Colección cientifica de Time-Liffe Matemáticas2 El modélico pensamiento de los antiguos griegos (parte 2)

Primera parte
5. La diablura de una raíz cuadrada
El descubrimiento perturbador fue un nuevo tipo de número -el que denominamos «número irracional». La característica del número irracional es que independientemente de todo se mantiene obstinadamente sin fin. Este rasgo irritante surge a menudo en lo que denominamos una raíz cuadrada-, la cantidad que, cuando se multiplica por ella misma, da el número dado. La raíz cuadrada de cuatro (simbólicamente escrita como √4 es un magnífico 2; √9 es 3. Pero una raíz cuadrada irracional se transforma en una fracción decimal con una serie sin fin de dígitos que no se repiten a partir de la coma decimal. Por ejemplo, √2 es 1,41421... y así hasta el infinito, √3 es 1,73205... hasta el infinito. Lo más perturbador es que las raíces cuadradas irracionales son frecuentes.
El supuesto del triángulo rectángulo servirá de ejemplo. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden tres y cuatro unidades de longitud, y cuya hipotenusa es un número exacto de cinco unidades de longitud, es excepcional. Por cada uno de este tipo de triángulo de lados 3-4-5, 5-12-13 ó 7-24-25, hay innumerables triángulos rectángulos «imperfectos» tales como 1-1-√2 ó 1-2-√5 ó 2-√5-3. Supongamos que se está midiendo un campo cuya superficie tiene la forma de un triángulo rectángulo con dos lados iguales, entonces el tercer lado no será exacto - tanto si se mide en milésimas de pulgada o de centímetro. Independientemente del número de veces en que se subdivida la longitud de la hipotenusa, nunca se obtendrá una subdivisión que sea igual a una subdivisión de la longitud de uno cualquiera de los catetos.
Los pitagóricos se dieron cuenta que en la mayor parte de los triángulos rectángulos las relaciones irreducibles entre las longitudes de los lados no podían expresarse en función de los números enteros, ni incluso si se escogiera para intentarlo todos los números enteros y todas sus fracciones -desde uno a un trillón o desde 1/1 a una trillonésima-. Este descubrimiento desalentador afectó a todo el curso del pensamiento matemático griego. Hizo abandonar, efectivamente, toda esperanza de que la medición pudiera utilizarse como un puente entre la geometría y la aritmética de los números enteros. Los griegos empezaron a limitarse a la geometría de las formas, que se refería, no a la medición, sino sólo a la forma. Por lo tanto, podían dibujar, e incluso medir, ciertos números irracionales, tales como: √2 ó √3, como una hipotenusa definida en un determinado triángulo rectángulo. Estos números podían encerrarse dentro de figuras rectilíneas delimitadas por líneas rectas, triángulos, cuadrados y pirámides.
Pero ni los números irracionales ni el concepto de infinito podían quedar fuera ni siquiera de la geometría de las formas más elemental. Después de los triángulos ambos conceptos resurgen de nuevo en el problema del círculo. La relación de la circunferencia de un círculo con su diámetro es en sí misma un número irracional, 3,14159..., que denominamos pi, o simbólicamente π. (Se cree que la primera letra de la palabra griega peripheria - que significa «periferia» - inspiró el símbolo п. Cualquiera que sea su origen, la cantidad que representa ha sido calculada con más de cien mil decimales, y sabemos que nunca resultará exacta). Los griegos no reconocieron toda la extensión de la irracionalidad de π y, por lo tanto, perdieron mucho tiempo tratando de resolver el gran problema que este hecho hizo imposible - construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado, o sea, literalmente hablando, trataron de «cuadrar el círculo».

6. El infinito y la tarta de manzana
La mejor forma para poder calcular el área de un círculo consiste en considerarlo como suma de un número infinito de triángulos infinitamente estrechos colocados alrededor del centro del círculo como pequeños pedazos de tarta de manzana. La altura de cada triángulo infinitamente estrecho es la misma que el radio del círculo. La suma de las bases infinitamente cortas de todos los triángulos es la misma que la circunferencia del círculo. Y puesto que el área conjunta de todos los triángulos debería ser igual a la mitad del radio por su circunferencia, el área del círculo debe ser igual a la mitad del radio por la circunferencia.

No había nada de erróneo en esta conclusión. Era operativa, aplicable, pero el tratar de demostrarla a través de rigurosas etapas lógicas fue una travesía intelectual tan ardua como la odisea de Ulises. A medida que un triángulo se va estrechando infinitamente, exactamente, ¿cuándo deja de existir y empieza a comportarse como si tuviera la forma de un trozo de tarta? Cierto que no asume la forma de un trozo de tarta propiamente hasta que se ha estrechado infinitamente, y entonces la verdad es que ya no es algo, sino nada. ¿Cómo puede sumarse un número infinito de nadas para producir algo?
Estas molestas objeciones a la lógica de la división del círculo en un gran número de partes fueron expuestas - probablemente con júbilo - por la escuela eleática de filósofos, una escuela que se originó en Elea, próxima a Crotona, y a los pitagóricos. Las matemáticas no fueron un simple pasatiempo para los griegos; sus problemas fueron discutidos abiertamente. Lo que visto retrospectivamente parece una ininterrumpida marcha de progreso hacia un mayor conocimiento, fue una guerra intelectual parecida a una discusión de taberna. Las armas eran argumentos sofisticados. Su resultado final fue el triunfo de la demostración.
Los eleáticos estaban profundamente interesados en la comprensión científica -no tan sólo de los triángulos y de los círculos, sino de todo el cosmos. Su mayor representante fue Zenón, maestro en obtener descubrimientos que provocaran la perplejidad, esto es, la paradoja - una proposición que, aunque lógicamente válida, se escapa a los ojos del sentido común. Zenón quedó fascinado por la idea del infinito. Acertadamente presintió que la ciencia no podía aferrarse a la realidad, a menos que tomara en consideración las formas en que el infinito se presenta en cualquier parte de la naturaleza. Planteó una pregunta sencilla referente al movimiento y enunció una paradoja célebre en la actualidad. ¿Cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de posiciones en un tiempo finito? Si el ligero Aquiles hiciera una carrera con una tortuga y a la tortuga se le da una ventaja inicial de un palmo, ¿cómo podría Aquiles, a través de la rigurosa lógica griega, alcanzarla jamás? Cuando Aquiles ha avanzado un palmo, la tortuga también ha caminado digamos una décima de palmo. Y cuando Aquiles ha recorrido tal décima parte, la tortuga ya está a una distancia mayor.

Todo el mundo sabe, partiendo de la experiencia, que Aquiles puede alcanzar a la tortuga, pero ¿cómo puede probarlo por medio de etapas lógicas que no requieran una gran cantidad de páginas para demostrarlo? Los matemáticos modernos tienen formas de eludir el problema y los griegos también las tenían. Uno de los primeros sabios de la geometría, probablemente Eudoxo, facilitó la demostración en controversia acerca del área de un círculo mediante dos líneas subsidiarias de razonamiento, con las que demostró que si el área de un círculo es bien mayor o menor que la mitad de su circunferencia por el radio, se implicaban contradicciones - contradicciones que reducen ambas alternativas a absurdas. (Por lo tanto, una vez más, reductio ad absurdum). 
Por la misma época que Eudoxo se estaba apuntando este tanto sobre los eleáticos y el infinito, el antiguo mundo griego estaba siendo absorbido por las casi infinitas conquistas de Alejandro Magno. Cuando el estruendo de las armas se había apaciguado, surgió una nueva capital de Grecia en Alejandría, Egipto. Y allí, alrededor del año 300 antes de Cristo, el más famoso de todos los maestros de la geometría, Euclides, se dispuso a recoger los teoremas de sus predecesores y a organizarlos en un todo unitario.
Euclides no fue propiamente un gran innovador, pero fue un soberbio organizador de los resultados matemáticos alcanzados por Tales, Eudoxo y otros sabios de la edad de oro de la geometría griega, tales como Demócrito, Hipócrates de Quíos y Arquitas. Euclides tuvo la gran habilidad de volver a escribir sus demostraciones en términos sucintos y claros. Simplificados de esta forma, están contenidos en su obra maestra, los Elementos, uno de aquellos libros únicos, como la Biblia, que parece refundir los mejores esfuerzos de las mentes creadoras en un todo unitario e inspirado. Es una obra de una lucidez y estilo tan terminantes que algunos eruditos la consideran la colección más coherente de pensamientos rigurosamente razonados que nunca haya establecido el hombre. En la antigüedad se difundieron extensamente en forma de manuscrito. Desde la invención de la imprenta, miles de ediciones se han publicado. Hasta hace un siglo era el libro de texto de geometría de bachillerato más usado.
Los Elementos contienen trece libros o capítulos, que describen y demuestran una gran parte de todo lo que sabe la raza humana, incluso en la actualidad, acerca de las líneas, los puntos, los círculos y las formas sólidas elementales. Toda esta información la dedujo Euclides, a través de la más aguda lógica, a partir de 10 simples premisas - 5 postulados y 5 axiomas (expuestos a continuación) -. A partir de estas premisas, Euclides construyó, no tan sólo la geometría que se enseña en las escuelas normalmente hoy en día, sino también una gran cantidad de matemáticas de otro tipo. Sus capítulos en torno a las longitudes lineales y a las áreas dan abundantes métodos geométricos para resolver muchos problemas que hoy en día se consideran como álgebra. Su tratamiento del atormentado concepto de Zenón en torno al infinito y de la técnica para sumar áreas comprendidas en arcos de círculo, implican ideas que ahora se estudian en el cálculo infinitesimal. Su discusión de los números primos, números que no pueden ser divididos exactamente, a excepción de por sí mismos, es ahora un estudio clásico de la «teoría de números».
Después de Euclides, los matemáticos sólo podían ascender -fuera de las regiones normalmente consideradas como geometría griega - a la atmósfera rarificada de lo que se conoce popularmente por matemáticas superiores. Inspirados por los Elementos, los dos matemáticos más eminentes del siglo siguiente iban a lograr tantos resultados nuevos y a suministrar tantas fórmulas útiles como reunieron todos los griegos pre-euclidianos juntos, uno fue Apolonio, cuyos descubrimientos relativos a las denominadas secciones cónicas, contribuyeron posteriormente en forma muy importante al desarrollo de la astronomía, de la ciencia militar de la balística y -finalmente de los modernos cohetes dirigidos. El otro fue Arquímedes, cuya brillantez en las matemáticas iba unida a un talento para la mecánica que le convirtió en el padre de la ingeniería práctica.

