4.2 Líneas en los triángulos

Teorema 4.2.1 (Teorema de la bisectriz) La bisectriz de cualquier ángulo interior de un triangulo determina, en el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los respectivos lados que forman el ángulo considerado.

Demostración. Sea ΔABC un triángulo cualquiera, si la bisectriz del ángulo BAC, corta a BC en P, entonces debemos probar que.






Llamémosle Q a la intersección de la prolongación de BA con una paralela a AP que pase por C.

Como PA y CQ son paralelas, entonces
ÐBAP= ÐAQC
ÐPAC= ÐACQ

Y como además BAP = PAC , por ser AD bisectriz del ángulo BAC, entonces
ACQ= AQC

Así, por el ejercicio (4.1.1), AC= AQ y el triangulo ΔACQ es isósceles.
Por otro lado, utilizando el teorema de Tales, como PA es paralela a CQ, entonces







Sustituyendo AQ por AC demostramos lo que queríamos.