Por ejemplo, si el gerente de ventas de una empresa debe escoger a dos de sus cuatro vendedores para visitar una zona, el espacio muestral está formado por las $\displaystyle\binom{44}{2}= \frac{44\cdot{43}}{2}=946$ posibles elecciones que tiene el gerente, Si ahora consideramos el número de días que llueve en la región occidental del estado de Tlaxcala durante el mes de Julio, el espacio muestral es el conjunto $S=\left\{{0,1,2,3,...,31}\right\}$.
Cabe aclarar que en estadística empleamos los términos experimento y resultado en un sentido muy amplio. Por experimento entenderemos cualquier proceso de observación o medición. Así, un experimento puede ser el proceso de contar cuántos alumnos de tercero de secundaria en una escuela han fumado en al menos una ocasión, o el proceso de realizar una encuesta preelectoral para estimar cómo se integrara la próxima cámara de diputados de un estado, o bien procesos muy complejos para obtener datos que permitan evaluar el desarrollo de la economía, las causas de alguna enfermedad, o el estado de ánimo de los obreros en una empresa. Los resultados obtenidos en un experimento pueden ser medidos con instrumentos, pueden ser contados, pueden ser respuestas “si o no”, o bien, valores obtenidos por medio de operaciones complejas.
Los espacios muestrales se clasifican de acuerdo con el número de elementos o puntos que los conforman. La mayoría de los espacios que hemos estudiado tienen un número fijo de elementos y se les llama espacios finitos. En este post solo nos referiremos a este tipo de espacios. A los espacios muestrales con una infinidad de elementos o puntos se les llama espacios infinitos. Los espacios muestrales infinitos surgen, por ejemplo, al considerar cantidades que son medidas en una escala continua como es la cantidad de alcohol en la sangre de una persona, el peso neto de un paquete, etc. A cualquier subconjunto del espacio muestral se le llama un evento. Un subconjunto del espacio muestral es una parte de él, esto es, cualquier colección de puntos del espacio muestral. Recordemos que entre todos los subconjuntos debemos considerar al espacio muestral mismo y al conjunto vacío, que denotamos por ∅, no tiene elementos.
Por ejemplo, el espacio de los días de lluvia en julio en la parte occidental de Tlaxcala es el conjunto de $S= \left\{{0.1.2.3....,31}\right\}.$ Tomemos los subconjuntos
$A=\left\{{0,1,2,3,4,5,6}\right\},$
$B=\left\{{20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31}\right\},$
$C=\left\{{0,15,31}\right\},$
$D=\left\{{18,19,20,21,22,23,24}\right\},$
$E=\left\{{22}\right\}.$
A es el evento que llueva a lo más seis días; B es el evento que llueva cuando menos 22 días; C es el evento que llueva a todos los días del mes o, quince días, o bien ningún día del mes; D es el evento que llueva entre 18 y 24 días; y finalmente,E es el evento que llueva exactamente 22 días del mes.
En muchos problemas de probabilidad debemos considerar eventos que se forman por medio de uniones, intersecciones y complementos. La unión de dos eventos A y B es el evento formado por los elementos o resultados de A, de B o de ambos y se denota por ${A}\cup{B}$.La intersección de dos eventos A y B es el evento formado por los elementos o resultados de que pertenecen tanto a A como a B y se denota por ${A}\cap{B}$. El complemento de A, denotado por $\bar{A}$, es el evento formado por los elementos o resultados que no pertenecen a A.