7. Los dones y las limitaciones de Platón
En la medida posible, tanto Apolonio como Arquímedes efectuaron sus investigaciones matemáticas superiores dentro de la disciplina rigurosa impuesta en la geometría por el renombrado filósofo ateniense Platón. Debido a pensar en términos del ideal puro, el abstracto total, Platón se dedicó a la geometría; le gustaba la forma en que podía abstraer de una rueda de carro el concepto de un círculo inmune al tiempo y al cambio. Debido a su prestigio, pudo transmitir su entusiasmo a sus conciudadanos, dando, por lo tanto, un elevado puesto dentro de la consideración pública a los que practicaban la geometría. Pero al mismo tiempo que les confería este carácter distintivo, también les puso una difícil restricción de trabajo. Enjuiciando con espíritu crítico, al modo filosófico, los nuevos descubrimientos mecánicos y las matemáticas aplicadas,  Platón insistió en que las demostraciones geométricas se lograran sin ningún otro auxilio  que una regla y un compás. Este requisito, que no se originó en Platón, pero que se estimuló a partir de él, fue exigido a todos los problemas geométricos elementales y, cuando fue posible, a problemas más difíciles.
(Debido tanto a su abstracta concepción de las matemáticas como a la limitación de la regla y el compás, algunos matemáticos todavía consideran a Platón con cierto recelo. El gran lógico inglés del siglo XIX Augustus De Morgan notó cáusticamente que las palabras que se supone Platón inscribió en las puertas de su academia - «Que no entre ningún ignorante de la geometría» - no reflejaban precisamente que la geometría se cultivaba de puertas adentro, al igual que un aviso que dice no olvidarse de traer bocadillos... no constituiría la promesa de una buena comida.)

Apolonio hizo su contribución a la historia de las matemáticas al investigar todas las peculiaridades más importantes de una serie de graciosas curvas que describió en un libro llamado Cónicas. Las denominó cónicas debido a que las vio como secciones realizadas por una superficie llana o plana cuando intercepta la superficie de un cono. Depende de cómo se corte el cono para que las secciones resultantes sean círculos, elipses, parábolas o hipérbolas. (Algunas de éstas se muestran arriba).
Después investigó las propiedades de cada sección cónica y mostró de qué forma están interrelacionadas. Aunque en las matemáticas puras todas estas ingeniosas creaciones no requieren, ninguna justificación, han pasado, no obstante, a quedar doblemente justificadas por el hecho de que las secciones cónicas son los caminos que siguen los proyectiles, los satélites, las lunas o las tierras bajo la influencia de la gravedad.
Amigo y rival de Apolonio fue Arquímedes, quien fue un poco más brillante y mucho más creador, tanto que dentro de la profesión se le conceptúa, con Newton y Gauss, como uno de los tres grandes matemáticos de todos los tiempos. Todo lo que hizo Arquímedes parece tener un espíritu tan moderno en la actualidad como cuando lo creó. No obstante, creó todo lo que hizo dentro de los estrechos límites de la disciplina de Platón, sin ninguna abreviación algebraica para catalizar su lógica ni incluso un sistema de notación conveniente para escribir grandes números y realizar complicadas operaciones aritméticas
La mayoría de los griegos no tenían realmente ninguna forma sencilla de escribir grandes números. Arquímedes se enfrentó con esta gran desventaja en un tratado científico, el Contador de Arena, en el que se establecía un sistema de números basado en la miríada griega, o 10.000. Los números hasta una miríada de miríadas, o cien millones, los llamó «el primer orden de números». Los números hasta una miríada de miríadas multiplicados por sí mismos una miríada de miríadas - 100.000.000^100.000.000,  los denominó «números del primer período». Prosiguió hasta hacer que este número tan grande se multiplicara por sí mismo una miríada de miríadas de veces, llegando a una cantidad tan enorme que en una notación de un sistema con base 10 se escribiría por medio del número uno seguido de ochenta millones de miles de millones de ceros. Señaló que es un número completamente adecuado a cualquier finalidad.

8. El caso de las innumerables reses
Los números grandes, asustaban tan poco a la despejada mente de Arquímedes que, dice la leyenda, era capaz de incordiar a sus compañeros matemáticos con algunos de los más horrendos acertijos matemáticos jamás expuestos. «Si eres diligente y sabio, ¡Oh, extranjero!, calcula el número de reses del sol que, en cierta ocasión, pacían en los campos de Trinacria (Sicilia).» Por «reses del sol» Arquímedes quería decir aquéllas pertenecientes a Hyperión, el dios sol, y en una forma directa prosiguió describiendo el ganado y los distintos colores de las vacas y los toros que había allí. El problema pasó a tener dos posibles respuestas. O bien el número de reses era 5.916.837.175.686, o bien tan sólo pueden contarse con un número dígito de 206.545 cifras que nadie, ni siquiera Arquímedes, ha tenido jamás la longevidad suficiente para calcular.

