión
de por qué las matemáticas son tan extraordinariamente eficaces es bastante
espectacular: ¡incluso los errores
humanos obedecen leyes matemáticas estrictas!
Quetelet llegó incluso
más allá en sus conclusiones: consideró que el hecho de que las características
humanas siguiesen la curva de error era indicativo de que el «hombre medio» era
lo que la naturaleza estaba tratando de generar.[158] Según
Quetelet, igual que los errores de fabricación crearían una distribución de
longitudes alrededor de la longitud promedio (correcta) de un clavo, de igual
modo los errores de la naturaleza estaban distribuidos alrededor de un tipo
biológico preferible, y afirmó que las personas de una nación estaban agrupadas
alrededor de su promedio «de igual modo que los resultados de mediciones
efectuadas sobre una misma persona, pero con instrumentos imprecisos que
justificasen el tamaño de la variación».
No hay duda de que
Quetelet llevó sus especulaciones demasiado lejos. Aunque su descubrimiento de
que las características biológicas (físicas o mentales) están distribuidas
según la curva de frecuencias normal fue excepcionalmente importante, este
factor no podía interpretarse como una prueba de las intenciones de la naturaleza, ni juzgar como meros errores las
características individuales. Por ejemplo, Quetelet halló que la altura media
de los reclutas franceses era de 163 centímetros. Sin embargo, en el extremo
inferior halló un hombre que medía 43 centímetros. ¡Es obvio que uno no se
puede equivocar en más de 120 centímetros al medir la altura de un hombre de
163 centímetros!
De todos modos, aunque
no hagamos mucho caso de las ideas de Quetelet acerca de las «leyes» para
fabricar seres humanos a partir de un mismo molde, el hecho de que las
distribuciones de los diversos rasgos, desde pesos a niveles de cociente
intelectual, sigan la curva normal es notable por sí mismo. Y por si eso fuera
poco, incluso la distribución de los promedios de bateo en la liga de primera
división de béisbol es bastante próximo a la normal, como lo es el rendimiento
anual de los índices bursátiles (que se componen de numerosos valores
individuales). De hecho, a veces vale la pena examinar con atención las
distribuciones que se desvían de la curva normal. Por ejemplo, si se hallase
que la distribución de las notas de inglés de un determinado colegio no sigue
la curva normal, esto podría provocar una investigación en las prácticas de
calificación de ese colegio. Esto no significa que todas las distribuciones
sean normales. La distribución de la longitud de las palabras utilizadas por
Shakespeare en sus obras no es normal. Shakespeare utilizaba muchas más
palabras de tres y cuatro letras que de once o doce. Los ingresos anuales por
familia en Estados Unidos están representados también por una distribución muy
alejada de la normal. El pico se halla en unos ingresos de entre 10.000 y
20.000 USD, que corresponde al 13 por 100 de las familias, pero la gráfica
posee también un pico significativo (que corresponde aproximadamente a un 10
por 100 de las familias) en el intervalo de entre 100.000 y 150.000 USD, lo que
suscita una interesante pregunta: si tanto las características físicas como las
intelectuales de los seres humanos (que, es de suponer, determina el potencial
de ingresos) están distribuidas según la curva normal, ¿por qué no lo están los
ingresos? Pero la respuesta a estas cuestiones socioeconómicas va más allá del
ámbito de este libro. Desde nuestra limitada perspectiva actual, el hecho
sorprendente consiste en que prácticamente todos los detalles mesurables de los
seres humanos (de una etnia determinada) están distribuidos según un solo tipo
de función matemática.
Históricamente, los
rasgos humanos no sólo sirvieron como base para el estudio de las distribuciones de frecuencia
estadísticas, sino también para establecer el concepto matemático de correlación. La correlación mide el
grado en que los cambios en el valor de una variable están acompañados por
cambios en otra. Por ejemplo, es de esperar que las mujeres altas lleven
zapatos más grandes. De forma similar, los psicólogos hallaron una correlación
entre la inteligencia de los padres y el éxito escolar de los hijos.
El concepto de
correlación resulta especialmente útil en las situaciones en que no hay una
dependencia funcional precisa entre
las dos variables. Imaginemos, por ejemplo, que una variable es la temperatura
diurna máxima en el sur de Arizona, y la otra, el número de incendios
forestales en esa región. Para un determinado valor de temperatura, no es
posible predecir con exactitud el número de incendios que ocurrirán, ya que
esto depende de otras variables como la humedad y el número de incendios
provocados. En otras palabras, para un valor específico de temperatura podría
haber muchos valores correspondientes de incendios forestales y viceversa. Sin
embargo, el concepto matemático denominado coeficiente
de correlación nos permite medir de forma cuantitativa la intensidad de la
relación entre dos variables.
La persona que
introdujo por vez primera la herramienta del coeficiente de correlación fue el
geógrafo, meteorólogo, antropólogo y estadístico victoriano sir Francis Galton
(1822-1911).[159] Galton —que, por cierto, era primo lejano de
Charles Darwin— no era un matemático profesional. Como era una persona de
extraordinaria versatilidad y gran sentido práctico, solía dejar las sutilezas
matemáticas de sus innovadores conceptos a otros matemáticos, en especial al
estadístico Karl Pearson (1857-1936). Galton explicaba así el concepto de
correlación:
La longitud del cúbito
[el antebrazo] está correlacionada con la estatura, ya que un cúbito largo implica
en general un hombre alto. Si la correlación entre ellas es muy próxima, un
cubito muy largo implicaría una gran estatura; en cambio, si no lo es tanto, un
cúbito muy largo estaría asociado en promedio con una estatura simplemente
alta, pero no muy alta; mientras que, si la correlación fuese nula, un cubito muy largo no estaría
asociado con ninguna estatura en particular y, por consiguiente, en promedio,
con la mediocridad.
