Leyes formales de las operaciones fundamentales con números reales.

Hemos visto sumariamente como a través del curso de la historia de las matemáticas, se ha ido ampliando el campo de los números hasta llegar al concepto de número real. El camino recorrido ha sido, unas veces, el geométrico, que siempre desemboca en la aritmética pura, formal; otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar en lo intuitivo, en lo geométrico. Como ejemplos del primer caso, tenemos los números irracionales, introducidos como razón de dos segmentos con el propósito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible la expresión del resultado de la radicación inexacta. Y también los números fraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes conmensurables, y que hacen posible la división inexacta, como ejemplo del segundo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez como raíces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando el minuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido cuando trabajamos con números naturales. Más tarde estos números negativos (relativos) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado de una recta indefinida.


Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico vamos a exponer las leyes formales, de la suma y la multiplicación, ya que las demás operaciones fundamentales pueden explicarse como a partir de estas. Conviene ir adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas leyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente le plantearan las matemáticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.


Igualdad
I .Axioma de identidad: a =a.

II .Axioma de reciprocidad: si a=b, tenemos que b=a.

III. Axioma de transitividad: si a=b y b=c, tenemos que a = c.

Suma o adición

I. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igual, es decir única: así, si a =b y c =d, tenemos que a+c = b+d.


II. Axioma de conmutividad: a+b = b +a.

III. Axioma de asociatividad: (a+b)+c = a+ (b+c)

IV.- Axioma del elemento neutro: Hay un número y solo un número el cero, de modo que a + 0 =0+a = a, para cualquier valor de a, de ahí que el 0 reciba el nombre de elemento neutro de la suma.

Multiplicación.

I.-Axioma de uniformidad: el producto de dos números es siempre igual, es decir , único, así si a=b y c =d, tenemos que ac =bd.

II.- Axioma de conmutatividad: ab =ba.

III.-Axioma de asociatividad: (ab)c = a (bc).

IV.- Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que a (b+c)=ab +ac.

V.-Axioma del elemento neutro de la multiplicación.-Hay un número y solo un número, el uno (1), de modo que a x 1 = 1 x a = a, para cualquier valor de a.

VI.-Axioma del elemento inverso.- para todo número real a ≠ 0 (a distinto de cero) corresponde un número real, y solo uno x, de modo que ax =1. Este número x se llama inverso o reciproco de a y equivale a $\frac{1}{a}$.

Axiomas de orden.

I.- Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación y solo una entre ambos, que a > b ; a= b o a < b.

II.- Monotonía de la suma: Si a > b  y c > 0 tenemos que a +c > b+c.

III.- Monotonía de la multiplicación: si a > b y c > 0 tenemos que ac > bc.

Axioma de continuidad

1. Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todo número de A es menor que cualquier número de B, existirá siempre un número real c con el que se verifique $a\leq c \leq b $, en que a es un número que está dentro del conjunto A, y b es un número que esta dentro del conjunto de B.

Operaciones fundamentales con los números relativos

Suma de números relativos

En la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos: sumar dos números positivos; sumar dos números negativos; sumar un positivo con otro negativo, y sumar el cero con un número positivo o  negativo.

1).-Suma de dos números positivos

Regla

Para sumar dos números positivos se procede a la suma aritmética de los valores de ambos números y al resultado obtenido se le antepone el signo +. Así tenemos:

(+4) + (+2)= (+6)

2) Suma de dos números negativos

Regla para sumar dos números negativos se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado obtenido se le antepone el signo -. Así tenemos:

(-4) + (-2)= (-6).

3) Suma de un número positivo y un número negativo

Regla

Para sumar un número positivo y un número negativo se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores de ambos números y al  resultado obtenido se le pone el signo del número mayor. Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es 0. Así tenemos

(+6 )+ (-2 )= (+4)

(-6)+ (+2)= (-4)

(-6)+ (+6)= 0

(+6)+ (-6)=0

4).-Suma de cero y un número positivo o negativo.

Regla

La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo.

Así tenemos    (+4) + 0 = (+4)

(-4)+ 0 = -4.

