lunes, 5 de octubre de 2009

22. Construcciones con regla y compás.

21.1 Introducción. Lo que consideramos generalmente como elementos de la geometría elemental- y debe de incluirse mucho de la geometría de las cónicas- fue satisfactoriamente organizado algunos siglos antes del advenimiento de la era cristiana. Ya en ese tiempo se estableció el marco para realizar construcciones en geometría elemental, o sea que estas construcciones se deben realizar usando regla y compás únicamente. Las restricciones a estos instrumentos son comúnmente atribuidas a Platón.

Se harán aquí algunas observaciones referentes a esta convención. En primer lugar, es solamente una convención y no una necesidad lógica. Cualquier otro instrumento de construcción puede ser sustituido por alguno o por ambos , la regla y el compás , o pueden ser usados con ellos. No habrá interferencia alguna con el aspecto lógico del problema de la construcción geométrica si realizamos dichos cambios. También la restricción es más bien rigurosa aparentemente. Ser capaces de usar la regla sin marcas para trazar rectas únicamente, y el compás para trazar circunferencias únicamente puede parecernos en un principio limitar las posibilidades de tal manera que muchas construcciones no pueden hacerse.
El que estas limitaciones no son tan severas como al principio aparecen, es un hecho bien conocido para quienes han estudiado geometría.
El problema de hacer construcciones bajo otras condiciones que no sean el uso de regla y compás ha sido investigado sistemáticamente. Algunos de los resultados de estas investigaciones se presentarán en este capítulo.
21.2 Los tres problemas famosos. Tres problemas geométricos interesaron tanto a los griegos de la antigüedad que han pasado de generación en generación a través de los siglos y se han conocido como los tres problemas famosos de la geometría elemental. Estos problemas son : la trisección del ángulo; la duplicación del cubo; y la cuadratura del círculo. Se entiende que cada una de las tres construcciones debe de hacerse únicamente con regla y compás . Muchos intentos se han hecho para resolver estos problemas. De hecho, han atraído la atención de algunos de los mejores matemáticos del mundo. Pero todos estos intentos estaban destinados al fracaso, pues fue demostrado en el siglo XIX que su solución es imposible.
Esto no significa, sin embargo, que un ángulo no pueda ser trisecado, o que es imposible duplicar un cubo, o construir un cuadrado equivalente a un círculo dado. Si la restricción a regla y compás se modifica de manera adecuada, cada uno de estos problemas puede ser rápidamente resuelto.
Estas soluciones fueron inventadas por algunos geómetras griegos quienes, hace más de dos mil años, se interesaron en estos problemas ahora famosos.*
* Ver Stanford, History of Mathematics, Houghton Mifflin Co, Págs 256-268.

22.3 Construcciones con regla y compás. Se ha establecido un criterio , por el cual es posible determinar si la construcción de un problema propuesto puede o no efectuarse con regla y compás . Contribuciones importantes en este campo fueron realizadas por Gauss, quien atacó el problema de la división de la circunferencia en n partes iguales , y determinó los valores de n para los cuales la división puede ser hecha.
Fue conocido en tiempo de Euclides que esta división puede hacerse si n es cualquiera de los números a × 2α , (a = 2,3,5,15 ; α =1,2,3... ), y se confió plenamente durante dos mil años, que no eran posibles otras distintas a éstas. El primer avance fue el hecho por Gauss cuando descubrió el hecho notables de que se podía construir un polígono regular de diecisiete lados con regla y compás. También encontro que si p es un número primo de la forma 2 2t +1 era construible un polígono regular de p lados con estos instrumentos . Para t = 0,1,2,3,4, los valores correspondientes de p son los números primos 3,5,17,257 y 65537. Euler demostró que p no es primo cuado t =5, 232 +1 es igual al producto 641 × 6700417.
El resultado de la completa investigación de la división del círculo y la cuestión relacionada de la construcción de polígonos regulares conduce al

Teorema: Una condición necesaria y suficiente para que un polígono regular de n lados pueda inscribirse en un círculo por medio de regla y compás es que n = 2α × p 1 × p 2 ..., donde p 1 , p 2 ,... son números primos distintos de la forma 2 2t +1.
Para demostrar la imposibilidad de duplicar un cubo y de trisecar un ángulo con regla y compás usaremos el siguiente teorema, el cual , para mayor brevedad, se da aquí sin prueba. Demostraciones de él son fácilmente accesibles en ingles.

