martes, 29 de septiembre de 2009

20. Razón Cruzada

20.1 Definiciones. Hemos considerado cuatro puntos colineales A, B,C,D cuyas posiciones son tales que el segmento AB está dividido por C y D en rezones cuya razón tiene el valor –1 . Cuando los puntos están así situados , A y B están separados armónicamente por C y D.
Si estos cuatro puntos tienen posiciones cualquiera en la línea en que están, esta razón de razones

Es llamada razón cruzada de los cuatro puntos A,B,C,D y la señalaremos con el símbolo { A, B, C, D}.
También , si OA, OB, OC, OD son cuatro líneas concurrentes, O un punto finito*, su razón cruzada es
y será denotada por O { ABCD}. Asimismo {abcd} indica la razón cruzada de cuatro líneas concurrentes a, b,c d.
Los términos razón anarmónica y razón doble son usados como sinónimos de razón cruzada. De estas dos la primera es más frecuente, pero razón cruzada es la más usada de las tres.
Si cuatro elementos, son armónicos, sus razones cruzadas tienen el valor -1 e inversamente.
Es fácil verificar que si A, B, C son tres puntos distintos colineales
Inversamente, se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores 1, 0, "∞, dos de los puntos coinciden. Más aún, si A, B, C son tres puntos colineales distintos, existe un único punto D colineal con ellos tal que{ ABCD} =λ, donde λ tiene un valor real cualquiera.
Se infiere enseguida de la definición de razón cruzada que los pares de puntos distintos A, B y C ,D se separan mutuamente o no, de acuerdo con que { ABCD} sea negativo o positivo.
*Para una definición que incluya el caso en que el vértice de un haz es un punto al infinito, ver la sección 20.2
20.2 Relaciones de razón cruzada de hileras y haces.
Fundamental en la teoría de razón cruzada es el siguiente
Teorema: La razón cruzada de un haz de cuatro líneas es igual a la razón cruzada de una hilera de cuatro puntos en los cuales cualquier transversal que no pase por el vértice corta las cuatro líneas.

La prueba, cuando el vértice del haz es un punto infinito, es semejante a la dada en la sección 15.6 Si el vértice del haz está al infinito, de tal manera que las cuatro líneas son paralelas, el contenido de este teorema será visto como definición de la razón cruzada del haz.
Consecuencias inmediatas del teorema anterior son los
Corolarios: (1) Si dos transversales a cuatro líneas de un haz, ninguna de las cuales pasa por el vértice, cortan a estas líneas en A,B,C, D y A´,B´,C´D´ respectivamente entonces
{ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }
(2) Si dos haces con vértices en O y O´son subtendidos por la misma hilera de puntos A,B,C,D,entonces
O { ABCD} = O´ {ABCD}
.
(3) Si A, B, C,D y A´B´,C´D´ son dos hileras de puntos que están en diferentes líneas en el plano tales que {ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }, y si O y O´ son dos puntos distintos colineales con A y A´, entonces los puntos de intersección de los pares de líneas OB, O´B´ ; OC, O´C´; y OD, O´D´ son colineales.
20.3 Los seis valores de la razón cruzada. Puesto que hay veinticuatro permutaciones de cuatro letras, hay veinticuatro razones cruzadas de cuatro puntos colineales Sin embargo, los valores de estas razones cruzadas no son todos diferentes. En efecto, demostraremos que las veinticuatro permutaciones pueden ser agrupadas en seis grupos de cuatro tales que las razones cruzadas de cada grupo son iguales. Más aún , si uno de estos valores es llamado =λ , los restantes son

Así si { ABCD}= λ, encontraremos enseguida que cada uno de {BADC}, {CDAB}, Y {DCBA} es también igual a λ. También por aplicación directa de la definición demostraremos que cada uno de los cuatro {ABCD},{BACD},{CDBA} y {DCAB} es igual a 1/ λ.
Enseguida consideremos {ACBD}. Con este propósito la identidad
AB×CD+ AC× DB × AD× BC= 0
se utilizará ( Sección 12.2). Dividiendo por AD×BC y reordenando, reducimos la identidad a la forma

esto es, {ACBD}= 1- λ. Del mismo modo hay otras tres permutaciones que dan razones cruzadas que tienen este valor. Un intercambio entre B y D da
razonando como antes, encontramos que
y
Y también es fácil ver que hay cuatro razones cruzadas que corresponden a cada uno de los últimos tres valores.
La discusión anterior muestra que la razón cruzada de cuatro puntos no se altera por ningún cambio en su orden tal que cuando dos puntos se intercambian los otros dos también se intercambian.
20.4 Construcción del cuarto elemento dados tres. Nuestro primer problema es: Dados
tres puntos colineales distintos A,B,C; construir un cuarto punto D colineal con ellos tal que {ABCD} sea igual a un número dado λ.
Por C trácese cualquier línea que corte la línea dada y en ella tómese A´y B´ de modo que CA´/ CB´ = λ. Supongamos que AA´y BB´se intersecan en D´y por este punto de intersección trácese la paralela a CB´que corte la línea dada en D. Entonces D es el punto pedido, Ya que
Dividiendo y reordenando
La existencia y unicidad del punto D son evidentes de esta construcción.
El problema de construir una línea que pase por el punto de intersección de tres concurrentes tal que la razón cruzada de las cuatro tenga un valor dado, se reduce inmediatamente al problema anterior por las relaciones de la sección 20.2

20.5 Propiedades de razón cruzada de una circunferencia
. Unamos cuatro puntos concíclicos cualesquiera A,B,C,D a dos puntos O y O´ en su circunferencia. Entonces los haces así obtenidos (ABCD) y O´(ABCD) tienen iguales razones cruzadas. La verdad de ellos es una consecuencia inmediata de la igualdad de los ángulos correspondientes de los dos haces involucrados.


