6.21 k permutaciones de n objetos.

El alfabeto tiene 27 letras.¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar en las que ninguna letra se repita? El principio de la multiplicación nos dice que podemos llenar los espacios _ _ _ _ _ de 27×26×25×24×23 = 9687600 formas.
Si en vez de 5 hubiésemos pedido palabras de 10 letras, el numero habría sido 27×26× 25 ×...18, y si en lugar de 10 pidiéramos arreglos de k letras, el total seria
27 × 26 × 25 ×... (27-k +2) × (27-k +1 )
(podemos sustituir varios valores de k para comprobar) ¿Por qué funciona esa formula? En todas las etapas las opciones vienen del mismo conjunto, pero como cada vez que hacemos una elección ya no podemos volver a usa esa letra, las opciones van disminuyendo de una en una, y como hay k posiciones, tenemos k factores consecutivos.
Tampoco tenia nada de especial el 27. La situación general es como sigue: se tiene un conjunto con n objetos (en el ejemplo anterior fue un conjunto de 27 letras), de las cuales se escogen k elementos (en el ejemplo fueron 5) para formar arreglos (palabras), ¿de cuantas formas se puede hacer? La primera posición tiene n opciones, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llenar las k posiciones. El total de arreglos es entonces

Un arreglos formado por k elementos que se escogen de un conjunto con n elementos se llama una k-permutación (de n objetos) o simplemente permutaciones de n en k. El número de las mismas se calcula con el producto de arriba. El producto anterior “se parece” a un factorial. Si lo completamos y dividimos entre los factores que hicieron falta obtenemos la formula que buscamos.

Teorema 6.4
(Permutaciones de n en k) Si de un conjunto de n elementos se escogen k para formar arreglos, entonces el número de tales arreglos se representa como

Y

Este número también se representa comoAsí la solución de las palabras de cinco letras la pudimos haber calculado como P (27,22).

Ejemplo. Si en un concurso de matemáticas participan 50 personas, de cuántas maneras pueden quedar repartidos el primer, segundo y tercer lugar?
Para los premiados se escogen 3 de las 50 personas, y como el orden importa, la respuesta es

6.2 Permutaciones.

En varios de los ejemplo anteriores usamos el principio de la multiplicación en una situación muy especial: en cada posición, siempre teníamos las mismas opciones (como en el ejercicio de la sección anterior que se pedía formas números que solo tenían cuatros y doses). Si hay que llenar n posiciones y cada posición tiene k opciones, el total de arreglos es:

Es importante notar que la formula anterior es valida únicamente cuando en todas las posiciones siempre tenemos la misma cantidad de opciones.

Ejemplo. Se escriben las letras a, b, c, d, e , f en papelitos distintos y luego se resuelven los seis papelitos en una bolsa. Se desea formar palabras de cuatro letras con esas letras. Se extrae un papelito, se apunta la letra, y se regresa a la bolsa, repitiendo este proceso 4 veces ¿cuántas palabras de puede formar?
Las palabras son arreglos de cuatro letras, cada letra puede ser de seis tipos distintos, Entonces el total de palabras es 6⁴ = 1296 palabras.

Otra situación especial que aparece con frecuencia, es que cada vez que hacemos una elección, no podemos volver a escoger esa opción (como en el ejercicio que había que formar números cuyos dígitos no se repitieran). Imaginemos primero que se tienen n objetos y nos preguntamos de cuantas maneras podemos ordenarlos en fila. Como ejemplo concreto, consideremos las 5 vocales, a,e,i,o,u y nos preguntamos de cuantas maneras podemos ordenarlas . Posibles arreglos serian aeiou, ueoia, aioue. Son 5 posiciones y 5 objetos . La primera posición tiene 5 opciones, la segunda 4 (porque ya no podemos usar la misma letra), la tercera 3, la cuarta 2 y la ultima 1. Entonces en total hay 5×4×3×2×1= 120 arreglos.

