También el punto P es llamado el polo de la línea P.
Es evidente que la polar de un punto interseca la circunferencia, es tangente a la circunferencia en el punto, o no interseca a la circunferencia, de acuerdo con que el punto esté fuera, en, o dentro de la circunferencia.
Cuando P está fuera de la circunferencia, se pueden dibujar dos tangentes de él a las circunferencia. Si A y B son los puntos de contacto de estas tangentes, las línea AB es la cuerda de contacto del punto P. Es fácil demostrar que la cuerda de contacto de un punto exterior es la polar de ese punto con respecto a la circunferencia.
La polar del centro de la circunferencia se define como la línea al infinito, y el polo de un diámetro es un punto al infinito. Con respecto a una circunferencia dada, la relación polo y polar, establecen una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano.
19.2 Teorema fundamental .
Teorema: Si con respecto a una circunferencia dada, la polar de P pasa por Q, entonces la polar de Q pasa por P.
Por hipótesis , la perpendicular a OP en P´, el inverso de P, pasa por Q. Si ahora Q´ es el inverso de Q, las líneas PQ´ y P´Q, son antiparalelas con respecto a OP y OQ, y entonces PQ´ es perpendicular a OQ; es decir , la polar de Q pasa por P.
Tenemos también el
Corolario: Si p y q son líneas tales que, con respecto a una circunferencia dada, el polo de p está en q, entonces el polo de q está en p.
Se concluye que las polares son una hilera de líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.
Dos puntos que tienen la propiedad de que la polar de uno pasa por el otro, son puntos conjugados; y dos líneas , que sean de modo que el polo de cada una este en la otra. Son líneas conjugadas . Cada punto de una línea dada, tiene un punto conjugado en tal línea, a saber. El punto en el cual la línea es cortada por la polar del punto. Asimismo, cada línea por un punto dado, tiene una línea conjugada por ese punto.
Lo siguiente es obvio:
(a) De dos puntos conjugados distintos en una línea que corte la circunferencia, uno está dentro y el otro está fuera de la circunferencia.
(b) De dos líneas distintas conjugadas que se corten fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
(c) Cualquier punto en la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente en ese punto.
(d) Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
19.3 Relaciones armónicas. La teoría de polos y polares, esta íntimamente relacionada con la teoría de división armónica . Alguna de esas relaciones se indican en los teoremas que siguen.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos puntos conjugados están en una línea que interseca la circunferencia, están separados armónicamente por los puntos de intersección.
Sean A y B dos de tales puntos (Fig.69) y sea A´ el inverso de A. Entonces A´B es la polar de A. Puesto que la circunferencia con AB como diámetro, pasa por A´, es ortogonal a la circunferencia dada y A y B están armónicamente separados por los puntos en los cuales su línea interseca la circunferencia.
Hemos visto entonces, que si una línea variable por un punto dado, interseca una circunferencia, los conjugados armónicos del punto con respecto a las intersecciones de la línea y la circunferencia, están todos en la polar del punto.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se corten fuera de dicha circunferencia, están separadas armónicamente por las tangentes desde su punto de intersección.
Sean a y b líneas conjugadas que se intersecan en S, un punto fuera de la circunferencia, y sean las tangentes p y q trazadas de S a la circunferencia, siendo los puntos de tangencia P y Q (Fig. 70). También la línea PQ interseca a a y b en los puntos A y B.
Entonces PQ, la polar de S, pasa a través de B , y por lo tanto la polar de B pasa por S. También puesto que el polo de b es un punto de C en a, la polar de C pasa por B y consecuentemente la polar de B pasa por C. Ahora, como S está en b, C es distinto S. Por lo tanto a es la polar de B, A y B son puntos conjugados, la hilera ABPQ es armónica y el haz a,b,p,q es armónico.
Teorema: Si cuatro puntos en una línea son armónicos, sus polares con respecto a una circunferencia dada también son armónicos.
Sean A, B, C, D los puntos armónicos dados (Fig. 71). Sus polares a,b,c,d, pasan por S, el polo de la línea en la cual están estos puntos. Y como cada polar es perpendicular a la línea que une su polo con el centro de la circunferencia , el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz O ( ABCD) es igual al ángulo entre las líneas correspondientes del haz, a,b,c,d. Se infiere que el haz es armónico.
19.4 Relación con un cuadrángulo inscrito. Sean A,B,C,D los vértices de un cuadrángulo completo inscrito en una circunferencia, y supongamos que los pares de lados opuestos se intersecan en los puntos P,Q,R como se indica en la Fig. 72.
Como el haz P ( TT´RQ) es armónico, la línea PR interseca a NC en el conjugado armónico , de Q con respecto a B y C. Asimismo interseca a AD en el conjugado, de Q con respecto a A y D. Por lo tanto, PR es la polar de Q. Análogamente QR es polar de P ; y por el teorema fundamental PQ es la polar de R. Así cada lado del triángulo diagonal es la polar de vértice opuesto. También Q y R están separados armónicamente por los dos pares de puntos S, S´ y T, T´.
