16.5 La circunferencia de los nueve puntos

Teorema: Los puntos medios de los lados, de los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro de un triángulo cualquiera están en una circunferencia.

Esta importante circunferencia es llamada la circunferencia de los nueve puntos del triángulo. En la fig. 35 L, M, N son los puntos medios de los lados; D, E, F los pies de las alturas y P,Q,R son los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro H del triángulo ABC.

Ahora ND y LM son cada uno iguales a la mitad de AB, y NM es paralela a BC. Así DLMN es un trapecio , y la circunferencia determinada por los puntos medios de los lados pasa por D. También el cuadrilátero PNDL es inscriptible puesto que los ángulos PNL y PDL son ángulos rectos; entonces P está en la misma circunferencia que L, M, N y D análogamente puede probarse que E, F , Q, R también están en esa circunferencia.

16.6 Propiedades de la circunferencia de los nueve puntos. La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo tiene muchas propiedades interesantes e importantes, algunas de las cuales se dan aquí.
(a) La longitud del radio de la circunferencia de los nueve puntos es la mitad de la del radio del circuncírculo del triángulo. Esto se sigue del hecho de que el triángulo LMN es semejante al triángulo ABC, siendo la razón de semejanza de 1:2
(b) El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio del segmento que une el ortocentro y el circuncentro. En la fig 35, sea O el circuncentro del triángulo dado. Se demostrará primero que PH = OL. Para esto observamos que P y O son los ortocentros de los triángulos congruentes ANM y LNM, y que en estos triángulos los lados correspondientes AP y OL son iguales. Pero AP = PH. Entonces PH es igual a OL , y puesto que son paralelos, PHLO es un paralelogramo sea J el punto de intersección de sus diagonales. Entonces J es el punto medio de HO y PL. Pero el punto medio de PL es el centro de los nueve puntos, puesto que PDL es un triángulo rectángulo inscrito.
(c) El centroide y el ortocentro del triángulo dado, son los centros homotéticos de la circunferencia de los nueve puntos y del circuncírculo. Los centros homotéticos de dos circunferencias son los puntos que dividen el segmento que une sus centros interna y externamente en la razón de los radios de las circunferencias. En estas circunferencias la razón es 1:2. Puesto que el centroide G , y el ortocentro H dividen a JO de esta manera, son los centros homotéticos.
Se sigue que O y J están armónicamente separados por G y H. La línea de estos cuatro puntos es conocida como la línea de Euler del triángulo.

(d) La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita y cada una de las circunferencias excritas del triángulo. Esta notable propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Fewerbach, y se enuncia aquí sin prueba. Su demostración será dada en un capítulo posterior.

16.4 El cuadrángulo ortocéntrico.

Las seis líneas que bisecan los ángulos interiores y exteriores de un triángulo, son concurrentes en cuatro puntos por tercias. Los cuatro puntos de concurrencia l, l₁,l₂, I₃, son el incentro y los excentros del triángulo dado. El cuadrángulo completo determinado por ellas, tiene la propiedad de que cada uno de sus vértices es el ortocentro del triángulo determinado por los otros tres. Debido a esta propiedad es llamado el cuadrángulo ortocéntrico del triángulo. Cualquier conjunto de cuatro puntos que determina un cuadrángulo tal, es llamado grupo ortocéntrico de puntos, y los cuatro triángulos que determinan tomando tres puntos a la vez, es llamado grupo ortocéntrico de triángulos.
El triángulo dado es obviamente el triángulo pedal de cada uno de los cuatro triángulos que están determinados por los vértices de su cuadrángulo ortocéntrico. Esto es, los cuatro triángulos de un grupo ortocentrico tienen el mismo triángulo pedal.

16.3 Propiedades que se refieren al incírulo y a los excírculos.

Teorema: El punto medio de un lado de un triángulo es también el punto medio del segmento determinado por los puntos de contacto de dicho lado con la circunferencia inscrita y la correspondiente excrita.

En ésta y en las siguientes discusiones señalaremos los lados BC, CA y AB del triángulo ABC con a, b, c , respectivamente . También s nos representara (a+b+c) /2 , el semiperíetro del triángulo . Entonces con notaciones como en la Fig. 33, se sigue que

AZ 1 = Y1 A; BZ1 = BX1 ; X1 C = Y1 C;
de aquí
AB + BX1 = X1 C + CA = s,
y
BX 1 = s-c.

