14 Teoremas de Ceva y Menéalo

14.1 Concurrencia y colinealidad. Muchas de las propiedades importantes de las figuras geométricas, dependen de la concurrencia de líneas y de la colinealidad de puntos . Dos teoremas, elegantes por su poder y simplicidad, que son útiles en el establecimiento de tales propiedades, se darán en este capitulo. Uno debe su nombre a un trabajo escrito por Menéalo de Alejandría cerca del final del primer siglo D.C. El otro fue publicado por el matemático italiano Ceva en 1678.
Cada uno de estos teoremas se refiere a puntos en los lados de un triángulo, vistos los lados como líneas completas determinadas por pares de vértices del triángulo.
14.2 Teorema de Ceva.
Si tres líneas AO,BO y CO, dibujadas por los vértices de un triángulo ABC y un punto O de su plano, cortan los lados opuestos en L,M y N respectivamente, entoncese inversamente , si L, M y N son puntos en los lados BC, CA y AB del triángulo del triángulo ABC para los cuales se cumple la relación anterior, entonces AL, BM y CN son concurrentes.
Hagamos que BM y CN intersequen la paralela a BC que pasa por A , en R y S respectivamente. Entonces por triángulos semejantes tenemos
Multiplicando En estas ecuaciones obtenemos

Para probar el inverso, hacemos que BM y CN se intersecten y en O y hagamos que AO corte a BC en L´ entonces tenemos
Pero también
De lo cual se sigue que
Entonces L coincide con L´ es decir AL pasa por O, la intersección de BM y CN.
14.3 Forma trigonométrica del teorema de Ceva.
Teorema : Si la hipótesis del teorema de Ceva se satisface, entonces

E inversamente , si L , M y N son puntos de los lados BC, CA y AB, respectivamente del triángulo ABC, para el cual vale la relación anterior, entonces AL, BM y CN , son concurrentes

Luego

y
Multiplicando y observando que el producto de la izquierda es igual a la unidad, obtenemos la relación deseada.
Para el inverso, los pasos en la prueba anterior, pueden ser hechos en el orden inverso, llegando a la relación

De lo cual se sigue que AL, BM y CN son concurrentes.
14.4 Teorema de Menealo
Teorema. Si una línea recta interseca a los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en los puntos L,M y N respectivamente entonces
E inversamente , si L,M y N , son puntos de los lados BC, CA y AB del triángulo ABC para el cual vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Sean AP, BQ y CR las perpendiculares de A, B y C respectivamente a la línea LMN
Entonces por triángulos semejantes
Multiplicando, tenemos

El inverso puede ser probado haciendo que MN corte a BC en L´ y luego mostrando como se hizo en la sección 3.2 que L coincide con L´.
14.5 Forma trigonométrica del Teorema de Menelao.Teorema : Si la hipótesis del Teorema de Menéalo se satisface, entonces
E inversamente si L,M Y N son puntos en los lados BC, CA y AB respectivamente, del triángulo ABC, para los cuales vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Las pruebas son tan parecidas a las de la forma trigonométrica de Ceva que no se darán aquí . El lector deberá hacer ambas pruebas .
14. 6 Teorema de división interna y externa.
Teorema : Si L, M y N son puntos cualesquiera en los lados BC, CA y AB del triángulo ABC, tales que AL, BM y CN son concurrentes, y si la línea MN interseca a BC en L´, entonces los puntos L y L´ dividen el segmento BC interna y externamente en la misma razón.
Ya que AL, BM y CN son concurrentes, tenemos por el teorema de Ceva

Y puesto que L´, M y N son colineales, por el teorema de Menéalo

De lo que obtenemos

De aquí se ve que L y L´ dividen a BC interna y externamente en la misma razón.
En la fig.17 los tres puntos B, L y C están dados; el punto L´ esta determinado de manera única , ya que hay un solo punto que divide el segmento externamente en la misma razón numérica en la que un punto dado divide el segmento internamente. Así podemos concluir lo siguiente:
Sean B, L y C tres puntos fijos en una línea. Si A es un punto cualquiera fuera de esta línea, y M y N son puntos cualesquiera en los lados CA y AB del triángulo ABC de tal forma que AL, BM y CN sean concurrentes, entonces la línea MN intersecará la línea BC en un punto fijo.

14.7 Figuras en perspectiva. Se dice que dos figuras están en perspectiva , si todas las líneas que unen puntos correspondientes de las dos figuras son concurrentes. El punto por el cual pasan estas líneas es llamado centro de perspectiva.
Las figuras homotéticas están en perspectiva , pero las figuras en perspectiva, no necesariamente son Homotéticas, puesto que líneas correspondientes de figuras no son paralelas en general.

14.8 Teorema de Desargues.

Teorema: Si dos triángulos están en perspectiva, los puntos de intersección de lados correspondientes son colíneales; e inversamente, si los puntos de intersección de lados correspondientes de dos triángulos son colíneales, los triángulos están en perspectiva.
Sean los triángulos ABC y A´B´C´ en perspectiva, con O como centro de perspectiva, y hagamos que AB y A´B´ se corten en P, BC y B´C´ en Q y CA y C´A´ en R. Si aplicamos el teorema de Menéalo al triángulo ABO con B´A´P como transversal, obtenemos

Análogamente, del triángulo BCO, con B´C´Q como transversal , se sigue que

Y del triángulo CAO con A´C´R como transversal que


El producto de estas tres ecuaciones nos da
Que demuestra que P, Q y R son colineales. Ahora, sean dados P, Q y R colineales.
Ahora sean dados, P, Q y R colineales, y consideremos los triángulos AA´R y BB´Q. Estos triángulos están en perspectiva con P como centro de perspectiva. Más aún O, C y C´ son los puntos de intersección de sus pares de lados correspondientes. Entonces estos tres puntos son colineales; es decir, la línea CC´ pasa por el punto de intersección d AA´ y BB´ .Esto establece el inverso.
La línea en que están P, Q y R es el eje de perspectiva de los triángulos ABC y A´B´C´.

14.9 Importancia el teorema de Desargues. Las propiedades de las figuras geométricas pueden ser clasificadas como métricas y proyectivas. Expresado toscamente, aquellas propiedades que están necesariamente relacionadas, ya sea directa o implícitamente en la noción, a la noción de medida, son propiedades métricas, mientras que aquellas que están esencialmente desconectadas e la medida son propiedades proyectivas. Ejemplos de las primeras son; la igualdad de segmentos de línea ,la semejanza de triángulos, el antiparalelismo de líneas y como ejemplo de las últimas son la concurrencia de líneas y la colinealidad de puntos .La geometría proyectiva es un estudio de las propiedades proyectivas de una configuración .