En general :

a + 0 = 0 + a = a.

En que a puede ser negativo, positivo  o nulo.

Sustracción de números relativos.

Llamamos opuesto de un número al mismo número con signo contrario. Así decimos que  - m es opuesto de + m.

Ya vimos en un caso que de la suma que:

(+m) + (-m) = 0.

La sustracción es una operación inversa de la suma que consiste en hallar  un número x (llamado diferencia), tal que sumado con un número dado  m, dé un resultado igual a otro número n, de modo que se verifique:

X + m = n              (1)

Llamando m’ al opuesto de m, podemos determinar la diferencia x, sumando en ambos miembros de la igualdad (1) el número m ’ en efecto

x + m + m’ =n + m’    (2)

Si observamos el primer miembro de esta igualdad (2) veremos que aplicando el axioma de asociatividad  tenemos m + m’ =0 y como x + 0 = x , tendremos

x = n +m’               (3)

que es lo que queríamos demostrar, es decir que para hallar la diferencia entre n y m basta sumarle el opuesto de m (osea m’). Y como hemos visto que para hallar el opuesto de un número basta cambiarle de signo, podemos enunciar la siguiente

Regla

Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma al minuendo el sustraendo, cambiando el signo

Así:

(+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4

(+8)- (-4) = (+8)+ (+4)= + 12

(-8)- (+4)= (-8)+ (-4) = -12

(-8)- (-4)= (-8)+ (+4)= -4

Multiplicación de números relativos

Regla

El producto de dos números negativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado  llevara signo positivo (+), si los signos de ambos factores son iguales; llevará signo negativo (-), si los factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto  será 0.

Cuando operamos con símbolos literales el producto es siempre indicado, bien en la forma a x b; bien en la forma a· b; y más usualmente ab.

Así:

(+2)(+3)= +6

(-2)(-3)= +6

(+2)(-3)= -6

(-2)(+3)= -6

(0) (+3) = 0

(0)(-3)= 0

(0)(0)= 0

El siguiente cuadro es un medio de recordar fácilmente la ley de los signos en la multiplicación de los números relativos.

Potencia de números relativos

Llamamos potencia de un número relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a es un número relativo cualquiera y n>  1 es un número natural, tendremos  la notación  $a^n$, que se lee a elevado a la enésima potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces  : así

Ejemplo:

$4^5$ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024 

En este ejemplo 4 es la base y 5 el exponente.

Regla
 la potencia de un número positivo es siempre positiva. La potencia de número negativo será positiva si el exponente es entero y par; negativa si el exponente es entero e impar.

Producto de dos potencias de igual base.

Regla

Para multiplicar dos potencias de igual base, se eleva dicha potencia a la base que resulte de la suma de los expontentes respectivos. Ejemplo:

$a^n  \cdot{a^2} = a^{n+2}$

$(3)^2 \cdot{(3)^4}=(3)^{2+4} = 3^6 =729$

Potencia de una potencia

Regla

Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los expontentes y se mantiene la base : Ejemplo:

$(a^n)^n= a^ {n\cdot{n}}= a^{n^2}$

$(-2^2)^3 = -2^ {2\cdot{3}}= -2^6 = 64$

Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de un número  a una potencia cuyo exponente, a la vez está afectado por otro exponente. Así, no es lo mismo $(4^2)^3$ que  $4^{2^{3}}$. Ejemplo:

$(4^2)^3 = 4^{\cdot{2\cdot{3}}}=4^6 = 4096$

$4^{2^{3}} = 4^{\cdot{2\cdot{2\cdot{2}}}}=4^8=65536$

Radicación de números relativos

Ya vimos, al tratar de las leyes formales de la multiplicación que de acuerdo con el axioma VI (existencia del inverso) , a todo número real  $a\neq 0$ corresponde un número real y solo uno  x, de modo que ax=1; Este número x se llama inverso o reciproco de a, y se representa por 1/a.

El inverso o reciproco  de un número relativo cualquiera distinto de cero tiene su mismo signo.

