21. Involución

21.1 Hilera de puntos en involución. Si los pares de puntos A, A´; B,B´ ; C,C´... están en una línea recta y si están situados con respecto a un punto O de la línea de tal manera que OA × OA´= OB × OB´= OC × OC´...,se dice que los puntos están en involución. El punto O es el centro de involución y los dos puntos que pertenecen al mismo par se llaman puntos conjugados de la involución. La línea misma es llamada base de la involución.
Ejemplos : (a) Si cada uno de los puntos A,A´, B,B´; C, C´; están separados armónicamente por los puntos P y Q, son puntos de una involución, cuyo centro es el punto medio de PQ.
(b) Considérese un conjunto de circunferencias coaxiales que se intersecan. Si una línea recta, interseca su eje radical en un punto finito distinto de los puntos comunes a las circunferencias, los puntos en los cuales esta línea interseca circunferencias del conjunto, están en involución , con puntos conjugados que están en la misma circunferencia. El centro de involución es el punto de intersección de la línea con el eje radical.

21.2 Dos clases de involución. Los dos puntos de un par conjugado de una involución, pueden ambos estar en el mismo lado del centro o pueden estar en lados opuestos del centro de la involución. Obviamente, si los de un par están en el mismo lado, o si están en lados opuestos del centro, lo mismo será para los puntos de cualquier par conjugado. Se dice que una involución es hiperbólica , si los dos puntos de un par conjugado, están en el miso lado del centro; y es elíptica si los dos puntos de dicho par están en lados opuestos del centro. Así la involución con centro en O y un par de puntos conjugados A,A´ es hiperbólica o elíptica, de acuerdo con que el producto OA × OA´ sea positivo o negativo.
La involución del Ej. (a) de la sección anterior, es del tipo hiperbólico. En el Ej. (b) se ilustran ambos tipos. Si la base de la involución interseca el eje radical entre los puntos comunes a las circunferencias, la involución es elíptica . En todos los otros casos es hiperbólica.
En una involución hiperbólica, dos puntos son autoconjugados, es decir , cada uno es su propio conjugado . Porque obviamente cuando OA × OA´ es positivo hay dos puntos y N en la línea para los cuales OA × OA´ = (OM) ² × (ON) ².

Estos puntos M y N son conocidos como los puntos dobles de la involución. La involución elíptica no tiene puntos dobles.
Otra forma de expresar lo anterior, es que, si la involución tiene puntos dobles y es por lo tanto hiperbólica, los segmentos AA´, BB´ o, están contenidos completamente o están fuera completamente el uno del otro ; es decir, los segmentos no se traslapan. Si no tiene puntos dobles, estos segmentos se traslapan y la involución es elíptica.
Lo que se sugiere en el Ej. (a) puede ser fácilmente probado , a saber que una involución hiperbólica de puntos siempre consiste de pares que son conjugados armónicos con respecto a un par de puntos fijos.

Cualquier involución elíptica de puntos puede considerarse como trazada en una línea recta por los lados de un ángulo recto que gira alrededor de su vértice. Porque, puesto que los segmentos AA´ y BB´ se traslapan, las circunferencias con estos segmentos como diámetros se intersecan en dos puntos H y K que son simétricos con respecto a la base de la involución , y OA × OA´ = OB × OB´ = - (OH) ² donde O es el punto medio de HK. Más aún si C, C´ son un par de puntos conjugados de la involución, la circunferencia con diámetro CC´, también pasa por H y K. De aquí cada uno de los segmentos AA´, BB´, CC´, subtienden un ángulo recto en H y también en K, y la involución puede considerarse como trazada en la forma descrita anteriormente. Obsérvese que H y K son los dos únicos puntos en el plano que satisfacen estas condiciones.


21.3 Una involución determinada por pares de puntos conjugados.
Teorema: Dos pares de puntos conjugados de una involución determinan la involución.


