16.5 La circunferencia de los nueve puntos

Teorema: Los puntos medios de los lados, de los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro de un triángulo cualquiera están en una circunferencia.

Esta importante circunferencia es llamada la circunferencia de los nueve puntos del triángulo. En la fig. 35 L, M, N son los puntos medios de los lados; D, E, F los pies de las alturas y P,Q,R son los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro H del triángulo ABC.

Ahora ND y LM son cada uno iguales a la mitad de AB, y NM es paralela a BC. Así DLMN es un trapecio , y la circunferencia determinada por los puntos medios de los lados pasa por D. También el cuadrilátero PNDL es inscriptible puesto que los ángulos PNL y PDL son ángulos rectos; entonces P está en la misma circunferencia que L, M, N y D análogamente puede probarse que E, F , Q, R también están en esa circunferencia.

16.6 Propiedades de la circunferencia de los nueve puntos. La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo tiene muchas propiedades interesantes e importantes, algunas de las cuales se dan aquí.
(a) La longitud del radio de la circunferencia de los nueve puntos es la mitad de la del radio del circuncírculo del triángulo. Esto se sigue del hecho de que el triángulo LMN es semejante al triángulo ABC, siendo la razón de semejanza de 1:2
(b) El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio del segmento que une el ortocentro y el circuncentro. En la fig 35, sea O el circuncentro del triángulo dado. Se demostrará primero que PH = OL. Para esto observamos que P y O son los ortocentros de los triángulos congruentes ANM y LNM, y que en estos triángulos los lados correspondientes AP y OL son iguales. Pero AP = PH. Entonces PH es igual a OL , y puesto que son paralelos, PHLO es un paralelogramo sea J el punto de intersección de sus diagonales. Entonces J es el punto medio de HO y PL. Pero el punto medio de PL es el centro de los nueve puntos, puesto que PDL es un triángulo rectángulo inscrito.
(c) El centroide y el ortocentro del triángulo dado, son los centros homotéticos de la circunferencia de los nueve puntos y del circuncírculo. Los centros homotéticos de dos circunferencias son los puntos que dividen el segmento que une sus centros interna y externamente en la razón de los radios de las circunferencias. En estas circunferencias la razón es 1:2. Puesto que el centroide G , y el ortocentro H dividen a JO de esta manera, son los centros homotéticos.
Se sigue que O y J están armónicamente separados por G y H. La línea de estos cuatro puntos es conocida como la línea de Euler del triángulo.

(d) La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita y cada una de las circunferencias excritas del triángulo. Esta notable propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Fewerbach, y se enuncia aquí sin prueba. Su demostración será dada en un capítulo posterior.