4.2.2 Teorema inverso de la bisectriz

Teorema 4.2.2 (Teorema inverso de la bisectriz) Sea P un punto perteneciente al lado BC de un triangulo ΔABC. Si los segmentos BC y PC son proporcionales a los lados AB y AC entonces AP biseca al ángulo Ð BAC.

Demostración. Sea Q el punto sobre la prolongación del lado BA tal que AQ = AC, como en la figura.

Por hipótesis

Y sustituyendo AC tenemos

Por lo que

En otras palabras


Asì por el criterio L.A.L. , los triángulos ΔABP y ΔQBC son semejantes. Se sigue que ÐBAP = ÐBQC, luego AP y QC son paralelos.
De esta forma tenemos que ÐPAC = ÐACQ y como AC = AQ entonces, por el teorema (4.1.1 )
ÐACQ = ÐAQC .

Por lo tanto
ÐBAP = ÐBQC = ÐAQC = ÐACQ = ÐPAC
Que es lo que queríamos demostrar.