Para probar este teorema demostraremos que si se da un quinto punto arbitrario de la involución su conjugado es único. Sean A, A´; B, B´ (Fig. 90) los dos pares de conjugados. Por P un punto cualquiera fuera de su línea dibújense las dos circunferencias por los conjuntos de puntos P, A, A´ y P, B, B´ y sea Q el segundo punto en el cual estas circunferencias se intersecan. Para encontrar el conjugado de un punto C, dibújese la circunferencia que pasa por P, Q, C. El otro punto C´ en el cual esta circunferencia interseca la base de la involución es el conjugado de C. Porque
OP × OQ = OA × OA´ = OB × OB´ = OC × OC´ ;
y la determinación única de C es una consecuencia de la existencia de una y sólo una circunferencia por los puntos, P, Q, C. También , el punto O en el cual PQ interseca la base es el centro de involución.
Si uno e los puntos, digamos B´, es el punto ideal de la línea, su conjugado B es el centro de involución. El lector estará capacitado para demostrar sin dificultad que una involución puede ser determinada por su centro y un par de puntos conjugados. Si la involución tiene puntos dobles, ellos o uno de ellos y el centro determinan la involución.
21.4 Relaciones de razón cruzada de los seis puntos de una involución.
Una de las propiedades de gran alcance de una involución de puntos es una relación de razón cruzada que existe entre los puntos de cualesquiera tres pares conjugados. Esta relación se presenta en el siguiente
Teorema: La razón cruzada de cualesquiera cuatro puntos de un involución en la cual están representados tres pares conjugados, es igual a la razón cruzada de sus cuatro conjugados; e inversamente, si seis puntos son relacionados por pares y la razón cruzada de cuatro de ellos que representan tres pares es igual a la razón cruzada de los cuatro puntos correspondientes, entonces los pares son pares coordinados de una involución.
Si A, A´; B, B´; C, C´ son tres pares conjugados de una involución de centro O y cuya constante es K = OA × OA´, una de las numerosas formas del teorema es que
{ABA´C´} = {A´B´AC }
para demostrar esto debemos verificar que

En esta ecuación sustituyamos AA´ por OA´-OA , y análogamente para todos los demás segmentos. Si luego, además sustituimos en el lado derecho, OA por su igual K/ OA´, y análogamente para cada uno de los segmentos de la derecha, ese miembro se puede ver por una fácil reducción que es igual al miembro de la izquierda de la ecuación. Las pruebas para las otras formas de teorema son similares a la que se acaba de dar.
Una demostración del inverso puede hacerse depender de la determinación única del cuarto elemento de una razón cruzada que tiene dados los otros tres elementos y su valor.
Se observará que el teorema también es válido cuando uno o ambos de los pares conjugados consisten de puntos dobles. Así, si M y N son puntos dobles de la involución anterior, tenemos, por ejemplo
{ AA´MB } ={A´AMB´} y también { AMA´N} = {A´MAN }.
Como una consecuencia del teorema de esta sección, tenemos que cuando A,A´; B,B´ ;C,C´, son pares de puntos conjugados de una involución
AB´ × BC´ × CA´ +A´B ×B´C ×C´A = 0;
E inversamente, cuando esta relación se satisface, los puntos están en involución.
21.5 Haces de líneas de puntos en involución. Una consideración de las propiedades de razón cruzada de una involución de puntos, junto con el principio de dualidad, sugiere el concepto de una involución de las líneas de un haz. Definiremos un haz de líneas en involución si están correlacionadas por parejas y son tales que los puntos de intersección de estos pares con cualquier transversal que no pase por el vértice del haz son pares conjugados de una involución de puntos. Si la involución resultante de puntos tiene puntos dobles, las líneas del haz que pasan por ellos se llamaran líneas dobles de la involución. Las dos líneas que pertenecen al mismo par se llamarán líneas conjugadas. Los términos hiperbólico y elíptico serán usados con haces de líneas en involución en sentidos que corresponden a sus usos con hileras de puntos en involución.
De las propiedades de razón cruzada concluimos inmediatamente que si un haz de líneas corta cualquier transversal en una involución, cortará cualquier transversal que no pase por su vértice en una involución. También si rectas correspondientes de dos haces distintos se cortan en puntos colineales y uno de ellos está en involución, lo mismo será cierto del otro.
21.6 Haz de involución con vértice en una circunferencia.
Teorema: Si la involución de líneas en la cual a,a´; b,b´; c,c´; son pares conjugados, tiene su vértice en una circunferencia, y si estas seis líneas cortan la circunferencia, y si estas seis líneas cortan la circunferencia nuevamente en A,A´,B,B´C,C´ respectivamente, entonces las líneas AA´, BB´, CC´ son concurrentes.
Refiriéndonos a la Fig.92, en la cual S es el vértice del haz, tenemos
{aa´bc} = {a´ab´c´},
y en consecuencia
B´{AA´BC} = C {A´AB´C´}.
Si BB´, CC´ y B´C intersecan a AA´ en O, L y H respectivamente, entonces
{AAÓH} = {A´AHL},

de lo cual se infiere que L coincide con O ; esto es AA´, BB´ y CC´ son concurrentes .