Para ilustrar estos conceptos analicemos los eventos
a) ${A}\cup{D}$;
b) ${B}\cup{D}$;
c) ${D}\cap{B}$;
d) ${A}\cap{B}$;
e) $\bar{B}$;
f) $\bar{D}$;
g) ${\bar{D} }\cup{\bar{B}}$;
h) ${\bar{B} }\cap{\bar{A}}$;
a) Como ${A}\cup{D}$ es el evento de los resultados que están es A o en D ${A}\cup{D}$ es por tanto el evento$ \left\{{0,1,2,3,4,5,6,18,19,20,21,22,23,24}\right\}$, esto es que llueva cuando más seis días, o bien llueva de 18 a 24 días.
b) ${B}\cup{D}$ =$\left\{{18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31}\right\} $es que llueva 18 o más días.
c) ${D}\cap{B}$ es el evento de los resultados que están en D como en B, por lo que ${D}\cap{B}$=
$\left\{{20,21,22,23,24}\right\}$ representa que llueva de 20 a 24 días durante el mes de julio.
d)Observemos que A y B no tienen elementos o resultados en común, de modo que la intersección de A y B es el elemento vacio ${A}\cap{B}=\emptyset$. Cuando dos eventos no tienen resultados en común decimos que son mutuamente excluyentes y equivale a que no pueden ocurrir los dos simultáneamente.
e) $\bar{B}$ es el evento formado por los resultados que no están en B, así que $\bar{B}=\left\{{0,1,2,…19}\right\}$. $\bar{B}$ es el evento que llueva a lo más 19 días.
f) Como $\bar{D}= \left\{{0,1,2,…,16,17,25,26,27,28,29,30,31}\right\}$ entonces $\bar{D}$ es el evento de que llueva a lo más 17 días o bien más de 25 días.
g) Como $\bar{D}=\left\{{0,1,2,...,16,17,25,26,...,30,31}\right\}$ y $\bar{B}=\left\{{0,1,2,…19}\right\}$, entonces ${\bar{D} }\cup{\bar{B}}= \left\{{0,1,2,...,16,17,25,26,...,30,31}\right\}$
h) Como $\bar{B}=\left\{{0,1,2,..., 19}\right\}$ y $\bar{A}=\left\{{7,8,9,…31}\right\}$, entonces ${\bar{B} }\cap{\bar{A}}$ es el evento $\left\{{7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}\right\}$ que llueve de 7 a 19 días.
Los espacios muestrales, los eventos y las relaciones entre los eventos son a menudo representados gráficamente por medio de diagramas de Venn como los de las siguientes figuras. En cada caso, el espacio muestral es representado por un rectángulo y los eventos por regiones dentro del rectángulo, usualmente círculos, elipses o partes de ellos. Las regiones grises de los cuatro diagramas representan el evento X, su complemento, el evento ${X}\cup{Y}$ y el evento ${X}\cap{Y}$.
X
$\bar{X}$
${X}\cup{Y}$
${X}\cap{Y}$
Diagramas de Venn
Supongamos que X es el evento de que un cierto alumno que concluyo la secundaria sea admitido al Conalep y Y es el evento de que sea admitido a la preparatoria; ¿Qué representan las regiones grises de estos diagramas?
La primera región representa que el alumno es admitido al Conalep; la región $\bar{X}$ representa el evento de que el alumno sea rechazado por el Conalep; la región ${X}\cup{Y}$ representa el evento de que el alumno sea aceptado por el Conalep , o por la preparatoria, o quizás por ambos programas; y la región del último diagrama , ${X}\cap{Y}$, representa el evento de que el alumno sea aceptado por los dos programas.
Cuando necesitamos considerar tres o más eventos y sus relaciones dibujamos círculos como los de la siguiente figura. Ahora el espacio muestral queda dividido en ocho regiones diferentes.
a)La región 2.
b)La región 1y 4
c).- La región 8 y 7.
La región 3 está formada por los resultados que están en X y Y , pero que no están en Z, de modo que representa el evento que los autos nuevos que lleguen a la agencia sean automáticos, de cuatro puertas y no tengan rines deportivos, la región 1 y 4 está formada por los resultados que están en X y en Z, es decir ${X}\cap{Y}$, y representa el evento los autos que lleguen sean automáticos con rines deportivos; la región 8 y 7 está formada por los resultados que no están ni en Y ni en Z, por lo que representa el evento que los autos que lleguen a la agencia no tengan cuatro puertas ni tampoco rines deportivos.
