domingo, 20 de septiembre de 2009

18 Inversión

18.1 Puntos inversos. Si P y P´ son dos puntos colíneales con el centro O de una circunferencia, cuyo radio es r > 0 de tal forma que OP x OP ´= r2 , cada uno de los puntos P y P´es inverso del otro con respecto a la circunferencia. El punto O es el centro de inversión , la Circunferencia O es la circunferencia de inversión , y su radio es el radio de inversión.
La relación es simétrica, es decir, si P´es el inverso de P, entonces P es el inverso de P´. De acuerdo con esta simetría, se dice que los puntos P y P´, son puntos inversos con respecto a la circunferencia. Los hechos siguientes son obvios:
Con respecto a una circunferencia dada:
(a) Cada punto en el plano excepto el centro, tiene un solo inverso.
(b) Un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
(c) De dos puntos inversos distintos, uno está dentro de la circunferencia de inversión y el otro fuera.
18.2 Curvas inversas. Sean P y P´ dos puntos inversos con respecto a una circunferencia de centro O, y supongamos que P se mueve de tal forma que traza una curva cualquiera. Entonces P´ también trazara una curva. Estas curvas son por definición una inversa de la otra; o se dice que son mutuamente inversas.
De esta manera el inverso de una circunferencia cuyo centro es el centro de inversión , es una circunferencia concéntrica con la circunferencia dada. En particular, si una circunferencia coincide con la circunferencia de inversión, es su propia inversa. Asimismo también es evidente, que una línea recta por el centro de inversión es su propia inversa.
Si dos curvas inversas se intersecan, todos sus puntos de intersección, están en la circunferencia de inversión. Inversamente, si una de dos curvas inversas interseca la circunferencia de inversión , la segunda interseca a ésta en el mismo punto.
18. 3 Circunferencia que pasa por puntos inversos.
Teorema: Cualquier circunferencia que pasa por un par de puntos inversos distintos, es su propia inversa y es ortogonal a la circunferencia de inversión; e inversamente , cualquier circunferencia que es ortogonal a la circunferencia de inversión es su propia inversa.


Sean P y P´ puntos inversos con respecto a la circunferencia de centro O, y PP´ corte la circunferencia de inversión en A y A´. Entonces puesto que OP × OP = (OA)2 , los puntos A y A´ son conjugados armónicos con respecto a P y P´. De aquí, cualquier circunferencia por P y P´ e ortogonal a la circunferencia O. (sección 15.10)






Invirtiendo los pasos del razonamiento anterior, demostrando que, si una circunferencia dada es ortogonal a la circunferencia O, el inverso de cualquiera de sus puntos P con respecto a O, es el punto P´ donde OP interseca nuevamente la circunferencia dada. Entonces, al recorrer P la circunferencia en que está P´ traza la misma circunferencia.
Podemos resumir algunos resultados de esta sección y de la anterior observando que las siguientes son sus propios inversos con respecto a una circunferencia dada de inversión.
(a) La circunferencia de inversión.
(b) Líneas rectas por el centro de inversión
(c) Circunferencias ortogonales a la circunferencia de inversión.
18.4 El inverso de una línea recta.
Teorema: El inverso de una línea recta que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia por el centro de inversión, y recíprocamente, el inverso de una circunferencia de radio finito* que pasa por el centro, de inversión , es una línea recta que no pasa por el centro de inversión. Más aún, la línea recta es perpendicular al diámetro de la circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Si A es el pie de la perpendicular desde el centro de inversión O sobre una línea dada y P es un punto cualquiera en la línea, los triángulos OPA y OA´P´ son inversamente semejantes; A´ y P´ son los inversos de A y P respectivamente. De esta manera el vértice P´ del ángulo recto OP´A´ está en la circunferencia de diámetro OA´.


