domingo, 28 de diciembre de 2008

4.2 Líneas en los triángulos

Teorema 4.2.1 (Teorema de la bisectriz) La bisectriz de cualquier ángulo interior de un triangulo determina, en el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los respectivos lados que forman el ángulo considerado.

Demostración. Sea ΔABC un triángulo cualquiera, si la bisectriz del ángulo BAC, corta a BC en P, entonces debemos probar que.






Llamémosle Q a la intersección de la prolongación de BA con una paralela a AP que pase por C.

Como PA y CQ son paralelas, entonces
ÐBAP= ÐAQC
ÐPAC= ÐACQ

Y como además BAP = PAC , por ser AD bisectriz del ángulo BAC, entonces
ACQ= AQC

Así, por el ejercicio (4.1.1), AC= AQ y el triangulo ΔACQ es isósceles.
Por otro lado, utilizando el teorema de Tales, como PA es paralela a CQ, entonces







Sustituyendo AQ por AC demostramos lo que queríamos.

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