Lo establecido por el teorema de Desargues , implica sólo propiedades proyectivas de las figuras a las que se aplica. Y como esto está tan relacionado con las ideas de concurrencia y colinealidad, y tales ideas son básicas en la geometría proyectiva , este teorema es uno de los más importantes en este campo. De hecho algunas veces se le toma como el teorema fundamental de la geometría proyectiva.
Es de notarse que, aunque la demostración dada tiene de carácter métrico, es posible dar una demostración que sea completamente de carácter no métrico. Tal demostración es deseable para el desarrollo de la geometría proyectiva, pero desde nuestro punto de vista es interesante ver como se puede demostrar este teorema, tan importante basándose en el Teorema de Menéalo.

13 Semejanza

13.1 Polígonos semejantes. Dos polígonos con el mismo número de lados son semejantes , si sus lados correspondientes son proporcionales, y sus ángulos correspondientes son iguales. La correspondencia aquí mencionada es biunívoca, y es de tal forma que a cada par de lados consecutivos, en un polígono, y el ángulo entre ellos, corresponde un par de lados consecutivos y el ángulo incluidos entre ellos en el otro.
Estos dos polígonos se dice que son directamente semejantes o inversamente semejantes según que las partes correspondientes estén colocadas en el mismo orden o en el inverso.
Se prueba en geometría elemental que cuando los polígonos son triángulos la igualdad de sus ángulos se concluye de la proporcionalidad de sus lados; y la proporcionalidad de sus lados se concluye de la igualdad de sus ángulos.
13.2 Figuras homotéticas. Si unimos los vértices de un polígono a un punto O del plano, y a cada una de estas líneas de unión las dividimos en la misma razón , los puntos de división son los vértices de un polígono semejante. Más generalmente, consideramos cualquier figura plana, que consiste en los sistemas de puntos A,B, C... y sean las líneas OA, OB, OC,... las que unen estos puntos a cualquier punto O del plano. Si A´,B´,C´,...son puntos de estas líneas respectivamente y si existe un número k tal que

entonces la figura formada por los puntos A´, B´, C´,... es semejante a la figura dada, y está semejantemente colocada. Se sigue inmediatamente que, si tres o más puntos de una figura dada están en línea recta, los puntos correspondientes de la segunda figura están también en una línea recta y estas dos líneas son paralelas.
Dos figuras semejantes colocadas semejantemente, se llaman figuras homotéticas. El punto O es su centro de homotecia y la constante k es su razón de homotecia. La razón homotética de dos figuras homotéticas es también llamada razón de similitud, y su centro de homotecia es llamado centro de similitud.
13.3 Simetría con respecto a un punto. La razón de similitud puede ser positiva negativa. Un caso importante y especial de esto último, es aquel en el cual tiene el valor-1. Las dos figuras se dice que son simétricas. Así , si la circunferencia de un círculo esta dividida en dos medias circunferencias por cualquier par de puntos diametralmente opuestos, estas dos medias circunferencias son simétricas con respecto al centro del círculo como centro de simetría. Algunas veces mencionamos este hecho, diciendo que un círculo es simétrico con respecto a su centro. El cuadrado, el rectángulo y el rombo, son cada uno simétrico con respecto a su centro.

13.4 Líneas antiparaleas. Si dos pares de líneas están en tal forma que la bisectriz del ángulo formado por el primer par, es transversal al segundo par y los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son iguales, las líneas del segundo par son antiparalelas la una a la otra, con respecto a las líneas del primer par. En la fig.9, las líneas c y d forman ángulos iguales α y β con l como bisectriz del ángulo formado por las líneas a y b. Entonces c y d son antiparalelas con respecto a a y b.
Si una de las dos antiparalelas es girada 180° alrededor de la bisectriz l. Queda paralela a la otra. Esta es la propiedad que sugiere el uso del termino antiparalelo.
Puesto que las líneas, c , d y l, determinan un triángulo isósceles, se sigue que la bisectriz de uno de los ángulos formados por c y d es perpendicular a l y que esta bisectriz y las líneas , a y b, también determinan un triángulo isósceles. Por lo que tenemos

Teorema : Si dos pares de líneas están colocadas de tal forma que las líneas del prime par son antiparalelas con respecto a las líneas del segundo par, entonces las líneas del segundo par son antiparalelas con respecto al primero.
Ejemplo (a) En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa y uno de los lados perpendiculares son antiparalelos con respecto a los otros dos lados del triángulo.
(b) Los lados no paralelos de un trapecio son antiparalelos con respecto a los lados paralelos.
(c) Dos líneas paralelas son antiparalelas con respecto a otras dos, si las primeras son perpendiculares a la bisectriz de uno de los ángulos del ángulo formado por las otras dos. En particular, en un rectángulo, cada par de lados opuestos es antiparalelo con respecto a los otros dos lados. Así también las bases de un trapecio son antiparaleas con respecto a los lados no paralelos.

13.5 Cuadriláteros cíclicos. Si un conjunto de puntos están todos en la misma circunferencia, se dice que estos puntos son concíclicos. Un cuadrilátero cuyos vértices son concíclicos, es llamado un cuadrilátero cíclico.
Se prueba fácilmente que cuando los dos pares de líneas de la Fig. 9 , se intersecan en cuatro puntos distintos y forman un cuadrilátero convexo, sus ángulos opuestos son suplementarios; si forman un cuadrilátero cruzado, estos ángulos son iguales en magnitud. Así en cada caso los cuatro puntos son concíclicos y en el cuadrilátero que determinan es un cuadrilátero cíclico.

Teorema: Si dos líneas que son antiparalelas con respecto a otras dos , cortan a estas últimas en cuatro puntos distintos, estos cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero cíclico; e inversamente , cada par de lados opuestos en un cuadrilátero cíclico, es antiparalelo con respecto al otro par.

13.6 Teoremas de Ptolomeo. Un famoso teorema de cuadriláteros cíclicos es el debido a Ptolomeo (150 d.c ) y usado por él en El Almagest, es el siguiente:
Teorema: El producto de as diagonales de un cuadrilátero cíclico, es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

En la Fig. 10, dibujamos la línea AE, formando el ángulo DAE igual al ángulo CAB y hagámosla intersecar DB en E. Entonces , puesto que los triángulos DAE y CAB son semejantes, se infiere por la proporcionalidad de sus lados que AD × BC = ED × AC. Y de los triángulos semejantes ADC y AEB, tenemos también AB × CD = BE × AC. Sumando estas ecuaciones y señalando que BE + ED = BD, tenemos AD × BC + AB × CD = AC × BD .
El inverso de este teorema es verdad. Su prueba se sugiere al estudiante como un ejercicio.