El inverso de +4 es $+\frac{1}{4}$

El inverso de -4 es $-\frac{1}{4}$

El inverso de $-\sqrt[]{3}$ es $ -\frac{1}{\sqrt[]{3}}$

El inverso de  $+ \frac{1}{2}$ es +2.

La división es una operación inversa de la multiplicación que consiste en hallar uno de los factores, conocidos el otro factor y el producto. Es decir siendo el dividendo $d$ y el divisor  $d’$ hallar el cociente c, de modo que se verifique $d´c = d$.

Recordemos que esta operación  solo es posible si $d´$ es distinto de cero.

Aplicando el axioma de existencia del inverso tenemos que:

1/d´ (d´)c= 1/d´ d

Sabemos que $ 1/d' (d´c)= (1/d' d')c = (+1)c =c.$

Eliminando queda c =1/d´  d.

De lo cual deducimos la siguiente regla

Para dividir un número cualquiera d  por otro número  distinto de cero d´  multiplicamos d por el reciproco de d´ (1/ d´). El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo: y negativo, si son de signos contrarios.

Con el siguiente cuadro podemos recordar  fácilmente la ley de los signos de la división  con números relativos.

Ahora que estudiamos la división, podemos enunciar tres casos de la elevación a potencia de un número cualquiera.

1) Si un número cualquiera $ a \neq 0$ , se eleva a la potencia 0 es igual a +1. Así;

$a^0 = +1$

$3^0 = +1$

2) Si un número cualquiera $ a \neq 0$, se eleva a un exponente negativo cualquiera –m es igual al reciproco de la potencia $a^m$  de exponente positivo así

$a^{-m}  =\frac{1}{a^m}$

$3^{-2}  =\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

3) La división  de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la  diferencia de ambos exponentes. Así:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2 = 9$

Uniformidad de las operaciones naturales con números relativos

Hemos visto en las operaciones estudiadas a saber: suma, resta, multiplicación, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma de la uniformidad. Quiere esto  significar que cuando sometemos dos números relativos  a cualquiera de las operaciones mencionadas, el resultado es uno y solo uno, es decir único. Sin embargo, cuando extraemos la raíz cuadrada de un número positivo, tenemos un resultado doble. Pues como veremos, al estudiar la extracción de las raíces, un número positivo cualquiera, al extraérsele una raíz de grado par siempre tendrá dos resultados o raíces una positiva y otra negativa.

Así  $\sqrt[]{+a}=  \pm a$  del mismo modo que

$\sqrt[]{+64}=  \pm 8$  

Notas sobre el concepto de número

El concepto de número natural que satisface las  exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y abstracción características de la operatoria algebraica.

En álgebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cualquier tipo especial de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado el campo de los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacen las leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos más adelante el número natural no nos sirve para efectuar la resta y la división en todos los casos. Baste por el momento, dado el nivel matemático que alcanzaremos a lo largo de este texto, explicar cómo se ha  llegado al concepto de número real.

Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio histórico que nos haga conocer la gradual aparición d las distinta clases de números; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto cómo ciertas necesidades materiales han obligado  a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos. Este doble criterio, permitirá al principiante alcanzar una comprensión clara de  concepto formal (abstracto) de los números reales.

El número entero y el número fraccionario.

Mucho antes de  que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios (según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 2000-1800 A.C.) y los egipcios ( como se ve en el papiro de Rhind) conocían las fracciones.

La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los números fraccionarios.

Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de estas dos cosas: que la unidad esté contenida un número entero de veces, o que no esté contenida un número entero de veces. En el primer caso, representamos el resultado de la medición con un número entero. En el segundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres o en cuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la unidad que este contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta última medición lo expresamos con un par de números enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dará en  el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el numerador, el número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números fraccionarios  ½, 1/3, 3/5, etc.

Podemos decir también, que son números fraccionarios los que nos permiten expresar el cociente de una división inexacta, o loo que es lo mismo, una división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor.

Como se ve, en oposición a los números fraccionarios tenemos los números enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una división exacta, como por ejemplo 1, 2, 3, etc.

El número racional y el número irracional.

Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cuándo y cómo surgieron los números irracionales.

Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los números irracionales. Los historiadores de la matemática, están de acuerdo en atribuir a Pitágoras  de Samos (540 A.C.), el descubrimiento de estos de estos números, al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. Más tarde, Teodoro de Cirene (400 A.C.), matemático de la escuela pitagórica, demostró geométricamente  que √‾2, √‾3, √‾5, √‾7, etc., son irracionales. Euclides (300 A.C.), estudió en el Libro X  de sus 2Elementos”, ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables y los  números que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales. Ejemplos de tales magnitudes son la relación del lado de un cuadrado con la diagonal del mismo, que se expresa con el número irracional $\sqrt[]{a^2 + b^2}$ y la relación de la circunferencia al diámetro que se expresa con la letra $\pi  = 3.141592...$

 Como consecuencia de la introducción de  los números irracionales, consideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto de los números enteros. Definimos el número racional como aquel número que puede expresarse como cociente de  dos enteros. Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Llamamos  números reales al conjunto de  los números racionales e irracionales.

Los números positivos y negativos

Los números negativos no fueron conocido por los matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de  Diofanto (siglo III D.C.), que en su aritmética, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +. En el siglo VI,  los hindúes  Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fueron Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo  los signos + y – para caracterizar  los números positivos y negativos.

La significación de los  números relativos o con signos (positivos y negativos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir , magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geográfica de un región determinada; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente (Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o grados bajo cero. Convencionalmente fijamos los números positivos o con signo +  en una dirección  y los números negativos o con signo - en la dirección opuesta.

Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos que  representan una determinada unidad, nos resultan los puntos A, B, C, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del punto cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendremos los puntos a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indicado  a la derecha del punto cero representan  números positivos (A,B,C, etc.); los puntos señalados a la  izquierda (a, b, c, etc.), representarán números negativos.

Históricamente, los números negativos surgen para hacer posible la resta de todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.

Los números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo – que llevan antepuesto. 

El número cero.  Cuando tratamos de aprehender  el concepto de número natural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí. Por extensión  llamamos conjunto al que tiene un solo elemento y que se representa por el número 1.  Ahora, consideramos el número cero como expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos.

Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. 

El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar:

Álgebra preliminares V

Términos semejantes.

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, ósea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes

Ejemplos

$2a$ y   $a$   ; $-2b$ y $8b$ ; $-5a^{3}b^{2}$  y  $-8a^{3}b^{2}$  ; $x ^{n+1}$ y $3x^{n+1}$.

Los términos $4ab$ y $-6ab^{2} $ no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primer término tiene exponente 1 y la a del segundo término tiene de exponente 2.

Los exponentes $-bx^{4} $ y $ab^{4}$ no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.

Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término, dos o más términos semejantes.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.

Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos

1.- $3a + 2a = 5a$

2.-$-5b – 7b = -12b$

3.-$-a^{2} – 9a^{2} = -10a^{2}$

4.- $3a^{x-2} + 5a^{x-2} = 8a^{x-2}$

5.-$-4a^{m+1} – 7a^{m+1} = -11a^{m+1}$

6.-$ \frac{1}{2}ab +\frac{2}{3}ab = \frac{7}{6}ab$

7.-$ \frac{1}{3}xy -\frac{2}{3}xy = -xy$

8.-5x +2x +x  = 8x

9.-$-m -3m -5m -6m = -15 m$

10.- $\frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{4}x^2y + \frac{1}{8}x^2y = \frac{7}{8}x^2y$

Reducción de dos términos semejantes de distinto signo

Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

1.-$2 a – 3a = -a$

2.-$18 x-11x = 7x$

3.-$ -20 ab +11ab = -9ab$

4.-$-8a^{x} + 13a^{x} = 5a^{x}$

5.-$25a^{x+1}-54a^{x+1}=-29a^{x+1}$

6.-$ \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}a= -\frac{1}{6}a$

7.-$ -\frac{3}{7}a^{2}b +a^{2}b =\frac{4}{7}a^{2}b$

8.-$ -\frac{10}{12}a^{x+1} +\frac{3}{4}a^{x+1} = -\frac{1}{12}a^{x+1}$

De la regla anterior se deduce que dos términos semejantes de iguales coeficientes y de signo contrario se anulan.