También, puesto que
AB + XC = s,
XC = s -c,

Y por lo tanto BX₁ = XC. Restando XX , tenemos BX= X₁ C. Entonces el punto medio L de BC es también el punto medio de XX.
Teorema: El área de un triángulo es igual al producto del semiperíemtro y el radio del círculo excrito; es también igual al producto del semiperímetro disminuido en un lado y el radio del excírculo correspondiente.
En la fig 33, sean l e l₁, los centros de r y r₁ los radios del incírculo y del excírculo correspondientes al lado de BC, respectivamente . El área del triángulo IBC es ½ ar ; la del triángulo ICA es ½ br; y la del triángulo IAB es ½ cr. De donde
Δ = ½ r (a+b+c) = rs,
donde Δ es el área del triángulo ABC.
También observando que Δ es la suma de las áreas de los triángulos I₁AB e I₁CA, menos la del triángulo I₁CB, tenemos

Δ = ½ r₁ ( b+c-a) = r₁ (s-a).
Resultados similares se obtienen para cada uno de los otros excírculos.
Si llamáramos r₂ y r₃ a los radios de los otros dos excírculos , tenemos el
Corolario

16.2 Triángulo pedal

El ángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo es llamado el triángulo pedal del triángulo dado. En la figura anexa, DEF es el triángulo pedal de ABC.

Si en la fig. 32 e dibuja una circunferencia de diámetro AB, ésta pasará por D y E. Así los ángulos EDA y EBA, son iguales. De la misma manera, los ángulos ADF y ACD son iguales. También, por triángulos semejantes, el ángulo EBA es igual al ángulo ACF de lo cual se sigue que DA es la bisectriz del ángulo EDF.
Más aún, ya que el cuadrilátero ABDE es inscriptible , AB y DE son antiparalelos con respecto a AC y BC.
Así (1) las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos del triángulo pedal ; y (2) cada lado de un triángulo es con respecto a las líneas de los otros dos lados, antiparalela a aquel lado del triángulo pedal cuyas extremidades están en estos lados.

16 .-El triángulo

16.1 Puntos importantes asociados. Este capitulo será dedicado al estudio del triángulo y otras figuras que están íntimamente relacionadas con él. Empezaremos por señalar algunos de los puntos importantes asociados al triángulo La existencia de cada uno de los cuales es demostrada en geometría elemental.
(a) El circuncentro, es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita (también llama circuncírculo) .
(b) El incentro,es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita (también llamado incírculo ).
(c) Los excentros, de los cuales hay tres que son cada uno de los puntos de intersección de la bisectriz de un ángulo exterior y las bisectrices de los ángulos interiores de los otros dos vértices. Son los centros de las circunferencias excritas (también llamadas excírculos).
(d) El ortocentro, es el punto de intersección de las alturas.
(e) El centroide o punto mediano, es el punto de intersección de las medianas.

Hasta donde sea conveniente hacerlo, será llevada a lo largo de este capítulo una notación standard. Por ejemplo, A, B, C, serán usadas para señalar los vértices del triángulo; D, E ,F , los pies de las alturas de estos vértices respectivamente , y L, M,N , los puntos medios de los lados BC, CA, AB , respectivamente. Notaciones standard posteriores, irán apareciendo conforme sean introducidas.

15.Puntos y líneas armónicos

15.1 División armónica. Se dice que el segmento de línea AB esta dividido armónicamente por C y D si AC: AB = -AD:DB. Cuando AB está dividido así, los puntos y D son conjugados armónicos con respecto a A y B . Esta definición de división armónica es equivalente a la siguiente : Se dice que don puntos dividen un segmento de línea armónicamente si lo dividen interna y externamente en la misma razón.
Ya nos hemos encontrado, en nuestro trabajo anterior, con ilustraciones de tal división. Por ejemplo, las bisectrices de un ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior, de un triángulo dividen al lado opuesto armónicamente. Así también los centros de similitud de dos circunferencias son conjugados armónicos con respecto a los centros de las circunferencias.
15.2 La naturaleza recíproca de la división armónica.
De la proporción
AC: AB = -AD:DB
Se sigue que
CA: AD = - CB: BD.
De aquí si C y D dividen al segmento AB armónicamente , entonces también A y B dividen al segmento CD armónicamente. Esto es equivalente a el
Teorema: Si C y D son conjugados armónicos con respecto a A y B, entonces A y B son conjugados armónicos con respecto a C.
Cuando cuatro puntos A, B, C,D en una línea están en tal forma que cada uno de los pares A,B : C,D son conjugados armónicos con respecto al otro par, se dice que constituyen una hilera armónica; también se dice que son cuatro puntos armónicos .
Si dos de cuatro puntos armónicos coinciden, es obvio que un tercero coincide con ellos.
15.3 Construcción de conjugados armónicos.Hay varias maneras de construir D, el conjugado armónico de C con respecto a A y B. Aquí se da , una sencilla. Otras se entreverán más adelante en este capítulo.

