Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo V Descartes y Fermar

Celos mal reprimidos

La época a que se contrae este trabajo, primera mitad del siglo XVII, tiene muchos puntos de contacto con la actual. Terminaba entonces el Renacimiento, como termina hoy la Edad Moderna, en el colapso que empezó en 1914, tuvo una recidiva en 1939 y todavía no ha salido de él. En los días que vivieron Descartes y Fermat, protagonistas del presente ensayo, como en los días que vivimos, se hundía rápidamente un estado de cosas y no se había cimentado aún uno nuevo. Como hoy, el mundo estaba incómodo.
El siglo anterior había despertado al encanto de las musas griegas redescubiertas, y el ideal medieval de morir para este mundo quedó sustituido por el ideal renacentista de vivir para este mismo mundo, cumpliéndose así la exclamación del Petrarca: "Juliano renace”. Una luz inédita bañó las condiciones de vida; se exaltó el individualismo; la conciencia humana protestó contra la tiranía colectiva; Gutenberg coronó la obra de Colón y, al difundirse las ideas nuevas, todos los valores espirituales se quebrantaron. La Roma papal vio alzarse contra ella la figura de Lutero, y Francisco I de Francia, rey cristiano, combatía al católico Carlos I de España, buscaba la amistad de los protestantes de Alemania y se aliaba con los turcos.
El ansia de saber, el apetito de curiosidad que caracterizó al Renacimiento, se prolongó hasta el, siglo XVII, que es el de los grandes matemáticos, cuya primera mitad ilustran especialmente los nombres de Fermat y de Descartes.
Nace Descartes en 1596 y Fermat en 1601; muere Descartes en 1650 y Fermat en 1665. Tienen, por tanto, los dos un período común de cuarenta y nueve años: medio siglo fecundo y denso, que vio crear la Geometría Analítica con Descartes y la teoría de números con Fermat.
Ambos pertenecían a familias de parlamentarios y ambos estudiaron Jurisprudencia: Descartes en Poitiers, Fermat en Toulouse; pero éste ejerció la abogacía y aquél no. Descartes abrazó la carrera de las armas porque se aburría en París, y Fermat fue magistrado en Toulouse porque tenía espíritu burgués; Descartes fue filósofo y Fermat jurisconsulto y los dos dedicaron a la Matemática sus ratos de ocio. Nada más, ni nada menos.
Descartes publicó su Geometría como un ejemplo de su método, y su labor matemática sólo fue un episodio de su carrera de filósofo; Fermat escribió mucho, mas fue su hijo Samuel quien editó la mayor parte de sus trabajos. Ambos se dieron a conocer a través de su correspondencia con los sabios de su tiempo; pero mientras la época de Descartes ha sido adjetivada con su apellido, el nombre de Fermat, aunque parezca extraño, no aparece citado por Voltaire entre los que ilustraron el que, con evidente cortesanía, llamó siglo de Luis XIV.
Descartes y Fermat tienen de común su admiración por los griegos, franca en Fermat, oculta en Descartes. Fermat reconstruye los Lugares planos de Apolonio y traduce la Aritmética de Diofanto; Descartes quiere romper con la tradición griega, pero su obra no es, en el fondo, sino un retorno a Grecia, y ambos tienden un puente entre lo abstracto y lo concreto haciendo que la Matemática pierda su rigidez antigua para asumir una categoría intelectual independiente de toda representación empírica, y determinando un nuevo aspecto de la Geometría que proyecta su influencia sobre el monismo de Spinoza y sobre el dualismo de Malebranche, quienes inician una etapa de filosofía matemática empapada de fermatcartesianismo.

Descartes, Fermat y la geometría analitica

Rene Descartes (francés, 1596-1650) es generalmente conocido más como filósofo que como matemático, aunque su filosofía es discutible mientras que sus matemáticas no lo son.

  La familia de Descartes pertenecía a la más baja jerarquía de la nobleza francesa. Su madre murió poco después de su nacimiento, pero un padre muy humano y una nodriza muy eficiente compensaron su pérdida. Después de una amplia educación en humanidades en el colegio de jesuitas de La Flêche, Descartes vivió durante dos años en París, estudiando matemáticas por sí mismo, antes de unirse, en Breda al príncipe Mauricio de Orange como oficial, en 1617. En 1621, Descartes abandonó su carrera militar, en parte porque había visto bastante servicio activo y pasivo, y en parte porque, como declaró, tres sueños que tuvo en la noche del 10 de noviembre de 1619, le sugirieron los gérmenes de su filosofía y de la geometría analítica.

