23.Teoremas y problemas selectos

23.1 El problema de las bisectrices de los ángulos. Este capítulo esta dedicado a la discusión de variados teoremas y problemas importantes, y empezaremos con la demostración de un teorema que aparentemente es muy simple , pero que ofrece más dificultad de la que en primera instancia se pudiera ver. Es el inverso de un teorema que cualquier principiante en el estudio de la geometría puede demostrar fácilmente.
Sigue una prueba simple por el método indirecto.
Teorema : Si las bisectrices de dos ángulos interiores de un triángulo son iguales, el triángulo es isósceles.
En el triángulo ABC, sean iguales las bisectrices BM y CN de los ángulos CBA y ACB , y supóngase que el Ð CBA es mayor que el ÐACB. Entonces Ð CBM > Ð NCB, de donde
CM > BN

Dibuje las líneas BL y CL paralelas respectivamente a NC y NB , y dibuje ML. Entonces BL =NC=BM, y los ángulos MLB y BML son iguales. También puesto que LC = BN, tenemos CM > LC y ÐCLM > LMC. Por lo tanto por suma Ð CLB > Ð BMC, de donde ÐBNC > Ð BMC. Considerando los ángulos de los triángulos BON y MOC, esta última desigualad nos conduce a concluir que Ð MBA < Ð ACN. Esto es contrario a la suposición de que ÐCBA es mayor que Ð ACB. De la misma manera podemos establecer una contradicción si suponemos el primero de estos ángulos menor que el segundo. Podemos concluir que son iguales, y en consecuencia el triángulo es isósceles.

23.2 Teorema de Stewart.
Teorema : Si a, b, c son las longitudes de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC , y si D es un punto cualquiera en BC para el cual BD = p, y DC = q, entonces representando por x la longitud AD, tenemos
ax ² = pb² + qc² - apq.

Aplicando la ley de los cosenos a los triángulos ABD y ADC , tenemos
c² = x² + p² -2xp cos ADB,
b² = x² + q² + 2xq cos ADB.
Multiplicando estas ecuaciones por p y q respectivamente , sumando y reduciendo con la ecuación p + q = a, se obtiene el resultado deseado.
Este teorema puede usarse para encontrar la longitud de la línea AD cuando D es un punto cualquiera en la línea BC y se conoce la razón en la cual divide D divide a BC, porque en este caso las longitudes y signos de BD y DC pueden conocerse. En particular, las longitudes de las medianas, las simedianas y las bisectrices de los ángulos de un triángulo, pueden encontrarse por medio del teorema de Stewart.
Esto sugiere una prueba directa del teorema de la sección anterior. En la Fig. 111, si AD biseca el ángulo A del triángulo dado encontramos
y

El cálculo del segmento AD² da
, y el cuadrado de la bisectriz del ángulo B es

Si la diferencia entre estas dos expresiones se hace igual a cero, la ecuación puede reducirse a
(a-b)×f(a,b,c)= 0,
donde f (a,b,c) son solamente términos positivos. De aquí a = b.
23.3 Distancia entre los centros del incírculo y el circuncírculo.
Sean I y O el incentro y el circuncírculo. Sean I y O el incentro y el circuncentro del triángulo ABC , y sean D, E, F , los puntos en los cuales la circunferencia inscrita es tangente a BC, CA, AB, respectivamente. Denotemos por r y R los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita , por d la distancia entre sus centros , y por P y Q los puntos en los cuales la línea IO interseca la circunferencia circunscrita.
Si invertimos con respecto al incírculo como circunferencia de inversión, el punto A será invertido en A´, punto medio de EF. Entonces la circunferencia circunscrita se invierte en la circunferencia de los nueve puntos del triángulo DEF y el diámetro de esta circunferencia es igual a r. También si P´ y Q´ son los inversos de P y Q respectivamente, la línea P´Q´ es un diámetro de esta circunferencia. Más aún,

La suma de estas ecuaciones con los debidos signos, nos conduce al resultado deseado. Este resultado se debe a Euler. Y puede ser puesto en la forma del
Teorema. Los radios r y R de las circunferencias inscrita y circunscrita de un triángulo, y la distancia d entre los centros, están relacionados por la ecuación.