Si tangentes en cuatro puntos fijos A,B,C,D de una circunferencia cortan una tangente en un punto variable P, la razón cruzada de los cuatro puntos de intersección es una constante puesto que (Fig. 80) los lados correspondientes de los ángulos AO´C´ y APC son perpendiculares , los senos de estos ángulos son iguales y análogamente para los otros cuatro ángulos de los haces O (A´B´C´D´) y P (ABCD) . Por lo tanto, las razones cruzadas de estos haces son iguales, y por consiguiente { A´B´C´D´} tiene un valor constante.






Sea una circunferencia que interseca las cuatro líneas de un haz cuyo vértice no está en la circunferencia, en los pares de puntos A,A´; B,B´; C,C´ y D,D´ . Entonces si S y S´ son dos puntos cualesquiera en la circunferencia , las razones cruzadas de los haces S (ABCD) y S´(A´B´C´D´) son iguales. Esto se demuestra haciendo ver que las intersecciones de AB´ y A´B ; AC´ y A´C ; y A´D y AD´, están todas en la polar del vértice O del haz dado. Entonces
A´ {ABCD} = A {A´B´C´D´}
Y de aquí S {ABCD} = S´ {A´B´C´D´}.
20.6 Teorema de Pascal. Un teorema de gran importancia descubierto por Blas Pascal cuando tenía 16 años, en 1639, se da aquí en la forma cómo se aplica a un hexágono inscrito en una circunferencia. Hay un teorema similar para u hexágono inscrito en cualquier sección cónica y es claro por lo tanto que el inverso del teorema de la circunferencia no es el el verdadero.
Teorema: Los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una circunferencia son colineales.
Refiriéndonos a la Fig. 82, vamos a probar la colinealidad de los puntos P,Q,R en los cuales los pares de lados opuestos AB, DE; BC, EF, CD ,FA del hexágono inscrito ABCDEF se intersecan. AF interseca a ED en H y EF interseca a CD en K. Entonces A {EBDF} es igual a C{ EBDF} y por lo tanto {EPDH} = {EQKF}. Si se une R a estos conjuntos se cuatro puntos en las líneas ED y EF, se sigue que
R {EPDH} = R{EQKF}.
Y puesto que, las primeras , terceras y cuartas líneas coinciden, las segundas líneas también coinciden; es decir P, Q y R son colineales.
La línea en que están P, Q y R es llamada la línea de Pascal de hexágono. Si los mismos seis puntos son unidos consecutivamente en algún orden, se obtiene un hexágono diferente con los mismos puntos concíclicos como vértices. Para cada uno de estos hexágonos hay una línea de Pascal, y se puede demostrar que estas sesenta líneas de sesenta posibles hexágonos son diferentes.*
* Ver Lachlan, Modern Pure Geometry , Macmillan and Co., Págs 113-117.
20.7 Teorema de Brianchon. De las varias formas en las cuales el siguiente teorema debido a Brianchon y que lleva su nombre, puede ser probado, elegiremos el que refleja la forma en la cual fue descubierto. Como el teorema de la sección anterior, este teorema, que es su dual , es aplicable a hexágonos circunscritos a cualquier sección cónica. Será enunciado y probado con respecto a la circunferencia.
Teorema: Las líneas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una circunferencia son concurrentes.

Considérese el hexágono ABCDEF circunscrito a la circunferencia O (Fig. 83), y sea A´B´C´D´E´F´ el hexágono cuyos vértices son los puntos de tangencia de los lados del hexágono dado, como se indica en la figura. Supongamos que A´B´ interseca a DÉ en P, B´C´ interseca a E´F´ en Q y C´D´ interseca a F´A´ en R. Entonces puesto que las polares de y D pasan por P, la polar de P es AD. Asimismo las polares de Q y R son BE y CF. Y puesto que por el teorema de Pascal , P, Q y R son colineales, sus polares AD, BE y CF son concurrentes.
El punto de concurrencia de estas líneas es llamado el punto de Brianchon del hexágono. Hay sesenta hexágonos diferentes cuyos lados están en las mismas seis tangentes, y sus sesenta puntos de Briachon son todos distintos.
20.8 Teorema de Pappus.
Teorema: Si los vértices de un hexágono están alternativamente en dos líneas rectas, los puntos de intersección de sus pares de lados opuestos son colineales.
Esto puede ser visto como un caso especial del teorema de Pascal para un hexágono inscrito en una sección cónica. Si la notación se toma como en la sección 20.6, la prueba dada allí es aplicable, sin modificación a este teorema.
20.9 Puntos autocorrespondientes. Si A, B, C y A´B´C´, son dos conjuntos de tres puntos en la misma línea recta, entonces a cualquier punto D en la línea corresponde un punto D´ tal que

{ABCD} {A´B´C´D}´.
Surge la pregunta de si existe un punto D que se corresponda a sí mismo, esto es tal que
{ABCD} = {A´B´C´D}´.
Si tal punto existe es llamado punto autocorrespondiente con respecto a estas dos razones cruzadas. Se demostrará que puede haber dos, uno o ninguno de estos puntos.
Para encontrar los puntos autocorrespondientes cuando existen, dibújese cualquier circunferencia en el plano y sobre ella tómese cualquier punto O únanse cada uno de los puntos dados a O, y llámense las segundas intersecciones de la circunferencia con estas rectas A1 ,B1 ,C 1 ,A´1 ,B´1 ,C´ 1 , como se muestran en la Fig. 85.
Supongamos que A1 1 y A´1 B1 , se cortan en P, y que A1 1 y A´1 C1 se cortan en Q, trace la recta PQ. Si ésta corta a la circunferencia en D1 y E 1, las rectas OD1 y OE1 cortarán la recta dada en los puntos autocorrespondientes D y E.