13.7 Circunferencias homotéticas. Si dos circunferencias son concéntricas , evidentemente son homotéticas, siendo el centro de las circunferencias el centro de homotecia y la razón de sus radios la razón de homotecia.
Consideremos dos circunferencias no concéntricas. Unamos el centro O de una de ellas a cualquier punto A de la circunferencia, no colineal con los centros. Dibujemos el diámetro de la otra circunferencia paralela a OA cortando la circunferencia en A’ y A’’. Hagamos Que AA´ y AA´´ corten a la línea de los centros en H y K respectivamente . Entonces el triángulo OAH es similar al triángulo O’A’H’ , y el triángulo OAK es similar al triángulo OÁ´´K. De esto se sigue que las dos circunferencias son homotéticas en dos formas, siendo los puntos H y K los centros de homotecia. Más aún, H y K dividen el segmento OO´ interna y externamente en la razón de los radios de las circunferencias.
Puede ser probado fácilmente que si las circunferencias tienen tangentes externas comunes ,ellas se encuentran en el punto K de la línea de los centros, y que si tienen tangentes internas comunes , ellas se cortan en el punto H. De lo cual tenemos el:
Teorema: Si dos circunferencias tienen tangentes externas comunes, estas tangentes pasan por uno de sus centros de homotecia, y si tienen tangentes internas, éstas pasan por el otro centro de homotecia.

13.8 Puntos homólogos y antihomólogos. Si una línea que pasa por un centro de similitud de dos circunferencias no concéntricas , interseca una de ellas en dos punto distintos , intersectará también la otra en dos puntos distintos . Estos cuatro puntos de intersección son homotéticos en pares, y los dos puntos de cada par homotético, son llamados puntos homólogos . Pero pueden ser apareados de tal forma que cada par contenga un punto en cada circunferencia , y no sean homotéticos. Los puntos de estos pares se dice que son puntos antihomólogos con respecto al centro de similitud que está en la línea que pasa por estos puntos. Así en la Fig 12, AA´ ,y BB´ , son pares homólogos , mientras que A,B´ y A´B son pares de puntos antihomólogos con respecto al centro de homotecia K.
13.9 Propiedades de los puntos homólogos y antihomólogos . En la Fig. 12, A´, B y C´D son pares de puntos antihomólogos con respecto al mismo centro de similitud y están en distintas líneas que pasan por dicho centro. Así también A,A´, B,B´, C,C´, D,D´, son pares homólogos. Algunas propiedades referentes a estos puntos son las siguientes:

(1) B´D´ es paralela a BD , y los triángulos KB´D´, y KBD son directamente similares.
(2) A´C´ es antiparalela a BD con respecto a A´B y C´D, y los triángulos KA´C´y KDB son inversamente semejantes. Esto por ser el ángulo CÁ´B´ suplemento del ángulo B´D´C´ y por lo tanto del BDC, e inferimos que el cuadrilátero A´C´DB es cíclico. (Sección 2.5)
(3) El producto de los segmentos KA´y KB ,es constante. Esto se ve en la semejanza de los triángulos KA´C´y KDB.
(4) Cada uno de los conjuntos de puntos A´C´,D,B y A,C,D´,B´ es concíclico.
(5) Tangentes a las circunferencias en A´y B forman ángulos iguales con la línea A´B. Si estas tangentes se intersecan en E el triángulo EA´B es isósceles.
13.10 Circunferencia de similitud. La circunferencia de similitud de dos circunferencias no concéntricas, es la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une sus centros de similitud.
Teorema: La circunferencia de similitud de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos (1 ) tales que las razones de sus distancias a los centros de las circunferencias don iguales a las razones entre los radios; y (2) desde los cuales las dos circunferencias subtienden ángulos iguales.

Consideremos primero dos circunferencias desiguales y sea P (Fig .13) un punto tal que PO : PO´ = r : r´ , donde r y r´ son los radios de las circunferencias O y O´, de los cuales H y K son los centros de similitud. Entonces ya que OH : HO´= r: r´PH es la biectriz del ángulo interior en P del triángulo OPO´. Asimismo, PK es la bisectriz del ángulo exterior en P del mismo triángulo. Entonces PH y PK son perpendiculares, y P está en la circunferencia de similitud.

Inversamente, supongamos que P está en la circunferencia de similitud. En la línea de los centros tomemos O´´ tal que PH biseque al ángulo O´PO´´. Entonces puesto que PH y PK son perpendiculares y que bisecan los ángulos interior y exterior en P del triángulo O´´PO´, tenemos

Y O´´ coincide con O. Se sigue que PO: PO´ = r : r´.
Si se trazan las tangentes de P a las circunferencias dadas, y en cada circunferencia el punto de tangencia es unido al centro de la circunferencia, se obtienen triángulos rectángulos similares de lo cual es consecuencia directa la según aparte del teorema.
Si dos circunferencias son iguales , su circunferencia de similitud degenera en la mediatriz del segmento que une sus centros y la línea a infinito.
13.11 Círculo de Apolonio.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos cuyas razones de distancias a dos puntos fijos es una constante, es un círculo, el círculo de Apolonio.
Sean los puntos fijos O y O´ y la razón de sus distancias a P sea r:r´. Construyamos circunferencias con centros n O y O´ cuyos radios tengan la razón r:r´. Luego por la sección inmediata anterior, el lugar geométrico de los puntos P es la circunferencia de similitud.
13.12 Construcciones basadas en la similitud. Muchas construcciones geométricas pueden basarse directamente en la teoría de la similitud. Como un ejemplo resolvamos el problema: inscribir un cuadrado en un triángulo dado.

En la línea del lado AC del triángulo dado ABC, tomamos un segmento arbitrario PS y sobre este segmento como lado construimos el cuadrado PQRS que está en el mismo lado de AC que el triángulo dado. Por P Q y R dibujamos paralelas a AB y BC respectivamente, que determinan con línea AC el triángulo A´B´C´. Fijamos el punto Q´que divide a AB en la misma razón que Q divide a A´B´ , y por Q´dibujamos líneas perpendicular y paralela a AC, que cortan a AC y BC en P´y R´respectivamente. Dibujamos R´S´ perpendicular a AC y que la corta en S´. Así , P´Q´R´S´es el cuadrado buscado, lo cual se demuestra fácilmente.

Introducción

Segmentos lineales dirigidos. La inclusión de los números negativos significó un adelanto notable en el sistema de los números del álgebra. Trajo consigo avances mayores de los que pudieron prever aquellos que tomaron parte en realizarlo.