23.4 Teorema de Miquel .Teorema :Si D, E, F son tres puntos cualesquiera en los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, entonces las circunferencias que pasan por las tercias de puntos B, D, F; C, E ,D; A, F, E; tienen un punto en común.
Para probar el teorema, debemos primero establecer el
Lema: Si por un punto cualquiera en el plano del triángulo cuyos lados son las líneas a, b, c, se trazan tres líneas p, q, r, de tal forma que p y b sean antiparalelas con respecto a a y q , y p y c sean antiparalelas con respecto a a y r , entonces q y c , son antiparalelas con respecto a b y r.

Puesto que la propiedad de antiparalelismo depende solamente de las direcciones relativas de las líneas involucradas, podemos, sin perder generalidad, tomar el punto de intersección O de las líneas p, q, r , en el triángulo. En la Fig. 113, sean OD, OE, OF, las líneas p, q, r, con notaciones usuales para los lados del triángulo. Entonces del antiparalelismo dado tenemos
Ð DOE = 180° - c,
y
Ð FOD= 180° -B;
y se sigue de estas ecuaciones que Ð eof = 180°- A. Por lo tanto q y c son antiparalelas con respecto a r y b.
Se concluye ahora el teorema para cualquier posición del punto O, que es común a las circunferencias por B, D , F y por C, E, D . Ya que el lema garantiza que OF y EA son antiparalelos con respecto a OE y FA , y por lo tanto los cuatro puntos A, F, E, O son concíclicos.
El punto O es llamado el punto de Miquel de la tercia D, E, F con respecto al triángulo ABC; el triángulo DEF, cuando D, E y F no son colineales, es llamado un triángulo de Miquel de O; y las tres circunferencias del teorema son llamadas de Miquel de los puntos D, E, F.
Las consecuencias de este teorema son numerosas e importantes.

23.5 Cuadrilátero completo y la línea de Simson. Para ilustrar la importancia del Teorema de Miquel, lo usaremos para probar dos teoremas que hemos visto en el Cap. 16.
Estos teoremas íntimamente aparecieron relacionados
Y su relación ahora se ve resaltada por el hecho de que ambos pueden ser considerados como corolarios del Teorema de Miquel.
Teorema: Las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos cuyos lados son los lados de un cuadrilátero completo, tomados tres a un tiempo, tienen un punto en común. (Sección 16.11)
En la Fig. 114 Sea el cuadrilátero que consiste de las cuatro líneas, y sea O el punto de Miquel de la tercia colineal D, E, F, con respecto al triángulo ABC. Considerando también el triángulo FBD y la tercia de puntos C, E, A, dos de cuyas circunferencias de Miquel pasan por O, se infiere que la tercera circunferencia por los puntos A, B, C también pasa por O.
Teorema: Si desde cualquier punto en la circunferencia circunscrita de un triángulo, bajamos perpendiculares a los tres lados, los pies de estas perpendiculares están en una línea recta.

Sea O el punto en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC; D, E, F los pies de las perpendiculares de O a los lados; y EF corta a BC en D´. Ahora las cuatro circunferencias que circunscriben los triángulos del cuadrilátero completo cuyos lados son AB, BC, CA, FD´, pasan por O, y una de estas circunferencias es circunscrita al triángulo CED. Pero también, O, E, D, C, son concíclicos. De donde, estas dos circunferencias que tienen los puntos O, C, E en común , coinciden, y en consecuencia D´ coincide con D. Entonces los puntos D, E, F son colineales.
23.6 Teorema de Carnot.
Teorema : Si una circunferencia interseca los lados BC, CA, AB del triángulo ABC en los puntos D, D´; E, E´; F,F´; respectivamente entonces

Supongamos que DE y D´E´ intersecan a AB en G y G´ respectivamente.