Hacemos notar que lo importante aquí es que no podemos repetir lo que escogemos. Podemos ver que si en vez de 5 tuviésemos n objetos que ordenar, el total habría sido n (n-1)(n-2)...3×2×1.
Si n es un numero entero positivo, al numero n (n-1)(n-2)...3×2×1 se conoce como n factorial y se representa como n! . Notemos que la definición anterior dice que n! Es un entero positivo una de las propiedades que cumple el factorial es que

Esa propiedad nos dice una manera de “extender” la definición para incluir al cero, ya que entonces 0! seria
Regresando a nuestro problema, podemos enunciarlo con esta nueva notación como sigue:

Hay n! Maneras de ordenar n objetos cualquiera.

Ejemplo. Si se tienen 7 libros, el numero de formas de ordenarlos en un librero (uno junto a otro) es 7! = 7×6×5×4×3×2×1= 5040.

Ejemplo si se baraja un paquete completo de 52 cartas.¿De cuantas formas pueden quedar ordenadas?
El número d e arreglos de las 52 cartas es 52!=
80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000.

6.1 Principios básicos de conteo.

Hay dos principios básicos en combinatoria:

Principio de la adición. Si se desea escoger un objeto que puede tener r tipos distintos, y para el primer tipo hay t₁ opciones, para el segundo tipo hay t₂ opciones, para el tercer tipo t₃ opciones, y así sucesivamente hasta t_r opciones para el ultimo tipo, entonces el objeto puede escogerse de t₁ +t₂ ...+t_r maneras.
Lo que el principio anterior dice, es que el total de opciones es la suma del número de opciones en cada tipo. Como por ejemplo, supongamos que hay que escoger un libro de entre tres materias: matemáticas, historia y biología. Hay seis libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de biología . Entonces tenemos 6+9+4 = 19 opciones.

Principio de la multiplicación. Si una tarea se ha de realizar en n etapas, y si la primera etapa tiene k₁ maneras de realizarse, la segunda tiene k₂ maneras, y así sucesivamente hasta k_n , maneras de realizar la ultima, entonces el numero de formas de realizar la tara es k ₁× k₂ ×...×k_n.

Si una persona ha de escoger como vestirse, teniendo 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo que se duplica el total y al final tiene 240 formas de vestirse. El principio de la multiplicación puede visualizarse mediante un diagrama de árbol
Veamos algunos ejercicios que usan estos principios.
Ejemplo ¿cuántos números de 5 cifras están formados únicamente de cuatros y doses (ejemplos:44242, 24422)? Nos están pidiendo números de cinco cifras, es decir nos piden llenar con doses y cuatros las cinco rayitas _ _ _ _ _ . En la primera rayita podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), en la segunda podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), lo mismo en la tercera, cuarta y quinta rayita. El principio de la multiplicación dice que el total es 2× 2 × 2× 2 × 2= 2⁵ = 32. Así la respuesta es que hay 32 números pedidos.
Ejemplo ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?
Como en el ejemplo anterior, tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _.En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8⁴ = 28672.
Ejemplo. Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?
Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.
Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3³ = 54.
Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3⁴ = 81 números de esta forma.
Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.

Ejemplo ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?
Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.
Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida. En las siguientes secciones estudiaremos las principales.

5.4 La línea de Simson

Teorema 5.4.1 Los pies de las perpendiculares trazadas desde cualquier punto del circuncírculo de un triángulo a los lados de éste, son colineales.
Demostración. Sea P un punto perteneciente al circuncírculo de un triángulo cualquiera ΔABC, y sean X, Y y Z los pies de las perpendiculares trazadas desde P respectivamente hacia los lados BC, AC y AB como en la figura.

La circunferencia de diámetro AP pasa por los puntos Y y Z, al ser ÐAZP y ÐAYP ángulos rectos . De aquí que ÐZAP = ÐZYP, y claramente ÐZAP y ÐBAP son suplementarios. Pero como el cuadrilátero ABCP es cíclico , se sigue que Ð BAP es suplemento de ÐBCP. Por lo tanto
ÐBCP = ÐZAP = ÐZYP.

Por su parte la circunferencia de diámetro PC pasa por los puntos X y Y, ya que los ángulos ÐPYC y ÐPXC son rectos. Así Ð XYC = ÐXPC. Además, como ÐXPC + Ð BCP = 90°, tenemos ÐXYC + ÐBCP = 90°.
Por último
ÐXYZ = ÐXYC + 90° + ÐZYP = ÐXYC + 90° + Ð BCP = 180°.
A la línea recta que pasa por los puntos X, Y y Z, que son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P del circuncírculo a los lados del triángulo, se le llama la línea de Simson.