Inversamente si P´es un punto de esta circunferencia, se infiere , recorriendo al revés los pasos anteriores, que P está en la perpendicular a la línea del diámetro OA´que pasa por el inverso de A´.
Tenemos el siguiente

Corolario: Líneas rectas paralelas, ninguna de las cuales pasan por el centro de una circunferencia de inversión, se invierten en circunferencias tangentes una a otra en el centro de inversión.
18.5 El inverso de una circunferencia. Hemos determinado los inversos de todas las circunferencias por el centro de inversión, de todas las circunferencias puntuales , y de todas las circunferencias de radio finito. La determinación de los inversos de las circunferencias restantes en el plano es el siguiente
Teorema: El inverso de una circunferencia de radio finito que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia de radio finito que no pasa por este punto.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia A, cuya inversa con respecto a O es buscada, y sea Q la segunda intersección de OP con esta circunferencia. Por P´ el inverso de P dibujamos una paralela de QA, que interseca a OA en B**.
*Por radio finito, entendemos un radio cuya longitud es un número distinto de cero. Una línea recta puede ser considerada como el caso límite de una circunferencia cuyo radio se incrementa indefinidamente. Desde este punto de vista, se habla algunas veces de una línea recta, como una circunferencia de radio infinito.
** Para que B sea el único punto determinado en la forma aquí descrita, es necesario que P no esté en la línea OA. Pero una vez determinado B, el argumento es válido, aunque P sea uno de los puntos en que OA interseca a la circunferencia.
Ahora puesto que OP× OP´= r2 y OP× OQ = κ, una constante, la razón OP´/ OQ tiene un valor constante . Y puesto que

Se sigue que B es un punto fijo y que BP´es finito y constante ; es decir el lugar geométrico de P´es una circunferencia de radio finito. También, puesto que ningún punto de la circunferencia dada está al infinito, el lugar geométrico de P´ no pasa por O.
Es evidente que el centro de inversión con respecto al cual las circunferencias A y B son curvas inversas, es un centro de homotecia de las dos circunferencias.

18.6 Ángulos conservados por la inversión.
Teorema: Si dos curvas se intersecan en un punto cualquiera distinto del centro de inversión, su ángulo de intersección en ese punto es igual en magnitud pero opuesto en signo al ángulo de intersección de las curvas inversas en el punto inverso.
Sean las curvas que se intersecan en P, un punto distinto de O el centro de inversión. Tracemos OP y una segunda línea por O que corte las líneas dadas en Q y R. Si P´, Q´, R´ son los inversos de P,Q,R, entonces las inversas de las curvas PQ y PR son curvas que pasan por P´, Q´ y P´ , R´, respectivamente (Fig. 62).
Puesto que OP × OP´= OQ × OQ´, PQ es antiparalela a P´Q con respecto a OP y OQ , y de aquí

Ð QPO = Ð OQ´P´.
Similarmente
Ð RPO = Ð OR´P´ ;
y por substracción
Ð QPR - Ð Q´P´R´.
Ahora si la línea OQ gira alrededor de O de tal forma que siempre corte la cuatro curvas, y tienda a OP como límite, los ángulos QPR y Q´P´R´ tienden en el límite a ser los ángulos de intersección de las curvas. Así los ángulos de intersección son iguales en magnitud , pero opuestos en signo.
La propiedad de las curvas respecto de la inversión, incluida en el teorema anterior, se expresa algunas veces diciendo que las curvas inversas son isogonales, y también diciendo que los ángulos son conservados por la inversión.

Como corolario se infiere, que si dos curvas son tangentes una a la otra en P, sus inversas son tangentes a la otra en P´.

18.7 Celda de Peaucellier. Un sistema mecánico articulado conocido como celda de Peaucellier, puede ser usado para construir el inverso de una curva dada.
Unamos los puntos A y B del rombo PAP´B al punto fijo O por medio de líneas iguales OA y OB ( OA > PA). Entonces, si todas las partes pueden moverse libremente, con excepción del punto O, los puntos P y P´ describirán curvas inversas con respecto a O como centro y r como radio de inversión, donde r 2 = (OA)2- (PA)2. Si llamamos C el punto de intersección de PP´ y AB y si observamos que O, P y P´ son colineales, tenemos

Y de aquí, P y P´ en todas sus posiciones son puntos inversos. Así, por ejemplo, si P describe un arco de circunferencia que pase por O, P´ describirá un segmento de línea recta.
Si los lados del rombo y las líneas OA y OB son substituidas por barras rígidas articuladas en sus puntos de intersección, y si una barra adicional DP = DO une el punto fijo D y el punto móvil P, entonces, cuando DP gira alrededor de D, P´ describirá un segmento de línea recta.
La celda de Peaucellier es de interés porque es uno de los primeros métodos inventados para trazar una línea recta sin uso de regla.
18.7Teorema de Feuerbach.
Como un ejemplo de la potencia y belleza del método de inversión, lo usaremos para probar la propiedad de la circunferencia de los nueve puntos enunciada sin prueba al final de la sección. 16.6