Entonces, aplicando el teorema de Menéalo al triángulo ABC con transversales EG y E´G´, tenemos

También AB es una transversal que corta los lados del cuadrángulo inscrito DED´E´ y la circunferencia en puntos en involución (sección 21.9). De aquí

Esto es junto con las ECS. (1) Y (2) por multiplicación y reducción , da la relación del teorema.

El teorema de Carnot, nos da otra prueba del teorema del hexágono de Pascal (Sección 20.6). En el hexágono inscrito ABCDEF, con lados que se intersecan como se muestra en la Fig. 117, se desea probar que los puntos P, Q, R son colineales. No se darán los detalles de esta prueba, pero pueden obtenerse, aplicando el teorema de Menéalo al triángulo LMN, con las líneas PDE, QCB y RFA como transversales, multiplicando las ecuaciones obtenidas, simplificando por medio del teorema de Carnot, e interpretando los resultados.

23.7 El problema de Apolonio. Se dio una solución del problema de Apolonio y se sugirió una más elemental en un ejercicio . Tomando en cuenta el gran interés histórico ligado a este problema, atestiguado por el hecho de que ha llamado la atención de muchos geómetras y que ha sido resuelto en varias maneras, daremos otra solución muy conocida debida a Gergonne. Esta solución es aplicable cuando los centros de las circunferencias no son colineales.
Empezaremos con la observación, de que si una circunferencia es tangente a otras dos, los puntos de contacto son antihomólogos con respecto a uno de los centros de similitud de las dos circunferencias. Por conveniencia de exposición , diremos que una circunferencia tiene contacto semejante o no semejante, con dos circunferencias a las que es tangente, de acuerdo si los puntos de contacto son antihomólogos con respecto al centro de similitud externo o interno. Se sigue que si una circunferencia contiene dentro de ella ambas o ninguna de las dos circunferencias a las cuales es tangente, tiene contactos semejantes con las dos, y si contiene a una pero no a la otra de estas circunferencias, tiene contactos no semejantes con ellas.

Por claridad, consideremos que las tres circunferencias A ,B, C (Fig. 118) están completamente una fuera de las otras, y sean P y P´ las dos circunferencias que hacen contacto semejante con cada par de las circunferencias dadas. También, sean D, E ,F los centros de similitud externos de las circunferencias B,C ; C, A ; A, B ; respectivamente. Aplicando el inverso del teorema de Menéalo al triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias dadas, encontramos que D, E, F están en una línea recta. Esta línea es el eje radical de las circunferencias P y P´. Señalando por B₁ , C ₁, y B´ ₁, C´₁ los puntos en los cuales las circunferencias B y C tocan P y P´ respectivamente, tenemos DB₁ × DC₁ = DB´₁ × DC´₁. Así las potencias de D con respecto a P y P´ son iguales ;y en forma similar para los puntos E y F.
La circunferencia C hace contactos no semejantes con P y P´ y por lo tanto la línea C C´ pasa por el centro de similitud interno de P y P´. Asimismo, la línea que une los puntos en los cuales B toca estas dos circunferencias , y la que une los puntos en los que A toca a ellas, pasan por el mismo punto; y este punto común es el centro radical de las circunferencias A, B, C .
Puesto que tangentes a dos circunferencias en puntos antihomólogos se intersecan en su eje radical, la línea C₁C´₁ es la polar de F con respecto a la circunferencia C, y se sigue que el polo de DF esta en C₁C´₁. Así los puntos en los que las circunferencias P y P´ tocan C pueden construirse como las intersecciones de C con la línea que une el polo de DF, con respecto a c, con el centro radial de las tres circunferencias dadas. De la misma forma es posible encontrar los puntos en los cuales las circunferencias P y P´ tocan cada una de las otras dos circunferencias. Pueden dibujarse entonces las circunferencias buscadas.
Los centros de similitud están por tercias en cuatro líneas. Procediendo en una forma similar con respecto a cada una de las otras de estas cuatro líneas y los centros de similitud que están en ellas, podemos construir las circunferencias restantes por pares, cuando existan. Cuál de los pares indicados existe, depende de si las líneas que unen el centro radical a los tres polos de la línea correspondiente intersecan las circunferencias respectivas