Por A y B dibujemos dos líneas paralelas cualquiera, y por C dibujemos una línea que interseque estas paralelas en P y Q respectivamente. En QB , tomemos R tal que QB = BR. Entonces la línea PR interseca a AB en el punto deseado D. Porque, para los triángulos semejantes APC y BQC.
AC : CB = AP:QB;
Y por la semejanza de los triángulos APD y BRD,
AD: DB= - AP: BR
Y ya que QB = BR , se sigue que
AC:CB = -AD: DB.
La construcción anterior muestra que, cuando tres puntos están en una línea recta , el conjugado armónico de uno de ellos con respecto a los otros dos, siempre existe y es obvio que es único. En el caso especial en que C es el punto medio del segmento AB , D es el punto infinito en la línea AB.
Debe notarse,cuidadosamente, que en la notación aquí adoptada, cuando A,B,C,D , son cuatro puntos armónicos, los pares conjugados son A,B y C,D. Más aún , uno y sólo uno de cada par está en el segmento determinado por los tros dos.
15.4 Propiedades de los puntos armónicos. Si A,B,C, D son cuatro puntos :
(a) Cada una de las otra siete permutaciones de estos puntos en las cuales los pares conjugados se conservan, es armónica.
(b) Los segmentos AC, AB y AD están en progresión armónica, esto es

E inversamente
( c) Segmento OB ² = OC × OD, donde O es el punto medio de AB, e inversamente.
La prueba de (a) es una consecuencia inmediata de la definición de la sección 15.1 Las siete permutaciones son: A ,B ,D, C ; B, A ,C, D; B , A , D, C ; C , D ,A , B ; C, D , B, A; D, C, A , B y D, C, B, A.
Prueba de (b) : De la proporción
AC : CB = -AD : DB
Obtenemos
De lo cual
Siguiendo los pasos del argumento en sentido contrario, tenemos la prueba del inverso. La relación de los segmentos AC, AB y AD, puede ser también expresada diciendo que AB es la media armónica de AC y AD.
Prueba de (c) : Escribiendo las relaciones de los segmentos de línea involucrados ( Fig. 20 ) , y sustituyendo AO por OB, vemos que la proporción
AC: CB = -AD : DB
Es equivalente a

Y lo último es equivalente a OB: OC = OD: OB que nos da segmento OB ² = OC
× OD. El inverso es obvio.
15 .5 Líneas armónicas. Se dice que las líneas OA y OB
están separadas armónicamente por las líneas OC y OD, siendo O cualquier punto finito en el plano, si
cuando cuatro líneas de un haz están relacionadas como está expresado en la definición de arriba, OC y OD son conjugados armónicos con respecto a OA y OB.
De la definición dada arriba, se sigue que, si OA y OB están separadas armónicamente por OC y OD están separadas armónicamente por OA y OB así obtenemos el
Teorema : Si cuatro líneas de un haz están en tal forma que un par es conjugado armónico con respecto al segundo par, entonces el segundo par es conjugado armónico con respecto al primero.