Así:

$-8ab +8 ab = 0. $

$-\frac{2}{5}x^{2}y +\frac{2}{5}x^{2}y= 0.$

Reducción de más de dos términos semejantes de distintos signos.

Se reducen a un solo término todos los términos positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla anterior.

Ejemplos

1).- Reducir $5a -8a +a -6a +21a$

Reduciendo los positivos $5a +a +21a =27a$

Reduciendo los negativos $-8a -6a = -14a$

Aplicando a estos resultados obtenidos, $27a$ y $ -14$a la regla del caso anterior, se tiene $27a-14a =13a$

Esta reducción también puede hacerse término a término, de esta manera

$5a -8a =-3a $ ;  $ -3a  +a = -2a$ ;  $-2a  - 6a   = -8a $;   $-8a +21a = 13a  $

Reducir 

$-\frac{2}{5}bx^2 + \frac{1}{5}bx^2 + \frac{3}{4}bx^2 -4bx^2 + bx$

Reduciendo los positivos

$ \frac{1}{5}bx^2 + \frac{3}{4}bx^2  + bx^2 = \frac{39}{20}bx^2$

Reduciendo los negativos

$-\frac{2}{5}bx^2  -4bx^2 = -\frac{22}{5}bx^2$

Tendremos $\frac{39}{20}bx^2 - \frac{22}{5}bx^2 = -\frac{49}{20}bx^2$.

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases.

Ejemplos

(1)Reducir el polinomio $5a$  $-6b$ + $8c$  $+9a$ $-20c$ $-b$ $+6b$ $-c$

Se reducen por separado los de cada clase:

$5a$ $+ 9a$ $= 14 a$

$-6b$ $-b$ $+6b$ $= -b$

$8c$ $-20c$ $– c$ $= -13c$.
Tendremos $14a -b -13c $

Reducir el polinomio

$8a^3b^2$ $+ 4a^4b^3$  $+  6a^3b^2$ $-a^3b^2$ $-9a^4b^3$ $-15 -5ab^5$ $+8 -6ab^5$

Se reducen por separado los de cada clase

$4a^4b^3$  $-9a^4b^3$ $=  -5a^4b^3$

$8a^3b^2$ $+  6a^3b^2 -a^3b^2$ $=13a^3b^2  $

$ -5ab^5$ $-6 ab^5$  $=-11 ab^5 $

$-15+8 =-7$

Tendremos

$-5a^4b^3 + 13a^3b^2  - 11 ab^5  -7$

Valor numérico

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Valor númerico de expresiones simples.

Ejemplos

1).-Hallar el valor numérico de $5ab$ para $a=1$, $b=2$.

Sustituimos la a por su valor 1, y la b por 2 y tendremos

$5ab = 5 × 1 × 2 = 10$.

2).-Valor numérico de $a^2b^3c^4$ para $a=2, b= 3 , $$c =\frac{1}{2}$
    $a^2b^3c^4$$= 2^2 × 3^3× (\frac{1}{2}) ^4$ $= 4 × 27 × \frac{1}{16} = 6\frac{3}{4}$

3.-El valor numérico de $3ac\sqrt[]{2ab}$ para $a=2, b= 9, c= \frac{1}{3}$

$3ac\sqrt[]{2ab}$ $= 3× 2 × \frac{1}{3}  × \sqrt[]{2 × 2 × 9} = 2  × \sqrt[]{36}= 2×6 =12$
Valor numérico de expresiones compuestas

1.-) Hallar el valor numérico de $a^2 -5ab + 3b^3$ para a=3, b=4.

$a^2 -5ab +3b^3 = 3^2 -(5×3×4) +3(4)^3 = 9 -60 +192 = 141$

2.-) Valor numérico de $\frac{3a^2}{4}-\frac{5ab}{x} + \frac{b}{ax} $, para $a =2 , b= \frac{1}{3}, x = \frac{1}{6}$.

