4.2.3 Problemas

1.Si una línea desde el vértice C de un triangulo ΔABC bisecta la mediana trazada desde A. Probar que esa linea divide al lado AB en razón de ½

2.En un rectángulo ABCD, el punto medio del lado CD es F y E es el punto del lado BC tal que AF es bisectriz del ánguloÐ EAD .Demostrar que AF es perpendicular a EF.

Teorema 4.2.6 Si un mismo puno hace a la vez la función de circuncentro e incentro para un triangulo, este es equilátero.

Teorema 4.2.6 Si un mismo puno hace a la vez la función de circuncentro e incentro para un triangulo, este es equilátero.
Demostración. Consideremos un triangulo ABC en donde P es circuncentro e incentro a la vez.
Como P es circuncentro de ΔABC, entonces ÐBDP = 90º= ÐPDA y además AD = DB. Utilizando el criterio L.A.L. afirmamos que los triángulos ΔADP y ΔBDP son congruentes. Se sigue que
ÐPAD = ÐPDB.
Por otro lado, ya que P es el incentro de ΔABC, AP y BP son bisectrices de ÐCAB y ÐCBA, respectivamente. Por consiguiente
ÐPAC = ÐBAP
ÐABP = ÐPBC
Luego
ÐPAC = ÐBAP = ÐABP = ÐPBC.
Por lo tanto los ángulos ÐCAB y ÐCBA son iguales. De manera semejante se puede demostrar que ÐACB = ÐCAB.
Así el triangulo ΔABC tiene sus tres ángulos interiores iguales. Y por el ejercicio (4.1.1), tiene también sus tres lados iguales.

Teorema 4.2.5 Las tres mediatrices de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.

Teorema 4.2.5 Las tres mediatrices de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Demostración. Sea Δ ABC un triangulo cualquiera. Tomemos las mediatrices m y l correspondientes a los lados AB y AC respectivamente.
Llamémosle P al punto de intersección de m y l. Falta ver que la tercer mediatriz pasa también por P.
Como P∈ m entonces PA=PB con m mediatriz de AB. Y también como P ∈l, entonces PA= PC con l mediatriz de AC.
Por lo tanto PB= PC. Así el teorema (4.2.4) implica que por el punto P pasa la mediatriz del segmento BC.
Otra manera de ver que P está en la mediatriz de BC es observar que BPC es isósceles con base BC, así P debe estar en la mediatriz de la base.
Notemos que en la demostración del teorema anterior tenemos que PB = PA = PC, así por A ,B y C pasa una única circunferencia con centro en P y radio PA = PB= PC. Es decir, por tres puntos que no estén situados e una misma recta pasa una única circunferencia, a dichos puntos se les llama concíclicos.
Habiendo demostrado los resultados anteriores, tiene sentido ahora establecer las siguientes definiciones.
Definición 4.2.1Al punto de intersección de las tres medianas de un triangulo le llamaremos baricentro. Este punto también es llamado gravicentro, centroide y centro de gravedad.
El punto en donde concurren las tres alturas de un triangulo le llamaremos ortocentro. Al punto en donde concurren las tres bisectrices de un triangulo le llamaremos incentro, que es el centro del circulo tangente interiormente a cada uno de los lados del triangulo.
El punto en donde se intercectan las mediatrices de un triangulo le llamaremos circuncentro, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triangulo.

Teorema 4.2.4 El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano, es justame

Teorema 4.2.4 El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano, es justamente la mediatriz del segmento determinado por estos puntos.

Demostración. Sean A y B dos puntos distintos en el plano, sea g el lugar geométrico g = {P: PA=PB }y sea m la mediatriz del segmento AB.

Tenemos que demostrar que g=m. Para esto procederemos por casos demostrando que ambos conjuntos se contienen mutuamente, es decir que g∈ m y que m∈g.
Primeramente vamos a ver que g∈ m. Tomemos P∈ g, entonces por la definición de g, AP =PB.
Considerando P∉ AB tenemos que P es punto medio de AB esto es P∉ m. Ahora, si P ∉AB entonces el triangulo ΔAPB es isósceles pues AP = PB y como m es mediatriz de ΔAPB entonces m es mediana y pasa por P. Así P∈ m.