Tal haz de cuatro líneas es llamado haz armónico, y sus líneas son llamadas cuatro líneas armónicas. Aquí también , como con cuatro puntos armónicos, si dos líneas de un haz armónico coinciden, una tercera coincide con ellas.La existencia de una cuarta única línea , cuando res líneas de un haz están dadas, se demuestra fácilmente.
15.6 Transversal de un haz armónico.
Teorema: La hilera de puntos en que las líneas de un haz armónico cortan cualquier línea que no pase por el vértice del haz, es una hilera armónica ; e inversamente el haz de líneas obtenido uniendo cuatro puntos armónicos con cualquier punto que no este en esa línea es un haz armónico.
Si los miembros de la ecuación
Se multiplican
Por OA / BO , la ecuación resultante puede reducirse, por medio del teorema de la sección 12.5, a AC: CB = -AD: DB.
Inversamente podemos empezar con la última de las ecuaciones anteriores y obtener la primera.
De este teorema obtenemos inmediatamente el útil
Corolario : Si un haz de cuatro líneas es cortado por una trasversal en una hilera armónica de puntos , entonces cualquier otra transversal del haz también corta sus líneas en una hilera armónica de puntos.
15.7 Hileras armónicas en perspectiva
Teorema. Si las hileras armónicas A,B,C,D y A, B´,C´,D´ están en líneas distintas , entonces (1) BB´, CC´, y DD´ son c0oncurrentes, y (2) BB´, C´D y CD´ son concurrentes.
Para probar (1), supongamos que BB´y CC´, se intersecan en O. Dibújese OA; trácese OD, intersecando a AB´ en D´´ . Entonces por, el corolario de la última sección , por el corolario de la última sección, A,B,C´,D´´, son armónicos. De aquí , por la propiedad de la unicidad, D´´ coincide a con D´. La segunda parte se prueba de una manera semejante , notando que A, B´,D´,C´, es una de las permutaciones armónicas de A,B´,C´,D´
4.8 Líneas conjugadas perpendiculares.
Teorema: Si en un haz armónico de líneas diferentes, un par de líneas conjugadas es perpendicular, una a otra, entonces estas líneas bisecan los ángulos formados por las otras dos, e inversamente si en un haz de cuatro líneas distintas uno de los pares biseca los ángulos formados por el otro par, el haz es armónico.
En el haz armónico O (ABCD), * OC es perpendicular a OD (Fig. 24) Hagamos que la paralela transversal a OD corte a OA, OB y OC en A´, B´y C´, respectivamente . Entonces el conjugado de C´ con respecto a A´ y B´ es el punto al infinito en esta transversal y consecuentemente C´ es el punto medio de A´B´ de aquí que los triángulos rectángulos A´CÓ y OC´B´ son congruentes , y OC biseque el ángulo AOB. Se infiere de inmediato que OD biseca el ángulo BOA´´

Para la parte inversa del teorema , hagamos que OC y OD sean las bisectrices de los ángulos formados por las líneas OA y OB. Entonces sen AOC= sen COB; así también sen AOD=- sen DOB , ya que el ángulo AOD es el suplemento del ángulo DOA´´ que es igual al negativo del ángulo DOB. De estas igualdades se obtiene la conclusión.

15.9 Curvas ortogonales. El ángulo de intersección de dos curvas en un punto que ellas tengan en común es el ángulo entre las tangentes a las curvas en el punto común. Dos curvas se dice que son ortogonales si su ángulo de intersección es un ángulo recto.

Los siguientes hechos concernientes a circunferencias son obvios.
(1) Si dos circunferencias se intersecan, los ángulos de intersección en sus puntos comunes son iguales.
(2) Si dos circunferencias son ortogonales, una tangente a una de ellas en el punto de intersección pasa por el centro de la otra; y si el radio de una de las circunferencias trazado a un punto común es tangente a la otra las circunferencias son ortogonales.
(3) El cuadrado de la distancia entre los centros de dos circunferencias ortogonales es igual a la suma de los cuadrados de sus radios.
15.10 Una propiedad armónica en relación con circunferencias ortogonales.
Consideremos una circunferencia con diámetro AB, y hagamos que una segunda circunferencia corte la línea de este diámetro en C y D, un par de armónicos conjugados con respecto A y B. Entonces las son circunferencias son ortogonales. Dejamos que P sea el punto de intersección de las dos circunferencias y OP el radio de la primera circunferencia tratada a P . Puesto que OB ² = OC × OD (Sección 15.4), tenemos también OP ² = OC× OD, de lo que se sigue que OP es tangente a la segunda circunferencia y de aquí que las circunferencias sean ortogonales.
También se obtiene la propiedad inversa. Suponiendo que las dos circunferencias sean ortogonales; y que el diámetro de la primera interseca ambas en A, B y C, D respectivamente. Entonces (fig.26)
OB ² = OP ² = OC × OD.
Entonces A, B, C y D son cuatro puntos armónicos .
Estos resultados pueden ser combinados en el
Teorema: Si se construye una circunferencia con diámetro AB , es ortogonal a cualquier círculo que pase por C y D , un par de conjugados armónicos de A y B ; e inversamente, si dos circunferencias ortogonales son cortadas por una línea que pasa por el centro de una de ellas, los cuatro puntos de intersección constituyen una hilera armónica.
15.11 Cuadrángulos completos.
Un triángulo consiste de tres puntos no colineales y de tres segmentos de línea que unes estos tres puntos por pares. Así también un cuadrángulo consiste de cuatro puntos , que tomados por tercias son no colineales, y de cuatro segmentos que los unen.
Estas figuras pueden ser generalizadas formando en cada caso la figura que consiste de los puntos y todas las líneas (completas) que ellos determinan por pares.
La figura que consiste de cuatro puntos , cualesquiera tres no alineados, y de seis líneas determinadas por esos puntos, es un cuadrángulo completo.