5.3 Teorema de Ptolomeo

Teorema 5.3.1 (Teorema de Ptolomeo) En todo cuadrilátero cíclico no cruzado, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales.
Demostración. Sea ABCD cualquier cuadrilátero cíclico y no cruzado. Considerando el punto E sobre la diagonal BD, tal que ÐBAE = ÐCAD, como en la figura.

Tenemos que los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, ya que los ángulos ÐBAE y ÐCAD son iguales por definición de E, y ÐEBA = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AD.
Por lo tanto

y de aquí que
AB × cd = AC × BE
Tenemos quE los triángulos Δ AED y ΔABC son semejantes, puesto que ÐEAD = ÐAEC + ÐCAD =ÐEAC + ÐBAE = ÐBAC y además ÐADE = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AB.
Por lo tanto

, en otras palabras
AD × BC = AC × ED.
Sumando miembro a miembro las igualdades que obtuvimos,
AB×CD + AD× BC = AC×BE + AC×ED
= AC ×(BE + ED)
= AC×BD.
Demostración de lo que queríamos.
Teorema 5.3.2 (Teorema inverso de Ptolomeo) Si un cuadrilátero no cruzado es tal que la suma de los productos opuestos es igual al producto de las diagonales, tal cuadrilátero es cíclico.
Demostración. Sea ABCD un cuadrilátero no cruzado, el cual cumple con la hipótesis AB × CD + AD × BC = AC × BD. Consideremos el punto E tal que ÐBAE = Ð CAD y ÐABE= ÐACD, como en la figura.

Para demostrar que ABCD es inscriptible bastará probar que ÐABD = ÐACD; o lo que es lo mismo, que E esté sobre el segmento BD, es decir que BE + ED = BD.
Por la construcción de E, los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, por lo que Y asi,

BE × AC =CD × AB .

Por otro lado, observamos que ÐBAC = Ð BAE + ÐEAC = Ð CAD + ÐEAC = Ð EAD utilizando la primera identidad , garantizamos que los lados adyacentes a los ángulos ÐBAC y ÐEAD son proporcionales, entonces, por el criterio L.A.L los triángulos ΔABC y ΔAED son semejantes, con lo cual obtenemos que

y así
AC ED = BC AD
Sumando miembro a miembro esta identidad con la segunda que habíamos obtenido, veríamos que
BE AC + AC ED = CD AB +BC AD
AC (BE + ED) = CD AB + BC AD
Y utilizando la hi´pótesis de que AB CD + AD BC = AC BD, concluimos que
BE+ ED = BD,
Ya que AC es diferente de cero 0.

5.2 Rectas Antiparalelas

Definición 5.2.1 Dadas dos rectas a y b no paralelas y l la bisectriz del ángulo formado por a y b. Decimos que las rectas c y d son antiparalelas con respecto a las rectas a y b si solo si α = β, en donde α y β son los ángulos formados por la bisectriz l y las rectas c y d como en la figura.

Teorema 5.2.1 Si las rectas c y d son antiparalelas con respecto a las rectas a y b, y si A,B,C Y D son los puntos de intersección entonces el cuadrilátero ABCD es cíclico.
Demostración. Tenemos dos casos
Caso 1.
Sean A, B, C, D, P , R y Q como en la figura . Hagamos α= ÐAPR = ÐCPR ,β = ÐARQ = ÐBQR, γ = ÐBAC y finalmente δ= ÐBDC. Para demostrar este caso, veremos que γ+ δ= 180°.