Teorema: La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a la circunferencia inscrita y a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

Probaremos que la circunferencia inscrita I ( Fig. 64) y una de las circunferencias excritas I´ del triángulo AB son tangentes a la circunferencia de los nueve puntos. Dibujemos la tangente interior común B´C´ y sea A´ su intersección con BC. Entonces A y A´ son los centros de similitud de las dos circunferencias, y son conjugado armónicos con respecto a I e I´. Y puesto que I´X´, IX y AD son perpendiculares cada una a BC, se sigue que X´, X, A´, D son puntos armónicos. Ahora bien , L , el punto medio de BC, es también el punto medio de X´X. Por lo tanto, con respecto a L como centro y LX como radio de inversión, A´ y D son puntos inversos.
Enseguida demostraremos que, con respecto a esta misma circunferencia, S y M son también puntos inversos, donde S es la intersección de B´C´ y LM. Ahora
Entonces el radio de inversión es (c-b ) /2. También LM = c/2. Para calcular LS, observamos que es la diferencia entre LM y SM, y que SM puede ser obtenido de la consideración de los triángulos semejantes B´SM y B´C´A. Esto es
De aquí el producto LS × LM = (c-b)2 /4 , y los puntos S y M son inversos con respecto a la circunferencia de diámetro X´X.
El inverso de la línea B´C´ es una circunferencia por L, el centro de inversión, y los puntos D y M. Pero esta es la circunferencia de los nueve puntos. Puesto que las circunferencias I e I´ son ortogonales cada una a la circunferencia de inversión, son sus propias inversas.
Del hecho de que si dos curvas son tangentes una a la otra, sus inversas son también tangentes una a la otra, se sigue que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las circunferencias I e I´. De la misma manera se puede demostrar que es tangente a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

18.9 Inversión de un teorema. Por medio de la inversión podemos deducir y probar nuevos teoremas, de teoremas ya conocidos. Este proceso se llama inversión de un teorema. Será ilustrado en el siguiente ejemplo.
Dos circunferencias S y S´ se intersecan en los puntos distintos A y O. Los diámetros EO y FO de S´ y S intersecan S y S´ en B y C respectivamente. Entonces el eje radical AO pasa por el centro de la circunferencia S´´ determinada por O, B y C.
Inviértase la figura con O como centro de inversión , y sean A´, B´C´ los inversos de A, B, C respectivamente. Por conveniencia se da una segunda figura con los resultados de esta inversión. Cada una de las líneas AO, FO y EO se invierte en sí misma mientras que las circunferencias S, S´ y S´´ se invierten en A´B´ , A´C´ y B´C´ respectivamente.


Más aún puesto que un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, B´O y C´O, son por la propiedad isogonal de la inversión, alturas del triángulo A´B´C´; de aquí AÓ es perpendicular a B´C´. Por lo tanto, AO es ortogonal a la circunferencia de S´´, de lo que se sigue que pasa por el centro de S´´.
De un teorema familiar referente a las alturas de un triángulo, obtuvimos por inversión el teorema anterior referente a las circunferencias. Este método es muy fructífero y frecuentemente proporciona prueba de teoremas cuya prueba por otro método es más difícil.


18.10 Circunferencia de antisimilitud. Una circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias es una circunferencia respecto a la cual las dos son mutuamente inversas.
Hemos visto, que si dos circunferencias son mutuamente inversas, el centro de inversión es el centro de similitud de las circunferencias. También, cualquier par de puntos inversos son también antihomólogos con respecto a este centro de similitud. Entonces vemos que dos circunferencias pueden tener, cuando más, dos circunferencias de antisimilitud.
Si dos circunferencias no se intersecan ( Figs. 66 a ,b ), los segmentos que unen O, un entro de similitud, a un par de puntos antihomólogos P y P´ tienen el mismo signo para uno solo de los dos centros de similitud. Si las circunferencias son mutuamente excluyentes, el centro es externo, mientras que si una esta contenida dentro de la otra, el centro es interno, de donde los dos segmentos tienen el mismo signo.