Los cuatro puntos son sus vértices, y las seis líneas son sus lados. Se dice de dos lados que son lados opuestos, si no tienen un vértice en común. En un cuadrángulo completo hay tres pares de lados opuestos.
Los tres puntos determinados por lados opuestos de un cuadrángulo completo, son sus puntos diagonales, y el triángulo determinado por estos tres puntos es el triángulo diagonal.
En la fig.27 , PQR es el triángulo diagonal del cuadrángulo completo ABCD. Esta figura deberá ser cuidadosamente estudiada con referencia a todas las definiciones dadas.
5.12 Cuadrilátero completo. La figura consiste de cuatro líneas, tres de las cuales no pasan por el mismo punto y los seis puntos determinados por la intersección de estas líneas es un cuadrilátero completo . Las cuatro líneas son sus lados y los seis puntos son sus vértices . Se dice de dos vértices que son vértices opuestos si ellos no están en el mismo lado. En un cuadrilátero completo hay tres pares de vértices opuestos.
Las tres líneas determinadas por los pares de vértices opuestos de un cuadrilátero completo, son sus diagonales, y el triángulo determinado por estas tres líneas, es su triángulo diagonal.
Las definiciones anteriores están ilustradas en la Fig. 28. En esta figura , pqr es el triángulo diagonal del cuadrilátero completo cuyos lados son las líneas a,b,c,d.

15.13 Principio de dualidad. En las definiciones de cuadrángulo completo y cuadrilátero completo se observa que si las palabras “punto” y “recta” son intercambiadas, y si además son hechas pequeñas modificaciones en el lenguaje, cada una de estas se convierte en la otra. Esta es una ilustración del principio de dualidad. Su importancia está en el hecho de que cuando es aplicado a cualquier enunciado o teorema de naturaleza proyectiva , se llega a un segundo enunciado o teorema llamado el dual del primero, y se puede probar que el dual de un teorema es verdad, si el teorema dado es verdadero. Los siguientes ejemplos san más claridad en sus aplicaciones y utilidad.
(a) Dos puntos determinan una línea.
(a´) Dos rectas determinan un punto.
(b) Tres puntos en un plano dado, o están alineados , o determinan un triángulo.
(b´) Tres rectas en un plano dado, o pasan por un punto, o determinan un trilátero.
(c) Un haz de rectas consiste en líneas que pasan todas ellas por un mismo punto.(c´) Una hilera de puntos, consiste en puntos que están todos en una línea.
15.14 Propiedades armónicas de cuadrángulos y cuadriláteros. Importantes propiedades de los cuadrángulos y cuadriláteros completos están contenidas en los siguientes teoremas duales.
Teorema: En cada diagonal de un cuadrilátero completo, hay una hilera armónica que consiste de los dos vértices de a diagonal y los puntos en los cuales es intersecada por las otras dos.
Teorema: Por punto diagonal, de un cuadrángulo completo, pasan cuatro líneas armónicas , que son los dos lados que pasan por el punto y las líneas que lo unen con los otros dos puntos diagonales.
En el cuadrilátero completo (Fig. 29) de lados AB, BC, CD y DA cuyo triángulo diagonal es PQR, deseamos probar que BDQR es una hilera armónica. Consideremos el triángulo ABD con líneas AQ, BE y DF concurrentes en C.
La transversal FE interseca BD en R, y por el teorema de la sección 14.6, Q y R dividen BD interna y externamente en la misma razón. Así la hilera BDQR es armónica. De manea análoga se prueba que FEPR y ACPQ son armónicos.
Para probar el segundo teorema, consideremos el cuadrángulo completo ABCD (Fig.30). Si PQ interseca a AD en R´, entonces por la sección 14.6 ADR´R es una hilera armónica . Así P (ADR´R) es un haz de líneas armónicas . Análogamente, los haces con Q y R como centro son armónicos.
15.15 Cuadrángulos y cuadriláteros con triángulo diagonal común. Siempre podemos obtener un cuadrángulo completo que tenga el mismo triángulo diagonal que un cuadrilátero completo dado. Una manera de hacer esto, es unir cada punto de intersección de dos diagonales del cuadrilátero a los dos vértices de este último que estén en la otra diagonal. Por las propiedades armónicas se sigue que las seis líneas así dibujadas pasan por tercias por cuatro puntos y que son por lo tanto los seis lados de un cuadrángulo completo. El cuadrángulo así obtenido tiene un triángulo diagonal en común con el cuadrilátero dado, Un resultado similar puede obtenerse si comenzamos con un cuadrilátero completo y aplicamos el principio de dualidad paso por paso en el procedimiento anterior.
Por cada vértice del cuadrilátero pasa un lado del cuadrángulo. Cada vértice del cuadrángulo es un centro de perspectiva, y correspondiendo a él hay una línea de cuadrilátero que es el eje de perspectiva para el triángulo diagonal, el triángulo cuyos vértices son los vértices restantes del cuadrángulo, y el triángulo cuyos lados son los lados restantes del cuadrilátero.