Una vez que ya nos hemos familiarizado con los eventos y sus relaciones vamos ahora a describir algunas reglas sencillas que nos permitan determinar la probabilidad de que ocurra algún evento. Para expresar simbólicamente estas reglas denotaremos por P (A) a la probabilidad de que ocurra el evento A.
Ya hemos visto que la probabilidad de que suceda un evento es un número real entre cero y uno y que entre más pequeño sea este número el evento es menos probable y entre más cercano sea a uno el número el evento es más probable. Las reglas que describiré adelante son fáciles de entender si representamos los eventos por medio de diagramas de Venn y pensamos en las probabilidades como las áreas de las regiones que representan los eventos.
Reglas básicas de probabilidad
1.- Las probabilidades son números reales entre 0 y 1.
2.P (S)=1 Y $P(\emptyset)= 0$.
3.Su los eventos A y B son mutuamente excluyentes , entonces P (${A}\cup{B}$) = P(A)+P(B).
4.-P($\bar{A}$) = 1- P(A).
Como el espacio muestral S contiene a todos los posibles resultados que pueden ocurrir, se tienen que el evento S ocurre con certeza, de modo que P(S)= 1. Esto significa que el área asociada al rectángulo es uno. La regla 2 nos dice que cuando un evento sucede con certeza su probabilidad es 1, y que cuando con certeza un evento no puede ocurrir, su probabilidad es cero. La regla 3 es fácil de imaginar , pues si los eventos A y B son mutuamente excluyente no tienen resultados en común y entonces su diagrama de Venn es de la forma
y el área de los dos círculos es la suma de las áreas de cada uno de ellos. Finalmente la regla 4 es consecuencia de las dos reglas anteriores, ya que los eventos A y $\bar{A}$ son mutuamente excluyentes por no tener elementos en común y su unión es todo S.
Consideremos un ejemplo donde se emplean estas reglas. Supóngamos que A es el evento el martes a las 16: 00 estará lloviendo, B es el evento el martes a las 16:00 hrs estará despejado y que de acuerdo al Observatorio Nacional P(A)=0.45 y P(B)= 0.3, ¿cuáles son las probabilidades P($\bar{A}$), P (${A}\cup{B}$) y P (${A}\cap{B}$)?
Procediendo de esta manera se obtiene
Si k eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es igual a la suma de sus respetivas posibilidades, esto es,
${A_1}\cup{A_2}\cup{...}\cup{A_k}= P(A_1)+...+...P(A_k)$.
Si las probabilidades de que una agencia de automóviles venda 0, 1, 2, 3,4 y 5 automóviles durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿cuáles son las probabilidades de que vendan de 2 a 5 automóviles y de que vendan 5 o más automóviles?
Como estos eventos son mutuamente excluyentes , usando la regla de arriba vemos que la agencia venderá de 2 a 5 automóviles con probabilidad 0.15 +0.18+0.12 +0.05= 0.5. Para calcular la probabilidad de que se vendan 5 o más automóviles debemos primero calcular la probabilidad de nder a lo más cuatro automóviles, que procediendo como arriba vemos que es 0.05+0.1+0.15+0.18+0.12 =0.6. Por la regla 4, la probabilidad de que se vendan 5 o más autos es 1-0.6 =0.4.
Si en particular, al aplicar la regla aditiva anterior se tienen que cada evento $A_i$ consta de un único resultado, tenemos la siguiente regla general para calcular probabilidades de espacios finitos:
La probabilidad de un evento A está dada por la suma de las probabilidades de cada uno de los resultados que conforman A.
Esta regla, de hecho, la empleamos implícitamente para calcular las probabilidades de eventos igualmente probables, ya que si un evento S está formado de k resultados de un total de n resultados posibles, entonces cada uno de los resultados debe tener probabilidad $ \frac{1}{n}$, y como el evento está compuesto de k resultados,
$ P(A)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}=\frac{k}{n}$
Observemos que esta probabilidad coincide con nuestra primera definición de probabilidad para eventos donde todos los posibles resultados son igualmente probables.