Teorema : No es posible construir por medio de regla y compás, una línea cuya longitud es una raíz de una ecuación cúbica con coeficientes racionales y que no tiene raíz racional.
Si se nos ha dado un cubo cuya arista es la unidad, la arista de un cubo cuyo volumen es doble al del cubo dado es raíz de la ecuación x 3 -2 = 0. Es obvio que por el teorema anterior no es posible construir con regla y compás una línea cuya longitud sea igual a la arista del cubo deseado.

Demostraremos a continuación que es imposible trisecar un ángulo arbitrario con regla y compás, demostrando que es imposible construir un triángulo de 40° y de aquí trisecar 120°. Considérese la identidad 4 cos3 θ - 3 cos θ = cos 3 θ , y sea θ = 40° . Entonces cons 3θ = -1/2 y la identidad resulta 4cos3 40° - 3 cos 40° + ½ = 0. Si ahora ponemos x = 2 cos 40° , resulta que este último es una raíz de la ecuación x3 - 3x +1 =0. Las únicas raíces racionales de esta ecuación, si es que tiene alguna , se encuentran entre los divisores enteros del término constante. Pero por prueba se encuentra que ni 1 ni –1 es una raíz de aquí que 2 cos 40° no puede ser construido con regla y compás, el ángulo 40° tampoco puede ser construido así, y el ángulo 120° no se puede trisecar de este modo. Incidentalmente tenemos con esto una demostración de que es imposible inscribir en un círculo un polígono regular de nueve lados.
El problema de cuadrar el círculo con una regla y compás fue eliminado por Lindemann quien demostró, en 1882 que el número π es trascendente . De esto sigue que el círculo no puede ser rectificado con regla y compás, así como ninguna figura rectilínea, teniendo un área igual a la de un círculo dado, puede ser construida con estos instrumentos.*
* Ver The history and trascendence of π, de D. E Smith, en Young´s Monographs on Modern Mathematics.

22.4 Construcciones con regla solamente. Entre las construcciones que no pueden hacerse con una regla solamente está la de dibujar una línea paralela a una línea dada. Si, sin embargo en la línea hay tres puntos A, B, C tales que AB = BC entonces es posible trazar con regla una paralela a la línea dada por cualquier punto P exterior a esa línea. Así, en la Fig. 95, si P se une a A y C y si una línea arbitraria por B interseca estas líneas respectivamente en Q y S respectivamente , entonces AS y CQ e intersecarán en R, el cual junto con P determina la paralela pedida. (Sección 14.6)
Recíprocamente, si dos líneas son paralelas, un segmento en una de ellas puede bisecarse por medio de una regla solamente. Los pasos para esta construcción son obvios.
De lo anterior se deriva una solución al problema: Trazar con la regla solamente, una línea por un punto dado paralela a dos líneas dadas.
22.5 Construcciones con regla y circunferencia dada. Poncelet en su “ Traité des proprietés projectives des figures ”, publicado en 1822, sugirió las posibilidades de la regla y una circunferencia dada , con centro dado pero quedó para Steiner publicar una demostración 11 años después de que toda construcción que pueda hacerse con regla y compás puede hacerse con regla solamente si se dan en el plano de construcción una circunferencia y su centro.
Para indicar cómo puede establecerse esa posibilidad notemos que todas las construcciones hechas con regla y compás dependen en última instancia de hallar (a) el punto de intersección de dos líneas rectas; (b) los puntos de intersección de una línea y de una circunferencia; (c) los puntos de intersección de dos circunferencias . La primera de estas tres se hace con regla solamente y se puede demostrar que con regla y una circunferencia fija podemos (1) determinar los puntos de intersección de una línea recta l con una circunferencia cuyo centro C y de radio r están dados: (2) determinar los puntos de intersección de dos circunferencias teniendo dados sus centros C y C´ y sus radios r y r´.
Enunciaremos y resolveremos algunos problemas que son fundamentales para la teoría.
Problema 1. Por un punto P construir la línea paralela a una línea dada. Únase E, un punto cualquiera de la línea l, al centro C de la circunferencia fija. (Fig. 96). Puesto que en esta línea hay segmentos adyacentes iguales que RC y CQ, es posible dibujar la cuerda AB , paralela a CQ (sección 22.4). Entonces los diámetros AA´ y BB´ determinan las extremidades de las cuerda A´B´ tal que AB y A´B´ en los puntos D y F para los que DE = EF. La paralela a l buscada que pasa por P pude dibujarse ahora. Construcciones con menos pasos que la anterior pueden hacerse si la línea dada corta la circunferencia fijada.
Problema 2. Por un punto P construya una línea perpendicular a una línea dada.