14 Teoremas de Ceva y Menéalo

14.1 Concurrencia y colinealidad. Muchas de las propiedades importantes de las figuras geométricas, dependen de la concurrencia de líneas y de la colinealidad de puntos . Dos teoremas, elegantes por su poder y simplicidad, que son útiles en el establecimiento de tales propiedades, se darán en este capitulo. Uno debe su nombre a un trabajo escrito por Menéalo de Alejandría cerca del final del primer siglo D.C. El otro fue publicado por el matemático italiano Ceva en 1678.
Cada uno de estos teoremas se refiere a puntos en los lados de un triángulo, vistos los lados como líneas completas determinadas por pares de vértices del triángulo.
14.2 Teorema de Ceva.
Si tres líneas AO,BO y CO, dibujadas por los vértices de un triángulo ABC y un punto O de su plano, cortan los lados opuestos en L,M y N respectivamente, entoncese inversamente , si L, M y N son puntos en los lados BC, CA y AB del triángulo del triángulo ABC para los cuales se cumple la relación anterior, entonces AL, BM y CN son concurrentes.
Hagamos que BM y CN intersequen la paralela a BC que pasa por A , en R y S respectivamente. Entonces por triángulos semejantes tenemos
Multiplicando En estas ecuaciones obtenemos

Para probar el inverso, hacemos que BM y CN se intersecten y en O y hagamos que AO corte a BC en L´ entonces tenemos
Pero también
De lo cual se sigue que
Entonces L coincide con L´ es decir AL pasa por O, la intersección de BM y CN.
14.3 Forma trigonométrica del teorema de Ceva.
Teorema : Si la hipótesis del teorema de Ceva se satisface, entonces

E inversamente , si L , M y N son puntos de los lados BC, CA y AB, respectivamente del triángulo ABC, para el cual vale la relación anterior, entonces AL, BM y CN , son concurrentes

Luego

y
Multiplicando y observando que el producto de la izquierda es igual a la unidad, obtenemos la relación deseada.
Para el inverso, los pasos en la prueba anterior, pueden ser hechos en el orden inverso, llegando a la relación

De lo cual se sigue que AL, BM y CN son concurrentes.
14.4 Teorema de Menealo
Teorema. Si una línea recta interseca a los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en los puntos L,M y N respectivamente entonces
E inversamente , si L,M y N , son puntos de los lados BC, CA y AB del triángulo ABC para el cual vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Sean AP, BQ y CR las perpendiculares de A, B y C respectivamente a la línea LMN
Entonces por triángulos semejantes
Multiplicando, tenemos