Las reglas de adición que hemos estudiado hasta ahora siempre suponen que los eventos son mutuamente excluyentes. ¿Es posible generalizar la regla para eventos que no son mutuamente excluyentes? Consideremos dos eventos A y B que no sean mutuamente excluyentes y representémoslos por medio de un diagrama de Venn. Representado las probabilidades por medio de áreas es fácil ver el área de $ A\cup B $ es menor que las suma de las áreas de cada uno de los círculos. La razón es que si sumamos el área del círculo A con el área del círculo B cuando estamos tomando en cuenta dos veces el área comprendida en la intersección de los dos círculos.
Ahora sí podemos establecer la llamada regla multiplicativa para calcular $P({A}\cap{B})$ que afirma que la probabilidad de que ocurran dos eventos es el producto de la probabilidad de que ocurra uno de ellos por la probabilidad condicional de que ocurra el otro dado que el primero ha ocurrido:
$P({A}\cap{B})$ = P(A) P(B I A )
Un caso especial de esta regla es cuando los eventos son independientes. Cuando A y B son independientes, la probabilidad de que ocurra B no se ve afectada por el hecho de haber ocurrido A, esto es, P (B I A)= P(B) y la regla multiplicativa es
$P({A}\cap{B})$ = P(A)P(B), cuando A y B son eventos independientes.
Los siguientes ejemplos muestran cómo emplear estas reglas.
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos águilas al tirar dos volados?
Puesto que la probabilidad de obtener un águila es $\frac{1}{2}$ en cada volado y como los eventos son independientes, la respuesta es $\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener de una baraja bien revuelta dos ases sin regresar la primer carta?
Sea A el evento de que la primer carta es as y sea B el evento de que la segunda carta es as . Deseamos calcular $P({A}\cap{B})$. Pero como ahora los eventos son dependientes debemos calcular primero p (B I A) para poder emplear la regla multiplicativa $P({A}\cap{B})$= P(A)P (B I A). En este caso P (B I A) es la probabilidad de que la segunda carta sea as suponiendo que la primera también lo fue. Como quedan 3 ases en un total de 51 cartas se tiene que P (B I A ) = $\frac{3}{51}$ y la probabilidad de que ambos sean ases es P $P({A}\cap{B})$= P(A) P (B l A)= $\frac{4}{52}\cdot{}\frac{3}{51}= \frac{1}{221}$. Esta probabilidad se puede obtener observando que de un total de $\displaystyle\binom{52}{2}= \frac{52\cdot{51}}{2}=1326$ formas igualmente probables de tomar dos cartas sólo hay $\displaystyle\binom{4}{2}= \frac{52\cdot{4}}{3}=6$ que corresponden a elegir dos ases. La probabilidad de obtener dos ases es por lo tanto $\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}$.
3.El departamento de servicio de una tienda de artículos eléctricos cuenta con ocho técnicos para atender las reparticiones a domicilio. De estos ocho técnicos cinco han recibido entrenamiento especial. Las evaluaciones de los clientes muestran que el 80% de las reparaciones con técnicos entrenados son satisfactorias y que este porcentaje baja a 60% cuando los técnicos no han sido entrenados. Si los técnicos se asignan al azar a los diferentes trabajos de reparación ¿cuál es la probabilidad de ser atendido por un técnico que ha recibido entrenamiento y que efectué una reparación satisfactoria?
Denotemos por A el evento que el técnico enviado ha sido entrenado y por B al evento que la reparación sea satisfactoria. La probabilidad condicional de que la reparación sea satisfactoria dado que el técnico haya sido entrenado es p (B I A)=0.8 y la probabilidad de que el técnico enviado haya sido entrenado es de $\frac{5}{8}$. Por lo tanto, la probabilidad de que el técnico enviado este entrenado y efectúe una reparación satisfactoria es
$P({A}\cap{B})$ = P (A) $\cdot{}$ P (B I A) = $\frac{5}{8}\cdot{} 0.8 = 0.5.$
La probabilidad de que no llueva el martes a las 16:00 se puede obtener por medio de la regla 4, ya que P($\bar{A}$)= 1-P(A)= 1 -0.45=0.55. Para poder calcular las probabilidades de ${A}\cup{B}$ y de ${A}\cap{B}$ debemos observar primero que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ya que el tiempo no puede estar lluvioso y despejado simultáneamente, por lo que P (${A}\cap{B}$) = P ($\emptyset$)) = 0 de acuerdo con la regla 2, y además P (${A}\cup{B}$)= P (A)+P(B)=0.45+0.3=0.75.