Como ÐPQD = 180°- β y α+ δ+ ÐPQD = 180°, puesto que son los ángulos interiores del triángulo ΔPQD, entonces
δ = 180° -α - ÐPQD =β - α.
Consideremos ahora el triángulo Δ PAR. Como Para Ð PRA= 180°- β y α +Ð PRA + Ð PAR = 180° por ser los ángulos interiores de tal triángulo, tenemos
PAR = 180° -α -Ð PRA = β-
α
Y como γ = 180°- ÐPAR = 180°- β+α , entonces

γ+ δ =( 180° -β + α) + (β-α) = 180°.
Así y son suplementarios. Además γ + δ + ÐACD + ÐABD =360°, por lo que ÐACD +Ð ABD = 180°. De esta forma obtenemos un cuadrilátero convexo con ángulos opuestos suplementarios; y por el corolario (5.1.5), ABCD es inscriptible.
Caso 2.
Sean A,B,,D,P,R y Q como en la figura, y α= ÐAPR = ÐCPR, β= ÐAQR= ÐBRQ, γ=Ð ADC y δ=Ð ABC.
Para este caso tracemos la recta que pasa por el segmento AC para que los puntos D y B queden en el mismo semiplano determinado por la recta AC. Demostraremos que δ= γ.

Los ángulos interiores del triángulo Δ PQD suman 180°, por lo tanto β= α+ γ. Y por otro lado, considerando el triángulo Δ PRB, podemos ver que β= α+δ.
Lo anterior implica que γ= β-α= δ. Así vemos que el segmento de la recta AC, desde los puntos B Y D bajo ángulos iguales. Y por la condición suficiente de concíclicidad de cuatro puntos, el corolario (5.1.4), tenemos que el cuadrilátero ABCD es inscriptible.

Circunferencias

5.1 Ángulos en las circunferencias .- Dados dos puntos A y B n una circunferencia, el ángulo central Ð AOB es el que tiene su vértice en el centro O de la circunferencia y sus lados son los segmentos OA y OB.
El arco correspondiente es el que se encuentra entre los lados del ángulo central : el ángulo AB es igual al ángulo AOB.



Por definición todo ángulo central mide lo mismo que el arco que abraza, sobrentendiendo por supuesto, que nos referimos a la medida angular del arco, más no a su longitud. Es decir, el ángulo central es la medida en grados del arco que abrazan los radios que lo conforman.
Definición 5.1.2 Dados tres puntos A, B y P en una circunferencia, el ángulo inscrito ÐAPB es el ángulo que tiene su vértice en P en la circunferencia y sus lados PA y PB son secantes.

Teorema 5.1.1 Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que abraza.
Demostración. Tenemos que demostrar que

Procederemos por casos.Caso 1
El centro de la circunferencia está en un uno de los lados del ángulo.

Seaα = ÐAPB, tracemos el radio OA. Así el triángulo ΔAOP es isósceles. Por tanto ÐOAP = α.
Y como β(el ángulo central ÐAOB) es exterior del triángulo ΔAOP y no adyacente a α y ÐOAP, entonces
β= α+ ÐAOP = 2α.

Por lo tanto

Caso 2.
El centro de la circunferencia está entre los lados del ángulo inscrito.


Sea α = APB. Tracemos EL diámetro que tiene como uno de sus extremos a P y llamémosle C al otro extremo.
Sean α ₁ = Ð APC y α ₂ = Ð CPB. Tenemos que α = α ₁ + α ₂ . Y por el caso 1 ,α₁ es igual a un medio del arco AC y α₂ es igual a un medio del arco CB.

Por lo tanto

α= α ₁ + α ₂ = ½ de la suma de los arcos AC Y CB = ½ del arco AB.
Caso 3.
El centro de la circunferencia queda fuera del área que comprende el ángulo inscrito.


Sean α = Ð APB. Tracemos el diámetro que tiene como uno de sus extremos a P y llamémosle C al otro extremo.
Sean α₁ = Ð APC y α₂ = Ð = BPC. Y por el caso 1 se sigue que
α = α₁ - α₂ = ½ (arco AC- arco BC)= ½ arco AB.
Otra manera de presentar el teorema fundamental de los ángulos inscritos es : todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del ángulo central correspondiente.
Como consecuencias inmediatas tenemos los siguientes resultados.
Corolario 5.1.2 Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia, subtendida por el diámetro , es recto.

Corolario 5.1.3 Dos ángulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen una misma cuerda, son iguales si sus vértices están del mismo lado de la cuerda; y son suplementarios si sus vértices están en lados opuestos respecto de la cuerda.
Demostración. Sean A, B ,P ,P´ y Q como en la figura, es decir P y P´ están del mismo lado de la cuerda AB y los puntos P y Q están en lados distintos.