Si en una línea recta (fig 1) tomamos dos puntos distintos A y B, ellos nos determinaran un segmento de línea. En geometría elemental nos referimos a este segmento como el segmento AB y usualmente estamos interesados nada más en su longitud. Podemos, sin embargo, asociar a la idea de este segmento , la idea de dirección. Así si la porción de línea entre estos dos puntos la imaginamos extendida de A y B, tenemos el segmento dirigido AB. Las magnitudes de los segmentos dirigidos AB y BA son las mismas, pero sus direcciones son opuestas. Esta diferencia en direcciones es análoga a la diferencia en signos de los números algebraicos y es convenientemente indicada por medio de tales signos.

En lo sucesivo, cuando hablemos de un segmento de línea, se entenderá un segmento dirigido, a menos que claramente se considere el segmento de línea no dirigido.

Relaciones entre segmentos líneales dirigidos. Los segmentos dirigidos AB y BA son, como se ha señalado anteriormente, iguales en magnitud, pero opuestos en dirección. Estos hechos están indicados en la ecuación
AB = -BA
O por la ecuación equivalente
AB +BA = 0
Si A, B y C son tres puntos diferentes en una línea recta,
AB + BC +CA = 0.
En el caso de que los puntos A y B coincidan, podemos considerar como si ellos determinaran un segmento AB de longitud 0. Todas las relaciones de esta sección son válidas cuando, debido a estas coincidencias alguno o todos los segmentos incluidos tienen longitud cero. Extensiones obvias de las relaciones anteriores son posibles cuando se consideran más de tres puntos en la línea recta.
Si A, B, C y D son cuatro puntos cualesquiera en una línea y consideramos los segmentos que determinan, tenemos la útil identidad siguiente, conocida como el teorema de Euler.
AB × CD + AC × DB + AD × BC = 0.
Esto se prueba haciendo notar que el miembro de la izquierda puede ser puesto en la Forma
(DB-DA) CD + (DC- DA) DB + (DC-DB)AD,
cuyo desarrollo y simplificación muestra cómo se anula.
La razón de la partición d un segmento de línea. Si P es un punto cualquiera en la línea AB (A distinto de B) ya sea entre A y B o externo al segmento AB, se dice que divide al segmento AB en la razón AP : PB. Si P está entre A y B divide al segmento internamente y la razón y la razón de partición es positiva; si está fuera del segmento AB divide al segmento externamente, y la razón de partición es negativa. Así en la Fig.2 los puntos P y Q dividen a AB interna y externamente en las razones AP: PB y AQ: QB respectivamente. Si P coincide con A o B, el segmento no esta propiamente dividido por P. Puede decirse entones que lo divide impropiamente, la razón de partición es cero o infinito según P coincida con A o con B. Puede hacerse una discusión para tratar el poco frecuente, pero importante caso en el cual el segmento tiene longitud cero.

Cuando cuatro puntos A, B, P y Q están situados de tal manera que P y Q dividen a AB interna y externamente en razones numéricas iguales, esto es:
AP: PB =- AQ: QB.
Entonces se dice que P y Q dividen al segmento AB interna y externamente en la misma razón.

Es fácil demostrar que si dos puntos dividen a un segmento de línea en razones iguales, los dos puntos coinciden.
Ángulos dirigidos. Es conveniente asociar la idea de dirección no sólo con los segmentos de línea sino también con los ángulos. El ángulo formado por las líneas OA y OB (Fig 3) puede ser generado por una línea en movimiento que gira con eje en O de la posición OA a la posición OB en el sentido opuesto al avance de las manecillas del reloj, o puede ser generado por rotación en el mismo eje de la posición OB a la posición OA en el sentido del avance de las manecillas del reloj. Si en cada una de estas rotaciones la misma porción de plano es barrida por la línea en movimiento los ángulos así generados son iguales, pero opuestos en signo. Cuando la rotación es en sentido contrario a las manecillas , el signo del ángulo resultante es, por convención considerado como positivo; y cuando la rotación es en el sentido de las manecillas, el signo del ángulo es negativo. De los dos ángulos descritos arriba, el positivo es designado ángulo AOB y el negativo como el ángulo BOA.

Podemos notar (Fig.3) que hay un ángulo positivo BOA así como un ángulo negativo BOA, a saber , la rotación de OB alrededor de O, en el sentido opuesto al de las manecillas que lleva a OB a coincidir con OA.

Podemos notar (Fig.3) que hay un ángulo positivo BOA así como un ángulo negativo BOA, a saber , la rotación de OB alrededor de O, en el sentido opuesto al de las manecillas que lleva a OB a coincidir con OA.
Con relación a su utilidad es frecuentemente ventajoso considerar el ángulo positivo AOB como la rotación de la línea completa OA alrededor de O, en sentido opuesto al de las manecillas, que por primera vez la lleva a coincidir con la línea completa OB (Figs 4a, b, c).

La utilidad de esta definición esta en parte en el hecho de que sirve para quitar ambigüedades. Por ejemplo, la muy conocida afirmación: si los lados de dos ángulos son paralelos respectivamente son iguales o suplementarios; es con esta convención: si los lados de dos ángulos son paralelos respectivamente los ángulos son iguales. Así , si en una prueba se asegura que dos ángulos son iguales porque son respectivamente paralelos, se entenderá que se refiere a ángulos dirigidos en el sentido explicado anteriormente. El estudiante deberá dibujar varias figuras para ilustrarse.
Se tiene también que tal definición identifica situaciones que en otros casos serían consideradas distintas, como esencialmente iguales. Como un ejemplo de esto, vemos que si usamos ángulos no dirigidos, la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos P, P´, A y B estén en una circunferencia estando P y P´ del mismo lado de la línea AB; es que el ángulo APB sea igual al ángulo AP´B (Fig.5) .Pero si P y P´ están en lados opuestos de AB, esta condición es que el ángulo APB sea el suplemento del ángulo AP´B. Cuando se usan ángulos dirigidos en la forma explicada anteriormente, las dos situaciones no son esencialmente diferentes y el resultado puede ser enunciado en la forma: la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos P, P´, A y B estén en una circunferencia es que los ángulos APB y AP´B sean iguales.

En las pruebas de algunos teoremas, se encuentran varios casos a los cuales hay que darles un tratamiento por separado si los ángulos incluidos son considerados como no dirigidos. Considerando ángulos dirigidos estos casos por separado, que aparentemente pueden parecer fundamente diferentes, se encuentra que son aspectos similares de uno y que pueden ser tratados juntos.

Será necesario el criterio del lector para determinar cuándo debe considerare un ángulo como dirigido o no, en alguno de los sentidos explicados anteriormente. Pero esto generalmente no es más difícil o incierto que cuando se debe decidir si el termino línea significa una línea curva o una línea recta, y si es una línea recta, cuándo es completa y cuándo es un segmento.