La regla 3 es un tipo especial de reglas llamadas reglas aditivas. Supongamos que A,B y C son ahora tres eventos mutuamente excluyentes, esto es, si ocurre alguno de ellos no pueden ocurrir los otros. Si pensamos en la probabilidad de ${A}\cup{B}\cup{C}$ como en el área de 3 círculos que no se cruzan, es claro que P (${A}\cup{B}\cup{C}$)= P(A)+P(B)+P(C).Procediendo de esta manera se obtiene
Si k eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es igual a la suma de sus respetivas posibilidades, esto es,
${A_1}\cup{A_2}\cup{...}\cup{A_k}= P(A_1)+...+...P(A_k)$.
Si las probabilidades de que una agencia de automóviles venda 0, 1, 2, 3,4 y 5 automóviles durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿cuáles son las probabilidades de que vendan de 2 a 5 automóviles y de que vendan 5 o más automóviles?
Como estos eventos son mutuamente excluyentes , usando la regla de arriba vemos que la agencia venderá de 2 a 5 automóviles con probabilidad 0.15 +0.18+0.12 +0.05= 0.5. Para calcular la probabilidad de que se vendan 5 o más automóviles debemos primero calcular la probabilidad de nder a lo más cuatro automóviles, que procediendo como arriba vemos que es 0.05+0.1+0.15+0.18+0.12 =0.6. Por la regla 4, la probabilidad de que se vendan 5 o más autos es 1-0.6 =0.4.
Si en particular, al aplicar la regla aditiva anterior se tienen que cada evento $A_i$ consta de un único resultado, tenemos la siguiente regla general para calcular probabilidades de espacios finitos:
La probabilidad de un evento A está dada por la suma de las probabilidades de cada uno de los resultados que conforman A.
Esta regla, de hecho, la empleamos implícitamente para calcular las probabilidades de eventos igualmente probables, ya que si un evento S está formado de k resultados de un total de n resultados posibles, entonces cada uno de los resultados debe tener probabilidad $ \frac{1}{n}$, y como el evento está compuesto de k resultados,
$ P(A)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}=\frac{k}{n}$
Observemos que esta probabilidad coincide con nuestra primera definición de probabilidad para eventos donde todos los posibles resultados son igualmente probables.
Las reglas de adición que hemos estudiado hasta ahora siempre suponen que los eventos son mutuamente excluyentes. ¿Es posible generalizar la regla para eventos que no son mutuamente excluyentes? Consideremos dos eventos A y B que no sean mutuamente excluyentes y representémoslos por medio de un diagrama de Venn. Representado las probabilidades por medio de áreas es fácil ver el área de $ A\cup B $ es menor que las suma de las áreas de cada uno de los círculos. La razón es que si sumamos el área del círculo A con el área del círculo B cuando estamos tomando en cuenta dos veces el área comprendida en la intersección de los dos círculos.
Observemos que la regla 3 es un caso especial de esta nueva regla, ya que si los eventos son mutuamente excluyentes $P({A}\cap{B})=0$ y en consecuencia $P({A}\cup{B})$ = P(A) + P(B).
