20. Razón Cruzada

20.1 Definiciones. Hemos considerado cuatro puntos colineales A, B,C,D cuyas posiciones son tales que el segmento AB está dividido por C y D en rezones cuya razón tiene el valor –1 . Cuando los puntos están así situados , A y B están separados armónicamente por C y D.
Si estos cuatro puntos tienen posiciones cualquiera en la línea en que están, esta razón de razones

Es llamada razón cruzada de los cuatro puntos A,B,C,D y la señalaremos con el símbolo { A, B, C, D}.
También , si OA, OB, OC, OD son cuatro líneas concurrentes, O un punto finito*, su razón cruzada es
y será denotada por O { ABCD}. Asimismo {abcd} indica la razón cruzada de cuatro líneas concurrentes a, b,c d.
Los términos razón anarmónica y razón doble son usados como sinónimos de razón cruzada. De estas dos la primera es más frecuente, pero razón cruzada es la más usada de las tres.
Si cuatro elementos, son armónicos, sus razones cruzadas tienen el valor -1 e inversamente.
Es fácil verificar que si A, B, C son tres puntos distintos colineales
Inversamente, se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores 1, 0, "∞, dos de los puntos coinciden. Más aún, si A, B, C son tres puntos colineales distintos, existe un único punto D colineal con ellos tal que{ ABCD} =λ, donde λ tiene un valor real cualquiera.
Se infiere enseguida de la definición de razón cruzada que los pares de puntos distintos A, B y C ,D se separan mutuamente o no, de acuerdo con que { ABCD} sea negativo o positivo.
*Para una definición que incluya el caso en que el vértice de un haz es un punto al infinito, ver la sección 20.2
20.2 Relaciones de razón cruzada de hileras y haces.
Fundamental en la teoría de razón cruzada es el siguiente
Teorema: La razón cruzada de un haz de cuatro líneas es igual a la razón cruzada de una hilera de cuatro puntos en los cuales cualquier transversal que no pase por el vértice corta las cuatro líneas.

La prueba, cuando el vértice del haz es un punto infinito, es semejante a la dada en la sección 15.6 Si el vértice del haz está al infinito, de tal manera que las cuatro líneas son paralelas, el contenido de este teorema será visto como definición de la razón cruzada del haz.
Consecuencias inmediatas del teorema anterior son los
Corolarios: (1) Si dos transversales a cuatro líneas de un haz, ninguna de las cuales pasa por el vértice, cortan a estas líneas en A,B,C, D y A´,B´,C´D´ respectivamente entonces
{ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }
(2) Si dos haces con vértices en O y O´son subtendidos por la misma hilera de puntos A,B,C,D,entonces
O { ABCD} = O´ {ABCD} .
(3) Si A, B, C,D y A´B´,C´D´ son dos hileras de puntos que están en diferentes líneas en el plano tales que {ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }, y si O y O´ son dos puntos distintos colineales con A y A´, entonces los puntos de intersección de los pares de líneas OB, O´B´ ; OC, O´C´; y OD, O´D´ son colineales.
20.3 Los seis valores de la razón cruzada. Puesto que hay veinticuatro permutaciones de cuatro letras, hay veinticuatro razones cruzadas de cuatro puntos colineales Sin embargo, los valores de estas razones cruzadas no son todos diferentes. En efecto, demostraremos que las veinticuatro permutaciones pueden ser agrupadas en seis grupos de cuatro tales que las razones cruzadas de cada grupo son iguales. Más aún , si uno de estos valores es llamado =λ , los restantes son

Así si { ABCD}= λ, encontraremos enseguida que cada uno de {BADC}, {CDAB}, Y {DCBA} es también igual a λ. También por aplicación directa de la definición demostraremos que cada uno de los cuatro {ABCD},{BACD},{CDBA} y {DCAB} es igual a 1/ λ.
Enseguida consideremos {ACBD}. Con este propósito la identidad
AB×CD+ AC× DB × AD× BC= 0
se utilizará ( Sección 12.2). Dividiendo por AD×BC y reordenando, reducimos la identidad a la forma