Para probar esto, supongamos que existen esas intersecciones de PQ con la circunferencia. También sea S la intersección de PQ con A1 1 . Entonces

{ABCD} = O{ A1B1 C1 D1 }= A´1 {A1 B1 C1 D1 }={SPQD1 }
=A1 {A´1111 }= O{A´1111 }={A´B´C´D}´.
De aquí D es autocorrespondiente; y lo mismo es verdadero para E.
Se puede demostrar también, que si un punto D autocorrespondiente existe, la línea PQ deberá pasar por D 1; es decir la línea PQ deberá tener un punto en común con la circunferencia. De aquí, cuando PQ es tangente a la circunferencia hay uno y sólo un punto autocorrespondiente y cuando no corta la circunferencia no hay ninguno. Nótese que la línea PQ es la línea de Pascal del hexágono A11C 11B11, y por lo tanto B11 y B´C1 También Se intersecan en ella.
Las construcciones anteriores para los puntos autocorrespondientes D y E incluyen también la construcción para los rayos autocorrespondientes de dos haces que tienen un vértice común, donde tales rayos autocorrespondientes se definen en forma análoga a la dada anteriormente para puntos autocorrespondientes.
20.10 Regla geométrica de la falsa posición. Lo que es conocido como regla geométrica de la falsa posición, será ilustrado en la solución del
Problema : Construir un triángulo cuyos vértices están en los lados de un triángulo dado y cuyos lados pasan por los vértices de un segundo triángulo dado.
El triángulo buscado debe tener sus vértices en los lados del triángulo pqr, y sus lados deben pasar por los vértices del triángulo ABC. (Fig. 86).
Empezando con un punto cualquiera P en p, trácese PA que corte q en Q, trácese QB cortando r en R y trácese RC intersecando p en P ´. Si P coincide con P´, el problema está resuelto. Si no es así , pasamos similarmente desde P1 a P´1 y desde P2 a P´2, P1 y P2 siendo puntos arbitrarios en p; si ni P1 y P´1 ni P2 y P´2 coinciden, constrúyanse los puntos autocorrespondientes M y N determinados por los conjuntos P, P1 y P2 y P´,P´1, P2. Si tales puntos existen y si pasamos de uno de ellos, digamos M , en la misma secuencia de operaciones que la que seguimos para pasar de P a P´ regresaremos a M y tendremos una solución. Si existen dos puntos autocorrespondientes, hay dos soluciones al problema. Si no existen puntos autocorrespondientes, no hay solución.



La solución de este problema puede ser vista como una construcción lograda después de tres intentos infructuosos. Pero puesto que los resultados de estos fracasos constituyen la base del éxito, son puntos esenciales en la solución del problema.

20.11 Problema de Apolonio. Uno de los problemas más famosos de geometría, conocido como el problema de Apolonio, es el de dibujar una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas. La revisión de los diferentes casos demuestra que el número de soluciones varia desde ninguna hasta un máximo de ocho. Muchos métodos, algunos de los cuales son enteramente elementales, han sido desarrollados para resolver el problema. Otros más elegantes, dependen de la inversión, teoría de polos y polares, y propiedades de razón cruzada. El que vamos a ver aquí, en el cual se supone que los centros de las circunferencias son finitos y no colineales, es debido a Casey.
Supongamos que existe una circunferencia que toca a cada una de las tres circunferencias dadas de centros O1,02, O3,(Fig. 87) en los puntos P,Q,R respectivamente. Entonces los triángulos O1O2O3 y PQR están en perspectiva, y el centro de perspectiva es el centro de la circunferencia tangente a las tres circunferencias dadas. Y puesto que una circunferencia tangente a dos circunferencias toca a éstas en un par de puntos antihomólogos , el eje de perspectiva pasa por tres centros de homotecia H,K,L de las circunferencias dadas tomadas en pares.
Por H tracemos una línea cualquiera que corte las circunferencias O2 y O3 en los puntos antihomólogos Q1 y R1, respectivamente . Trácense KR1 y LQ1, y denótense por P1 y P´1 los puntos antihomólogos a R1 y Q1 respectivamente, en los cuales estas líneas cortan a la circunferencia O1 . En forma similar se obtienen otros dos pares de puntos P2, P´2 y P3, P´3 en la circunferencia O1. Si los dos puntos de cualquiera de estos dos pares coinciden, se ha encontrado un punto de tangencia de O con una de las circunferencias.

Si ninguno de los pares son coincidentes, se consideran los haces S (P1P2P3P4) y S (P´1P2´P´34),donde P4 y P´4 son un cuarto par de puntos correspondientes en la misma circunferencia. Es evidente, de consideraciones de simetría y de una propiedad de razón cruzada de la sección 20.5 que las razones cruzadas de estos haces son iguales. De aquí, si determinamos P en la circunferencia O1, tal que
S{P1P2P3P} = S {P´123P´},
Este punto será un punto de tangencia con O, lo que se busca. Los puntos Q y R pueden ser encontrados entonces y puede construirse la circunferencia que pasa por ellos tres. Como hemos visto en la sección 20.9, pueden existir dos puntos autocorrespondientes tales. Ya que los seis centros de similitud están por tercias en cuatro líneas rectas, el número máximo de ocho soluciones se estima observando que hay dos para cada una de estas cuatro líneas. Sin embargo si dos puntos autocorrespondientes no existen para algunas de las cuatro líneas, como puede suceder el número de soluciones será correspondientemente menor.

lunes, 28 de septiembre de 2009

19. Polos y Polares

19.1 Definiciones . Sean P y P´ dos puntos inversos cualesquiera con respecto a una circunferencia dada de centro O. La línea que pasa por P´ y que es perpendicular a PP´ es la línea polar de P o simplemente la polar de P con respecto a la circunferencia.
También el punto P es llamado el polo de la línea P.