De aquí, en este caso hay una sola circunferencia de antismilitud, y su radio r, esta dado por r 2 - OP × OP´. Obviamente hay solamente una circunferencia así cuando las dos circunferencias son tangentes la una a la otra . Cuando las dos circunferencias se intersecan ( Fig. 66 c) , cada uno de los centros de similitud llena los requisitos de antisimilitud. Cada una de éstas pasa por los puntos comunes a las circunferencias dadas.
Estos resultados pueden resumirse en el
Teorema: Dos circunferencias que se intersecan tienen dos circunferencias de antisimilitud cuyos centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y cada una de las cuales pasa por los puntos comunes de las circunferencias dadas. Dos circunferencias tangentes una a otra o que no se intersecan tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro es su centro interno o externo de similitud e acuerdo si las circunferencias son mutuamente excluyentes o si una está contenida dentro de la otra.
18.11 Inversión de circunferencias en circunferencias iguales.
Teorema: Dos circunferencias pueden siempre ser invertidas en dos circunferencias iguales.
Lema: Si una circunferencia y dos puntos inversos respecto a ella se invierten con cualquier punto de la circunferencia como centro de inversión, se transforman en una línea recta y dos puntos simétricos respecto a la línea.
Sean P y P´ puntos inversos respecto a la circunferencia C e invirtamos con un punto arbitrario O de la circunferencia C, como centro de inversión . Entonces la circunferencia C s transforma en una línea recta, la línea PP´ en una circunferencia ortogonal a esta línea y la circunferencia con PP como diámetro en una segunda circunferencia ortogonal a la misma línea. Entonces los transformados de P y P son los puntos de intersección de dos circunferencias cuyos centros están en la línea que es la transformada de C, y son simétricos respecto a la misma línea.
Para demostrar el teorema, inviértanse las dos circunferencias dadas, con cualquier punto de la circunferencia de antisimilitud como centro de inversión . Esta circunferencia es transformada en una línea recta respecto a la cual los transformados de todos los pares de puntos correspondientes de las circunferencias dadas son simétricos. Se sigue que las circunferencias dadas están invertidas en circunferencias iguales.
Estamos ahora en posición de responder la pregunta, cuándo es posible , por inversión , transformar tres circunferencias dadas en tres circunferencias iguales. Si las circunferencias de antismilitud de dos pares de circunferencias dadas se intersecan, tal transformación puede ser realizada. Una discusión más completa demuestra que hay cuando más ocho de tales puntos de intersección, pero en algunos casos no hay ninguno. Cuando cada una de estas circunferencias interseca a las otras dos, la transformación es posible.
18.12 Inversión de circunferencias en sí mismas.
Teorema: Cualquier par de circunferencias no concéntricas pueden ser invertidas en sí mismas en una infinitud de formas.
Si tomamos como circunferencia de inversión cualquier circunferencia ortogonal a cada una de las circunferencias dadas, estas circunferencias son invertidas en sí mismas. Siempre existe un número infinito de circunferencias ortogonales a cada una de las circunferencias no concéntricas (Sección 17.5) , y por lo tanto la inversión es posible en un número infinito de formas.
Tres circunferencias pueden ser invertidas en sí mismas, si existe una circunferencia ortogonal a las tres. Este es el caso cuando el centro radical es un punto finito que está fuera de las circunferencias dadas.
18.13 Circunferencias que intersecan una circunferencia dada en un ángulo dado.
Problema: Construir una circunferencia que pase por dos puntos dados y que corte una circunferencia dada en un ángulo dado.

Sean C la circunferencia y A y B los puntos dados. Si invertimos con respecto a la circunferencia de centro A y que es ortogonal a C, la última se invierte en sí misma y la circunferencia requerida se invierte en una línea recta que pasa por B´, el inverso de B. También esta línea intersecará la circunferencia C en el ángulo dado. Ahora , todas las líneas que cortan la circunferencia C bajo este ángulo son tangentes a la circunferencia C´ que es concéntrica con C y que se construye fácilmente . De aquí queda solamente por dibujar por B´ una tangente a la circunferencia C´ e invertir esta tagente en la circunferencia requerida. Hay dos soluciones, una , o ninguna, según B´ esté fuera, sobre , o dentro de la circunferencia C´.

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