esto es, {ACBD}= 1- λ. Del mismo modo hay otras tres permutaciones que dan razones cruzadas que tienen este valor. Un intercambio entre B y D da
razonando como antes, encontramos que
y
Y también es fácil ver que hay cuatro razones cruzadas que corresponden a cada uno de los últimos tres valores.
La discusión anterior muestra que la razón cruzada de cuatro puntos no se altera por ningún cambio en su orden tal que cuando dos puntos se intercambian los otros dos también se intercambian.
20.4 Construcción del cuarto elemento dados tres. Nuestro primer problema es: Dados
tres puntos colineales distintos A,B,C; construir un cuarto punto D colineal con ellos tal que {ABCD} sea igual a un número dado λ.
Por C trácese cualquier línea que corte la línea dada y en ella tómese A´y B´ de modo que CA´/ CB´ = λ. Supongamos que AA´y BB´se intersecan en D´y por este punto de intersección trácese la paralela a CB´que corte la línea dada en D. Entonces D es el punto pedido, Ya que
Dividiendo y reordenando
La existencia y unicidad del punto D son evidentes de esta construcción.
El problema de construir una línea que pase por el punto de intersección de tres concurrentes tal que la razón cruzada de las cuatro tenga un valor dado, se reduce inmediatamente al problema anterior por las relaciones de la sección 20.2

20.5 Propiedades de razón cruzada de una circunferencia. Unamos cuatro puntos concíclicos cualesquiera A,B,C,D a dos puntos O y O´ en su circunferencia. Entonces los haces así obtenidos (ABCD) y O´(ABCD) tienen iguales razones cruzadas. La verdad de ellos es una consecuencia inmediata de la igualdad de los ángulos correspondientes de los dos haces involucrados.


Si tangentes en cuatro puntos fijos A,B,C,D de una circunferencia cortan una tangente en un punto variable P, la razón cruzada de los cuatro puntos de intersección es una constante puesto que (Fig. 80) los lados correspondientes de los ángulos AO´C´ y APC son perpendiculares , los senos de estos ángulos son iguales y análogamente para los otros cuatro ángulos de los haces O (A´B´C´D´) y P (ABCD) . Por lo tanto, las razones cruzadas de estos haces son iguales, y por consiguiente { A´B´C´D´} tiene un valor constante.

Sea una circunferencia que interseca las cuatro líneas de un haz cuyo vértice no está en la circunferencia, en los pares de puntos A,A´; B,B´; C,C´ y D,D´ . Entonces si S y S´ son dos puntos cualesquiera en la circunferencia , las razones cruzadas de los haces S (ABCD) y S´(A´B´C´D´) son iguales. Esto se demuestra haciendo ver que las intersecciones de AB´ y A´B ; AC´ y A´C ; y A´D y AD´, están todas en la polar del vértice O del haz dado. Entonces
A´ {ABCD} = A {A´B´C´D´}
Y de aquí S {ABCD} = S´ {A´B´C´D´}.
20.6 Teorema de Pascal. Un teorema de gran importancia descubierto por Blas Pascal cuando tenía 16 años, en 1639, se da aquí en la forma cómo se aplica a un hexágono inscrito en una circunferencia. Hay un teorema similar para u hexágono inscrito en cualquier sección cónica y es claro por lo tanto que el inverso del teorema de la circunferencia no es el el verdadero.
Teorema: Los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una circunferencia son colineales.
Refiriéndonos a la Fig. 82, vamos a probar la colinealidad de los puntos P,Q,R en los cuales los pares de lados opuestos AB, DE; BC, EF, CD ,FA del hexágono inscrito ABCDEF se intersecan. AF interseca a ED en H y EF interseca a CD en K. Entonces A {EBDF} es igual a C{ EBDF} y por lo tanto {EPDH} = {EQKF}. Si se une R a estos conjuntos se cuatro puntos en las líneas ED y EF, se sigue que
R {EPDH} = R{EQKF}.
Y puesto que, las primeras , terceras y cuartas líneas coinciden, las segundas líneas también coinciden; es decir P, Q y R son colineales.
La línea en que están P, Q y R es llamada la línea de Pascal de hexágono. Si los mismos seis puntos son unidos consecutivamente en algún orden, se obtiene un hexágono diferente con los mismos puntos concíclicos como vértices. Para cada uno de estos hexágonos hay una línea de Pascal, y se puede demostrar que estas sesenta líneas de sesenta posibles hexágonos son diferentes.*
* Ver Lachlan, Modern Pure Geometry , Macmillan and Co., Págs 113-117.
20.7 Teorema de Brianchon. De las varias formas en las cuales el siguiente teorema debido a Brianchon y que lleva su nombre, puede ser probado, elegiremos el que refleja la forma en la cual fue descubierto. Como el teorema de la sección anterior, este teorema, que es su dual , es aplicable a hexágonos circunscritos a cualquier sección cónica. Será enunciado y probado con respecto a la circunferencia.
Teorema: Las líneas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una circunferencia son concurrentes.