La realización de la cual Arquímedes estuvo más orgulloso, fue el descubrimiento de cómo calcular el volumen de una esfera. Averiguó que el volumen de una esfera es igual a dos terceras partes del volumen del cilindro circunscrito más pequeño. (A petición suya, el diagrama de la esfera y el cilindro que él elaboró fue esculpido en su tumba cuando murió en el año 212 a. de c.; el orador romano Cicerón, contó que hizo limpiar la hiedra que la cubría cuando hizo una peregrinación a la olvidada sepultura un siglo y medio después). Para demostrar que un cilindro tiene a su vez un volumen que excede en una mitad al volumen de su «esfera inscrita», Arquímedes tuvo que aplicar la misma técnica de los cortes infinitamente pequeños que los primitivos griegos habían utilizado para el área del círculo.
Después tenía que demostrar por el método de reductio ad absurdum que si más o menos de las dos terceras partes del cilindro circunscrito igualaba el volumen de la esfera, el resultado conduciría a una contradicción. Utilizó la misma técnica para demostrar qué áreas se incluían dentro de las curvas parabólicas y ciertas curvas en forma de espiral. La utilizó de nuevo para calcular el volumen que ocupa  una sección cónica cuando gira alrededor de su eje.
Debido a esta tendencia práctica de su mente, Arquímedes era físico e ingeniero además de matemático. Los que no saben mucho de él, lo recuerdan como un profesor distraído que corría desnudo por las calles dula ciudad siciliana de Siracusa, donde vivió, gritando «Eureka, Eureka! », que quería decir «¡lo he hallado!». Lo que realmente había descubierto era un hecho físico, una ley básica de la ingeniería hidráulica. Cualquier persona que toma un baño se da cuenta de que un sólido sumergido en un líquido desaloja su propio volumen de aquel líquido. Pero Arquímedes descubrió que un sólido que flota en un líquido desaloja su propio peso de aquel líquido y, en general, que un sólido sumergido en un líquido pierde exactamente tanto peso como el del líquido que desplaza.
La forma en que Arquímedes pasó a ocuparse de este problema fue explicada posteriormente por el arquitecto romano Vitruvio. El rey Hierón de Siracusa había facilitado a uno de sus joyeros de la corte oro para hacer una corona para él y sospechó que se había sustituido por plata parte del oro. Encargó a su amigo Arquímedes que hiciera una investigación. Arquímedes estaba ponderando el problema un día, flotando en su baño -con su propio peso en agua derramada por los bordes de la tina- cuando por primera vez se dio cuenta de su ley hidráulica. De este descubrimiento y utilizando algo de álgebra geométrica pudo averiguar cuánta plata había utilizado el joyero en sustitución de oro. Posiblemente demostró el fraude pesando cantidades de plata y oro iguales al peso de la corona, primero en el aire y después en el agua. Cualquiera que fuera el final del caso, Hierón estuvo altamente satisfecho y el joyero de la corte profundamente disgustado -o algo peor.
El trabajo de investigación de Arquímedes en torno a las coronas y a la hidráulica fue una reducida fracción de su contribución a la ingeniería práctica. Su famosa declaración, «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra», derivó no de la arrogancia sino de la emoción de haber encontrado una demostración de las leyes matemáticas de la palanca. También descubrió las leyes de las poleas y métodos para determinar el centro de gravedad de un objeto. La habilidad para aplicar sus descubrimientos puede juzgarse a partir del hecho -señalado por Plutarco que retuvo una flota invasora romana acorralada en el puerto de Siracusa durante tres años con devastadoras catapultas y puntiagudas zarpas de hierro ingeniadas por él, para destruir los barcos. El general romano Marcelo, después de su primera repulsa, llamó a Arquímedes «este Briareo geométrico (un monstruo mitológico de cien brazos) que utiliza nuestros barcos como tazas para vaciar el agua del mar».

9. El final de una bacanal
Desgraciadamente para los de Siracusa, Marcelo finalmente superó con táctica maniobrera a las versiones de las últimas armas de Arquímedes al subir a escondidas por la noche a una torre mal vigilada de la muralla de la ciudad, durante una de sus periódicas bacanales religiosas. Al despuntar el día los invasores se presentaron en la ciudad extendiendo la muerte y el pillaje. Contrariamente a las órdenes específicas de Marcelo, un soldado romano, al encontrar a Arquímedes dibujando meditativamente figuras geométricas en el suelo de un patio, mató al anciano. Arquímedes tenía setenta y cinco años. Si hubiera sobrevivido es bastante concebible suponer que habría encendido la antorcha de la creatividad en uno o dos romanos. En lugar de ello, su muerte señaló el principio de un oscurecimiento intelectual que asolaría el mundo durante siglos, y que llevaría prematuramente a la tumba la prodigiosa creación mental griega, la Geometría.
Los romanos se apoderaron de las armas de guerra y de la ingeniería de Arquímedes, pero dejaron su manantial de matemáticas originales totalmente oculto. Durante la corrupción mental, espiritual y física del imperio romano en los siguientes siglos, algunos griegos distinguidos hicieron lo que pudieron para conservar la tradición de Arquímedes en la investigación creadora. Entre los últimos de ellos se encontraba la hermosa e inmensamente sabia, la matemática Hipatia, que conferenció en la Universidad de Alejandría alrededor del año 400 y que atrajo grandes masas de estudiantes. Desgraciadamente fue la última de los intelectuales paganos griegos y fue asesinada por un populacho sectario cristiano. Edward Gibbon describió su final en The Decline and Fall of the Roman Empire: «fue arrebatada de su carroza, le arrancaron sus vestidos y la arrastraron a la iglesia y allí su carne fue separada de los huesos con afiladas conchas de ostras y sus trémulos miembros lanzados a las llamas». Las matemáticas griegas habían exhalado su último suspiro. Tenían que pasar otros mil años para que su espíritu se encendiera de nuevo.

Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life

Colección cientifica de Time-Liffe Matemáticas2 El modélico pensamiento de los antiguos griegos (parte 1)

Formas puras de los sólidos.Los griegos fueron los primeros en dedicarse a las matemáticas como arte propiamente dicho. Su invención de las formas puras y abstractas constituye la base de la geometría de Euclides. Al costado hay algunas de estas formas, cuyos nombres derivados del griego utilizamos aún: pirámide, cono, prisma, hexaedro, cilindro y cubo.

Las matemáticas puras, las matemáticas por las matemáticas, sin tener como meta ninguna finalidad práctica- empezaron cuando el hombre pensó por primera vez en los números como tales números, y cuando pensó en las formas como tales formas, prescindiendo de sus características. Pero estas matemáticas puras iniciales no eran de un tipo lógico y sistemático como las que conocemos en la actualidad. Los olvidados genios de Mesopotamia que inventaron el sistema de base 60 apenas se detuvieron a ponderar las conexiones entre sus descubrimientos o a investigar profundamente los procesos de pensamiento por los que llegaron a aquéllos. Las tablas cuneiformes y los rollos de papiros en los que ellos y otros pueblos antiguos anotaban sus resultados matemáticos están tan desprovistos de razonamiento como las recetas de los libros de cocina. Sume esto o reste aquello, dicen, y encontrará la verdad. Un famoso texto egipcio, el Rind Papyrus, se describe a sí mismo como «direcciones para saber todas las cosas dudosas», y son reglas dadas en forma arbitraria.
Cuando los primitivos griegos se trasladaron al sur de la Península Balcánica para invadir, estudiar y finalmente subyugar las civilizaciones del Oriente Medio, pasaron a heredar el saber matemático que se había estado acumulando durante siglos. Los fascinó y los amedrentó, pero también los dejó insatisfechos. ¿Por qué eran ciertas las «direcciones dudosas»? ¿Qué significaban? Con su escepticismo y razón, los griegos, por primera vez, formularon conscientemente los dos procesos mentales vitales para el progreso matemático: la abstracción y la demostración.
La abstracción es el arte de percibir una o varias cualidades comunes en cosas distintas y formar una idea general partiendo de ellas. Abstraemos, por ejemplo, cuando se nos aparecen como edificios las iglesias, los ranchos y los rascacielos; cuando se nos aparecen como círculos las ruedas de carro, los neumáticos de automóvil y los «hula hoops».
La demostración es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión de forma tal que no se pueda encontrar ningún error en ninguna etapa del argumento. Los griegos distinguieron entre dos clases de premisas: las premisas generales, que denominaron axiomas, y las premisas específicas de las matemáticas, a las que denominaron postulados. Pero a fin de poder disponer de premisas para empezar, invocaron otro proceso mental denominado inducción. Mientras la abstracción revela un denominador común en las cosas diferentes -por, ejemplo, los gatos y los perros son animales-, la inducción lo revela en la misma clase de cosas. A partir de nuestra observación de los perros, hacemos la inducción de que todos los perros ladran; o de nuestra observación de la raza Doberman pinscher, inducimos que todos los Doberman pinscher son perros. Utilizando la información de estas dos premisas, podemos, mediante un proceso de razonamiento conocido con el nombre de deducción, probar que todos los Doberman pinscher ladran. Esta conclusión ineludible, o teorema, también puede tener un corolario, una proposición que necesariamente se desprende de ella. Un corolario en este caso sería: El Doberman pinscher de mi vecino ladra. Los griegos idearon todavía otra técnica para obtener una demostración, el método que llamamos en terminología latina reductio ad absurdum (reducción al absurdo). A través de este probamos la validez de una premisa al suponer deliberadamente que lo opuesto és cierto y demostrar después que esta premisa opuesta no tiene validez. Supóngase que al señor Smith le dicen que su perro ladra constantemente. Empieza con dos premisas: que todos los perros son animales y que los perros que ladran constantemente no pueden comer ni dormir. De este último grupo de premisas deduce que algún perro no come ni duerme. Esta conclusión, no obstante, es absurda puesto que contradice la anterior que todos los perros deben comer y dormir. Smith entonces examina de nuevo las cuatro premisas. La única de la que puede dudarse es la de que algún perro ladra constantemente. Puesto que le condujo a una conclusión absurda, debe ser falsa, y la opuesta de ésta -que ningún perro ladra constantemente- debe ser cierta.
Como puede verse a partir del viaje mental de Smith, los principios de la demostración griega no son realmente más que una formalización de los procesos de pensamiento que utilizamos cuando tratamos de presentar un argumento en forma ordenada. La forma de razonar de Smith es, naturalmente, mucho menos rigurosa y menos exhaustiva de lo que sería cualquier razonamiento matemático. Pero el matemático, a pesar de que utiliza conceptos no tan palpables como un perro que ladra, sigue utilizando las mismas reglas básicas de la abstracción y la deducción. Abstrae, por ejemplo, cuando reconoce que los números 6, 52 y 200 son divisibles por dos. Utiliza lareductio ad absurdum al examinar la premisa, por ejemplo, de que una fracción desconocida -denominada fracción reducida a su mínima expresión. Si prueba algebraicamente que cada una de las incógnitas, numerador y denominador, es un número par, prueba que su premisa es «absurda», ya que una fracción con dos números pares no está reducida a su mínima expresión.