Veamos cómo emplear esta regla. Supongamos que un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia en cierta zona vea el noticiero de TV Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02 ¿Cuál es la probabilidad de que una familia vea al menos uno de estos dos noticieros? Sea A el evento la familia ve el noticiero de TV Azteca y sea B el evento la familia ve el noticiero de Televisa. Entonces P(A)=0.3, P(B)=0.2 y $P({A}\cap{B})$=0.02. Notemos primero que como la probabilidad de que vean ambos noticieros es mayor a cero, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto se deben transmitir a diferente horario. Debemos calcular la probabilidad de que la familia vea uno de los dos o ambos noticieros, esto es , $P({A}\cup{B})$. Por la regla anterior $P({A}\cup{B}) = P(A)+P(B)-P({A}\cap{B})$=0.3+0.2-0.02=0.48.
Sería deseable tener también una forma de calcular $P({A}\cap{B})$ en términos de P(A) y de P (B). Desafortunadamente la regla general que nos permite calcular $P({A}\cap{B})$ es un poco más elaborada. Se dice que dos eventos A y B son independientes si el hecho de que ocurra uno de los eventos afecta la probabilidad del otro. Estudiemos la independencia de algunos eventos:
1.-Si A es el evento que una moneda caiga águila en un primer volado y B es el evento que la moneda caiga águila en un segundo volado, entonces son independientes pues es claro que el resultado del segundo volado no depende del resultado del primero.
2.- Se toma una carta de una baraja de poker bien revuelta. Se regresa la carta y después de revolver la baraja se toma una segunda carta. Si A es el evento que la primera carta sea as y B es el evento que la segunda carta sea reina, los eventos son independientes, pues de nuevo el resultado de tomar la segunda carta no depende de cuál fue la primera ya que se vuelve a revolver la baraja después de regresar la priemra carta.
3.-Se toma una carta de una baraja de póker bien revuelta. Sin regresar esta carta se toma una segunda carta. Si A es el evento que la primer carta sea as y B es el evento que la segunda cart sea reina, los eventos son ahora dependientes, ya que la probabilidad de que la segunda carta sea reina sí depende de cuál fue la primer carta. Si bien la primer carta no fue reina, de las 51 cartas restantes 4 son reinas y la probabilidad de que la segunda sea reina será de $\frac{4}{51}$; pero si la primer carta fue reina, de las 51 restantes sólo 3 son reinas, de modo que la probabilidad de que la segunda sea reina sería $\frac{3}{51}$.
4. Si A es el evento que el automovilista maneja en estado de ebriedad y B es el evento el automovilista tuvo un accidente, entonces los eventos son dependientes, ya que la probabilidad de tener un accidente aumenta si el automovilista conduce en estado de ebriedad.
En el ejemplo 3 calculamos las probabilidades de que la segunda carta fuese una reina dependiendo de cuál fue la elección de la primera carta. A este tipo de probabilidades les llamamos probabilidades condicionales. A la probabilidad de que ocurra el evento X suponiendo de que ha ocurrido el evento Y se denota por P(X I Y). Así , si X es el evento que la segunda carta tomada de una baraja es una reina, Y el evento que la primer carta tomada de la baraja no es una reina y Z es el evento que la primer carta tomada de la baraja es una reina, entonces como vimos en el ejemplo3, P(X I Y)= $\frac{4}{51}$ y P(X I Z)= $\frac{3}{51}$.1.-Si A es el evento que una moneda caiga águila en un primer volado y B es el evento que la moneda caiga águila en un segundo volado, entonces son independientes pues es claro que el resultado del segundo volado no depende del resultado del primero.
2.- Se toma una carta de una baraja de poker bien revuelta. Se regresa la carta y después de revolver la baraja se toma una segunda carta. Si A es el evento que la primera carta sea as y B es el evento que la segunda carta sea reina, los eventos son independientes, pues de nuevo el resultado de tomar la segunda carta no depende de cuál fue la primera ya que se vuelve a revolver la baraja después de regresar la priemra carta.