En la fig. 97 únase E, un punto de l, y C, el centro de la circunferencia fija y supongamos que la línea CE corta esta circunferencia en Q y R. Por R dibújese una cuerda RS paralela a L. Entonces QS es perpendicular a l y sólo nos queda dibujar por P una paralela a QS.
Problema 3. Construir una cuarta proporcional a tres segmentos de línea dados.


Sean los segmentos dados a = AB, B ,C. Dibujar líneas arbitrarias l y l´ que se cortan en P. Por C, centro de la circunferencia fija, trácense líneas paralelas a a y l , que intersecan la circunferencia en D y E respectivamente. Por A y B trácense paralelas a DE y CE respectivamente, y señálese su punto de intersección como N . Dibújese NP, y por B trácese la paralela a esta última que interseca l en Q. Entonces PQ = AB. De la misma manera en la línea l obtengamos QR= b ; y en l´ PS = c. Entonces la línea por R paralela a QS determinará el otro extremo de ST , la cuarta proporcional.
Como un corolario a la demostración de Steiner, se sigue que todas las construcciones que pueden hacerse con regla y compás , se pueden hacer con regla y compás de radio fijo. Obviamente el número de pasos en construcciones hechas con la regla y el compás de radio fijo es generalmente menor que si se usa la regla y una circunferencia fija en su centro.
22.6 Geometría de Mascheroni del compás. El geómetra italiano L. Mascheroni investigó el problema de hacer construcciones solamente con el compás , y publico sus resultados en 1797 en un volumen titulado Geometria del compasso. Una parte considerable de su trabajo está dedicada a la división del círculo en partes iguales. Pero pueden hallarse en él también muchas otras construcciones exactas y aproximadas y se demuestra que todas las construcciones que son posibles con regla y compás pueden hacerse con compás solamente. Se entiende por supuesto, que en tal solución del problema se ve una recta como construida cuando se hallan dos puntos de ella.
Mascheroni asegura que, en total, sus construcciones son más elegantes y más exactas que las construcciones clásicas dadas por Euclides. En la geometría del compás los puntos están determinados por la intersección de arcos de circunferencias y se observará en las soluciones de los problemas que siguen que el ángulo de intersección de estos arcos es generalmente suficientemente grande, de manera que el punto de intersección está determinado con precisión.
Otro rasgo del trabajo de Mascheroni, particularmente el que se refiere a la división de la circunferencia es el uso de compases con radio fijo, así si la solución de un problema particular requiere dibujar circunferencias no todas del mismo radio, se usan tantos compases como haya circunferencias de diversos tamaños, y cada uno de ellos se ajusta con un radio que no cambia en el transcurso de la construcción. Esto se hace en interés de la precisión puesto, como el autor dice, podemos estar seguros que la abertura del compás se conserva exactamente.

22.7 Construcciones fundamentales con el compás. Un número de construcciones de importancia debido a su naturaleza fundamental, se harán solamente con el compás.
Las demostraciones de las más sencillas serán omitidas y de las otras serán solamente indicadas brevemente.
Problema 1. Construir el simétrico de un punto C con respecto a la línea AB.
Esto se lleva a cabo dibujando circunferencias de centros A y B con radios AC y BC respectivamente. Su segundo punto de intersección D es el simétrico de C.


Problema 2. Doblar, triplicar, etc. un segmento de línea dado.
Si se dibuja una circunferencia con B de centro y AB de radio, y si partiendo en A como centro y con el mismo radio los arcos iguales AC, CD y DE se trazan, A, B y E serán colineales y AE será el doble de AB. Continuando de la misma manera se puede encontrar un punto F colineal con A, B y E tal que AF sea el triple de AB.
Problema 3. Construir una cuarta proporcional a tres segmentos de línea dados.
Si a, b, c son los segmentos dados empezaremos por dibujar circunferencias concéntricas con radios a y b. Entonces con c como radio y con un punto P cualquiera de la primera de estas circunferencias como centro, dibujamos un arco que interseca esta misma circunferencia en Q.