Es evidente que la polar de un punto interseca la circunferencia, es tangente a la circunferencia en el punto, o no interseca a la circunferencia, de acuerdo con que el punto esté fuera, en, o dentro de la circunferencia.
Cuando P está fuera de la circunferencia, se pueden dibujar dos tangentes de él a las circunferencia. Si A y B son los puntos de contacto de estas tangentes, las línea AB es la cuerda de contacto del punto P. Es fácil demostrar que la cuerda de contacto de un punto exterior es la polar de ese punto con respecto a la circunferencia.
La polar del centro de la circunferencia se define como la línea al infinito, y el polo de un diámetro es un punto al infinito. Con respecto a una circunferencia dada, la relación polo y polar, establecen una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano.
19.2 Teorema fundamental .
Teorema: Si con respecto a una circunferencia dada, la polar de P pasa por Q, entonces la polar de Q pasa por P.

Por hipótesis , la perpendicular a OP en P´, el inverso de P, pasa por Q. Si ahora Q´ es el inverso de Q, las líneas PQ´ y P´Q, son antiparalelas con respecto a OP y OQ, y entonces PQ´ es perpendicular a OQ; es decir , la polar de Q pasa por P.
Tenemos también el




Corolario: Si p y q son líneas tales que, con respecto a una circunferencia dada, el polo de p está en q, entonces el polo de q está en p.
Se concluye que las polares son una hilera de líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.
Dos puntos que tienen la propiedad de que la polar de uno pasa por el otro, son puntos conjugados; y dos líneas , que sean de modo que el polo de cada una este en la otra. Son líneas conjugadas . Cada punto de una línea dada, tiene un punto conjugado en tal línea, a saber. El punto en el cual la línea es cortada por la polar del punto. Asimismo, cada línea por un punto dado, tiene una línea conjugada por ese punto.
Lo siguiente es obvio:
(a) De dos puntos conjugados distintos en una línea que corte la circunferencia, uno está dentro y el otro está fuera de la circunferencia.
(b) De dos líneas distintas conjugadas que se corten fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
(c) Cualquier punto en la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente en ese punto.
(d) Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
19.3 Relaciones armónicas. La teoría de polos y polares, esta íntimamente relacionada con la teoría de división armónica . Alguna de esas relaciones se indican en los teoremas que siguen.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos puntos conjugados están en una línea que interseca la circunferencia, están separados armónicamente por los puntos de intersección.

Sean A y B dos de tales puntos (Fig.69) y sea A´ el inverso de A. Entonces A´B es la polar de A. Puesto que la circunferencia con AB como diámetro, pasa por A´, es ortogonal a la circunferencia dada y A y B están armónicamente separados por los puntos en los cuales su línea interseca la circunferencia.
Hemos visto entonces, que si una línea variable por un punto dado, interseca una circunferencia, los conjugados armónicos del punto con respecto a las intersecciones de la línea y la circunferencia, están todos en la polar del punto.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se corten fuera de dicha circunferencia, están separadas armónicamente por las tangentes desde su punto de intersección.

Sean a y b líneas conjugadas que se intersecan en S, un punto fuera de la circunferencia, y sean las tangentes p y q trazadas de S a la circunferencia, siendo los puntos de tangencia P y Q (Fig. 70). También la línea PQ interseca a a y b en los puntos A y B.
Entonces PQ, la polar de S, pasa a través de B , y por lo tanto la polar de B pasa por S. También puesto que el polo de b es un punto de C en a, la polar de C pasa por B y consecuentemente la polar de B pasa por C. Ahora, como S está en b, C es distinto S. Por lo tanto a es la polar de B, A y B son puntos conjugados, la hilera ABPQ es armónica y el haz a,b,p,q es armónico.