Una generalización importante. En geometría elemental encontramos el siguiente

Teoema: La bisectriz de un ángulo en un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos cuya razón es la misma a la de los lados adyacentes del ángulo.

En algunos de los desarrollos subsecuentes haremos uso de lo siguiente, que es una generalización del teorema antes mencionado.
Teorema. Si el vértice A del triángulo ABC es unido a cualquier punto L en la línea BC, entonces

Esto puede ser probado aplicando la ley de los senos a los triángulos ABL, ALC (recordando en la Fig. 6a que, sen ALB= sen CLA). El estudiante deberá probarlo tomando especial cuidado en los signos algebraicos usados en los dos casos.



Correspondencia uno a uno (biunívoca). La idea de correspondencia biunívoca es fundamental en toda la estructura de las matemáticas. Para presentar esto, consideremos dos clases o conjuntos de objetos de cualquier tipo. Estos conjuntos se dice que están en correspondencia biunívoca cuando a cada objeto de un conjunto corresponde uno y sólo un objeto del otro conjunto. Esto implica un apareamiento de los dos conjuntos. Es indiferente como se realiza este apareamiento, siempre que dos objetos que pertenecen al mismo par sean tomados uno de cada conjunto, y cada objeto sea usado una vez y solo una.

Ejemplos. (a) Los vértices de un triángulo y sus lados pueden ser puestos en correspondencia biunívoca, apareando cada vértice con su lado opuesto.
(b)Si dos polígonos tienen el mismo número de lados, sus lados así como sus ángulos, pueden ser puestos en correspondencia biunívoca. Esta correspondencia es de importancia en el estudio de la similaridad de los polígonos y la usaremos en el siguiente capitulo.
(c)El conjunto de todas las líneas que pasan por O (fig.7) contenidas en el ángulo agudo AOB pueden ser puestas en correspondencia biunívoca con todos los puntos del segmento de línea AB que están entre A y B. Una manera en que esto puede ser realizado es asociar cada línea con el punto en que corta en AB.



Puntos al infinito. Consideremos (Fig.8 ) una línea AB y un punto O fuera de ella. Cualquier línea no paralela a AB y que pasa por O interseca a AB en un punto P y si esta línea gira con centro en O, el punto P se mueve a lo largo de AB. Más aún, cada punto de AB está determinado como la intersección de AB con una línea que pasa por O. Si el punto P de la línea AB es apareado con la línea OP se establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de AB y las líneas que pasan por O, con la sola excepción de la línea que pasa por O y es paralela a AB.De acuerdo con la definición euclidiana estaos acostumbrados a considerar dos líneas paralelas como aquellas que no tienen ningún punto en común. Aunque este punto de vista puede ser más satisfactorio a nuestra intuición es lógicamente permisible y aun deseables, asociar la línea AB con un


punto ideal llamado punto al infinito, en AB, el cual tiene la propiedad de que la línea que pasa por O es paralela a AB, interseca con AB en este punto ideal. Si esto se realiza, la excepción antes mencionada desaparece, y podemos decir que cualquier línea del plano que pasa por O, interseca a la línea AB. Uno de los puntos de intersección es el punto al infinito en AB. Todos los puntos que restan son los puntos reales de la línea AB.
Se sigue que hay, en cada conjunto de líneas paralelas en el plano, uno y el mismo punto al infinito. Esto sugiere que el punto al infinito en una línea es lógicamente un equivalente de la dirección de esta línea. Ya que hay infinitud de direcciones en el plano, hay infinidad de puntos de puntos al infinito en el plano. El lugar geométrico de todos estos puntos al infinito, tiene la propiedad de ser intersecado por una línea recta arbitraria en uno y sólo un punto. Entonces este lugar geométrico queda definido como una recta ideal, la línea al infinito.
Volviendo al punto O y la línea AB, podemos ahora establecer una correspondencia biunívoca entre todas las líneas del plano que pasan por O y todos los puntos de AB, apareando cada línea con el punto en el cual intercepta AB. Inherente al perfeccionamiento de esta correspondencia es la utilidad de la noción de los puntos ideales y la línea ideal que han sido agregados a los puntos y líneas usuales del plano.
1.8 Hileras y haces. Puntos que están en la misma línea recta se dice que son colineales. Si ciertos puntos son colineales constituyen una hilera de puntos. La línea en la cual están situados es la base de la hilera.
Líneas que pasan a través de un mismo punto se dic que son concurrentes. Si un cierto número de líneas son concurrentes, constituyen un haz de líneas. Las líneas individuales del haz son frecuentemente llamados rayos, y el punto a través del cual pasan estas líneas es el centro o vértice del haz.
Un haz de líneas puede consistir en un conjunto de líneas paralelas. El vértice de dicho haz es el punto al infinito. Así también una hilera de puntos puede consistir en un número de puntos al infinito, en cuyo caso la base de la hilera es la línea al infinito.

11.-Congruencias

En muchos problemas, la idea central para encontrar la solución es considerar los residuos de los números que se relacionan al dividirse entre otro número fijo. Esto nos llevara a desarrollar la noción de congruencias de números, la cual unifica y extiende muchos resultados desarrollados hasta ahora.
Congruencias
Definición. Sean a y b dos números enteros, y sea m un entero distinto de cero. Decimos que a es congruente a b módulo m si m divide a b-a. Esto lo escribimos como
a ≡ b (mod m) ⇔ m | b-a.
A grandes rasgos lo que decimos es que dos números a y b son congruentes (equivalentes, iguales) módulo m si ambos son de la forma mk +r con una misma r, esto es, si dejan el mismo residuo al dividirse por m . Para decir que a no es congruente a b modulo m escribimos