Es aparente que cuando la involución es elíptica el punto O está en el interior de la circunferencia, puesto que, en este caso , las rectas conjugadas de la involución, cortan la circunferencia ( en puntos distintos al vértice del haz) en pares de puntos que se separan mutuamente y por lo tanto las rectas conjugadas se separan entre sí. Si la involución es hiperbólica, O está fuera de la circunferencia . Inversamente, según que O esté dentro o fuera de la circunferencia, la involución es elíptica o hiperbólica.
21.7 Líneas conjugadas en ángulos rectos. En cada involución de líneas hay un par de líneas conjugadas que son perpendiculares entre sí . Esto puede verse del hecho que cuando menos un diámetro de la circunferencia (Fig. 92) pasa a través del punto O , y las líneas del haz S, trazadas a sus extremidades, son un par de líneas tales de la involución. Si más de u diámetro pasa a través de O entonces también así sucede con todos los diámetros , en cuyo caso cada par de líneas conjugadas son perpendiculares. De aquí tenemos el
Teorema: En una involución de un haz de líneas siempre hay un par de líneas conjugadas perpendiculares entre si; y si hay más de un par de líneas conjugadas en ángulo recto, entonces todos los pares son perpendiculares y la involución es elíptica.
21.8 Involución de puntos en una transversal que interseca los lados de un cuadrángulo completo.
Teorema: Los tres pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo son cortados por cualquier transversal que no pasa a través de un vértice en tres pares de puntos conjugados de una involución.
Supongamos que los lados del cuadrángulo completo PQRS son cortados por la transversal μ en puntos tales como se indica en la Fig. 93.

Entonces considerando las intersecciones de μ con los haces R (AQTS) y P (AQTS), tenemos
{A´B´AC} = {A´C´AB}.
Y puesto que (sección 20.3) la última de estas razones cruzadas es igual a {ABA´C}, los puntos A,A´; B,B´;C,C´; son pares conjugados de una involución.(Sección 21.4)
Este teorema nos conduce a una solución lineal del problema de construir el conjugado de un punto dado de una involución , cuando son dados, dos pares conjugados.
Enunciaremos aquí sin dar su prueba el dual
Teorema: Las líneas rectas que unen un punto cualquiera que no esta en ninguno de los lados de un cuadrilátero completo, con los tres pares de vértices opuestos, son tres pares de líneas conjugadas de una involución.
21.9 Involución de puntos en una transversal que interseca una circunferencia y los lados de un cuadrángulo inscrito.
Teorema: Si en un cuadrángulo inscrito en una circunferencia, cualquier transversal que no pasa por un vértice interseca la circunferencia y los pares de lados opuestos del cuadrángulo en una involución.
Consideremos el cuadrángulo PQRS inscrito en una circunferencia y la transversal &#956 que interseca pares de lados opuestos y la circunferencia como se indica en la Fig. 94

Entonces, considerando las intersecciones de los haces P (CSC´Q) y R (CSC´Q) con la línea μ tenemos
{CAC´B} = {CB´C´A´}
Permutando, tenemos
{CAC´B} = {C´A´CB´},
lo cual demostrara que los pares de puntos A,A´; B,B´; C,C´ están en involución. Los puntos en los cuales el otro par de lados opuestos del cuadrángulo intersecan a μ , pertenecen también a la involución.
21.10 Cuadrángulo con pares ortogonales de lados opuestos. Los puntos en los cuales los pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo intersecan la línea al infinito están en involución . De aquí, si por un punto cualquiera P en el plano, se trazan líneas paralelas a los lados del cuadrángulo , estas líneas forman un haz en involución. Ahora, si dos pares de lados opuestos del cuadrángulo son perpendiculares uno al otro, se cumple también para las líneas correspondientes del haz P. Así, por el teorema de la sección 21.7, todos los pares de líneas conjugadas del haz, están en ángulos rectos y el tercer par de lados opuestos del cuadrángulo es también de lados ortogonales. De donde tenemos el

Teorema: Si dos pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo son ortogonales, el tercer par es también de lados ortogonales.
Un cuadrángulo que tiene estas propiedades, es un cuadrángulo ortocéntrico. (Ver 16.4)