Teorema: Si cuatro puntos en una línea son armónicos, sus polares con respecto a una circunferencia dada también son armónicos.
Sean A, B, C, D los puntos armónicos dados (Fig. 71). Sus polares a,b,c,d, pasan por S, el polo de la línea en la cual están estos puntos. Y como cada polar es perpendicular a la línea que une su polo con el centro de la circunferencia , el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz O ( ABCD) es igual al ángulo entre las líneas correspondientes del haz, a,b,c,d. Se infiere que el haz es armónico.
19.4 Relación con un cuadrángulo inscrito. Sean A,B,C,D los vértices de un cuadrángulo completo inscrito en una circunferencia, y supongamos que los pares de lados opuestos se intersecan en los puntos P,Q,R como se indica en la Fig. 72.
Como el haz P ( TT´RQ) es armónico, la línea PR interseca a NC en el conjugado armónico , de Q con respecto a B y C. Asimismo interseca a AD en el conjugado, de Q con respecto a A y D. Por lo tanto, PR es la polar de Q. Análogamente QR es polar de P ; y por el teorema fundamental PQ es la polar de R. Así cada lado del triángulo diagonal es la polar de vértice opuesto. También Q y R están separados armónicamente por los dos pares de puntos S, S´ y T, T´.
Más aún si se trazan tangentes en B y C, su punto de intersección L está en PR. Puesto que la polar de L es BC y pasa por Q. De aquí PR, la polar de Q, pasa por L. De manera similar las tangentes por dos vértices cualesquiera del cuadrángulo se intersecan en la polar del vértice del triángulo diagonal que está en el lado que pasa a través de los puntos de tangencia.
De aquí obtenemos el
Teorema: Si los vértices de un cuadrángulo completo están en una circunferencia , y los lados de un cuadrilátero completo son tangentes a la circunferencia en los vértices del cuadrángulo, los seis vértices del cuadrilátero están por pares en los lados del triángulo diagonal del cuadrángulo.
El lector deberá dibujar una figura para ilustrar este teorema.
Una construcción lineal para la polar de un punto P que no está en la circunferencia, es una consecuencia de las relaciones presentadas arriba. Por P trazamos dos secantes, una de las cuales corta la circunferencia en A y B, la otra en C y D. Si Q es la intersección del AD con BC , y R la intersección de AC con BD, entonces QR es la línea buscada. Si P.
Si P está en la circunferencia, su polar, es decir, la tangente en P, puede ser construida con regla solamente. Para hacer esto trazamos cualquier secante por P, determinamos Q, su polo y trazamos PA, que es la línea buscada.
19.5 Principio de dualidad. Se dijo al final de la sección 19.1 que por medio de la relación de polos y polares con respecto a una circunferencia, se establece una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano. Estamos ahora en condiciones de ver lo que el principio de dualidad produce en esta relación. (Sección 15.13)
Desde el punto de vista de dualidad, una curva puede ser vista, por un lado como un conjunto de puno, y por otro como un conjunto de líneas ,a saber, la familia de líneas de la cual la curva es la envolvente. Así, punto en una curva y línea tangente a una curva , son elementos duales, y a cualquier teorema proyectivo que incluya uno o ambos de estos elementos, le corresponde un segundo teorema, que es su dual.

La discusión de la sección anterior, indica que toda la teoría de polos y polares, puede ser referida a la teoría de cuadrángulos completo inscritos y cuadriláteros completos circunscritos , de modo de librarla completamente de relaciones métricas. Cuando esto se realiza, es palpable que la dualidad mencionada anteriormente, existe, que el dual de un punto es su línea polar y que el dual de una línea es el polo de dicha línea . Así por ejemplo ,el teorema y el corolario de la sección 19.2, son duales el uno del otro. El lector deberá examinar todas las discusiones que siguen refiriéndose al principio de dualidad.
19.6 Triángulo autopolar. Un triángulo es autopolar o autoconjugado con respecto a una circunferencia, cuando cada vértice es el polo de lado opuesto. Las siguientes propiedades de un triángulo autopolar, cuyos vértices son todos puntos finitos, pueden ser fácilmente demostradas.
(a) Su ortocentro es el centro de la circunferencia.
(b) Uno y sólo uno de sus vértices está dentro de la circunferencia.
(c) El ángulo del triángulo cuyo vértice está dentro e la circunferencia es obtuso.

Un triángulo autopolar puede ser construido tomando un vértice arbitrariamente, un segundo vértice en la polar del primero, y el tercero en la intersección de las polares de los otros dos.

19.7 Circunferencia polar. Hay un número infinito de triángulos autopolares con respecto a una circunferencia dada, sin embargo, hay cuando más una circunferencia respecto a la cual un triángulo dado sea autopolar. Para que exista una tal cual circunferencia, el triángulo debe ser obtusángulo. Cuando tal circunferencia existe, se llama circunferencia polar del triángulo.
La circunferencia polar del triángulo obtusángulo ABC, puede ser construida, dibujando la circunferencia de centro en O y cuyo radio es la media proporcional de OA y OD, donde O es el ortocentro del triángulo y D es el pie de la altura por A.
Puesto que un vértice del triángulo y el pie de a altura que pasa por él, son inversos con respecto a la circunferencia polar, cualquier circunferencia que tenga una altura del triángulo como cuerda es ortogonal a la circunferencia polar el triángulo. Ejemplos particulares de tales circunferencias, ortogonales a la circunferencia polar, son las circunferencias con los lados del triángulo como diámetros.

19.8 Circunferencias polares del triángulo de un grupo ortocéntrico. Tres de los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico son obtusángulos.

En la Fig, 74 , el cuadrángulo del grupo es tal que los triángulo DAB, DBC y DCA son obtusángulos en D. Sean r 1 , r 2, y r3 los radios de las circunferencia polares C,A,B de estos triángulos respectivamente. Entonces

demostrando que las circunferencias B y C son ortogonales.
Puesto que A r1 y Cson puntos inversos con respecto a la circunferencia B,A 1 ,A es la polar de C referente a tal circunferencia y es fácil ver que pasa c0on los puntos comunes a las circunferencias B y C.
De aquí tenemos el
Teorema: Las circunferencias polares de tres triángulos obtusángulos de un grupo ortocéntrico son ortogonales en pares, y sus puntos de intersección están en los tres lados del cuadrángulo que pasan por el vértice común de los ángulos obtusángulos.

