Conteo

Para pronosticar el triunfador en una elección municipal necesitamos al menos conocer quiénes son los candidatos, así como para pronosticar quien ganara un torneo de futbol debemos de conocer que equipos participaran y que reglas seguirá el torneo. En general, no es posible hacer predicciones razonables a menos de que conozcamos lo que es posible, es decir es necesario conocer lo que es posible antes de juzgar lo que es probable. En los próximos posts estudiaremos cómo determinar en algunos casos lo que es posible.
En el análisis de lo que es posible, un problema muy importante es el especificar cuántas distintas situaciones pueden suceder. Supongamos que el comité ejecutivo estatal de un partido político debe elegir un candidato a diputado local y un candidato como diputado suplente por un distrito. Los posibles candidatos titulares a diputados son el Sr. González, la Sra. Fernández y la Sra. Huerta, y los candidatos a diputados suplentes son la Sra. Arteaga, el Sr. Torres y el Sr. Uribe. ¿Cuántas posibles fórmulas pueden integrar si para ganar el candidato femenino deciden que un candidato sea hombre y otro mujer? Una forma de analizar las diferentes posibilidades es por medio de un diagrama de árbol, que aparece en la siguiente figura. Las ramas de la izquierda representan los candidatos titulares y las ramas de la derecha los posibles candidatos suplentes. Si partimos del vértice de la izquierda (llamado la raíz del arbol) por las diferentes ramas hasta llegar a alguno de los vértices de la derecha (terminales) tenemos cinco caminos posibles, uno por cada uno de los vértices terminales. Cada uno de estos caminos representa una de las fórmulas posibles que el comité ejecutivo estatal debe tomar en consideración. Por ejemplo, el cuarto vértice de arriba a abajo corresponde a la opción de la Sra. Huerta (titular) y del Sr Torres (suplente).

Los diagramas de árbol nos permiten describir una amplia variedad de situaciones, como lo muestra el siguiente ejemplo. A un merenguero le quedan sólo dos merengues y un estudiante tiene 2$. Aceptan jugar los dos merengues y los dos pesos en volados, donde si cae águila el estudiante gana un merengue y se lo come de inmediato, y si cae sol el merenguero gana $ 1. El juego es “a morir”, esto es, hasta que el estudiante se quede sin dinero o que el merenguero se quede sin dinero o que el merenguero se quede sin merengues. ¿De cuántas maneras se puede desarrollar el juego? En el diagrama de árbol de la siguiente imagen podemos observar que el juego se puede observar de seis maneras diferentes.

Consideremos ahora un estudio médico donde los pacientes son clasificados de acuerdo con su tipo de sangre (A,B,AB, O) y a su presión cardiovascular (baja, normal y alta) ¿Cuántos tipos de paciente hay? En el diagrama de árbol mostrado a continuación representamos primero los tipos de sangre, y posteriormente, para cada tipo de sangre representamos las presiones cardiovasculares. Tenemos ahora doce caminos posibles de la raíz a cada uno de los vértices terminales. Por ejemplo, el quinto vértice de arriba abajo corresponde al camino de las ramas B y normal, es decir, pacientes con tipo de sangre B y presión cardiovascular normal.

En este caso el número de tipos de paciente es 4 x 3 = 12, esto es, el producto del número de tipos de sangre con el número de tipos de presión cardiovascular. Si el estudio médico requiriera además clasificar a los pacientes de acuerdo a si su factor RH es positivo o negativo, para formar el nuevo diagrama de árbol necesitaríamos añadir dos nuevas ramas (una con Rh + y otra con Rh-)a cada uno de los doce vértices terminales del arbol anterior. Ahora contaríamos en total con 24 caminos posibles. El número de tipos de paciente es ahora 4 x3 x 2 = 24, esto es, el producto del número de tipos de sangre por el número de tipos de presión cardiovascular por el número de tipos RH.

El último ejemplo nos permite obtener la siguiente regla:

Regla del producto: Si una elección consiste de k pasos, donde el primero se puede hacer de n₁ maneras, el segundo de n₂ maneras,… y el último de n_k maneras, entonces hay n × n₂ × …× de n_k maneras posibles de hacer todas las elecciones.

Veamos algunos ejemplos donde apliquemos la ley del producto:
 1.- Un examen de diez preguntas consiste en seis preguntas de elección múltiple, cada una con cuatro posibles respuestas, y después de otras cuatro preguntas de falso o verdadero. ¿De cuántas maneras se puede contestar el examen?
En este caso hay k = 10 elecciones, con n ₁ = n ₂= n ₃= n ₄= n ₅== n ₆=4, y n ₇ = n ₈= n ₉= n ₁₀=2, de ,pdp que al aplicar la regla del producto tenemos un total de 4×4×4×4×4×4×2×2×2×2=4⁶×2⁴=65536 maneras posibles de contestar el examen.
 ¿En cuántas maneras es posible responder el examen y obtener todas las respuestas mal?
De nuevo hay k=10 elecciones, pero ahora con
 n ₁ = n ₂= n ₃= n ₄= n ₅= n ₆=3  y n ₇ = n ₈= n ₉= n ₁₀=1.
Al aplicar la regla del producto tenemos un total de 3×3×3×3×3×3×1×1×1×1=3⁶×1⁴=729 Maneras de contestar mal a todas las preguntas.
Una persona piensa comprar cierto automóvil. El fabricante ofrece cualquier combinación de las siguientes alternativas: seis colores diferentes, dos tipos de motor; tres tipos de rines; transmisión manual o automática; sin radio, con radio AM-FM, con radio AM-FM-tocacintas o con radio AM-FM-CD; y sin aire acondicionado o con aire acondicionado. Cada comprador debe hacer una elección con respecto al color, motor, rines, transmisión, radio y aire acondicionado, por lo que k=6 . En este caso n ₁ = 6,n ₂=2, n ₃= 3,n ₄= 2 ,n ₅=4 y n ₆=2. Por la regla del producto habrá un total de 6×2×3×2×4×2=576 Alternativas posibles para ordenar este modelo.
La regla del producto nos permite en muchos casos calcular el número de posibilidades sin necesidad de listar todas ellas o de desarrollar un diagrama de árbol.Es importante tener en cuenta que para poder aplicar esta regla no debe haber restricciones en las comnbinaciones posibles. Un ejemplo donde no se puede aplicar la regla es el de las fórmulas de candidatos a diputados que al analizamos al inicio del post, donde la restricción de que debe haber un candidato de cada sexo limita el número de fórmulas posibles. Si aplicáramos la regla del producto  a este ejemplo tendríamos 3  × 3 = 9 fórmulas posibles. Estas nueve fórmulas contienen las cinco concandidatos de diferente sexo que ya habiamos descrito, y otras cuatro donde los dos candidatos tienen el mismo sexo.