Como en ambos casos, ya sea que P este o no sobre el segmento AB, tenemos que P∈ m. Se sigue que g ∈m.
Para demostrar que m ∈g tomemos inicialmente P∈ m.
Si P∈ AB entonces P es punto medio de AB y de esta forma PA=PB . De aquí que P∈ g. Y si por el contrario, P ∉AB, entonces m es mediatriz y mediana del ΔAPB relativa al lado AB. Por lo tanto el triangulo ΔAPB es isósceles con base AB. De esta manera AP=PB, es decir P∈ g.


Así podemos concluir que siempre P∈ g. Por lo tanto m∈ g.

Las tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.

Teorema 4.2.3 Las tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Demostración. Demostraremos primero que dos medianas se cortan en un tercio de la longitud total de cada una.

Tomaremos un triangulo cualquiera ΔABC y llamemos D y E a los puntos medios de AB y BC , respectivamente. Tracemos las medianas AE y DC y llamemos F a la intersección entre estas.


Ahora, tomemos G y H puntos medios de AF y FC respectivamente. Por la proposición ( 2.2.1 ) ,DE = ½AC. Además DE es paralelo a AC, ya que D y E son puntos medios de AB y BC respectivamente para el triangulo ΔABC.
Y de manera semejante tenemos que GH = ½AC y GH es paralelo a AC, pues G y H son puntos medios de AF, FC respectivamente para el triangulo ΔAFC.
Por lo tanto GH = DE y GH es paralelo a DE. Y por el teorema (3.1.5) Se sigue que DEGH es un paralelogramo. Así las diagonales DH y GE e cortan mutuamente en partes iguales, es decir GF= FE y DF = FH . Y como G y H son los puntos medios de AF y FC respectivamente, entonces.

AG = GF = FE y CH = HF =DF.
Finalmente, tomando M como punto medio de AC, la mediana BM deberá cortar en un tercio a cualquiera de las otras dos medianas, digamos a AE, teniendo que pasar necesariamente por F.
De esta forma podemos concluir que tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Observemos que cualquier punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento dado, equidista de los extremos del segmento. Para garantizar la implicación inversa demostraremos el siguiente teorema.

4.2.2 Teorema inverso de la bisectriz

Teorema 4.2.2 (Teorema inverso de la bisectriz) Sea P un punto perteneciente al lado BC de un triangulo ΔABC. Si los segmentos BC y PC son proporcionales a los lados AB y AC entonces AP biseca al ángulo Ð BAC.

Demostración. Sea Q el punto sobre la prolongación del lado BA tal que AQ = AC, como en la figura.

Por hipótesis

Y sustituyendo AC tenemos

Por lo que

En otras palabras


Asì por el criterio L.A.L. , los triángulos ΔABP y ΔQBC son semejantes. Se sigue que ÐBAP = ÐBQC, luego AP y QC son paralelos.
De esta forma tenemos que ÐPAC = ÐACQ y como AC = AQ entonces, por el teorema (4.1.1 )
ÐACQ = ÐAQC .

Por lo tanto
ÐBAP = ÐBQC = ÐAQC = ÐACQ = ÐPAC
Que es lo que queríamos demostrar.

4.2 Líneas en los triángulos

Teorema 4.2.1 (Teorema de la bisectriz) La bisectriz de cualquier ángulo interior de un triangulo determina, en el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los respectivos lados que forman el ángulo considerado.

Demostración. Sea ΔABC un triángulo cualquiera, si la bisectriz del ángulo BAC, corta a BC en P, entonces debemos probar que.






Llamémosle Q a la intersección de la prolongación de BA con una paralela a AP que pase por C.

Como PA y CQ son paralelas, entonces
ÐBAP= ÐAQC
ÐPAC= ÐACQ

Y como además BAP = PAC , por ser AD bisectriz del ángulo BAC, entonces
ACQ= AQC

Así, por el ejercicio (4.1.1), AC= AQ y el triangulo ΔACQ es isósceles.
Por otro lado, utilizando el teorema de Tales, como PA es paralela a CQ, entonces







Sustituyendo AQ por AC demostramos lo que queríamos.