$\frac{3a^2}{4}-\frac{5ab}{x} + \frac{b}{ax} =\frac{3(2)^2}{4} -\frac{5(2)(\frac{1}{3})}{\frac{1}{6}} + \frac{\frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{6})}=3-\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{6}}+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=3 -20 +1=16.$

Ejercicios sobre notación algebraica

Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden hacerse las mismas operaciones que con los números aritméticos. A continuación algunos ejemplos.

1).- Escriba la suma del cuadrado de a con el cubo de b.

$a^2 + b^3$.

2).-Un hombre tenía $\$a$ ; después recibió $\$b$ y después pago una cuenta de $\$c$ ¿Cuánto le queda?

Teniendo $\$a$ recibió $\$b$ luego tenia $\$(a+b)$. Si entonces gasta $\$c$ le quedan $\$(a+b-c)$

3).- Compre 3 libros a $\$a$ cada uno ; 6 sombreros a $\$b$  cada uno y m trajes a $\$x$ cada uno ¿Cuánto he gastado?

3 libros a $\$a$ importan $\$a$.

6 sombreros a $\$b$   importan $\$6b$.

m trajes a $\$x$ importan $\$mx$.

Luego el gasto total ha sido  de $\$(3a+ 6b + mx)$.

4).-Compre 4 libros iguales por $\$m$ ¿Cuánto me ha costado cada uno?

Cada libro me ha costado $\frac{m}{x}\$$.

5).- Tenia $\$9$ y gaste $\$x$ ¿Cuánto me queda?

Me quedan $\$(9-x)$

Álgebra preliminares IV

Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

 $a, 5x, \sqrt[]{4a} , (a+b)c , \frac{(5x-3y)a}{x^2} $

Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por los signo s + o -. Así  $a, 3b, 2 xy, \frac{4a}{3x} $ son términos.

Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Por el signo, son  términos positivos los que van precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo -. Así $ +a , + 8x, + 9 ab$ son términos positivos y $-x ,  -5bc y -\frac{3a}{2b}$ son términos negativos.

El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así b equivale a +b; 3ab equivale a +3ab.

Por lo tanto cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.

El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el primero, de los factores del término. Así, en el termino $5a$ el coeficiente es 5; en $-3a^2x^3$ es -3.

La parte literal la constituyen las letras que haya en el  término. Así en 5xy la parte literal es xy ; en $\frac{3x^3y^4}{2ab}$ la parte literal es $\frac{x^3y^4}{ab}$.

El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término $4a$ es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1 ; el termino ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes e sus factores literales es 1 +1 =2 ; el término $ a^{2}b$ es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 +1 =3; $5^{4}b^{3}c^{2}$ es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4 + 3 +2 =9.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así el término $b x^{3}$ es de primer grado con relación a  b y de tercer grado con relación a x; $4x^{2}y^{4}$ es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y.

Clases de términos

Término entero es el que no tiene denominador literal como $5a , 6a^{4}b^{2}, \frac{2a}{5}$.

Término fraccionario es el que tiene denominador literal como $ \frac{3a}{b}$.

Término racional es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional es el que tiene radical como $ \sqrt[]{ab} , \frac{3b}{2\sqrt[]{a}}$.

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así $4x ^{4}y^{3}$ y $6x^{4}y^{3}$ son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto como $5a$ que es de primer grado, y $3a^{2}$, que es de segundo grado.

Clasificación de las expresiones algebraicas

Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término como

3a , -5b , $\frac{x^{2}y}{4a^{3}}$.

Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término, como $a+b , a+x-y , x^{3}+2^{2} + x +7$.

Binomio es un polinomio que consta de dos términos, como

$ a+b, x-y,  \frac{a^{2}}{3} -\frac{5mx^{4}}{6b^{2}}$

Trinomio es un polinomio que consta de tres términos, como

$a+b+c, x^{2} – 5x + 6, 5x^{2} -6y^{3}+\frac{a^{2}}{3}$.

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el polinomio $x^{4} – 5 x^{3} + x^{2} – 3x$, el primer termino es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de segundo grado y el último de primer grado; luego el grado absoluto del polinomio es el cuarto.

Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio $a^{6}+ a^{4}x^{2}-a^{2}x^{4}$ es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.

Clases de polinomios.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal como $x^{2} + 5x-6 ; \frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{3}+\frac{1}{5}$, fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador como $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b}{c}-8$ ; racional cuando no tiene radicales como en los ejemplos anteriores, irracional cuando tiene radical, como $\sqrt[]{a}+  \sqrt[]{b}-\sqrt[]{c}-\sqrt[]{abc}$; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto, como $a ^{3} + 5a^{2}b + 6a^{2}b + b^{3}$ y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como $x^{3} +x^{2} +x -6$.

Polinomio completo con respecto a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto, a más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así el polinomio $x^{5} + x^{4} + x^{3}+x^{2}-3x$ es completo respecto de la x , porque  contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, ósea 5,4,3,2,1 ;  el polinomio $a^{4}-a^{3}b +a^{2}b^{2} -ab^{3}+b^{4}$ es completo respecto de a y b.

Polinomio ordenado respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz van aumentado o disminuyendo.

Así, el polinomio $x^{4} – 4x^{3} + 2x^{2} – 5x +8$ esta ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz x ; el polinomio $a^{5}- 2a^{4}b + 6a^{3}b^{2} -5a^{2}b^{3} + 3ab^{4} -b^{5}$ está  ordenado en orden descendente respecto de la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto a la letra ordenatriz b.

Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Así, ordenar el polinomio $-5x^{3} + x^{5} -3x +x^{4} -x^{2}+6$ en orden descendente con relación a x será escribir $x^{5} + x^{4}- 5x^{3} -x^{2}-3x+6$.

Ordenar el polinomio $x^{4}y -7x^{2}y^{3} – 5x^{5} + 6xy^{4} + y^{5} -x^{3}y^{2}$ en orden ascendente con relación a x será escribirlo $y^{5} + 6xy^{4}-7x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2} + x^{4}y – 5x^{5}$.

Termino independiente de un polinomio con relación a una letra es el termino que no tiene dicha letra.

Así en el polinomio $a^{3} - a^{2} + 3a -5$ el termino independiente con relación a la a es 5 porque no tiene a ; en $x^{4}-6x^{3}+8x^{2}-9x + 20$ el termino independiente es 20 ; en $a^{3} -a^{2}b +3ab^{2} +b^{3}$     el término independiente con relación a la a es $b^{3}$, y el termino independiente con relación a la b es $a^{3}$. El término independiente con relación a una letra  puede considerarse que tiene esa letra con exponente cero.

Así en el primer ejemplo -5 equivale a $-5a^{0} $, y en el último ejemplo, $b^{3} $ equivale a $a^{0}b^{3}  $.

Álgebra Preliminares III

Valor absoluto y valor relativo.

Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es el sentido de la cantidad representado por el signo.

Así el valor absoluto de + 8 es 8, el valor absoluto de -20 es 20.

Las cantidades +7° y -7° tienen el mismo valor absoluto, pero su valor relativo es opuesto, pues el primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero.

El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representa colocando el número que corresponda a dicho valor entre dos líneas verticales. Así el valor absoluto de +8 se repsenta $\left |{8}\right |$.

Cantidades aritméticas y algebraicas.

De lo expuesto anteriormente se deduce la diferencia entre cantidades aritméticas y algebraicas.

Cantidades aritméticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por los números, pero no nos dicen el sentido o valor relativo de las cantidades.

Así, cuando en Aritmética escribimos que una persona tiene $\$$ 5  , tenemos solamente la idea del valor absoluto  $\$$ 5 de esta cantidad, pero con esto no sabemos si la persona tiene  $\$$ 5 en haber o en deuda. Escribiendo que el termómetro marca 8°, no sabemos si son sobre cero  o bajo cero.

Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor relativo por medio de signo.

Los signos + y menos tienen en Algebra dos aplicaciones: una indicar las operaciones de suma y resta, y otra indicar el sentido de las cantidades.