   Gran parte del resto de su vida lo pasó en Holanda, donde estaba más a salvo de las posibles consecuciones religiosas de lo que hubiera podido estar en Francia. Estos fueron sus años productivos, en que a pesar de su deseo de tranquilidad, no pudo ocultar la grandeza de su pensamiento. Su fama se extendió por toda Europa, en gran parte debido a los esfuerzos del padre Mersenne (francés, 1588-1648) de París, que actuó de intermediario entre los intelectuales franceses y la cautela muy justificada de Descartes.

   Descartes publicó (1637) la obra en que reposa su grandeza como matemático, Discurso del método para bien conducir la razón y buscar la verdad en las ciencias, cuyo tercero y último apéndice, La geometría, contiene su subversiva invención.

   Los últimos meses de su vida los pasó como tutor de la joven y obstinada reina Cristina de Suecia. Los rigores del invierno de Estocolmo, y las inconsideradas exigencias de su real alumna, fueron causa de su muerte. De acuerdo con los ideales de su época, en que la ciencia experimental empezaba a desafiar seriamente a las arrogantes especulaciones, Descartes brilló más por su filosofía que por sus matemáticas. Pero apreció plenamente la fuerza de su nuevo método geométrico. En una carta que escribió en 1637 a Mersenne, después de decir “no me gusta alabarme”, Descartes continúa: “…lo que expongo en el segundo libro sobre la naturaleza y propiedades de las líneas curvas, y sobre el método de estudiarlas, me parece que está tan por encima del tratamiento que se le da en la geometría ordinaria, como la retórica de Cicerón sobre la a, b, c de los niños”.

   El famoso apéndice sobre la geometría consta de tres libros, de los cuales el segundo es el más importante. El tercero está dedicado en su mayor parte al álgebra. Bastará exponer en la terminología usual los rasgos esenciales del progreso de Descartes.

   Una curva en el plano queda definida por alguna propiedad determinada, que sea válida para todos y cada uno de los puntos de la curva. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a otro punto fijo sea constante. Todo punto de la curva queda unívocamente determinado por sus coordenadas x e y; y una ecuación f (x,y) = 0 entre las coordenadas representa por completo la curva cuando se traduce en una relación la propiedad geométrica que la define, estando representada la relación por la función f, entre las coordenadas x, y, del punto particular-general de la curva.

   De esa forma se establece una correspondencia inequívoca entre las curvas planas y las ecuaciones de dos variables x,y; para cada curva hay una ecuación determinada f(x,y) = 0, y para cada ecuación f (x,y) = 0 hay una curva determinada.

   En sus detalles, la exposición de Descartes es diferente de la que ahora es habitual. Por ejemplo, él empleó únicamente un eje x, y no se refirió para nada a un eje y. De cada valor de x, calculaba el correspondiente de y mediante la ecuación, obteniendo de esa forma las coordenadas x e y. Evidentemente que el uso de los dos ejes no es una necesidad, sino una conveniencia. En nuestra terminología empleó los equivalentes, tanto de los ejes rectangulares como de los oblicuos. Pero hubo un punto importante en que su procedimiento tenía una restricción innecesaria. Consideró las ecuaciones solamente en el primer cuadrante al traducir la geometría en álgebra. Esta lógica pero innecesaria limitación condujo a anomalías inexplicables al traducir a la inversa del álgebra a la geometría. Al evolucionar la geometría analítica y cuando se emplearon sin miedo los números negativos, quedó eliminada la restricción. En 1748, cuando Euler codificó y amplió la obra de sus predecesores, tanto la geometría analítica plana como la del espacio eran prácticamente perfectas, salvo la introducción en 1827 de las coordenadas homogéneas.

   No necesitamos describir el método de Descartes para trazar tangentes y normales, porque no era muy feliz. Pronto lo sustituyó el de Fermat ampliado por Newton. El método de Fermat equivale a tener una tangente como posición límite de secantes, exactamente igual que se hace hoy en día en el cálculo.

   Pasaremos a Fermat y al papel que desempeñó en la invención de la geometría analítica. Hoy día no cabe la menor duda de que precedió a Descartes. Pero como los trabajos que hizo hacia 1629 no los comunicó a otros hasta 1636, y sólo se publicaron póstumamente en 1679, es imposible que influyeran sobre Descartes en lo que se refiere a su invento, y Fermat nunca lo insinuó siquiera.