23.8 Cadena de Steiner de circunferencias. Si una serie de circunferencias es un número finito, y cada uno de sus miembros es tangente a dos circunferencias fijas que no se intersecan, y si más aún, cada circunferencias de la serie, es tangente a otras dos de la serie, la serie es llamada una cadena de Steiner de circunferencias. Cuando existe tal situación, diremos que las dos circunferencias fijas tienen una cadena de Steiner y llamaremos brevemente a la cadena de circunferencias una cadena de Steiner.
Supóngase que tenemos cada una de estas n circunferencias señalando a cada uno de sus miembros c₁, c₂,...,c_n y las circunferencias a las cuales son tangentes son C₁ y C₂. Sea también su colocación, tal que c_i es tangente a c_i-1 y a c_c+i (i= 1,2,...,n ; c ₀= c _n, c
_{n +1} =c ₁ ). Se puede demostrar que existe una inversión para la cual C₁ y C₂ se transforman en dos circunferencias concéntricas desiguales C´₁ y C´₂. Sea O el centro común de estas circunferencias transformadas, y señalemos por (I) la inversión usada. Entonces las circunferencias c ₁ son evidentemente transformadas por esta inversión en una serie de circunferencias desiguales iguales c´₁ contenidas en la corona entre C´₁ y C´₂, y que tienen la misma propiedad de tangencia respecto a sus vecinos anteriores y posteriores como las circunferencias de la cadena dada. Por lo tanto ellas mismas constituyen una cadena de Steiner que llamaremos la cadena de Steiner asociada a la cadena original.
Las circunferencias de la cadena Steiner asociada, pueden cada una avanzarse cíclicamente en la corona en que están para formar una cadena similar, y esto puede hacerse en un número infinito de formas. Cuando invertimos uno de estos nuevos arreglos con (I) obtenemos como resultado una cadena de Steiner para C₁ y C₂ , que en general es diferente de la cadena original con que partimos. Esto da el
Teorema: Si dos circunferencias tienen una, tienen un número infinito de cadenas de Steiner, todas ellas con el mismo número de circunferencias.
Puede ser que en la cadena de Steiner asociada, las n circunferencias c´_i, rodeen p veces a la corona, si esto sucede, cada una subtiende en O el ángulo.

Cuando la inversión (I) se aplica a esta cadena, las circunferencias C´ ₁ y C´ ₂ se invierten en C₁ y C₂, un par de circunferencias que determinan un grupo coaxial cuyos punos límites son el centro de inversión L, y el inverso L´del punto O.
Las líneas por O, tangentes a las circunferencias c´₁ se transforman en circunferencias tangentes a las circunferencias c₁ en los puntos de contacto de éstas con sus vecinas en la cadena, y que pasan por los puntos limite L y L´. Más aún, estas circunferencias son ortogonales a C₁ y C₂ y el ángulo en el cual un par adyacente se interseca es

Si r₁ y r ₂ son los radios de las circunferencias concéntricas de la cadena de Steiner asociada, y si las n circunferencias de la cadena rodean la corona p veces, entonces la relación

Vale entre las cantidades involucradas.

23.9 El árbelos. Sea C un punto cualquiera en el segmento de línea AB entre A y B , trácesense semicircunferencias en el mismo lado AB y de diámetros AB, AC, CB. Entonces la figura cuyos contornos son estas circunferencias es un árbelos o una navaja de zapatero. Este último nombre le fue dado por Arquímedes , que estudio sus propiedades, algunas de las cuales se darán aquí.
Sean los radios de las circunferencias en AB, AC, CB; r, r₁,r₂, respectivamente. Traemos la perpendicular a AB por C, intersecando la circunferencia más grande en D. También sean E y F los dos puntos de contacto de la tangente directa común a las dos semicircunferencias en AC y CB respectivamente. Las siguientes propiedades se verifican fácilmente.
(a) El perímetro del árbelos es igual al de la circunferencia de diámetro AB.
(b) El área del árbelos es igual al área del círculo de diámetro CD.
(c) El Segmento de la tangente común EF es igual a CD, y estas dos líneas se bisecan una a otra en H. Entonces ECFD, es un rectángulo y el centro de su circunferencia circunscrita es H.
(d)Los puntos A, E, D son colineales así como B, F, D.
Ahora probaremos:
(e)Si se dibuja una circunferencia tangente a CD y a las semicircunferencias de diámetros AB y AC, y otra se dibuja tangente a CD y a las semicircunferencias de diámetros AB y CB, estas dos semicircunferencias son iguales.

