14 Teoremas de Ceva y Menéalo

14.1 Concurrencia y colinealidad. Muchas de las propiedades importantes de las figuras geométricas, dependen de la concurrencia de líneas y de la colinealidad de puntos . Dos teoremas, elegantes por su poder y simplicidad, que son útiles en el establecimiento de tales propiedades, se darán en este capitulo. Uno debe su nombre a un trabajo escrito por Menéalo de Alejandría cerca del final del primer siglo D.C. El otro fue publicado por el matemático italiano Ceva en 1678.
Cada uno de estos teoremas se refiere a puntos en los lados de un triángulo, vistos los lados como líneas completas determinadas por pares de vértices del triángulo.
14.2 Teorema de Ceva.
Si tres líneas AO,BO y CO, dibujadas por los vértices de un triángulo ABC y un punto O de su plano, cortan los lados opuestos en L,M y N respectivamente, entoncese inversamente , si L, M y N son puntos en los lados BC, CA y AB del triángulo del triángulo ABC para los cuales se cumple la relación anterior, entonces AL, BM y CN son concurrentes.
Hagamos que BM y CN intersequen la paralela a BC que pasa por A , en R y S respectivamente. Entonces por triángulos semejantes tenemos
Multiplicando En estas ecuaciones obtenemos

Para probar el inverso, hacemos que BM y CN se intersecten y en O y hagamos que AO corte a BC en L´ entonces tenemos
Pero también
De lo cual se sigue que
Entonces L coincide con L´ es decir AL pasa por O, la intersección de BM y CN.
14.3 Forma trigonométrica del teorema de Ceva.
Teorema : Si la hipótesis del teorema de Ceva se satisface, entonces

E inversamente , si L , M y N son puntos de los lados BC, CA y AB, respectivamente del triángulo ABC, para el cual vale la relación anterior, entonces AL, BM y CN , son concurrentes

Luego

y
Multiplicando y observando que el producto de la izquierda es igual a la unidad, obtenemos la relación deseada.
Para el inverso, los pasos en la prueba anterior, pueden ser hechos en el orden inverso, llegando a la relación

De lo cual se sigue que AL, BM y CN son concurrentes.
14.4 Teorema de Menealo
Teorema. Si una línea recta interseca a los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en los puntos L,M y N respectivamente entonces
E inversamente , si L,M y N , son puntos de los lados BC, CA y AB del triángulo ABC para el cual vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Sean AP, BQ y CR las perpendiculares de A, B y C respectivamente a la línea LMN
Entonces por triángulos semejantes
Multiplicando, tenemos

El inverso puede ser probado haciendo que MN corte a BC en L´ y luego mostrando como se hizo en la sección 3.2 que L coincide con L´.
14.5 Forma trigonométrica del Teorema de Menelao.Teorema : Si la hipótesis del Teorema de Menéalo se satisface, entonces
E inversamente si L,M Y N son puntos en los lados BC, CA y AB respectivamente, del triángulo ABC, para los cuales vale la relación anterior, entonces L,M y N son colineales.
Las pruebas son tan parecidas a las de la forma trigonométrica de Ceva que no se darán aquí . El lector deberá hacer ambas pruebas .
14. 6 Teorema de división interna y externa.
Teorema : Si L, M y N son puntos cualesquiera en los lados BC, CA y AB del triángulo ABC, tales que AL, BM y CN son concurrentes, y si la línea MN interseca a BC en L´, entonces los puntos L y L´ dividen el segmento BC interna y externamente en la misma razón.
Ya que AL, BM y CN son concurrentes, tenemos por el teorema de Ceva

Y puesto que L´, M y N son colineales, por el teorema de Menéalo

De lo que obtenemos

De aquí se ve que L y L´ dividen a BC interna y externamente en la misma razón.
En la fig.17 los tres puntos B, L y C están dados; el punto L´ esta determinado de manera única , ya que hay un solo punto que divide el segmento externamente en la misma razón numérica en la que un punto dado divide el segmento internamente. Así podemos concluir lo siguiente:
Sean B, L y C tres puntos fijos en una línea. Si A es un punto cualquiera fuera de esta línea, y M y N son puntos cualesquiera en los lados CA y AB del triángulo ABC de tal forma que AL, BM y CN sean concurrentes, entonces la línea MN intersecará la línea BC en un punto fijo.

14.7 Figuras en perspectiva. Se dice que dos figuras están en perspectiva , si todas las líneas que unen puntos correspondientes de las dos figuras son concurrentes. El punto por el cual pasan estas líneas es llamado centro de perspectiva.
Las figuras homotéticas están en perspectiva , pero las figuras en perspectiva, no necesariamente son Homotéticas, puesto que líneas correspondientes de figuras no son paralelas en general.

14.8 Teorema de Desargues.

Teorema: Si dos triángulos están en perspectiva, los puntos de intersección de lados correspondientes son colíneales; e inversamente, si los puntos de intersección de lados correspondientes de dos triángulos son colíneales, los triángulos están en perspectiva.
Sean los triángulos ABC y A´B´C´ en perspectiva, con O como centro de perspectiva, y hagamos que AB y A´B´ se corten en P, BC y B´C´ en Q y CA y C´A´ en R. Si aplicamos el teorema de Menéalo al triángulo ABO con B´A´P como transversal, obtenemos

Análogamente, del triángulo BCO, con B´C´Q como transversal , se sigue que

Y del triángulo CAO con A´C´R como transversal que


El producto de estas tres ecuaciones nos da
Que demuestra que P, Q y R son colineales. Ahora, sean dados P, Q y R colineales.
Ahora sean dados, P, Q y R colineales, y consideremos los triángulos AA´R y BB´Q. Estos triángulos están en perspectiva con P como centro de perspectiva. Más aún O, C y C´ son los puntos de intersección de sus pares de lados correspondientes. Entonces estos tres puntos son colineales; es decir, la línea CC´ pasa por el punto de intersección d AA´ y BB´ .Esto establece el inverso.
La línea en que están P, Q y R es el eje de perspectiva de los triángulos ABC y A´B´C´.

14.9 Importancia el teorema de Desargues. Las propiedades de las figuras geométricas pueden ser clasificadas como métricas y proyectivas. Expresado toscamente, aquellas propiedades que están necesariamente relacionadas, ya sea directa o implícitamente en la noción, a la noción de medida, son propiedades métricas, mientras que aquellas que están esencialmente desconectadas e la medida son propiedades proyectivas. Ejemplos de las primeras son; la igualdad de segmentos de línea ,la semejanza de triángulos, el antiparalelismo de líneas y como ejemplo de las últimas son la concurrencia de líneas y la colinealidad de puntos .La geometría proyectiva es un estudio de las propiedades proyectivas de una configuración .

Lo establecido por el teorema de Desargues , implica sólo propiedades proyectivas de las figuras a las que se aplica. Y como esto está tan relacionado con las ideas de concurrencia y colinealidad, y tales ideas son básicas en la geometría proyectiva , este teorema es uno de los más importantes en este campo. De hecho algunas veces se le toma como el teorema fundamental de la geometría proyectiva.
Es de notarse que, aunque la demostración dada tiene de carácter métrico, es posible dar una demostración que sea completamente de carácter no métrico. Tal demostración es deseable para el desarrollo de la geometría proyectiva, pero desde nuestro punto de vista es interesante ver como se puede demostrar este teorema, tan importante basándose en el Teorema de Menéalo.