Considérese el hexágono ABCDEF circunscrito a la circunferencia O (Fig. 83), y sea A´B´C´D´E´F´ el hexágono cuyos vértices son los puntos de tangencia de los lados del hexágono dado, como se indica en la figura. Supongamos que A´B´ interseca a DÉ en P, B´C´ interseca a E´F´ en Q y C´D´ interseca a F´A´ en R. Entonces puesto que las polares de y D pasan por P, la polar de P es AD. Asimismo las polares de Q y R son BE y CF. Y puesto que por el teorema de Pascal , P, Q y R son colineales, sus polares AD, BE y CF son concurrentes.
El punto de concurrencia de estas líneas es llamado el punto de Brianchon del hexágono. Hay sesenta hexágonos diferentes cuyos lados están en las mismas seis tangentes, y sus sesenta puntos de Briachon son todos distintos.
20.8 Teorema de Pappus.
Teorema: Si los vértices de un hexágono están alternativamente en dos líneas rectas, los puntos de intersección de sus pares de lados opuestos son colineales.
Esto puede ser visto como un caso especial del teorema de Pascal para un hexágono inscrito en una sección cónica. Si la notación se toma como en la sección 20.6, la prueba dada allí es aplicable, sin modificación a este teorema.
20.9 Puntos autocorrespondientes. Si A, B, C y A´B´C´, son dos conjuntos de tres puntos en la misma línea recta, entonces a cualquier punto D en la línea corresponde un punto D´ tal que

{ABCD} {A´B´C´D}´.
Surge la pregunta de si existe un punto D que se corresponda a sí mismo, esto es tal que
{ABCD} = {A´B´C´D}´.
Si tal punto existe es llamado punto autocorrespondiente con respecto a estas dos razones cruzadas. Se demostrará que puede haber dos, uno o ninguno de estos puntos.
Para encontrar los puntos autocorrespondientes cuando existen, dibújese cualquier circunferencia en el plano y sobre ella tómese cualquier punto O únanse cada uno de los puntos dados a O, y llámense las segundas intersecciones de la circunferencia con estas rectas A₁ ,B₁ ,C ₁ ,A´₁ ,B´₁ ,C´ ₁ , como se muestran en la Fig. 85.
Supongamos que A₁ B´₁ y A´₁ B₁ , se cortan en P, y que A₁ C´₁ y A´₁ C₁ se cortan en Q, trace la recta PQ. Si ésta corta a la circunferencia en D₁ y E ₁, las rectas OD₁ y OE₁ cortarán la recta dada en los puntos autocorrespondientes D y E.

Para probar esto, supongamos que existen esas intersecciones de PQ con la circunferencia. También sea S la intersección de PQ con A₁ A´₁ . Entonces

{ABCD} = O{ A₁B₁ C₁ D₁ }= A´₁ {A₁ B₁ C₁ D₁ }={SPQD₁ }
=A₁ {A´₁ B´₁ C´₁ D´₁ }= O{A´₁ B´₁ C´₁ D´₁ }={A´B´C´D}´.
De aquí D es autocorrespondiente; y lo mismo es verdadero para E.
Se puede demostrar también, que si un punto D autocorrespondiente existe, la línea PQ deberá pasar por D ₁; es decir la línea PQ deberá tener un punto en común con la circunferencia. De aquí, cuando PQ es tangente a la circunferencia hay uno y sólo un punto autocorrespondiente y cuando no corta la circunferencia no hay ninguno. Nótese que la línea PQ es la línea de Pascal del hexágono A₁B´₁C ₁A´₁B₁C´₁, y por lo tanto B₁C´₁ y B´C₁ También Se intersecan en ella.
Las construcciones anteriores para los puntos autocorrespondientes D y E incluyen también la construcción para los rayos autocorrespondientes de dos haces que tienen un vértice común, donde tales rayos autocorrespondientes se definen en forma análoga a la dada anteriormente para puntos autocorrespondientes.
20.10 Regla geométrica de la falsa posición. Lo que es conocido como regla geométrica de la falsa posición, será ilustrado en la solución del
Problema : Construir un triángulo cuyos vértices están en los lados de un triángulo dado y cuyos lados pasan por los vértices de un segundo triángulo dado.
El triángulo buscado debe tener sus vértices en los lados del triángulo pqr, y sus lados deben pasar por los vértices del triángulo ABC. (Fig. 86).
Empezando con un punto cualquiera P en p, trácese PA que corte q en Q, trácese QB cortando r en R y trácese RC intersecando p en P ´. Si P coincide con P´, el problema está resuelto. Si no es así , pasamos similarmente desde P₁ a P´₁ y desde P₂ a P´₂, P₁ y P₂ siendo puntos arbitrarios en p; si ni P₁ y P´₁ ni P₂ y P´₂ coinciden, constrúyanse los puntos autocorrespondientes M y N determinados por los conjuntos P, P₁ y P₂ y P´,P´₁, P₂. Si tales puntos existen y si pasamos de uno de ellos, digamos M , en la misma secuencia de operaciones que la que seguimos para pasar de P a P´ regresaremos a M y tendremos una solución. Si existen dos puntos autocorrespondientes, hay dos soluciones al problema. Si no existen puntos autocorrespondientes, no hay solución.


