2.2 Semejanza de triángulos

Definición 2.2.1 Dos triángulos Δ A₁B₁C₁ y Δ A₂B₂C₂ son semejantes si y solo su cumplen lo siguiente

1.- ÐA₁ =ÐA₂
2.- ÐB₁ =ÐB₂
3.- ÐC₁ =ÐC₂

Es decir, dos triángulos son semejantes si y solo si tienen sus tres ángulos iguales y sus tres lados proporcionales , para indicar que los triángulos ΔA₁B₁C₁ y ΔA₂B₂C₂ son proporcionales lo haremos de la siguiente manera: ΔA₁B₁C₁ ~ ΔA₂B₂C₂
2.2.1 Criterios de semejanza
Para que ΔA₁B₁C₁ ~ ΔA₂B₂C₂ es suficiente que se cumpla una de las tres condiciones siguientes:
1.- L.A.L) Dos lados proporcional e igual el ángulo comprendido

, ÐB₁= ÐB₂





2.- A.A) Dos ángulos iguales

ÐA₁=Ð A₂ , ÐB₁=ÐB₂

3.- L.L.L) Sus tres lados proporcionales

Proposición 2.2.1 El segmento que une los puntos medios de cualesquiera dos lados de un triángulo arbitrario mide la mitad del tercer lado y es paralelo a dicho lado.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera con D y E puntos medios de AC y BC respectivamente.

Tenemos que demostrar que DE= ½ AB.

Como ÐACB= ÐDCE y CD ∕ CA = ½ = CE∕ CB, entonces por el criterio L.A.L. ΔABC ~ ΔDEC.

Por lo tanto sus lados son proporcionales y así

Damas los ángulos correspondientes son iguales, por lo que tenemos

ÐCDE = ÐCAB
De donde DE y AB son paralelos.

Ejercicio 2.2.1 El triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de cualquier triángulo, es siempre semejante a éste.

Soluciòn. Sean ΔABC un triángulo cualquiera y D,E,F puntos medios de AC,AB y BC respectivamente.
Tenemos que demostrar que ΔABC ~ ΔDEF. Para esto veamos que la proposición 2.2.1 nos dice que DF= ½ AB, DE= ½CB y EF= ½ AC.
Por lo tanto DF∕AB = DE∕CB = EF∕AC= 1∕2 y por el criterio de L.L.L concluimos que ΔABC ~ ΔDEF.

Ejercicio 2.2.2 Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos triángulos en partes proporcionales.

Ejercicio 2.2.3 Si una recta divide dos lados de un triangulo en partes proporcionales, entonces tal recta es paralela al tercer lado.