Más aún si se trazan tangentes en B y C, su punto de intersección L está en PR. Puesto que la polar de L es BC y pasa por Q. De aquí PR, la polar de Q, pasa por L. De manera similar las tangentes por dos vértices cualesquiera del cuadrángulo se intersecan en la polar del vértice del triángulo diagonal que está en el lado que pasa a través de los puntos de tangencia.
De aquí obtenemos el
Teorema: Si los vértices de un cuadrángulo completo están en una circunferencia , y los lados de un cuadrilátero completo son tangentes a la circunferencia en los vértices del cuadrángulo, los seis vértices del cuadrilátero están por pares en los lados del triángulo diagonal del cuadrángulo.
El lector deberá dibujar una figura para ilustrar este teorema.
Una construcción lineal para la polar de un punto P que no está en la circunferencia, es una consecuencia de las relaciones presentadas arriba. Por P trazamos dos secantes, una de las cuales corta la circunferencia en A y B, la otra en C y D. Si Q es la intersección del AD con BC , y R la intersección de AC con BD, entonces QR es la línea buscada. Si P.
Si P está en la circunferencia, su polar, es decir, la tangente en P, puede ser construida con regla solamente. Para hacer esto trazamos cualquier secante por P, determinamos Q, su polo y trazamos PA, que es la línea buscada.
19.5 Principio de dualidad. Se dijo al final de la sección 19.1 que por medio de la relación de polos y polares con respecto a una circunferencia, se establece una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano. Estamos ahora en condiciones de ver lo que el principio de dualidad produce en esta relación. (Sección 15.13)
Desde el punto de vista de dualidad, una curva puede ser vista, por un lado como un conjunto de puno, y por otro como un conjunto de líneas ,a saber, la familia de líneas de la cual la curva es la envolvente. Así, punto en una curva y línea tangente a una curva , son elementos duales, y a cualquier teorema proyectivo que incluya uno o ambos de estos elementos, le corresponde un segundo teorema, que es su dual.
La discusión de la sección anterior, indica que toda la teoría de polos y polares, puede ser referida a la teoría de cuadrángulos completo inscritos y cuadriláteros completos circunscritos , de modo de librarla completamente de relaciones métricas. Cuando esto se realiza, es palpable que la dualidad mencionada anteriormente, existe, que el dual de un punto es su línea polar y que el dual de una línea es el polo de dicha línea . Así por ejemplo ,el teorema y el corolario de la sección 19.2, son duales el uno del otro. El lector deberá examinar todas las discusiones que siguen refiriéndose al principio de dualidad.
19.6 Triángulo autopolar. Un triángulo es autopolar o autoconjugado con respecto a una circunferencia, cuando cada vértice es el polo de lado opuesto. Las siguientes propiedades de un triángulo autopolar, cuyos vértices son todos puntos finitos, pueden ser fácilmente demostradas.
(a) Su ortocentro es el centro de la circunferencia.
(b) Uno y sólo uno de sus vértices está dentro de la circunferencia.
(c) El ángulo del triángulo cuyo vértice está dentro e la circunferencia es obtuso.
Un triángulo autopolar puede ser construido tomando un vértice arbitrariamente, un segundo vértice en la polar del primero, y el tercero en la intersección de las polares de los otros dos.
19.7 Circunferencia polar. Hay un número infinito de triángulos autopolares con respecto a una circunferencia dada, sin embargo, hay cuando más una circunferencia respecto a la cual un triángulo dado sea autopolar. Para que exista una tal cual circunferencia, el triángulo debe ser obtusángulo. Cuando tal circunferencia existe, se llama circunferencia polar del triángulo.
La circunferencia polar del triángulo obtusángulo ABC, puede ser construida, dibujando la circunferencia de centro en O y cuyo radio es la media proporcional de OA y OD, donde O es el ortocentro del triángulo y D es el pie de la altura por A.
Puesto que un vértice del triángulo y el pie de a altura que pasa por él, son inversos con respecto a la circunferencia polar, cualquier circunferencia que tenga una altura del triángulo como cuerda es ortogonal a la circunferencia polar el triángulo. Ejemplos particulares de tales circunferencias, ortogonales a la circunferencia polar, son las circunferencias con los lados del triángulo como diámetros.
19.8 Circunferencias polares del triángulo de un grupo ortocéntrico. Tres de los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico son obtusángulos.
En la Fig, 74 , el cuadrángulo del grupo es tal que los triángulo DAB, DBC y DCA son obtusángulos en D. Sean r 1 , r 2, y r3 los radios de las circunferencia polares C,A,B de estos triángulos respectivamente. Entonces
demostrando que las circunferencias B y C son ortogonales.
Puesto que A r1 y Cson puntos inversos con respecto a la circunferencia B,A 1 ,A es la polar de C referente a tal circunferencia y es fácil ver que pasa c0on los puntos comunes a las circunferencias B y C.
De aquí tenemos el
Teorema: Las circunferencias polares de tres triángulos obtusángulos de un grupo ortocéntrico son ortogonales en pares, y sus puntos de intersección están en los tres lados del cuadrángulo que pasan por el vértice común de los ángulos obtusángulos.
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