domingo, 20 de septiembre de 2009

18 Inversión

18.1 Puntos inversos. Si P y P´ son dos puntos colíneales con el centro O de una circunferencia, cuyo radio es r > 0 de tal forma que OP x OP ´= r2 , cada uno de los puntos P y P´es inverso del otro con respecto a la circunferencia. El punto O es el centro de inversión , la Circunferencia O es la circunferencia de inversión , y su radio es el radio de inversión.
La relación es simétrica, es decir, si P´es el inverso de P, entonces P es el inverso de P´. De acuerdo con esta simetría, se dice que los puntos P y P´, son puntos inversos con respecto a la circunferencia. Los hechos siguientes son obvios:
Con respecto a una circunferencia dada:
(a) Cada punto en el plano excepto el centro, tiene un solo inverso.
(b) Un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
(c) De dos puntos inversos distintos, uno está dentro de la circunferencia de inversión y el otro fuera.
18.2 Curvas inversas. Sean P y P´ dos puntos inversos con respecto a una circunferencia de centro O, y supongamos que P se mueve de tal forma que traza una curva cualquiera. Entonces P´ también trazara una curva. Estas curvas son por definición una inversa de la otra; o se dice que son mutuamente inversas.
De esta manera el inverso de una circunferencia cuyo centro es el centro de inversión , es una circunferencia concéntrica con la circunferencia dada. En particular, si una circunferencia coincide con la circunferencia de inversión, es su propia inversa. Asimismo también es evidente, que una línea recta por el centro de inversión es su propia inversa.
Si dos curvas inversas se intersecan, todos sus puntos de intersección, están en la circunferencia de inversión. Inversamente, si una de dos curvas inversas interseca la circunferencia de inversión , la segunda interseca a ésta en el mismo punto.
18. 3 Circunferencia que pasa por puntos inversos.
Teorema: Cualquier circunferencia que pasa por un par de puntos inversos distintos, es su propia inversa y es ortogonal a la circunferencia de inversión; e inversamente , cualquier circunferencia que es ortogonal a la circunferencia de inversión es su propia inversa.


Sean P y P´ puntos inversos con respecto a la circunferencia de centro O, y PP´ corte la circunferencia de inversión en A y A´. Entonces puesto que OP × OP = (OA)2 , los puntos A y A´ son conjugados armónicos con respecto a P y P´. De aquí, cualquier circunferencia por P y P´ e ortogonal a la circunferencia O. (sección 15.10)






Invirtiendo los pasos del razonamiento anterior, demostrando que, si una circunferencia dada es ortogonal a la circunferencia O, el inverso de cualquiera de sus puntos P con respecto a O, es el punto P´ donde OP interseca nuevamente la circunferencia dada. Entonces, al recorrer P la circunferencia en que está P´ traza la misma circunferencia.
Podemos resumir algunos resultados de esta sección y de la anterior observando que las siguientes son sus propios inversos con respecto a una circunferencia dada de inversión.
(a) La circunferencia de inversión.
(b) Líneas rectas por el centro de inversión
(c) Circunferencias ortogonales a la circunferencia de inversión.
18.4 El inverso de una línea recta.
Teorema: El inverso de una línea recta que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia por el centro de inversión, y recíprocamente, el inverso de una circunferencia de radio finito* que pasa por el centro, de inversión , es una línea recta que no pasa por el centro de inversión. Más aún, la línea recta es perpendicular al diámetro de la circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Si A es el pie de la perpendicular desde el centro de inversión O sobre una línea dada y P es un punto cualquiera en la línea, los triángulos OPA y OA´P´ son inversamente semejantes; A´ y P´ son los inversos de A y P respectivamente. De esta manera el vértice P´ del ángulo recto OP´A´ está en la circunferencia de diámetro OA´.


Inversamente si P´es un punto de esta circunferencia, se infiere , recorriendo al revés los pasos anteriores, que P está en la perpendicular a la línea del diámetro OA´que pasa por el inverso de A´.
Tenemos el siguiente

Corolario: Líneas rectas paralelas, ninguna de las cuales pasan por el centro de una circunferencia de inversión, se invierten en circunferencias tangentes una a otra en el centro de inversión.
18.5 El inverso de una circunferencia. Hemos determinado los inversos de todas las circunferencias por el centro de inversión, de todas las circunferencias puntuales , y de todas las circunferencias de radio finito. La determinación de los inversos de las circunferencias restantes en el plano es el siguiente
Teorema: El inverso de una circunferencia de radio finito que no pasa por el centro de inversión, es una circunferencia de radio finito que no pasa por este punto.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia A, cuya inversa con respecto a O es buscada, y sea Q la segunda intersección de OP con esta circunferencia. Por P´ el inverso de P dibujamos una paralela de QA, que interseca a OA en B**.
*Por radio finito, entendemos un radio cuya longitud es un número distinto de cero. Una línea recta puede ser considerada como el caso límite de una circunferencia cuyo radio se incrementa indefinidamente. Desde este punto de vista, se habla algunas veces de una línea recta, como una circunferencia de radio infinito.
** Para que B sea el único punto determinado en la forma aquí descrita, es necesario que P no esté en la línea OA. Pero una vez determinado B, el argumento es válido, aunque P sea uno de los puntos en que OA interseca a la circunferencia.
Ahora puesto que OP× OP´= r2 y OP× OQ = κ, una constante, la razón OP´/ OQ tiene un valor constante . Y puesto que

Se sigue que B es un punto fijo y que BP´es finito y constante ; es decir el lugar geométrico de P´es una circunferencia de radio finito. También, puesto que ningún punto de la circunferencia dada está al infinito, el lugar geométrico de P´ no pasa por O.
Es evidente que el centro de inversión con respecto al cual las circunferencias A y B son curvas inversas, es un centro de homotecia de las dos circunferencias.