Pearson formuló una
definición matemática precisa del coeficiente de correlación. El coeficiente se
define de modo que, cuando la correlación es muy alta, es decir, cuando una
variable sigue de cerca las subidas y bajadas de la otra, el valor del
coeficiente es de 1. Cuando dos cantidades presentan correlación inversa, es decir, cuando una aumenta la otra disminuye
y viceversa, el coeficiente es igual a -1. Cuando una variable se comporta como
si la otra no existiese y viceversa, el coeficiente de correlación es 0. (Por
desgracia, el comportamiento de algunos gobiernos muestra una correlación
cercana a cero con los deseos de las personas a las que supuestamente
representan).
La investigación médica
moderna y las previsiones económicas dependen esencialmente de la
identificación y cálculo de correlaciones. Los vínculos entre el tabaco y el
cáncer de pulmón y entre la exposición al sol y el cáncer de piel, por ejemplo,
se establecieron inicialmente mediante el descubrimiento y evaluación de
correlaciones. Los analistas del mercado de valores se estrujan continuamente
el cerebro para hallar y cuantificar las correlaciones entre el comportamiento
del mercado y otras variables, un descubrimiento que potencialmente puede
reportarles pingües beneficios.
Los primeros
estadísticos pronto se dieron cuenta de que la recogida de datos estadísticos y
su interpretación pueden ser asuntos delicados, y deben llevarse a cabo con una
exquisita atención. Un pescador que utilice una red con agujeros de 25
centímetros de lado podría llegar a la conclusión de que todos los peces miden
más de 25 centímetros, por el simple hecho de que los menores se libran de su
red. Se trata de un ejemplo de los efectos
de selección, sesgos que se introducen en los resultados debido al
procedimiento utilizado para recoger los datos o a la metodología. El muestreo
presenta otro problema. Por ejemplo, las actuales encuestas de opinión no
entrevistan más que a unos cuantos miles de personas. ¿Cómo pueden los
encuestadores estar seguros de que los puntos de vista expresados por los
miembros de su muestra representan correctamente la opinión de cientos de
millones de personas? Otro de los aspectos que se debe tener en cuenta es que correlación no necesariamente implica causalidad. Las ventas de tostadoras
pueden elevarse al mismo tiempo que crece el número de personas que asisten a
conciertos de música clásica, pero eso no implica que la presencia de una nueva
tostadora en una casa mejore la capacidad de apreciar la música. Posiblemente,
ambos efectos están causados por una mejora en la economía.
A pesar de estos
importantes riesgos, la estadística se ha convertido en uno de los instrumentos
más eficaces de la sociedad moderna, al elevar las ciencias sociales al rango
de ciencias, precisamente. Pero en realidad, ¿por qué funciona la estadística?
La respuesta la tenemos en la matemática de la probabilidad, que domina numerosos aspectos de la vida moderna.
Desde los ingenieros que deciden los mecanismos que se deben instalar en un
vehículo tripulado de exploración para garantizar la seguridad de los
astronautas a los físicos de partículas que analizan el resultado de los
experimentos en aceleradores, los psicólogos que califican tests de
inteligencia de niños, las empresas que evalúan la eficacia de nuevos fármacos
o los genetistas que estudian la herencia humana, todos ellos deben utilizar la
teoría de probabilidades.
Continua en:
¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo V Estadísticos y probabilistas: La ciencia de la incertidumbre (II)
[147] Hallará descripciones
extraordinariamente accesibles sobre el cálculo y sus aplicaciones en Berlinski
1996, Kline 1967, Bell 1951. Kline 1972 es algo más técnica, pero magnífica.
<<
[148] Para conocer algunos
de los logros de esta notable familia véase Maor 1994, Dunham 1994. Véase
también la Bernoulli-Edition en la página web de la Universidad de Basilea.
<<
[149] Descrito en Hellman
2006. <<
[150] Bukowski 2008 contiene
una excelente descripción del problema y, en concreto, de la solución de
Huygens. Las soluciones de Bernoulli, Leibniz y Huygens aparecen en Truesdell
1960. <<
[151] Citado en Truesdell
1960. <<
[152] Laplace 1814 (Truscot
y Emory 1902). <<
[153] Hallará magníficas
descripciones de la vida y obra de Graunt en Hald 1990, Cohen 2006 y Graunt
1662. <<
[154] Una reimpresión del
documento se encuentra en Newman 1956. <<
[155] Citado en Newman 1956.
Su obra está resumida en Todhunter 1865. <<
[156] Dos libros excelentes
sobre Quetelet y su obra son Hankins 1908 y Lottin 1912. Stigler 1997, Krüger
1987 y una parte de Cohen 2006 son más breves pero también informativos.
<<
[157] Quetelet 1828.
<<
[158] Quetelet escribió en
sus memorias acerca de la propensión al crimen: «Si el hombre promedio
estuviera determinado para una nación representaría el tipo de esa nación; si
pudiera determinarse a partir del conjunto de todos los hombres representaría
el tipo de toda la raza humana». <<
[159] En Kaplan y Kaplan
2006 se explica de forma divulgativa la obra de Galton y Pearson. <<
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