Ejemplos.
8 ≡ 23 (mod 5) puesto que 5 |(23-8)= 15 Notemos que tanto 23 y 5 son de la forma 5k +3.
36≡0 (Mod 12) puesto que 12 |(36-0)=36.
-22≡ 6 (mod 7) dado que 7|(6 –(-22))= 28.
Las ventajas de usar congruencias es que estas comparten muchas propiedades con la igualdad (de ahí que sea apropiado decir que los números son “congruentes”) ;
Si a,b,c,d,n son enteros y n ≠ 0 entonces :
I.-. a ≡ a (mod n)
II.- Si a ≡ b (mod n ) entonces b ≡ a (mod n)
III.- Si a ≡ b (mod n) y b ≡ c (mod n) entonces a ≡ c (mod n).
IV.-Si a ≡ b (mod n) entonces a +x ≡ b + x (mod n) para todo entero x
V.-Si a ≡ b (mod n) y c ≡d (mod n) entonces ( a +c)≡ (b +d) (mod n)
VI.- Si a ≡ b (mod n) entonces ax ≡ bx (mod n) para todo entero x
VII.-Si a ≡ b(mod n) y c ≡ b (mod n) entonces ac ≡ bd (mod n)
VIII.-Si a ≡ b (mod n) entonces a^x ≡b^x (mod n) para x ∈Z+
IX.- Si f(x) es un polinomio de coeficientes enteros, entonces a ≡b (mod n) implica que f (a) ≡ f(b) (mod n)
X.-Si a ≡b (mod n) y d |n entonces a ≡b (mod d).
XI.- Si a ≡b (mod m), a ≡b (mod n)y (m,n) = 1 entonces a ≡b (mod mn)
XII.-a ≡0 (mod n) si y solo si n| a.
El teorema anterior se prueba a partir de los teoremas de divisibilidad. Como ejemplo a ≡b (mod n) entonces a+x ≡ b+x (mod n).
Prueba a ≡b (mod n) quiere decir que n |(b-a). Pero b-a = b +x+a-x=(b+x) - (a+x) por lo que n |(b+x) –(a+x), lo que significa que a+x ≡b+x (mod n).
Hay sin, embargo, una propiedad que la igualdad no comparte con la congruencia. Si ax =bx , con x no igual a cero podemos decir que a =b , pero con las congruencias no. Por ejemplo 10×6 ≡ 4×6 (mod 4) pero
Es decir, no se permite cancelar factores en las congruencias. El siguiente teorema nos proporciona condiciones para poder efectuar tal operación.
Teorema 11.2 Sean a,b enteros. Entonces

II.-Si ax ≡ bx (mod n) y (n,x)=1 entonces a ≡ b(mod n ).
III.- a≡ b (mod n_k) para k =1,2,…r si y sólo si a≡ b (mod [n₁,n₂,...n_r]).
Prueba. Si ax ≡ bx (mod n) entonces bx-ax= nz para algún entero z. Entonces

Y por tanto


Pero
Por lo que

divide a b-a, es decir,
De este modo hemos probado que ax ≡ bx (mod n)implica
Ahora, supongamos que
Esto quiere decir que
De donde (b-a)(n,x)=nz, es decir ,n |(b-a)(n,x). Pero x es un múltiplo de (n,x) lo cual nos dice que n |(b-a)x. Se sigue que ax ≡ bx (mod n).Ya hemos probado el primer inciso, el segundo es una aplicaciòn directa del primero.Para probar el tercero, notemos que n_i| (b-a) nos dice que (b-a) es un múltiplo comùn de todas las n_i, por lo que [n₁,n₂,...n_r ] |b-a.Ya queda probado que a ≡b (mod n_k) (k=1...r) implica a≡ b(mod[n₁,n₂,...n_r])
Para el regreso , notemos que n_k es un divisor de [n₁,n₂,...n_r], por lo que a ≡ b (mod [n₁,n₂,...n_r )]implica a≡ b (mod p)
Un caso muy especial y útil del teorema anterior es el siguiente resultado:
Teorema 11.3 Sea p un número primo y t un número que no es divisible entre p. Si at ≡ bt (mod p) entonces a ≡b (mod p).
Para ilustrar el uso de congruencias al resolver problemas, demostraremos el siguiente teorema:
Teorema 11.4. Si a es impar, entonces a²-1 es divisible entre 8.
Prueba .Si a es impar, entonces alguna de las siguientes proposiciones es cierta.
a ≡ 1 (mod 8)
a ≡ 3 (mod 8)
a ≡ 5 (mod 8)
a ≡ 7 (mod 8)
Por otro lado 1² ≡ 1 (mod 8),3² ≡ 1 (mod 8),5²≡1 (mod 8), 7² ≡1 (mod 8) , por lo que en cualquier caso, a² ≡ 1 (mod 8), lo que es lo mismo que decir a²-1 es divisible entre 8.
Una prueba ligeramente distinta:
Prueba. Supongamos que a es impar es decir , a≡ 1 (mod 2). Entonces
a² ≡ 1² ≡1 (mod 2).
Por otro lado, si a²-1 no fuese divisible entre 8 tendríamos

Y como 2 8 esto implicaría que
Esto es una contradicción , por lo que concluimos que a²-1 debe ser divisible entre 8.
Los teoremas principales sobre divisibilidad pueden formularse con congruencias. El teorema 10.15 se enuncia:
Teorema 11.5 Si p es primo, ab ≡ 0 (mod p) y

entonces b ≡0 (mod p).
El teorema anterior es el análogo (para la igualdad) de la afirmación ab = 0 entonces a=0 o b =0 . Es importante recalcar que el módulo debe ser primo. Como ejercicio, encontrar un contraejemplo cuando el número no es primo.
El teorema que dice que si a = bq +r entonces (a,b) = (b,r) puede rescribirse como
Teorema 11.6 Si x ≡y (mod n) entonces (x,n) =(y,n)
Para terminar , es importante recalcar que aunque los resultados de congruencia se puedan rescribir como resultados de divisibilidad y viceversa, las congruencias generalmente permiten realizar pruebas más claras y concisas, además de que familiarizarse con ellas permite entender resultados más profundos y poderosos. Por esto es que se recomienda especialmente que en lo posible se intente usar congruencias en vez de divisibilidad para resolver los problemas.