18.6 Ángulos conservados por la inversión.
Teorema: Si dos curvas se intersecan en un punto cualquiera distinto del centro de inversión, su ángulo de intersección en ese punto es igual en magnitud pero opuesto en signo al ángulo de intersección de las curvas inversas en el punto inverso.
Sean las curvas que se intersecan en P, un punto distinto de O el centro de inversión. Tracemos OP y una segunda línea por O que corte las líneas dadas en Q y R. Si P´, Q´, R´ son los inversos de P,Q,R, entonces las inversas de las curvas PQ y PR son curvas que pasan por P´, Q´ y P´ , R´, respectivamente (Fig. 62).
Puesto que OP × OP´= OQ × OQ´, PQ es antiparalela a P´Q con respecto a OP y OQ , y de aquí

Ð QPO = Ð OQ´P´.
Similarmente
Ð RPO = Ð OR´P´ ;
y por substracción
Ð QPR - Ð Q´P´R´.
Ahora si la línea OQ gira alrededor de O de tal forma que siempre corte la cuatro curvas, y tienda a OP como límite, los ángulos QPR y Q´P´R´ tienden en el límite a ser los ángulos de intersección de las curvas. Así los ángulos de intersección son iguales en magnitud , pero opuestos en signo.
La propiedad de las curvas respecto de la inversión, incluida en el teorema anterior, se expresa algunas veces diciendo que las curvas inversas son isogonales, y también diciendo que los ángulos son conservados por la inversión.

Como corolario se infiere, que si dos curvas son tangentes una a la otra en P, sus inversas son tangentes a la otra en P´.

18.7 Celda de Peaucellier. Un sistema mecánico articulado conocido como celda de Peaucellier, puede ser usado para construir el inverso de una curva dada.
Unamos los puntos A y B del rombo PAP´B al punto fijo O por medio de líneas iguales OA y OB ( OA > PA). Entonces, si todas las partes pueden moverse libremente, con excepción del punto O, los puntos P y P´ describirán curvas inversas con respecto a O como centro y r como radio de inversión, donde r 2 = (OA)2- (PA)2. Si llamamos C el punto de intersección de PP´ y AB y si observamos que O, P y P´ son colineales, tenemos

Y de aquí, P y P´ en todas sus posiciones son puntos inversos. Así, por ejemplo, si P describe un arco de circunferencia que pase por O, P´ describirá un segmento de línea recta.
Si los lados del rombo y las líneas OA y OB son substituidas por barras rígidas articuladas en sus puntos de intersección, y si una barra adicional DP = DO une el punto fijo D y el punto móvil P, entonces, cuando DP gira alrededor de D, P´ describirá un segmento de línea recta.
La celda de Peaucellier es de interés porque es uno de los primeros métodos inventados para trazar una línea recta sin uso de regla.
18.7Teorema de Feuerbach.
Como un ejemplo de la potencia y belleza del método de inversión, lo usaremos para probar la propiedad de la circunferencia de los nueve puntos enunciada sin prueba al final de la sección. 16.6

Teorema: La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a la circunferencia inscrita y a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

Probaremos que la circunferencia inscrita I ( Fig. 64) y una de las circunferencias excritas I´ del triángulo AB son tangentes a la circunferencia de los nueve puntos. Dibujemos la tangente interior común B´C´ y sea A´ su intersección con BC. Entonces A y A´ son los centros de similitud de las dos circunferencias, y son conjugado armónicos con respecto a I e I´. Y puesto que I´X´, IX y AD son perpendiculares cada una a BC, se sigue que X´, X, A´, D son puntos armónicos. Ahora bien , L , el punto medio de BC, es también el punto medio de X´X. Por lo tanto, con respecto a L como centro y LX como radio de inversión, A´ y D son puntos inversos.
Enseguida demostraremos que, con respecto a esta misma circunferencia, S y M son también puntos inversos, donde S es la intersección de B´C´ y LM. Ahora
Entonces el radio de inversión es (c-b ) /2. También LM = c/2. Para calcular LS, observamos que es la diferencia entre LM y SM, y que SM puede ser obtenido de la consideración de los triángulos semejantes B´SM y B´C´A. Esto es
De aquí el producto LS × LM = (c-b)2 /4 , y los puntos S y M son inversos con respecto a la circunferencia de diámetro X´X.
El inverso de la línea B´C´ es una circunferencia por L, el centro de inversión, y los puntos D y M. Pero esta es la circunferencia de los nueve puntos. Puesto que las circunferencias I e I´ son ortogonales cada una a la circunferencia de inversión, son sus propias inversas.
Del hecho de que si dos curvas son tangentes una a la otra, sus inversas son también tangentes una a la otra, se sigue que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las circunferencias I e I´. De la misma manera se puede demostrar que es tangente a cada una de las circunferencias excritas del triángulo.

18.9 Inversión de un teorema. Por medio de la inversión podemos deducir y probar nuevos teoremas, de teoremas ya conocidos. Este proceso se llama inversión de un teorema. Será ilustrado en el siguiente ejemplo.
Dos circunferencias S y S´ se intersecan en los puntos distintos A y O. Los diámetros EO y FO de S´ y S intersecan S y S´ en B y C respectivamente. Entonces el eje radical AO pasa por el centro de la circunferencia S´´ determinada por O, B y C.
Inviértase la figura con O como centro de inversión , y sean A´, B´C´ los inversos de A, B, C respectivamente. Por conveniencia se da una segunda figura con los resultados de esta inversión. Cada una de las líneas AO, FO y EO se invierte en sí misma mientras que las circunferencias S, S´ y S´´ se invierten en A´B´ , A´C´ y B´C´ respectivamente.