La primera de estas circunferencias toca la línea CD en P, la semicircunferencia de diámetro AC en Q, y la semicircunferencia de diámetro AB, en R, siendo SP el diámetro a través de P. Entonces es fácil demostrar que las tercias A, Q, P; A, S, R; y C, Q, S son colineales, y que si T es el punto de intersección de AS y CD, las líneas BT y CS son paralelas. De todo esto se sigue que

La simetría demuestra que el diámetro de la otra circunferencia inscrita, tiene la misma longitud.
(f) Las líneas RB y AB son antiparalelas con respecto a CD y AR, y los puntos A, R, P, C son concíclicos.
(g) El punto B tiene iguales potencias respecto a las circunferencias de diámetros SP y AC, de lo que se concluye que la tangente común a estas circunferencias en Q pasa por B.

23.10 La circunferencia de Spieker. En la sección 16.5 conocimos la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo y dedicamos algún tiempo a desarrollar propiedades de esta interesante circunferencia. Hay otra circunferencia que merece notarse porque en varias formas es estrictamente análoga a la circunferencia de los nueve puntos. Es la circunferencia inscrita al triángulo cuyos vértices son los puntos medios de un triángulo dado, y que es llamada la circunferencia de Spieker del triángulo. Notamos enseguida que su diámetro es la mitad del diámetro del incírculo del triángulo.
Serán usadas las notaciones usuales para los vértices del triángulo, los puntos medios de sus lados, los pies de las alturas de su área, su ortocentro, circuncentro, incentro, punto mediano (Fig. 122). Sea S el centro de la circunferencia de Spieker, X y X´ los puntos en los que BC es tocada por la circunferencia inscrita y aquella circunferencia excrita que es tangente internamente al lado BC y sea T el punto Ángel. Se necesitarán algunos resultados que damos ahora, y los cálculos para aquellos que no es fácil deducir, serán indicados.

Esta última relación se obtiene aplicando el teorema de Menelao al triángulo ABX´ con CT como transversal.
Por (a), (b), y (c) encontramos que
IX : XL = AD: DX´,
Y de aquí los triángulos rectángulos IXL y ADX´ son semejantes de lo que vemos que IL es paralela a AX´, también de estos triángulos semejantes y de las relaciones (b) y (d) AT = 2IL. Se sigue que son semejantes los triángulos ILG y TAG; que I, G y T son colineales; y que GT= 2 IG.
Si S´ es el punto medio de IT, tenemos de la semejanza de los triángulos LS´G y AIG, que LS´ es paralelo a AI, y por lo tanto que LS´ biseca el ángulo MLN. En consecuencia S´ coincide con S, el centro de la circunferencia de Spieker.
Teorema: El punto de Ángel, el punto mediano, el centro de la circunferencia de Spieker, y el incentro de un triángulo son colineales y están separados armónicamente; más, aún, el punto Ángel y el punto medio son los centros de homotecia de la circunferencia de Spieker y de la circunferencia inscrita al triángulo.
Si P, Q, R son los puntos medios de AT, BT, CT, el triángulo PQR es homotético al triángulo ABC en la razón 1:2 con N como centro de homotecia. De aquí los triángulos PQR y LMN son congruentes y ambos están inscritos a la circunferencia de Spieker, que TX pasa por el punto en el cual esta circunferencia es tangente a QR , y que estos puntos de tangencia son colineales con S.
La analogía entre las propiedades de la circunferencia de los nueve puntos la circunferencia de Spieker de un triángulo es aparente.