Por el teorema (5.1.1) sabemos que ÐAPB = ½ del arco AQB = Ð AP´B, así vemos que si los vértices del ángulo están del mismo lado de la cuerda, ellos son iguales. Por otro lado tenemos que ÐAQB = ½ del arco APB, luego
ÐAPB + ÐAQB = ½ del arco + ½ del arco AQB APB = ½ 360°= 180°.
Concluimos que si los vértices están en lados opuestos respecto de la cuerda, entonces los ángulos son suplementarios.
Hay que notar que este corolario lo podemos escribir de la siguiente manera: si A, B, P y Q son puntos de una circunferencia, entonces
1. Q ∈ arco APB ⇒Ð APB = ÐAQB
2. Q ∉ arco APB⇒ ÐAPB + ÐAQB = 180°
Esto nos da una idea más clara del recíproco de tal corolario, también llamado condición suficiente de conciclicidad de cuatro puntos.
Corolario 5.1.4 Sean A, B, P, Q cuatro puntos en el plano, cada tres de ellos no colineales. Si los puntos P y Q están en el mismo semiplano que determina la recta AB y desde ella se ve el segmento AB bajo ángulos iguales.

O bien, si los puntos P y Q están en distintos semiplanos que determina la recta AB y desde ellos se ve el segmento AB bajo ángulos suplementarios.

Entonces los puntos A,B, P y Q son concíclicos
Demostración.
Caso 1.
Sean A, B, P y Q puntos en el plano. Supongamos que P y Q están del mismo lado con la recta que pasa por A y B.
Tracemos la circunferencia C que pasa por los puntos A, B y . Supongamos que Q no está sobre la misma circunferencia C. Llamémosle l a la recta que pasa por los puntos A y Q. Sea Q´ el punto de intersección de la recta l con la circunferencia C, que no es A.
Sean l₁ y l₂ las rectas que pasan por Q´ y B y por Q y B, respectivamente. Tales rectas l₁ y l₂ son distintas puesto que Q no está en C y por lo tanto Q y Q´ son distintos.
Sean α= Ð APB, β= ÐAQB y γ = ÐAQ´B. Por hipótesis, y por el corolario (5.1.3).α= γ.Se sigue que α=β=γ
De esta forma tenemos un sistema de dos rectas l₁ y l₂ cortadas por la secante l con un par de ángulos correspondientes γ y β iguales. Así l₁ y l₂ son paralelas. Lo cual es una contradicción pues l₁ y l₂ son distintas y se cortan en el punto B.
Por lo tanto Q está en C.

Caso 2.
Sean A, B, P y Q cuatro puntos en el plano. Supongamos que P y Q están en lados opuestos con respecto de la recta que pasa por A y B.

Sea C la circunferencia determinada por los puntos A, B y P. Supongamos que Q no está en C. Sea l la recta que pasa por los puntos A y Q, y llamémosle Q´ al punto de intersección de l con C que no sea A. Sean l ₁ y ₂l las rectas que pasan por B y Q´ respectivamente, y por B y Q respectivamente.
Como Q no está en C tenemos que l₁ y l₂ son distintas.
Sean α= ÐAPB , β= ÐAQB, γ= Ð AQ´B. Por hipótesis sabemos que β = 180°- α . Y como A, B, P y Q´ están en distintos lados de la cuerda AB, entonces por el corolario (5.1.3) α + γ = 180°Por lo tanto γ = 180°- α . Se sigue que γ= β.
Así tenemos el sistema de rectas l ₁ y l ₂ cortadas por la secante l, con par de ángulos correspondientes γ y β iguales. Por lo tanto l ₁ y l ₂ son paralelas, lo cual es una contradicción, pues l ₁ y l ₂ son distintas y se cortan en el punto B.
Podemos concluir que Q∈ C.

En el capitulo anterior vimos que dados tres puntos no colineales, existe una única circunferencia que pasa por ellos. Pero en el caso de tener cuatro puntos no colineales no ocurre lo mimo, pues por ellos pasará una única circunferencia o ninguna.
Definición 5.1.3 Se dice que un polígono es inscriptible, si es cíclico, es decir, que todos sus vértices son concíclicos.