Ahora, con un radio conveniente y con P y Q como centros sucesivos dibujamos arcos que intersecan la segunda circunferencia en P´ y Q´ (como en la Fig. 101 ) respectivamente . El segmento P´Q´ es la cuarta proporcional buscada. La demostración depende de la semejanza de los triángulos OPQ y OP´Q´, esta semejanza es una consecuencia inmediata de la congruencia de los triángulos OPP´ y OQQ´.
Problema 4. Bisecar un segmento de línea dado.Varias soluciones a este problema fueron dadas por Mascheroni. La que damos aquí se obtiene fácilmente de las construcciones anteriores (Fig. 102)
Si AB es el segmento que se va a bisecar determínense los puntos distintos C y D tales que AC = BC =AD= BD. Entonces constrúyase el cuarto proporcional al diámetro de una circunferencia, su radio , y AB ; constrúyase también la cuarta proporcional al diámetro de una circunferencia , su radio y CD. Con la primera de estas cuartas proporcionales como radio y A como centro, trácese un arco, y con la segunda como radio y C como centro trácese un arco que corte al anterior. Entonces E, uno de los dos puntos de intersección de los arcos estará dentro del rombo ACBD y es el punto medio de AB.
Problema 5. Determinar el punto de intersección de dos líneas rectas.
Sean AB y CD las líneas cuyo punto de intersección se va a encontrar. Construya los simétricos C´ y D´ de C y D con respecto a la línea AB. Enseguida determine E tal que CCÉD sea un paralelogramo. Entonces D´, D y E son colineales. Ahora determínese la cuarta proporcional de D´E, D´D , C´E y usándola como radio y d y D´ como centros puede hallarse un punto F que está sobre CD, C´D´ y AB. Entonces F es el punto de intersección buscado.

Problema 6. Bisecar un arco de una circunferencia cuyo centro es conocido.
El punto medio F de un arco AB cuyo centro es O puede encontrarse como sigue. Determine C y D de tal manera que ACOB y AODB sean paralelogramos. Con C y D como centros y con radios iguales a CB trácense arcos que se corten en E. Entonces, con OE como radio y C como centro, trácese un arco que corte a AB. El punto F de intersección así determinado puede mostrarse que es el punto medio del arco AB.
Problema 7. Determinar las intersecciones de una circunferencia y una línea recta.

Si el centro de la circunferencia no está dado puede hallarse fácilmente por medio de las construcciones dadas en los problemas anteriores. Supongamos que la línea esta determinada por dos de sus puntos A y B y sea O el centro de la circunferencia dada. Constrúyase O´, el simétrico de O respecto a AB. Si O´ es distinto de O , una circunferencia con O´ como centro y radio igual al del círculo dado intersecará al último en los puntos comunes a él y a la línea AB, si tales puntos existen.
Queda el caso en que O´ coincide con O. AB entonces pasa por el centro de la circunferencia dada y las intersecciones son los puntos medio de los arcos PQ, donde P es un punto arbitrario de la circunferencia y Q es su simétrico respecto a la línea AB.
Hemos mostrado ahora que el punto de intersección de dos líneas y los puntos de intersección de una línea y una circunferencia pueden construirse por medio del compás solamente. Se concluye que toda construcción que es posible con regla y compás es posible con el solo compás.

22.8 División de la circunferencia en arcos iguales. Se han dado ya construcciones en la sección anterior por medio de las cuales puede dividirse la circunferencia en dos, tres y seis partes iguales. Supongamos construidos los arcos AB, BC, CD (Fig. 108), cada uno de los cuales es igual a un sexto de la circunferencia. Entonces, con A y D como centros y con AC como radio dibújense arcos que se corten en E. Si indicamos por a el radio de la circunferencia dada entonces AC = 3√ y OE = A√2. Así, con OE como radio y A como centro puede dibujarse una circunferencia que corten la circunferencia dada en F, G y A, F, D, G dividen la circunferencia en cuatro arcos iguales. También de ahí se sigue inmediatamente que el arco BF es una doceava parte de la circunferencia y que, por medio del uso repetido del compás con radio AB, el resto de los puntos que dividen la circunferencia en doce arcos iguales pueden ser construidos. Siguiendo a Mascheroni, compases fijos con los radios a, a√3y a √2 serán llamados el primero, segundo y tercer compás, respectivamente.