2. Una pirámide de demostraciones
Con anterioridad a los griegos, los matemáticos no esperaban que nadie se interesara en las batallas mentales que habían tenido que librar para alcanzar un resultado: una fórmula, por ejemplo, de la cantidad de piedra que se requiere para construir una pirámide. Los griegos no se contentaron simplemente con comprobar que un resultado era operante. Querían explicar el por qué de un modo lógico y corto.
El escribir la demostración se convirtió en un arte en el que resultaba una cuestión de orgullo ahorrar al máximo las etapas del razonamiento y, aun así, no omitir nada. Los matemáticos griegos acumularon un repertorio de teoremas demostrados, cada uno de los cuales podía utilizarse sin volverlo a demostrar para formular algún teorema más adelantado. Además, todos los teoremas podían colocarse, hilera sobre hilera, en una pirámide invertida de conocimiento en constante expansión. El punto de apoyo de la pirámide podía hacerse coincidir con la experiencia cotidiana a través de unos axiomas evidentes por sí mismos: la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta o dos líneas rectas sólo pueden cortarse una vez.

A medida que las matemáticas progresaron, el así denominado nivel de rigor continuó aumentando, como el nivel de agua. Debido a ello, los matemáticos modernos han encontrado supuestos ocultos en alguna de las demostraciones griegas. Incluso han señalado algunas limitaciones en el propio método axiomático. Han tenido que idear otros grupos de axiomas sobre los cuales construir las nuevas ramas de las matemáticas. Pero el sistema fundamental griego de la abstracción y de la demostración permanece intacto. Toda rama de las matemáticas modernas, en todo lo posible, está organizada según este sistema.

3. La luna y la cabeza de un alfiler
El trampolín de la revolución trascendental de los griegos en el pensamiento fue la geometría. Con su propensión artística natural, fueron atraídos instintivamente por la pulcritud y el atractivo visual de esta matemática de los puntos, las líneas, las áreas y los volúmenes. Tanto los babilonios como los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria, ideada para el deslinde de terrenos y la medición de los edificios, simplemente como operaciones de tipo práctico de recuento y medición. Los griegos realizaron un planteamiento mucho más abstracto. Creyeron que una forma en particular tiene ciertas propiedades constantes innatas, que son independientes de su tamaño. Así, un triángulo rectángulo de 45° -que tiene dos lados iguales- puede extenderse hasta la Luna o puede caber en la cabeza de un alfiler, pero en cualquiera de los casos continúa siendo un triángulo rectángulo de 45° (isósceles).
El primero de los griegos en aferrarse a esta posibilidad fundamental para la abstracción en geometría -y vislumbrar el sueño griego según el cual el conocimiento se erigiría en sólidas pirámides invertidas de demostraciones a partir de unos cuantos axiomas elementales- fue probablemente Tales de Mileto, un magnate de la industria del aceite de oliva que operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entre los años 600 al 550 a. de c. En sus viajes tomó contacto con el conocimiento de las viejas matemáticas y de la astronomía, y cuando por fin se retiró se dedicó a ellas como diversión. Las cinco proposiciones que se cree que demostró, eran tan simples como para indicar que estaba tratando conscientemente de establecer los fundamentos de la geometría en términos básicos inamovibles.
La ambición de Tales no se habría colmado de no haber sido por otro griego quien, según se cree, estudió con él: Pitágoras, un hombre de una personalidad magnética y poderosa. La leyenda dice que a sugerencia de Tales, Pitágoras pasó años viajando, tratando de aumentar sus conocimientos matemáticos. Entre las fuentes que se dice buscó se hallaban los sacerdotes de Zoroastro, quienes pasaron a custodiar el conocimiento matemático bajo el imperio persa. Después, una vez hubo aprendido todo cuanto pudo, Pitágoras, alrededor del año 540 a. de c., fundó una secta semirreligiosa, semimatemática, en Crotona, ciudad griega situada en el empeine de la bota de Italia. Junto con las matemáticas, inculcó a sus discípulos la veneración a los números; a creer en la reencarnación y la transmisión de las almas de hombre a hombre y del hombre a la bestia; a no comer nunca judías; a permanecer siempre anónimos, y a escribir el nombre de la hermandad pitagórica en todo escrito o descubrimiento.
Entre las enseñanzas de Pitágoras que más se recuerdan están, naturalmente; el teorema que dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado más largo -la hipotenusa- es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados más cortos. Los babilonios habían descubierto este teorema con mil años de anterioridad, pero se le atribuye a la escuela pitagórica el ser la primera en demostrarlo. Sigue siendo enormemente útil para la ciencia. Y es de interés vital para muchos de nosotros; por ejemplo, los carpinteros lo usan para estar seguros de que las habitaciones que pavimentan son rectángulos perfectos.

4. Legado para un pianista de jazz
Pitágoras hizo una segunda contribución altamente práctica, que figura en toda ejecución de un pianista de jazz o de un cuarteto de cuerda. Se trata de su descubrimiento de las matemáticas que subyacen en la escala musical. Pitágoras averiguó que existía una maravillosa conexión entre la armonía musical y los números enteros con los que contamos: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Pulse una cuerda y haga sonar una nota, después pulse una cuerda igual de tensa y doble de larga que la anterior y se oirá una nueva nota, justamente una octava armónica por debajo de la primera. Empezando por cualquier cuerda y considerando la nota que produce, se puede bajar la escala aumentando la longitud de la cuerda según simples fracciones que pueden expresarse mediante las relaciones de los números enteros. Por ejemplo, 16/15 de una cuerda que da el Do dan la nota baja siguiente Si; 6/5 de ésta dan La; 4/3 de ésta, Sol; 3/2 de ésta, Fa; 8/5 de ésta, Mi; 16/9 de ésta, Re, y exactamente dos de ésta vuelven a dar el Do de octava más baja. 
Pitágoras descubrió las relaciones entre los números enteros, entre Do, Fa, Sol y el Do inferior y entre sus equivalentes en cualquier escala. Llegó a la convicción de que la armonía, la belleza, la naturaleza, pueden expresarse por medio de relaciones entre números enteros. Incluso creyó que los planetas, al girar sobre sus órbitas, deben producir una armonía celeste basada en los números enteros: la denomina «música de las esferas».

Los pitagóricos quedaron tan prendados del incomparable poder de los números enteros, tanta certeza tenían de que todo el universo estaba construido a base de estos números enteros, que llegaron a clasificarlos en categorías tales como «perfectos» y «amigables». También denominaron femeninos a los pares y masculinos a los impares, a excepción únicamente del número uno, que lo consideraron como el generador de todos los números. (El símbolo para el matrimonio era el número 5, suma del primer número femenino, el 2, y el primer número masculino, el 3.) Después, en el despertar de esta bonita fantasía, tuvo lugar un soberano descubrimiento tan poco pitagórico que la hermandad trató de suprimirlo. 
Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life

Colección cientifica de Time-Liffe Matemáticas1 Los números: un largo recorrido desde uno hasta cero

Iniciaciones Matemáticas

Una atenta alumna de primer grado se esfuerza en aprender las formas de los números. Durante este proceso repite las etapas primitivas del desarrollo matemático del hombre: después de aprender a contar, inventó las palabras para los números, y más tarde los símbolos numéricos.