Para el caso de cuadriláteros convexos tenemos propiedades que los relacionan con las circunferencias. Podríamos preguntarnos, por ejemplo, ¿cúando los vértices de un cuadrilátero pertenecen a una misma circunferencia ?, o en otras palabras ¿cuándo un cuadrilátero es cíclico? El siguiente corolario responde esta pregunta para el caso de aquellos que son convexos.

Corolario 5.1.5
Un cuadrilátero convexo es inscriptible si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios.
Demostración. Bastará verificar la proposición para una sola de las parejas de ángulos, en vista de que la suma de los cuatro ángulos es constante igual a 360°.
Supongamos primero que ABCD es un cuadrilátero convexo inscriptible en donde α= ÐBAC y β = ÐBDC.

Como A, B, C y D son concíclicos y A y D están en lados opuestos de la cuerda CB, por el corolario (5.1.3) ÐBAD + ÐDCB = 180°.
Supongamos ahora que ABCD es un cuadrilátero convexo con ángulos opuestos suplementarios. Sean α= BAC y = αBDC.
Así ÐABC + ÐADC = 180°.

Usando la condición suficiente de conciclicidad de cuatro puntos, enunciada en el corolario (5.1.4), A,B,C y D están sobre una misma circunferencia. Se sigue que el cuadrilátero ABCD es inscriptible.

Ejercicio 5.1.1 Sean A, B, C Y D cuatro puntos concíclicos y P el punto de intersección de las rectas AB y CD , demostrar que PA × PB = PC × PD.
Solución. Tenemos dos casos dependiendo del orden en que se encuentren los puntos en la circunferencia. Uno de ellos es cuando el punto P es un punto interior a la circunferencia, el otro caso es cuando es exterior.

Consideremos el primer caso, en el que P está dentro de la circunferencia.

Como los ángulos ÐCAB y ÐCDB abrazan a la misma cuerda CB ellos son iguales. Además ÐAPC = ÐDPB por ser opuestos por el vértice, así
ΔAPC ∼ Δ DPB.
Por lo tanto
Luego
PA×PB = PC×PD
Consideremos ahora el caso en que P está fuera de la circunferencia

Como los ángulos ÐPAC y ÐPDB son iguales al abrazar el mismo arco BC, entonces
ΔAPC ∼ ΔDPB.
Por lo tanto
Podemos concluir que
PB ×PA = PC × PD .

Este Ejercicio nos muestra que, dado un punto P cualquiera y una recta que pase por el punto y corte a una circunferencia en los puntos X y Y, la cantidad PX × PY permanece constante, no importando cuales sean los puntos de intersección. A tal cantidad le llamaremos la potencia de un punto P con respecto a la relación dada.
Definición 5.1.4 Un ángulo semi-inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, unos de sus lados es tangente y el otro es secante.

Teorema 5.1.6 La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
Demostración. La demostración se hará por casos de manera semejante a como se procedió en el teorema (5.1.1).
Caso 1.
Supongamos que el centro O de una circunferencia está sobre uno de los lados del ángulo ÐBAC, a saber sobre la secante AC, O ∈ AC (es decir, estando O sobre la línea AC).

Entonces AC es el diámetro de la circunferencia y así ÐBAC = 90° = ½ del Arco AC.

Caso 2.Supongamos que el centro 0 de una circunferencia está entre los lados del ángulo.
Tracemos el diámetro que tiene como un extremo al vértice A del ángulo semi-inscrito Ð BAC. Sea D el otro extremo y sean α= ÐBAC, β= ÐBAD y γ= ÐDAC.


Por el caso 1 α , = ½ del arco AD. Y como es un ángulo inscrito que abraza al arco DC, entonces γ = ½ del arco DC. Así.

α = β + γ= ½ del arco AD + ½ del arco CD = ½ del arco ADC.

Caso 3.
Supongamos que el centro O de una circunferencia no está entre los lados del ángulo semi-inscrito Ð BAC. Tracemos el diámetro AD, sean α= ÐBAC, β = ÐBAD y γ= ÐCAD.

Por el caso 1, β= 90° = ½ del arco AD. Y como es un ángulo inscrito que abraza el arco CD entonces γ = ½ del arco CD. Por lo tanto

α =β - γ =½ del arco AD - ½ del arco CD = ½ del arco AC.