10.4 Ecuaciones lineales diofantinas.

Una ecuación lineal diofantina es una ecuación de la forma
ax +by = c
donde a,b,c son números enteros y x, y son variables que toman valores enteros.
Veamos algunos ejemplos:
La ecuación 4x-6y=5 no tiene soluciones enteras, ya que sin importar el valor de x y y el lado izquierdo siempre es un número par, mientras que el derecho es un número impar.
La ecuación 4x-6y =2 tiene solución , ya que (4,6)=2 y entonces existe una combinación lineal de 4 y 6 que es igual a dos.
La ecuación 4x- 6y = 10 tiene solución . Si x₀ y y₀ son solución de 4x –6y =2 entonces 5x₀ y 5y₀ son solución de 4x- 6y = 10.
Podemos generalizar los últimos dos ejemplos. Si d = (a,b) sabemos que existen enteros x₀, y₀ tales que ax₀ + by₀ = d, es decir, la ecuación.
ax + by =(a,b)
Siempre tiene solución.
Más aún si c es un múltiplo de d (por ejemplo c =kd) entonces
a (kx₀) + b(ky₀) = k (ax₀ +by ₀)= kd =c
es decir, una ecuación de la forma
ax +by = k (a,b)
siempre tiene solución. Esto constituye el primer teorema de la sección.
Teorema 10.19 Si (a,b)| c entonces la ecuación lineal diofantina
Ax +by = c
Siempre tiene solución entera.
Un corolario muy importante es:
Corolario 10.20Si a y b son primos relativos, la ecuación ax +by =c siempre tiene solución entera.
Ahora nos preguntamos: ¿Habrá alguna ecuación lineal ax +by =c que tenga solución y en donde (a,b) no divida a c?
Vamos a restringirnos únicamente al caso en que c es positivo, puesto que si u y v son solución de ax + by = c entonces –u y –v son solución de ax +by = -c.
Por un lado, como (a,b) es la mínima combinación lineal positiva si c = 1,2,...,(a,b)-1 la ecuación ax +by = c no puede tener solución. De esta manera, si existe una solución, necesariamente c ≥ (a,b).
Supongamos que la ecuación ax +by = c tiene como solución a x₁ y y₁ , que d =(a,b), no divide a c, y sean x₀ y y₀ una solución para ax + by =d. De esta manera tenemos
ax₁ +by₁ =c
ax₀ +by₀ =d
Por el algoritmo de la división tenemos c = md +r con 0 < r < c puesto que d no divide a c. Entonces:
ax+ by = md +r
= m (ax₀ + by₀ ) +r
=a (mx₀) +b (my₀)+r
y por tanto
a(x₁- mx₀) + b (y₁-my₀) = r.
¡Lo anterior es una contradicción! Puesto que tenemos una combinación lineal positiva de a y b igual a r y 0 < r < d, eso contradice que d era la combinación lineal mínima positiva (es decir, d no era el máximo común divisor). La contradicción surgió de suponer que ax + by =c podía tener solución aunque (a,b) no dividiera a c, por lo que hemos demostrado el siguiente teorema.
Teorema 10.21La ecuación lineal diofantina
Ax +by = c
Tiene solución si y solo si (a,b) |c

Ya estamos en condición de determinar si una ecuación dada tiene solución o no, ahora nos interesa determinar cuales son las soluciones. Supongamos que la ecuación ax +by =c tiene solución, es decir c = kd donde d= (a,b).
Si u y v son una solución de ax +by =d, entonces x ₀ =k y y₀ =kv son una solución de ax + by =c. De este modo podemos encontrar al menos una solución a la ecuación . Sea x₁, y₁ otra solución. Como x₁ ≠ x₀ existe un entero r tal que x₁ =x₀ +r. Sustituyamos en la ecuación.

a (x₀ +r) +by ₁ = c =ax₀ +by₀
Y al simplificar obtenemos
Un argumento simétrico muestra que si y₁ = y₀-s entonces Una vez más sustituimos en la ecuación

Y al simplificar llegamos a bs-ar= 0. Sean
Entonces (a`,b`) = 1 y (r`,s)`=1 Además
b`s`- a`r`=0.
Esto implica que b`s` =a`r`. Además, la coprimalidad implicara que r’ =b’ y s`=a`.Por tanto tenemos que,
Así toda solución es de la forma
Donde t es un entero que satisface la relación
Para terminar, notemos que

¡Esto quiere decir que todo entero satisface la relación anterior! En otras palabras , los números de la forma x =x₀ +bt/d y y=y₀-at/d siempre son soluciones y además toda pareja de números que es de esa forma es solución.

Para recapitular todo el trabajo desarrollado en esta sección establecemos el teorema principal.
Teorema 10.22 (Resolución de la ecuación lineal de congruencia.)
La ecuación ax +by =c tiene solución si y solo si d = (a,b) divide a c. Además , las soluciones son los números de la forma
Donde x₀ y y₀ son una solución particular y t es cualquier número entero.

10.3 Mínimo común múltiplo.

Definición 10.6 Si a,b son enteros (no ambos cero), entonces el mínimo común múltiplo de a y b es el menor entero positivo que es múltiplo tanto de a como de b. Este número lo denotamos con [a,b].
Podemos extender la definición a un conjunto a₁,a₂,a₃,...a_n de enteros que no sean todos cero, definiendo su mínimo común múltiplo como el menor entero positivo que es múltiplo de todos ellos.
Estamos interesados en buscar alguna relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Escojamos dos números, digamos
a =252=2² ×3²×7 y b = 735 = 3×5×7²
Para facilitar el análisis, podemos “completar” los factores para que los primos que aparecen en ambas expresiones sean los mismos:
a = 252 = 2²×3²×5⁰×7¹
b = 735= 2⁰×3¹×5¹×7¹
Si calculamos manualmente (a,b) y [a,b] obtenemos
(252,735 ) = 21 = 2⁰ ×3¹ × 5¹×7¹
[252,735] = 8820 = 2² ×3² × 5¹×7¹
Podemos ver que los primos que aparecen en ambas expresiones son los mismos que los que aparecen en las factorizaciones (acompletadas ) de los números variando únicamente los exponentes. Esto lo enunciamos como sigue:
Teorema 10.17 Sea p un número primo.
El exponente con el que p aparece en (a,b) es el mínimo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones de a y n.
El exponente con el que p aparece en [a,b] es el máximo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones de a y b.
El teorema anterior puede deducirse del Teorema fundamental de la aritmética y de las definiciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Ya tenemos la herramienta necesaria para demostrar la siguiente relación, cuya prueba se deja como ejercicio.
Teorema 10.18 Si a,b son enteros, entonces
ab= (a,b) [a,b] .

10.2 Máximo común divisor.

Definición 1.3 Dados dos números a y b no negativos y no ambos cero el mayor número que divide a los dos se denomina máximo común divisor de a y b. Denotamos a este número como(a,b). En general, dado un conjunto de enteros no negativos y no todos cero{a₁,a₂...a_n}, definimos a su máximo común divisor (a₁,a₂....a_n)como el mayor entero positivo que los divide a todos.
La definición anterior implica que (a,b) siempre es positivo. Algunas propiedades básicas son:
1.-(a,1) =1 para toda a
2.-(a,a) =a para toda a.
3.-(a,0) =a para toda a.
4.-(a,b) = (b,a).
5.-(a,b) = (b, a-b).
Para probar la última propiedad notemos que si un número divide a a y b, divide a a-b por lo que es un divisor común de b y a-b. A la inversa si divide a b y a a-b divide a (a-b)+b=a. Esto implica que los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y a-b y por tanto el mayor de ambos conjuntos es el mismo número.
Esta propiedad también nos permite calcular el MCD de dos números dados. Por ejemplo, sean a= 26, b = 10. Entonces
(26,10)=(10,16)=(16,10)=(10,6)=(6,4)=(4,2)=2
Estas cuentas se pueden acelerar mediante el uso del algoritmo de la división. Si a =bq + r con o ≤ r < b (entonces (a,b)=(b, a-bq)= (b,r) se deja la prueba de estas igualdades al lector. Así como 26 = 10 × 2 +6 el cálculo anterior se convierte en:
(26,10)= (10,6) =(6,4) =(4,2) = 2.
El proceso arriba mencionado se conoce como algoritmo de Euclides.