Piensan los radioastrónomos que, algún día, uno de sus colegas experimentará la enorme sensación de recibir el primer mensaje procedente de seres inteligentes radicados en otro planeta o en otra estrella. ¿Y cómo descifrarán el mensaje? ¿Pero qué podrían decir que entendiéramos, estos seres diferentes de nosotros en sus orígenes y evolución, y probablemente también en su estructura biológica? Después de ponderar el problema, los científicos han concluido que el tipo de mensaje con mayor probabilidad de tener sentido en cualquier forma de vida inteligente, en cualquier parte, sería matemático.
Una raza adelantada extraterrena podría transmitir un simple fragmento de aritmética en clave, por ejemplo, y seguir repitiéndolo como tipo de señal de llamada. «Bip, bip-bip, bip-bip-bip» podría significar «Contando, uno, dos tres». «Punto-raya-punto» -pausa- «punto-punto» podría significar «Uno más uno igual a dos.» Una vez que se hubieran captado y reconocido signos sencillos de esta clase, se podrían intercambiar grupos enteros de hechos matemáticos y de fórmulas a fin de establecer un vocabulario básico para una comunicación posterior.
En el Observatorio Nacional de Radio en Green Bank, Virginia Occidental, los radioastrónomos han dirigido antenas gigantescas en forma de disco en dirección a dos estrellas remotas, Tau Cita y Épsilon Eridani, a fin de escuchar «bips» matemáticamente organizados. El que este esfuerzo haya sido efectuado con toda seriedad subraya una cualidad de universalidad en las matemáticas que todo el mundo siente, pero nadie sabe cómo definir. Muchos de los grandes pensadores de la humanidad, intoxicados por este algo indefinible, han decidido que las matemáticas representan la verdad absoluta. «Dios siempre hace geometría», dijo Platón. «Dios siempre hace aritmética», repitió el prusiano del siglo XIX Carl Gustav Jacob Jacobi. En nuestra misma época, el físico británico sir James Jeans ha declarado: «El Gran Arquitecto del Universo empieza ahora a revelarse como un matemático puro».
Hoy, aunque los matemáticos afirman la universalidad de su disciplina, muchos niegan que posea categoría de verdad absoluta. De hecho, una de las definiciones favoritas de las matemáticas es la aguda síntesis de Bertrand Russell: «La ciencia de la que nunca sabemos a qué nos referimos ni si lo que decimos es cierto». Esta definición no refleja modestia alguna, sino una jactancia tan orgullosa como jamás hiciera el hombre. En efecto, estos matemáticos dicen que su trabajo puede aplicarse al universo y a nuestro mundo debido a que lo diseñaron para que fuese aplicable a todo posible mundo y universo que pudiera imaginarse dentro de unas líneas lógicas. Dicen que las matemáticas llegan a un grado tal de sofisticación final que ya no importa la verdad o falsedad de cualquier premisa dada. Lo que importa, dicen, es que la premisa esté razonada correctamente hasta su conclusión. Utilizando este criterio, un matemático podría suponer a ciegas que la luna está hecha de queso verde, y argumentar a través de una serie de premisas hasta llegar a la conclusión de que los astronautas deberían llevar galletas «crakers».
Las matemáticas no constituyen tanto un cuerpo de conocimiento como un tipo especial de lenguaje, tan perfecto y abstracto que es de esperar sea comprendido por seres inteligentes en todo el universo. La gramática del lenguaje -su adecuada utilización- viene determinada por las reglas de la lógica. Su vocabulario está formado por símbolos tales como:

• cifras para los números
• letras para los números desconocidos
• ecuaciones para las relaciones entre números
• π para la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro
• sen (para el seno), cos (para el coseno) y tan (para la tangente) para las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo;
• √ para una raíz cuadrada
• ∞ para el infinito;
• ∑, ∫, ∂ y → para otros conceptos de las matemáticas superiores.

Todos estos símbolos ayudan muchísimo al científico, ya que sirven para abreviarle su pensamiento. Para los muchos no versados, no obstante, hacen que las matemáticas parezcan, más que una lengua universal, una barrera lingüística entre «dos culturas».
Sólo una parte del vocabulario de las matemáticas ha sido seleccionado por la ciencia. El resto -y toda su gramática- permanece en la esfera del pensamiento general humano. En realidad, las matemáticas pueden relacionarse tanto con la filosofía, la economía, la estrategia militar, la composición musical, la perspectiva artística y los juegos de salón como con la física atómica. Se comprende que quien esté instruido en matemáticas pueda amarlas con tanta efusión como un apasionado del ballet, de la plata fina, de las antigüedades o de cualquier otro adorno de la civilización.
Debido a su aspecto estético y a su total falta de relación con la práctica, las matemáticas puras pueden parecer el logro más absurdo jamás imaginado por los soñadores. Pero incluso algunas ramas de las matemáticas que hasta hace poco se consideraban inútiles, hoy han adquirido una importancia vital para los industriales, los generales y los planificadores gubernamentales. Nuestra civilización apenas existiría sin las leyes físicas y las técnicas intelectuales desarrolladas como producto conjunto con la investigación matemática. Nadie puede saldar su talonario de cheques sin hacer uso de la aritmética inventada por los antiguos mesopotámicos e hindúes. Nadie puede construir una pared sin utilizar las técnicas de medición geométrica creadas por los matemáticos egipcios. Fueron los pioneros griegos de la geometría quienes concibieron la idea que la tierra podría tener la forma de una esfera. Las matemáticas clásicas, al ser rescatadas del olvido de la Edad de las Tinieblas, favorecieron la propagación del espíritu aventurero de la era de Colón. Los hombres que forjaron la Revolución Industrial pusieron su confianza en las máquinas y en las investigaciones de Galileo y Newton. Hoy en día, la investigación atómica descansa en gran parte en la Teoría de la Relatividad de Einstein, quien a su vez utilizó las abstrusas especulaciones matemáticas del siglo XIX.
Los dos pilares de las matemáticas de la Antigüedad fueron la aritmética, la ciencia de los números, y la geometría, la ciencia de las formas y de las relaciones espaciales. A través de los siglos la aritmética fue ampliada por el álgebra, la cual suministró una notación abreviada para resolver los problemas en el supuesto de que hubiese cantidades desconocidas. En el siglo XVII, la aritmética y el álgebra se unificaron con la geometría en la «geometría analítica», la cual suministró una técnica para representar los números como puntos en un diagrama, para convertir las ecuaciones en formas geométricas y para convertir las formas geométricas en ecuaciones. La aproximación analítica de esta nueva geometría, aclarando una rama de las matemáticas en función de otra, abrió el camino a disciplinas de matemáticas superiores resumidas en la palabra «análisis».

El primer descendiente del análisis fue el cálculo, un sistema para analizar el cambio y el movimiento en función de puntos o números unidos en una sucesión continua. Esto permite a los científicos solucionar problemas de dinámica: comprender las ondulaciones de una onda, la trayectoria de una estrella errante. El cálculo continúa siendo un patrón para los tecnólogos cuando diseñan coches y cohetes.

Muchos científicos creían, cuando el cálculo empezó a utilizarse por primera vez, que les permitiría finalmente predecir el comportamiento continuo de todo objeto en movimiento. Pero en la misma época aproximadamente, mediante el estudio de los juegos de azar, los matemáticos descubrieron las leyes de la probabilidad que recordaron la creciente incertidumbre que acecha prácticamente a toda sucesión de hechos. En la actualidad dichas leyes sirven para facilitar el cálculo de lo que debe pagar un hombre de cincuenta años por una nueva póliza de seguros. Hacen posible que los contadores de votos puedan hacer una predicción exacta del resultado de las elecciones. Y se utilizan en los experimentos atómicos para valorar estadísticamente tipos de distribución de la descarga que efectúan los millones de invisibles partículas subatómicas cuando dan en el blanco en el fondo de un desintegrador de átomos.
Por medio de ecuaciones muy complicadas descubiertas a partir del cálculo y de la geometría analítica, los matemáticos concibieron formas geométricas fuera del alcance de nuestra vista: formas de un número cualquiera de dimensiones. También concibieron espacios de infinitas dimensiones para hacer encajar las formas. El concepto de espacio de más de tres dimensiones se ha tornado fundamental para las ideas acerca de la relatividad y el universo.

También ha servido para la solución de difíciles problemas referentes a campos eléctricos y magnéticos del complicado mecanismo de los computadores y de los aparatos de televisión. En la época actual los geómetras están alcanzando una abstracción todavía mayor de su arte a través de la «topología», el arte de analizar aquellas propiedades de una forma que permanecen inalteradas después de que ésta se ha contraído, alargado o retorcido.