Con el primer compás , y con E como centro, trace arcos que corten la circunferencia en H y K. Entonces, A, H,F,K,D dividen la semicircunferencia en arcos, cada uno igual a un octavo de la circunferencia. Los puntos de división correspondientes sobre la otra semicircunferencia pueden encontrarse por medio del tercer compás. Estas construcciones también proporcionan un arco HB igual a un veinticuatroavo de la circunferencia. El resto de los puntos de subdivisión para veinticuatro arcos iguales pueden encon



22.9 Divisiones adicionales de la circunferencia.trarse con el uso repetido de los tres compases.

La circunferencia ha sido dividida en veinticuatro partes iguales y siendo L, M,H,B,N, los puntos de división del cuadrante AF (Fig. 109) , tomemos un cuarto compás fijo de radio EM. La longitud de este radio se demuestra fácilmente que es igual a √(3-√2). Con este compás y con A y D como centros , descríbanse arcos que se intersequen en R. Entonces, si con el primer compás y con R como centro dibujamos un arco que interseque LM en T, los arcos, LT y TM son iguales, y cada uno vale un cuarentayochoavo de la circunferencia.
Para verificar esto, demostraremos lo siguiente

y de aquí el arco LT es igual a 7 1/2 °.Todos los puntos de división restantes para los cuarenta y ocho arcos iguales pueden construirse por medio de los cuatro compases fijos anteriormente usados.

Para dividir la circunferencia en cinco partes iguales, se usa un cuarto compás fijo cuyo radio es AS. Aquí S es la intersección de los arcos cuyos centros son M y su simétrico M´ con respecto a OF, y cuyos radios son el del tercer compás. El radio del quinto compás se encuentra que es

, consecuentemente el arco AQ cuya cuerda es este radio, es un quinto de la circunferencia.
Se observara que todas las divisiones en esta sección y la anterior se realizaron con cinco compases fijos. Más aún, excepto por el centro del círculo y los puntos en la circunferencia, solamente los tres puntos E, R y S se han usado para hacer estas divisiones. Se puede mostrar que , con estos cinco compases y sin puntos adicionales distintos a los que están en la circunferencia, los puntos de división para diez, veinte, ciento veinte y doscientas cuarenta partes iguales pueden también determinarse.
22.10 Simplicidad y exactitud de las construcciones. Si tenemos a la mano algunas soluciones diferentes de un problema geométrico que necesita hacerse con alguna construcción, podemos hacernos las preguntas : ¿Cuál es la más simple? Y ¿Cuál es la más exacta? Obviamente antes de que estas preguntas puedan ser contestadas, será necesario tener definiciones de simplicidad y exactitud, que puedan aplicarse a tales construcciones.
Definiciones de estos términos fueron dadas por Lemoine.
Están basadas en las siguientes operaciones que pueden realizarse con regla y compás:
1. Colocar el filo de la regla en un punto dado.
2. Dibujar una línea recta.
3. Colocar un punto del compás en un punto dado.
4. Colocar un punto del compás en una línea recta ( recta o curva).
5. 5. Dibujar una circunferencia o un arco de circunferencia.

La suma del número de veces que todas estas operaciones se realizan en el desarrollo de un una construcción dada , es llamada su simplicidad. La suma del número de veces que cada una de las operaciones 1,3 y 4 son realizadas, es llamada su exactitud. Vamos a señalar la simplicidad y exactitud de una construcción geométrica dada , por S y E respectivamente.
Como un ejemplo, podemos usar la construcción ordinaria para la bisección de un ángulo. Aquí, S =9 y E=5, ya que la primera de las operaciones anteriores se realiza dos veces, la segunda una, la tercera tres y la quinta tres.
Que el criterio anterior para la exactitud y simplicidad no es tan satisfactorio como se desea, se ve fácilmente. Por ejemplo, el punto de intersección de dos líneas rectas, se sitúa con mayor precisión cuando las líneas se intersecan a ángulos grandes, que cuando son casi paralelas, y como una consecuencia su intersección se aleja de los puntos que determinan las líneas. El criterio de Lemoine no toma en cuenta, tales diferencias.