 Representación algebraica de la serie algebraica de los números.

Teniendo en cuenta que 0 es la ausencia de la cantidad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0, la serie algebraica de los puntos se puede representar de este modo.

Álgebra – Preliminares II

Coeficiente.
 Es el producto de 2 factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.

Así en el producto 3a el factor 3 es el coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando 3 veces, o sea 3a = a +a +a; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b, e indica que 5b = b+ b + b + b+ b. Estos son coeficientes numéricos.

En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, osea ab = b+b+b+b… (a veces). Este es un coeficiente literal.

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico su coeficiente es la unidad. Así b equivale a 1b; abc equivale a 1abc.

Signos de relación.

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:

= que se lee igual a. Así a=b se lee “a  igual a b”

> que se lee mayor que. Así y +x > m se lee “x + y mayor que m”

<, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b+c”.

Signos de agrupación.

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario (), el paréntesis angular o corchete  [ ], las llaves $\left\{{}\right\}$y la barra o vinculo —.

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [ a-b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

 

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a-b] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

Modo de resolver los problemas en aritmética y en algebra.

Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que esta implica.

Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, ¿Qué edad tiene cada uno?

Método aritmético.

Edad de A más edad de B = 48 años.

Como la edad  de B es 5 veces la edad de A, tendremos:

Edad de A más 5 veces la edad de A = 48 años.

O sea, 6 veces la edad de A =48 años;

Luego, Edad de A = 8 años

Edad de B = 8 x 5 años = 40 años.

Método algebraico

Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por X.

Sea x = edad de A.

Entonces 5 x = edad de B.

Como ambas edades suman 48 años tendremos:

X + 5x = 48 años;

Ósea 6x= 48 años.

Si 6x equivale a 48 años, x valdra la sexta parte de 48 años

Ósea x = 8 años, edad de A

Entonces 5 x = 8 años x 5 = 40 años, edad de B.

Cantidades positivas y negativas.

 En álgebra  cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en sentidos opuestos o que son de condición o modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la cantidad por los signos + y    - anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo - a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).

Así el haber se designa con el signo más y las deudas con el signo -. Para expresar que una persona tiene $\$$ 100.oo de haber, diremos que tiene + 100.00 y para expresar que debe $\$$100.oo diremos que tiene -100.00.

Los grados sobre cero en el termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. Así para indicar que el termómetro marco 10 ° sobre cero escribiremos +10 ° y para indicar que marca 8° bajo cero escribiremos -8.

El camino recorrido hacia la derecha o hacia arriba de un punto se designa con el signo + y el camino recorrido hacia la izquierda o hacia debajo de un punto se representa con el signo -. Así, si hemos recorrido 200 m a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido + 200 m, y si recorremos 300 m a la izquierda de un punto dado escribiremos -300 m.

El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo se considera negativo. Así + 150 años significa 150 años D.C, Y -78 años significa 78 años A.C.

En un poste introducid en el suelo, representamos con el signo + la porción que se halla del suelo hacia arriba y con el signo -, la porción que se halla del suelo hacia abajo. Así para expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m, escribiremos + 15 m, y si la porción introducida en el suelo es de 8 m, escribiremos -8 m.

La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo - : la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por lo tanto, un punto de la tierra cuya situación geográfica sea: +45 ° de longitud y -15°  de latitud se hallara a 45° al este del primer meridiano y 15° bajo el ecuador.

Elección del sentido positivo

La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir, que podemos tomar como sentido positivo el que queramos, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a este será el negativo.

Así si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la derecha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto será negativo, pero nada nos impide tomar como positivo  el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del punto sería el negativo.

No obstante, en la práctica generalmente se aceptan los sentidos positivos de que se trato más arriba.

Cero Es la ausencia de cantidad. Así, representar el estado económico de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas.

Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0. Así, + 3 es una cantidad que es tres unidades mayores que 0; +5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que -3 es una cantidad que es tres unidades menor que 0 y -5  es una cantidad que es cinco unidades menor que 0.

De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así +5  es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto: -3 es mayor que -5 ; -9 es menor que -4.