3. La lógica de los ojos azules
Otros matemáticos han retrocedido para encontrar la inspiración entre las más elementales de todas las ideas matemáticas. Los «teóricos del número» han vuelto a los primeros pasos, los más falaces, por los que contamos, y reiteradamente han llegado a la conclusión de que los enteros son los más engañosos, estimulantes y divertidos de los temas que estudian las matemáticas. Incluso los procesos fundamentales del propio pensamiento han pasado a ser objeto de la exploración matemática. Los significados de los nombres y de los verbos utilizados en el razonamiento humano habitual, dicen los matemáticos, están sujetos a diferentes interpretaciones: ¿por qué no reemplazarlos por símbolos numéricos precisos y por operaciones concretas tales como la suma y la multiplicación? Si tal se hiciera, se lograría hacer desaparecer la ambigüedad de la interpretación. Los que proponen «esta lógica simbólica» han buscado ansiosamente la manera de reducir todos los objetos de estudio humano a «conjuntos» y «grupos», colecciones de pensamientos o de cosas que van enlazadas lógicamente, tales como «todos los ojos azules» o «todas las señoras que conducen». Y han tratado de encontrar caminos estrictamente lógicos para no hacer comparaciones odiosas al relacionar los elementos de un conjunto o de un grupo con los de otro.
Las distintas clases de matemáticas arriba esbozadas constituyen los montes principales de estas cordilleras. Las ramas de la geometría comprenden la proyectiva, la afín, la euclidiana y la de Riemann; las del álgebra incluyen la de Banach, la de Boole y la conmutativa. Todas estas ingeniosas creaciones del pensamiento no tan sólo tienen aplicación en la vida cotidiana, sino que en cierto sentido emanan de la vida misma. Cuando un indio del Amazonas dispara una flecha envenenada a un mono que está en la copa de un árbol, intuitivamente está juzgando la trayectoria de un proyectil que podría ser estimada más exactamente a través del análisis y de las leyes del movimiento. Cuando aceleramos el coche, arriesgamos la vida por una estimación precisable por medio del cálculo.
En la actualidad apenas existe actividad humana o proceso del pensamiento que los matemáticos no hayan intentado reducir a sus elementos esenciales. Como resultado de esto, las matemáticas han seguido desarrollándose. Sus grandes obras son revisadas continuamente y puestas en términos más simétricos, generales y precisos. Esta revisión sin fin ha contribuido a evitar que las matemáticas, incluso después de unos 6.000 años de desarrollo, llegaran a ser voluminosas y dispersas. Hasta hace un siglo, un matemático dotado podía confiar en dominarlas con bastante detalle; incluso en la actualidad, un estudiante puede obtener una visión de conjunto bastante representativa, a fin de elegir una especialidad.
Inevitablemente el lenguaje de las matemáticas ha pasado a ser mucho más útil y difícil que cualquiera de las lenguas habladas. Los niños tienen una mayor oportunidad que los adultos para familiarizarse con él. Más de un padre puede mirar desdeñosamente a su hijo que está en la escuela elemental y que está familiarizado con parte de la terminología e ideas de la lógica simbólica, pero el hecho es que básicamente los nuevos conceptos de las matemáticas superiores son a menudo mucho menos difíciles que las ideas del último curso de aritmética elemental. Un grupo de matemáticos franceses que trabajan bajo el pseudónimo colectivo de «Nicholas Bourbaki» demostraron este punto hace algunos años cuando emprendieron una descripción enciclopédica de todas las matemáticas y encontraron que habían dedicado 200 páginas para el concepto, aparentemente inocente, del número «uno».
Mientras que ambas técnicas pedagógicas y de solución de problemas pueden a menudo simplificarse, los fundamentos abstractos nunca pueden ser expresados en forma fácil. Hace unos 2.300 años, se dice que Ptolomeo I pidió al matemático griego Euclides una explicación rápida de la geometría. La respuesta fue áspera: «No hay en la geometría camino especial para los reyes». La respuesta de Euclides sigue siendo válida. Los profesionales que se han adentrado por este camino, naturalmente, sienten una mezcla de superioridad y de impotencia hacia todos los Ptolomeos preguntones de la actualidad.

Afortunadamente, de la misma forma que no es necesario llegar a hablar con fluidez la lengua de un país para apreciar el carácter de su pueblo, tampoco es necesario ser capaz de decir a un matemático -o incluso pronunciarlo correctamente- para poder apreciar las ramas principales de su disciplina, a saber de qué tratan, por qué emocionan y tienen valor, y cómo han llegado a tener existencia.

Muchos no tienen nombres para los números superiores al dos o al tres. En parte, sin duda alguna, la razón es que viven en pequeños grupos familiares y son pobres en posesiones. Probablemente, también tienen pocas palabras para representar grupos. Algunos son botánicos instintivos que pueden reconocer y nombrar cientos de distintas especies de árboles, pero no tienen una palabra genérica para el árbol mismo. Un jefe indio del Brasil es probable que reaccione con desdén a la pregunta «¿cuántos?» Si se le presiona, normalmente recurre a un brujo -los antropólogos, por cierto, llaman a este hombre un «numerador»- para que invente nombres de números compuestos a partir de 1, 2, 3, y los recite después de cada objeto que el jefe enumere.
Al retirarse los glaciares hace unos 10.000 años, originando un cambio de clima, los hombres que habían sido cazadores nómadas de la Edad de Piedra se reunieron paulatinamente en los valles del Nilo, Tigris y Éufrates y se dedicaron a la agricultura. Inmediatamente el campesino individual afrontó el problema de tener en cuenta los días y las estaciones, de saber cuándo tenía que plantar y la cantidad de grano y semilla que debía guardar, de pagar las deudas sociales llamadas impuestos y dejar una herencia equitativa de tierra a sus hijos. Todos estos incidentes hicieron preciso que se diera nombre a los números y que se elaborara la operación de contar más allá de las nociones de «uno» y «muchos».

4. Los dedos de la mano, los del pie y las antiguas veintenas
Algunas tribus antiguas, según se cree, utilizaban una base de dos para contar: 1, 2, 2-1, 2-2, 2-2-1, etc. Otras utilizaban una base de 3: 1, 2, 3, 3-1, 3-2, 3-3, 3-3-1, etc. A medida que se convertían en campesinos y constructores, las gentes más avanzadas aumentaron su límite básico para contar. Muchos utilizaron sus propios dedos de la mano y del pie como instrumentos de cálculo, contando así hasta 20. Los sistemas de numeración con base 20 están todavía presentes en las palabras francesas de 80 y 90, «quatre-vingt» y «quatre-vingt-dix», que significan «cuatro veintes» y «cuatro veintes y diez», y en la libra inglesa de 20 chelines.
(El tradicional sistema británico, con sus medio penique, penique, tres peniques, seis peniques, chelines, medias coronas, libras y guineas, es un sistema de ½ -1-3-6-12-30-240-252, una mezcla de varios sistemas arcaicos que el Parlamento decidió abandonar en 1967.)
Cualquiera que fuera el sistema que utilizaran para contar, parece ser que los comerciantes de las primeras civilizaciones utilizaron guijas amontonadas en el suelo para representar los números contados. Probablemente de este método derivó el mecanismo de cálculo conocido por ábaco, que todavía se utiliza como un instrumento común en los bazares de Teherán a Hong-Kong. El ábaco puede haber empezado como una especie de pote de póquer en el que una clase determinada de fichas debía representar el 1, otra el 10, otra el 100. Con el tiempo, se desarrollaron distintos tipos de ábaco. Algunos estaban organizados mecánicamente de forma tal que las fichas de uno se deslizaban por una barra, las fichas de 10 por otra, las fichas de cien y de mil en una tercera y una cuarta.
La destreza en el uso de las fichas de cálculo para los cálculos financieros puede haber retrasado la perfección de los números escritos.

Y fue a partir del desarrollo de las anotaciones escritas para los números de donde brotaron las ideas de la aritmética y álgebra modernas. Una de las formas más elementales de escribir los números la conservamos en los números romanos I, II, II, IV, V, VI, etc. Básicamente es una técnica según la cual cada número se expresa como la adición o sustracción de unos cuantos símbolos básicos. Utilizamos un sistema similar cuando anotamos los resultados a través de |, ||, |||, ||||.
Se cree que los símbolos escritos, para los números que utilizamos en la actualidad, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9,  deben su origen a los hindúes. Se idearon para un método de cálculo de base 10, o «decimal», denominado así a partir de la palabra latina décima, que significa diez o diezmo. La forma en que unimos nuestros números parece bastante simple, pero de hecho es el resultado artificioso de siglos de desarrollo, lo que los matemáticos denominan una «notación posicional». En este sistema la posición de cada dígito en una sucesión de números determina su valor. Los números mayores de uno están separados de los números menores (las fracciones) por una coma decimal. A la izquierda de la coma, el primer dígito vale lo que representa; el dígito siguiente vale diez veces su valor representativo; el dígito siguiente cien veces; el siguiente mil veces su valor, y así sucesivamente. A la derecha de la coma, el primer dígito vale 1/10 de su valor; el dígito siguiente, 1/100; el siguiente, 1/1.000, etc.
El número 8.765,4321, por ejemplo, significa:

8 x 1.000 + 7 x 100 + 6 x 10 +5 x 1 + 4 x 1/10 + 3 x 1/100 + 2 x 1/1.000 + 1/10.000.