La solución de este problema puede ser vista como una construcción lograda después de tres intentos infructuosos. Pero puesto que los resultados de estos fracasos constituyen la base del éxito, son puntos esenciales en la solución del problema.

20.11 Problema de Apolonio. Uno de los problemas más famosos de geometría, conocido como el problema de Apolonio, es el de dibujar una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas. La revisión de los diferentes casos demuestra que el número de soluciones varia desde ninguna hasta un máximo de ocho. Muchos métodos, algunos de los cuales son enteramente elementales, han sido desarrollados para resolver el problema. Otros más elegantes, dependen de la inversión, teoría de polos y polares, y propiedades de razón cruzada. El que vamos a ver aquí, en el cual se supone que los centros de las circunferencias son finitos y no colineales, es debido a Casey.
Supongamos que existe una circunferencia que toca a cada una de las tres circunferencias dadas de centros O₁,0₂, O₃,(Fig. 87) en los puntos P,Q,R respectivamente. Entonces los triángulos O₁O₂O₃ y PQR están en perspectiva, y el centro de perspectiva es el centro de la circunferencia tangente a las tres circunferencias dadas. Y puesto que una circunferencia tangente a dos circunferencias toca a éstas en un par de puntos antihomólogos , el eje de perspectiva pasa por tres centros de homotecia H,K,L de las circunferencias dadas tomadas en pares.
Por H tracemos una línea cualquiera que corte las circunferencias O₂ y O₃ en los puntos antihomólogos Q₁ y R₁, respectivamente . Trácense KR₁ y LQ₁, y denótense por P₁ y P´₁ los puntos antihomólogos a R₁ y Q₁ respectivamente, en los cuales estas líneas cortan a la circunferencia O₁ . En forma similar se obtienen otros dos pares de puntos P₂, P´₂ y P₃, P´₃ en la circunferencia O₁. Si los dos puntos de cualquiera de estos dos pares coinciden, se ha encontrado un punto de tangencia de O con una de las circunferencias.

Si ninguno de los pares son coincidentes, se consideran los haces S (P₁P2P3P₄) y S (P´₁P₂´P´₃P´₄),donde P₄ y P´₄ son un cuarto par de puntos correspondientes en la misma circunferencia. Es evidente, de consideraciones de simetría y de una propiedad de razón cruzada de la sección 20.5 que las razones cruzadas de estos haces son iguales. De aquí, si determinamos P en la circunferencia O₁, tal que
S{P₁P₂P₃P} = S {P´₁P´₂P´₃P´},
Este punto será un punto de tangencia con O, lo que se busca. Los puntos Q y R pueden ser encontrados entonces y puede construirse la circunferencia que pasa por ellos tres. Como hemos visto en la sección 20.9, pueden existir dos puntos autocorrespondientes tales. Ya que los seis centros de similitud están por tercias en cuatro líneas rectas, el número máximo de ocho soluciones se estima observando que hay dos para cada una de estas cuatro líneas. Sin embargo si dos puntos autocorrespondientes no existen para algunas de las cuatro líneas, como puede suceder el número de soluciones será correspondientemente menor.