3.-Se toma una carta de una baraja de póker bien revuelta. Sin regresar esta carta se toma una segunda carta. Si A es el evento que la primer carta sea as y B es el evento que la segunda cart sea reina, los eventos son ahora dependientes, ya que la probabilidad de que la segunda carta sea reina sí depende de cuál fue la primer carta. Si bien la primer carta no fue reina, de las 51 cartas restantes 4 son reinas y la probabilidad de que la segunda sea reina será de $\frac{4}{51}$; pero si la primer carta fue reina, de las 51 restantes sólo 3 son reinas, de modo que la probabilidad de que la segunda sea reina sería $\frac{3}{51}$.
4. Si A es el evento que el automovilista maneja en estado de ebriedad y B es el evento el automovilista tuvo un accidente, entonces los eventos son dependientes, ya que la probabilidad de tener un accidente aumenta si el automovilista conduce en estado de ebriedad.
Ahora sí podemos establecer la llamada regla multiplicativa para calcular $P({A}\cap{B})$ que afirma que la probabilidad de que ocurran dos eventos es el producto de la probabilidad de que ocurra uno de ellos por la probabilidad condicional de que ocurra el otro dado que el primero ha ocurrido:
$P({A}\cap{B})$ = P(A) P(B I A )
Un caso especial de esta regla es cuando los eventos son independientes. Cuando A y B son independientes, la probabilidad de que ocurra B no se ve afectada por el hecho de haber ocurrido A, esto es, P (B I A)= P(B) y la regla multiplicativa es
$P({A}\cap{B})$ = P(A)P(B), cuando A y B son eventos independientes.
Los siguientes ejemplos muestran cómo emplear estas reglas.
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos águilas al tirar dos volados?
Puesto que la probabilidad de obtener un águila es $\frac{1}{2}$ en cada volado y como los eventos son independientes, la respuesta es $\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener de una baraja bien revuelta dos ases sin regresar la primer carta?
Sea A el evento de que la primer carta es as y sea B el evento de que la segunda carta es as . Deseamos calcular $P({A}\cap{B})$. Pero como ahora los eventos son dependientes debemos calcular primero p (B I A) para poder emplear la regla multiplicativa $P({A}\cap{B})$= P(A)P (B I A). En este caso P (B I A) es la probabilidad de que la segunda carta sea as suponiendo que la primera también lo fue. Como quedan 3 ases en un total de 51 cartas se tiene que P (B I A ) = $\frac{3}{51}$ y la probabilidad de que ambos sean ases es P $P({A}\cap{B})$= P(A) P (B l A)= $\frac{4}{52}\cdot{}\frac{3}{51}= \frac{1}{221}$. Esta probabilidad se puede obtener observando que de un total de $\displaystyle\binom{52}{2}= \frac{52\cdot{51}}{2}=1326$ formas igualmente probables de tomar dos cartas sólo hay $\displaystyle\binom{4}{2}= \frac{52\cdot{4}}{3}=6$ que corresponden a elegir dos ases. La probabilidad de obtener dos ases es por lo tanto $\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}$.
3.El departamento de servicio de una tienda de artículos eléctricos cuenta con ocho técnicos para atender las reparticiones a domicilio. De estos ocho técnicos cinco han recibido entrenamiento especial. Las evaluaciones de los clientes muestran que el 80% de las reparaciones con técnicos entrenados son satisfactorias y que este porcentaje baja a 60% cuando los técnicos no han sido entrenados. Si los técnicos se asignan al azar a los diferentes trabajos de reparación ¿cuál es la probabilidad de ser atendido por un técnico que ha recibido entrenamiento y que efectué una reparación satisfactoria?
Denotemos por A el evento que el técnico enviado ha sido entrenado y por B al evento que la reparación sea satisfactoria. La probabilidad condicional de que la reparación sea satisfactoria dado que el técnico haya sido entrenado es p (B I A)=0.8 y la probabilidad de que el técnico enviado haya sido entrenado es de $\frac{5}{8}$. Por lo tanto, la probabilidad de que el técnico enviado este entrenado y efectúe una reparación satisfactoria es
$P({A}\cap{B})$ = P (A) $\cdot{}$ P (B I A) = $\frac{5}{8}\cdot{} 0.8 = 0.5.$
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