Finalmente se inventó un sistema abreviado, el denominado «potencial», o «exponencial», mediante el cual el número 8.765,4321 puede expresarse también así:

8 x 103 + 7 x 102 + 6 x 101 + 5 x 100 + 4 x 10-1 + 3 x 10-2 + 2 x 10-3 + 1 x 10-4.

En el caso de 103 el número 3 indica la «potencia» y es otra forma de escribir 10 x 10 x 10, o sea 1.000. De manera parecida, se usan los exponentes negativos para denotar las fracciones decimales; así:

10-3 = 1/103 = 1/1.000.

Dentro de este sistema de potencias se plantea algunas veces la cuestión del significado de 100 ó 10 elevado a cero. De nuestra sucesión de cifras, 8.765,4321, resulta obvio que 100 se encuentra entre 101 y 10-1 o entre 10 y 1/10 y, por lo tanto, 100 se define arbitrariamente que es igual a uno. Esta simetría de los exponentes se extiende a otros números y, excepto el cero, todo número elevado a la potencia cero se define como igual a 1.
El sistema para contar que se utiliza en la actualidad -el sistema de notación posicional decimal, para designarlo con su nombre completo utiliza una base de 10. Pero en modo alguno está justificado que no escribamos en su lugar números con una base de 12 ó 20. Durante más de la mitad del transcurso de la civilización los científicos del mundo occidental escribieron sus fracciones por un sistema de notación posicional en una base diferente. Era un sistema «sexagesimal», sorprendentemente artificioso, de los antiguos mesopotámicos, a base del número 60.
A pesar que 60 es un número extraordinariamente grande para utilizarlo como la base de un sistema de notación, todavía lo utilizamos diariamente en nuestra división de la hora en 60 minutos, del minuto en 60 segundos, y en la del círculo en 6 veces 60°. Si un oficial de la marina dice a sus hombres que sincronicen sus relojes a las 5:07:09, saben que quiere decir nueve segundos y siete minutos después de las 5 en punto. Pocos serían capaces de descifrar el número antiguo de base 60, 579, por el que los mesopotámicos querían decir:

5 x 602 + 7 x 601 + 9 x 60°;

pero si pudieran llegarían al número actual 18.429. Y esto es lo que 5:07:09 significa: exactamente 18.429 segundos después de medianoche.
El sistema de base 60 tenía un importante inconveniente derivado de su amplia base. Para representar cada número desde cero hasta 59, los mesopotámicos tuvieron que hacer frente a la situación de tener que idear 59 símbolos separados. Nadie, ni siquiera los amantes de los números, sumerios y babilonios, quienes habitaron en Mesopotamia a continuación, quisieron jamás aprender de memoria los 59 números. Para superar esta dificultad, los antiguos utilizaron combinaciones de dos símbolos cuneiformes, uno que representa al número 1, el otro que representa el número 10.

5. El esplendoroso 60
Con su única desventaja, el sistema de base 60 también tenía ciertas virtudes. El número 60 es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, mientras que 10 sólo es divisible por 1, 2, 5 y 10. Esto significa que los problemas de aritmética resueltos por el sistema 60 dieron resultados exactos con más frecuencia que el sistema de base 10. Lo que tal vez fue más importante para los mesopotámicos, que eran ávidos astrónomos, es que las base 60 encajaba bien con su división del año en 360 días.

El sistema 60 se originó con anterioridad al año 1700 a. de C. Las tablas cuneiformes de esa época muestran que por entonces ya era utilizado para las grandes hazañas del cálculo por parte de los matemáticos del reino de Hammurabi, rey-intelectual de Babilonia. Pero por aquel entonces no tenían ningún símbolo para el cero. Para indicar una posición vacía en una sucesión de números, dejaban un hueco. Pero como a menudo se olvidaban de hacerlo, a veces los números resultaban ambiguos.

Alrededor del año 300 a. de C., la era del siguiente grupo importante de tablas cuneiformes que han descubierto los arqueólogos, había aparecido un símbolo para el cero, una señal algo parecida a una W con los extremos elevados.
Durante este período los persas gobernaban Mesopotamia, y el sistema 60 mostraba un considerable desarrollo sobre su forma original. La naturaleza prodigiosa de lo que se había logrado puede estimarse echando un vistazo a una secuencia de cifras del sistema 60 de sólo cuatro lugares. Si, por ejemplo, los persas deseaban expresar el número cinco millones once mil ciento sesenta y siete, lo hacían así: 23,11,59,27 que significa

23 x 603 + 11 x 602 + 59 x 601 + 27 x 600
(4.968.000 + 39.600 + 3.540 + 27 = 5.011.167).

El sistema 60 sobrevivió a los mesopotámicos quienes lo adoptaron debido a que su notación posicional continuó, durante siglos, siendo la única existente. Los astrónomos griegos lo utilizaron para registrar, en forma posicional, las fracciones que resultaban de la representación del firmamento. Los griegos y los hindúes también utilizaron el sistema 10, pero sólo para simples operaciones de contar. Las letras del alfabeto griego e hindú sirvieron de símbolos para los números decimales.
Después, probablemente alrededor del año 500, algún hindú ideó una notación posicional para el sistema decimal. Los hindúes abandonaron los ya innecesarios símbolos escritos que habían utilizado para los números mayores de 9 y estandarizaron los símbolos de los nueve primeros. Aunque modernizados posteriormente, estos nueve símbolos constituyen lo que hoy conocemos por números del uno al nueve. El signo para el cero no se obtuvo hasta que se desarrolló la notación posicional.
El primer gran popularizador de esta notación fue un matemático árabe, al-Khowarizmi de Bagdad, quien alrededor del año 825 escribió un libro sobre los números indios en el que recomendaba la nueva técnica a los matemáticos y comerciantes del resto del mundo. Los nuevos números tardaron dos siglos en llegar a España, donde fueron reconstituidos en una escritura moderna reconocible a la que se conoce por guarismos de Ghobar, denominados así, según se cree, debido a la palabra árabe «polvo», o arena, ya que ocasionalmente se utilizaba una especie de caja de arena para contar. A finales del siglo XIII el gobierno de la ciudad de Florencia estaba dictando leyes contra el uso de los primeros guarismos decimales a fin de proteger a los honrados ciudadanos de las fáciles alteraciones, que los falsificadores de billetes de Banco, por ejemplo, podían realizar en los números 0, 6 y 9. Por la misma época la nueva técnica para escribir números llegó a Inglaterra con el Crafte of Nombrynge.

6. El triunfo de la base decimal
El sistema de notación posicional de base 10 se impuso finalmente sobre los anteriores sistemas debido a que los comerciantes europeos lo adoptaron. Es muy probable que los expertos árabe-indios de los despachos de las empresas navieras más importantes de Génova y Hamburgo encontrasen que podían hacer las cuentas más rápidamente que los colegas que se especializaban, por ejemplo, en los números romanos. En el entusiasmo de los hombres de negocios no participaron inicialmente los científicos y eruditos. Los círculos cultos continuaron apoyándose en el viejo sistema de base 60.
Nuestro propio sistema para designar las fracciones decimales -$0,23 para 23/100 de un dólar, ó 0,365 para el promedio de «battings» de un jugador de base-ball- hemos de agradecerlo a ciertos pensadores, tanto de Asia como de Europa. Uno de éstos fue al-Kashi, que en el siglo XV era director del Observatorio Astronómico de Samarcanda, fundado por Ulugh Beg, nieto de Tamerlán el Conquistador. Al-Kashi fue uno de los primeros matemáticos en darse cuenta que los exponentes podían utilizarse en el sistema de base 10 así como en el de base 60. Un alemán del siglo XVI, Cristoff Rudolff, elaboró una explicación aclaratoria más avanzada. Después un belga, Simon Stevin, presentó el primer tratamiento sistemático de las nuevas fracciones decimales en una obra orientadora denominada La Disme («El arte de los Dieces»). El punto decimal en la forma en que lo conocemos apareció por primera vez en 1617 en el libro de un escocés, John Napier.
Incluso hoy en día, con todos nuestros conocimientos, sería temerario pensar que ya hemos solucionado nuestro sistema de cálculo. Hay algunos ateos inconvertibles, que no son de carne y hueso: los «robots» o máquinas de cálculo. Estas criaturas del genio humano funcionan por medio de interruptores eléctricos que pueden estar o bien «cerrados» o «abiertos». Como resultado de esto sólo pueden contar dos números: «1 al estar abierto y 0 al estar cerrado». Por lo tanto, cada vez más el hombre moderno se apoya en un sistema de aritmética de base 2 o binario.
Irónicamente, en el momento en que oigamos el primer «Bip, bip-bip, bip-bip-bip» desde un planeta, puede que retrocedamos a la simplicidad de un aborigen, pero podremos añadir la comprensión de un Einstein.

Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life

Elementos básicos para el estudio del cálculo 1.3 Desigualdades

La proposición de que una expresión algebraica es menor o mayor que otra se le da el nombre de desigualdad. En otras palabras, podemos decir que la desigualdad es una expresión algebraica en donde intervienen los signos de relación.

>  mayor que;  < menor que   ; $\geq$ mayor o igual que ; $\leq$ menor o igual que.

Definición: una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b” cuando la diferencia a-b es positiva; a > b  si y solamente si a – b > 0.

Toda cantidad positiva es mayor que cero.

Averiguar si 8 > 3

8-3 = 5

5> 0

5 es positivo por lo tanto 8 > 3.

Averiguar si -2 > -7

(-2) – (-7) = 5

5> 0

Por lo tanto -2 > -7.

Una cantidad “a” es menor que otra cantidad “b” cuando la diferencia a-b es negativa ; a < b si  y solamente a –b < 0.

Toda cantidad negativa es menor que 0.

Averiguar si 5 < 9.

5-9 = -4

-4 < 0

Luego 5 < 9 

Averiguar si -7 < -4

(-7)- (-4) = -3

-3 < 0

 Luego -7 < -4

Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a  la izquierda; y segundo miembro , a la que está a la derecha de la desigualdad.

Los términos de una desigualdad   son las cantidades  que están separadas de otra por el signo (+) o (-); o la cantidad que está sola en un miembro.

Observación: en las cantidades positivas, el número que se encuentra cerca del origen en la recta numérica es menor del que se encuentra lejos del origen.

En las cantidades negativas el número que se encuentra lejos del origen en la recta numérica es menor al que se encuentra cerca del origen.

Teoremas o propiedades de las desigualdades. Si a,b y c son números reales cualesquiera, tenemos:
 1.-Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una cantidad, el signo de desigualdad no varía.

   Si           a > b

             a +c > b +c

                 a-c >b-c 

Consecuencia. Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.

2.-Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Si               a > b

                ac > bc

                    $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$

Consecuencia. Podemos suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad.

3.- Si a los miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

Si a >  b

  -ac < -bc.

Inecuaciones

Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas.

Según las características de la solución de una desigualdad, tenemos la siguiente clasificación:

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x

Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x.

Las desigualdades condicionales son las inecuaciones.

Elementos básicos para el estudio del cálculo 1.2 Conjuntos

La teoría de conjuntos es un sistema matemático y un lenguaje específico para el manejo de ciertos problemas teóricos y prácticos. La teoría de conjuntos en la vida profesional sirve principalmente a las carreras de : Administración de empresas, Economía, Físico-Matemáticas, computación, etc.

La palabra conjunto es básica en el pensamiento del ser humano; la idea de conjunto es algo puramente intuitivo, algo no definido, pero sí entendido por cada ser humano como resultado de su propia experiencia; a mi parecer, conjunto es una colección de objetos; los objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Notación: Se denota a los conjuntos por las letras mayúsculas y a los elementos por las letras minúsculas.

La forma de representar a un conjunto es encerrando los números o las figuras entre llaves $\left\{{}\right\}$, separándolos por comas.

Los conjuntos pueden ser definidos por extensión o descripción de sus  elementos. Los requisitos esenciales para que exista un conjunto son los siguientes:

1.    La colección de objetos debe de estar bien definida.

2.    Ningún objeto del conjunto se debe encontrar más de una vez.

3.    El orden en que se encuentran los objetos carece de importancia.

Operaciones con conjuntos. De la misma manera que en aritmética  podemos obtener un número mediante una operación  hecha con otros dos, esto se hace con los conjuntos.

Las operaciones de los conjuntos son: la unión, la intersección y la diferencia de conjuntos.

En este blog de momento nos interesa solamente la unión y la intersección de conjuntos

Unión de conjuntos. El conjunto unión de A y B , que se simboliza  $A \cup B$ y se lee “A unión B”, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos. La Unión  de los conjuntos  A y B se define en forma constructiva de la siguiente manera:

$A\cup B = \left\{{x/x \in{A} }o x\in{B} \right\}$ $A \cup B = \left\{{x/x \in{A \vee}X \in{B}}\right\}$ 

Intersección de conjuntos El conjunto intersección de A y B, que se simboliza  $A \cap B$ y se lee “A intersección B”, es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

La intersección de los conjuntos A y B se define en forma constructiva de la siguiente manera:

$ A \cap B =\left\{{x/x \in{A},X\in{B}}\right\}$  $ A\cap B = \left\{{x/x \in{A\wedge}X \in{B}}\right\}$

 La diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo.

Ejemplo : Dados los conjuntos  $ A=\left\{{1,3,5,7}\right\}     B = \left\{{2,4,6,7}\right\}$ encontrar  $A \cup B$ $A\cap B$

$A \cup B = \left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}$

$A\cap B =\left\{{7}\right\}$

Elementos básicos para el estudio del cálculo 1.1 Sistema de los números reales

 La numeración es el acto de contar y medir; el resultado de contar y medir es el número. Es lógico pensar que tenemos la posibilidad de contar y medir los elementos de cualquier conjunto que consideremos, y de este acto de contar y medir los elementos de un conjunto se obtienen los números naturales (N).

Los números reales (R) son el conjunto de números formados por los siguientes subconjuntos.

Los números naturales (N) son el conjunto de los números que usamos ordinariamente para contar:

N= $ \{ 1,2,3,4,5,6,… \}$

Números enteros (I) son el conjunto de números naturales y sus inversos (u opuestos) junto con el cero.

I= $ \{… -4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,4 ,… \}$

El campo de los números compuestos es aquél en donde los números naturales no son primos, así por ejemplo: 4, 6, 8, 10,12.

Números racionales (Q) son el conjunto formado por todos los números que se pueden representar como cociente de 2 enteros en forma m/n, donde m y n son enteros y n $\neq$ 0.

5/2 ,  -7/8,   3/4   -19/2,  -17/1

Es lógico pensar que los números enteros son números racionales, ya que siempre se pueden expresar como cociente de un número entero.

Los números racionales también pueden escribirse como representaciones decimales periódicas.

Así por ejemplo los números racionales:

2/11 = 0.181818…  1/3= 0.3333333…  61/111= 0.549549…

Cualquier decimal periódico es infinito.

$ \sqrt[]{\frac{22}{7}}$  = 3.1428 decimal no periódico.

$ \sqrt[]{2}$  = 1.4142135...   decimal no periodico.

Números irracionales (Q´) son el conjunto de todos los números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Los números irracionales tienen representación decimal infinita y no periódica. Algunos ejemplos notables de números irracionales prácticos son los siguientes.

e= 2.718… $\sqrt[]{3}$ = 1.732… $\pi $ = 3.1416…

Conjunto de los números reales (R) es el conjunto formado por los números irracionales y por los números racionales,junto con sus inversos aditivos y el cero.

Representación gráfica de los números reales. Recta real o recta númerica. Dado que existe una correspondencia uno a uno entre un conjunto de puntos de una recta y el conjunto de números reales (axiomas de orden), podemos representar a los números reales (R ) como se muestra en la figura.

Propiedades de campo

Leyes conmutativas: $x +y = y+x$     
                               $xy = yx$

Leyes asociativas: $ x +(y+z) = (x+y) +z$

                              $ x (yz) =  (xy) z$

Ley distribuitiva: $ x (y +z ) = xy + xz$

Elementos Neutros. Hay dos números distintos,0 y 1 , que satisfacen las identidades 

(1)  $x + 0= x $. 
(2) $ x\cdot{1} = x $.

Inversos. Cada Número tiene un inverso aditivo  (también llamado negativo),  $-x$ , que satisface la expresión  $x+ (-x) = 0$. Además cada número, excepto 0, tiene un inverso multiplicativo (también llamado recíproco),  ${x^{-1}}$  , que satisface la expresión $x\cdot{x^{-1}} = 1$  .