Más aún puesto que un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, B´O y C´O, son por la propiedad isogonal de la inversión, alturas del triángulo A´B´C´; de aquí AÓ es perpendicular a B´C´. Por lo tanto, AO es ortogonal a la circunferencia de S´´, de lo que se sigue que pasa por el centro de S´´.
De un teorema familiar referente a las alturas de un triángulo, obtuvimos por inversión el teorema anterior referente a las circunferencias. Este método es muy fructífero y frecuentemente proporciona prueba de teoremas cuya prueba por otro método es más difícil.


18.10 Circunferencia de antisimilitud. Una circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias es una circunferencia respecto a la cual las dos son mutuamente inversas.
Hemos visto, que si dos circunferencias son mutuamente inversas, el centro de inversión es el centro de similitud de las circunferencias. También, cualquier par de puntos inversos son también antihomólogos con respecto a este centro de similitud. Entonces vemos que dos circunferencias pueden tener, cuando más, dos circunferencias de antisimilitud.
Si dos circunferencias no se intersecan ( Figs. 66 a ,b ), los segmentos que unen O, un entro de similitud, a un par de puntos antihomólogos P y P´ tienen el mismo signo para uno solo de los dos centros de similitud. Si las circunferencias son mutuamente excluyentes, el centro es externo, mientras que si una esta contenida dentro de la otra, el centro es interno, de donde los dos segmentos tienen el mismo signo.

De aquí, en este caso hay una sola circunferencia de antismilitud, y su radio r, esta dado por r 2 - OP × OP´. Obviamente hay solamente una circunferencia así cuando las dos circunferencias son tangentes la una a la otra . Cuando las dos circunferencias se intersecan ( Fig. 66 c) , cada uno de los centros de similitud llena los requisitos de antisimilitud. Cada una de éstas pasa por los puntos comunes a las circunferencias dadas.
Estos resultados pueden resumirse en el
Teorema: Dos circunferencias que se intersecan tienen dos circunferencias de antisimilitud cuyos centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y cada una de las cuales pasa por los puntos comunes de las circunferencias dadas. Dos circunferencias tangentes una a otra o que no se intersecan tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro es su centro interno o externo de similitud e acuerdo si las circunferencias son mutuamente excluyentes o si una está contenida dentro de la otra.
18.11 Inversión de circunferencias en circunferencias iguales.
Teorema: Dos circunferencias pueden siempre ser invertidas en dos circunferencias iguales.
Lema: Si una circunferencia y dos puntos inversos respecto a ella se invierten con cualquier punto de la circunferencia como centro de inversión, se transforman en una línea recta y dos puntos simétricos respecto a la línea.
Sean P y P´ puntos inversos respecto a la circunferencia C e invirtamos con un punto arbitrario O de la circunferencia C, como centro de inversión . Entonces la circunferencia C s transforma en una línea recta, la línea PP´ en una circunferencia ortogonal a esta línea y la circunferencia con PP como diámetro en una segunda circunferencia ortogonal a la misma línea. Entonces los transformados de P y P son los puntos de intersección de dos circunferencias cuyos centros están en la línea que es la transformada de C, y son simétricos respecto a la misma línea.
Para demostrar el teorema, inviértanse las dos circunferencias dadas, con cualquier punto de la circunferencia de antisimilitud como centro de inversión . Esta circunferencia es transformada en una línea recta respecto a la cual los transformados de todos los pares de puntos correspondientes de las circunferencias dadas son simétricos. Se sigue que las circunferencias dadas están invertidas en circunferencias iguales.
Estamos ahora en posición de responder la pregunta, cuándo es posible , por inversión , transformar tres circunferencias dadas en tres circunferencias iguales. Si las circunferencias de antismilitud de dos pares de circunferencias dadas se intersecan, tal transformación puede ser realizada. Una discusión más completa demuestra que hay cuando más ocho de tales puntos de intersección, pero en algunos casos no hay ninguno. Cuando cada una de estas circunferencias interseca a las otras dos, la transformación es posible.
18.12 Inversión de circunferencias en sí mismas.
Teorema: Cualquier par de circunferencias no concéntricas pueden ser invertidas en sí mismas en una infinitud de formas.
Si tomamos como circunferencia de inversión cualquier circunferencia ortogonal a cada una de las circunferencias dadas, estas circunferencias son invertidas en sí mismas. Siempre existe un número infinito de circunferencias ortogonales a cada una de las circunferencias no concéntricas (Sección 17.5) , y por lo tanto la inversión es posible en un número infinito de formas.
Tres circunferencias pueden ser invertidas en sí mismas, si existe una circunferencia ortogonal a las tres. Este es el caso cuando el centro radical es un punto finito que está fuera de las circunferencias dadas.
18.13 Circunferencias que intersecan una circunferencia dada en un ángulo dado.
Problema: Construir una circunferencia que pase por dos puntos dados y que corte una circunferencia dada en un ángulo dado.

Sean C la circunferencia y A y B los puntos dados. Si invertimos con respecto a la circunferencia de centro A y que es ortogonal a C, la última se invierte en sí misma y la circunferencia requerida se invierte en una línea recta que pasa por B´, el inverso de B. También esta línea intersecará la circunferencia C en el ángulo dado. Ahora , todas las líneas que cortan la circunferencia C bajo este ángulo son tangentes a la circunferencia C´ que es concéntrica con C y que se construye fácilmente . De aquí queda solamente por dibujar por B´ una tangente a la circunferencia C´ e invertir esta tagente en la circunferencia requerida. Hay dos soluciones, una , o ninguna, según B´ esté fuera, sobre , o dentro de la circunferencia C´.