(Teorema 10.7) Si g es el máximo común divisor de a y b, entonces existen enteros u,v tales que g =au +bv..
Prueba Consideremos el conjunto de todos los números de la forma ax +by con x,y enteros (el conjunto de combinaciones lineales de a y b). De este conjunto escojamos el menor enteo positivo y llamémosle d. Sean u,v tales que d = au +bv. Si



aplicamos el algoritmo de la división a = dq +r con 0 < r < d. Pero
r=a – dq=a- (au +bv)q =a(1-qu) +b (-qv)
Significa que r es positivo, está en el conjunto y es menor a d. Esto es una contradicción ya que habíamos supuesto que d era el menor número positivo del conjunto. Por tanto. d | a. Por un argumento similar obtenemos que d |b.
Ahora sea g el máximo común divisor de a y b. Como g |a y g | b, g | au +bv. Si g ≠ d tendríamos que g < d, es decir g no era el mayor de todos los divisores comunes de a y b, lo cual es una contradicción, concluimos pues ,que g=d.


Corolario 10.8 El máximo común divisor de a y b es la combinación lineal positiva más pequeña de ambos.
Corolario 10.9 = Si (a,b)=1 , la ecuación ax + by =1 tiene solución entera.
Prueba . Hállese los enteros x, y para los que (a,b) = ax +by.
Corolario 10.10 (a, a +a) =1.
Prueba (-1) × a +(1) × (a-1)=1. Entonces 1 es la combinación lineal positiva más pequeña y por lo tanto igual a (a,a +1).
Teorema 10.11 (am,bm) = m(a,b).
Prueba. (am,bm) es el menor valor positivo de amx + bmy = m (ax +by). Esto es lo mismo que m veces el menor valor positivo de ax +by el cual es a,b).
Corolario 1.12 Si d = (a,b) entonces








Otra manera de caracterizar l máximo común divisor de a y b es como sigue. Supongamos que d es cualquier divisor común de a y b. Entonces d divide a cualquier combinación lineal de a y b. , en particular divide a la menor positiva es decir, es decir divide a (a,b). Y como a |b implica a ≤ b, (a,b) es el único número con esta propiedad. Lo cual prueba el siguiente teorema.
Teorema 10.13 El máximo común divisor de a y b es el único entero positivo que es divisible entre cualquier número que divida tanto a a como a b.
Definición 10.4 Dados dos números a, b decimos que son primos relativos, si (a,b)= 1. En general, decimos que un conjunto (x₁,x₂,...x_n) de enteros son primos relativo entre si cuando (x₁,x₂,...x_n)=1.
Definición 10.5 dado un conjunto {x ₁,x,₂...x_n } de enteros, decimos que son primos relativos dos a dos si (x_i,x_j)=1 para cualquier pareja x_i,x_j.
Ser primos relativos entre sí y ser primos relativos dos a dos no es lo mismo. Por ejemplo, los números 4,6,9 son primos relativos entre sí puesto que (4,6,9)= 1, pero no son primos relativos dos a dos ya que (4,6)=2.
A continuación se enuncia no de los resultados más usados en relación al máximo común divisor y a la vez uno de los más fuertes, ya que será pieza clave en la demostración del Teorema fundamental de la aritmética.
Teorema 10.14 Si c |ab y (c,a)=1 entonces c |b.
Prueba. Como c |ab y c| bc, c |(ab, bc) .Pero (ab,bc)= b (a,c)= b. Por tanto, c| ab.
Un caso muy especial se obtiene cuando c es primo.
Teorema 10.15
Si p es primo y divide a ab, y p no divide a a entonces p divide a b.
Prueba sea d = (a,p). Entonces d |p por lo tanto d solo puede ser 1 o p . Como
Tenemos que d≠ p y por lo tanto d =1. Aplicando el teorema anterior llegamos a que p| b.
Teorema 10.16 (Teorema fundamental de la aritmética) Todo número se puede factorizar de manera única como producto de primos.
Prueba. Ya hemos probado que todo número se puede factorizar en primos, y nos resta probar la unicidad de esta factorización. Sean

dos factorizaciones distintas donde por conveniencia suponemos que los primos aparecen listados en orden creciente. Cada p_i divide a n y por tanto a alguna q_j(aplicando varias veces el argumento anterior). Pero un primo divide a otro si y solo si son el mismo. Entonces cada p_i es alguna q_j, y por un argumento similar cada q_j es una p_i, esto implica que p _i=q_i para cada i.
Falta ver que las potencias son las mismas, pero si por ejemplo a_j < b _j dividimos a ambos lados entre

y del lado derecho nos sobran factores p_j que dividen al lado izquierdo y son iguales a alguna p_k, lo cual es imposible. Una contradicción similar elimina el caso a_j > b_j.
Así podemos concluir que las factorizaciones son las mismas.
Ahora, retomemos el problema de expresar el máximo común divisor de dos números como combinación lineal de los mismos. Probamos que siempre es posible escribir (a,b) en la forma au + bv donde u y v son enteros y hemos usado este hecho en diversas pruebas, aunque no mencionamos de manera explícita como hallar esos números. El procedimiento para hallar los coeficientes a y b se basa en el algoritmo de la división y más que escribir explícitamente el proceso, lo ilustraremos con un ejemplo.
Así, deseamos expresas (124,44) como combinación lineal de 124 y 44.
124 = 44 × 2 +36
44 = 36 × 1 + 8
36 = 8 ×4 +4
8 = 4 × 2 +0
Entonces (124,44) =4. Despejamos el 4 y empezamos a sustituir de la siguiente manera:
4 = 36 -(4×8)
=36-4(44-36)
=5 × 36 – (4 ×44)
=5 (124- )44×2)) –( 4 × 44)
= (5 ×124) – 14 ×44
Así, 4 = (124 × 5) –(44 ×14). Comparemos esto con el proceso para calcular únicamente (124,44)(versión rápida):
(124,44)=(44,36)= (36,8)=(8,4)=(4,0)=4
y notemos que los números que aparecen son los mismos que aparecen al desarrollar todo el algoritmo de la división, con lo que comprobamos que el algoritmo de Euclides es en realidad la aplicación sucesiva del algoritmo de la división.
Vale la pena recalcar que los coeficientes que se encuentran no son los únicos, de hecho hay una infinidad de soluciones. Para este caso en particular notamos que:

Cada entero t nos genera una combinación distinta.