El inverso puede ser probado haciendo que MN corte a BC en L´ y luego mostrando como se hizo en la sección 3.2 que L coincide con L´.
14.5 Forma trigonométrica del Teorema de Menelao.Teorema : Si la hipótesis del Teorema de Menéalo se satisface, entonces
E inversamente si L,M Y N son puntos en los lados BC, CA y AB respectivamente, del triángulo ABC, para los cuales vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Las pruebas son tan parecidas a las de la forma trigonométrica de Ceva que no se darán aquí . El lector deberá hacer ambas pruebas .
14. 6 Teorema de división interna y externa.
Teorema : Si L, M y N son puntos cualesquiera en los lados BC, CA y AB del triángulo ABC, tales que AL, BM y CN son concurrentes, y si la línea MN interseca a BC en L´, entonces los puntos L y L´ dividen el segmento BC interna y externamente en la misma razón.
Ya que AL, BM y CN son concurrentes, tenemos por el teorema de Ceva

Y puesto que L´, M y N son colineales, por el teorema de Menéalo

De lo que obtenemos

De aquí se ve que L y L´ dividen a BC interna y externamente en la misma razón.
En la fig.17 los tres puntos B, L y C están dados; el punto L´ esta determinado de manera única , ya que hay un solo punto que divide el segmento externamente en la misma razón numérica en la que un punto dado divide el segmento internamente. Así podemos concluir lo siguiente:
Sean B, L y C tres puntos fijos en una línea. Si A es un punto cualquiera fuera de esta línea, y M y N son puntos cualesquiera en los lados CA y AB del triángulo ABC de tal forma que AL, BM y CN sean concurrentes, entonces la línea MN intersecará la línea BC en un punto fijo.

14.7 Figuras en perspectiva. Se dice que dos figuras están en perspectiva , si todas las líneas que unen puntos correspondientes de las dos figuras son concurrentes. El punto por el cual pasan estas líneas es llamado centro de perspectiva.
Las figuras homotéticas están en perspectiva , pero las figuras en perspectiva, no necesariamente son Homotéticas, puesto que líneas correspondientes de figuras no son paralelas en general.

14.8 Teorema de Desargues.

Teorema: Si dos triángulos están en perspectiva, los puntos de intersección de lados correspondientes son colíneales; e inversamente, si los puntos de intersección de lados correspondientes de dos triángulos son colíneales, los triángulos están en perspectiva.
Sean los triángulos ABC y A´B´C´ en perspectiva, con O como centro de perspectiva, y hagamos que AB y A´B´ se corten en P, BC y B´C´ en Q y CA y C´A´ en R. Si aplicamos el teorema de Menéalo al triángulo ABO con B´A´P como transversal, obtenemos

Análogamente, del triángulo BCO, con B´C´Q como transversal , se sigue que

Y del triángulo CAO con A´C´R como transversal que


El producto de estas tres ecuaciones nos da
Que demuestra que P, Q y R son colineales. Ahora, sean dados P, Q y R colineales.
Ahora sean dados, P, Q y R colineales, y consideremos los triángulos AA´R y BB´Q. Estos triángulos están en perspectiva con P como centro de perspectiva. Más aún O, C y C´ son los puntos de intersección de sus pares de lados correspondientes. Entonces estos tres puntos son colineales; es decir, la línea CC´ pasa por el punto de intersección d AA´ y BB´ .Esto establece el inverso.
La línea en que están P, Q y R es el eje de perspectiva de los triángulos ABC y A´B´C´.

14.9 Importancia el teorema de Desargues. Las propiedades de las figuras geométricas pueden ser clasificadas como métricas y proyectivas. Expresado toscamente, aquellas propiedades que están necesariamente relacionadas, ya sea directa o implícitamente en la noción, a la noción de medida, son propiedades métricas, mientras que aquellas que están esencialmente desconectadas e la medida son propiedades proyectivas. Ejemplos de las primeras son; la igualdad de segmentos de línea ,la semejanza de triángulos, el antiparalelismo de líneas y como ejemplo de las últimas son la concurrencia de líneas y la colinealidad de puntos .La geometría proyectiva es un estudio de las propiedades proyectivas de una configuración .

Lo establecido por el teorema de Desargues , implica sólo propiedades proyectivas de las figuras a las que se aplica. Y como esto está tan relacionado con las ideas de concurrencia y colinealidad, y tales ideas son básicas en la geometría proyectiva , este teorema es uno de los más importantes en este campo. De hecho algunas veces se le toma como el teorema fundamental de la geometría proyectiva.
Es de notarse que, aunque la demostración dada tiene de carácter métrico, es posible dar una demostración que sea completamente de carácter no métrico. Tal demostración es deseable para el desarrollo de la geometría proyectiva, pero desde nuestro punto de vista es interesante ver como se puede demostrar este teorema, tan importante basándose en el Teorema de Menéalo.