Es muy frecuente estar interesados en determinar la
probabilidad de que un evento ocurra x
veces de un total de n posibilidades. Por ejemplo, a un analista político le
interesa la probabilidad de que al realizar una encuesta de intención de votos
x entrevistados de un total de n entrevistados se manifiesten a favor de cierto
candidato o partido; a un fabricante de cigarrillos le interesa la probabilidad
de que en una muestra de n fumadores, x de ellos prefieran su marca; y a un
fabricante le interesa la probabilidad de que al someter a un control una
muestra de n productos, x de ellos satisfagan sus normas de calidad.
Basándonos en el lenguaje de los juegos, diremos en general,
que estamos interesados en la
probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos.
En esta sección estudiaremos problemas que satisfacen las
siguientes condiciones:
1. El experimento consiste de n ensayos idénticos.
2. Cada ensayo tiene dos resultados posibles, éxito o
fracaso.
3. La probabilidad de éxito en cada uno de estos ensayos es
la misma en todos los ensayos, digamos p, por lo que la probabilidad de fracaso
es 1-p en todos los ensayos.
4. Los ensayos son independientes.
El número de éxitos
que ocurren bajo estas condiciones es una variable aleatoria que se dice
tiene una distribución de probabilidad binomial, o simplemente una distribución
binomial.
Es muy importante verificar estas hipótesis cuando deseemos
aplicar los métodos de esta sección a alguna situación. Veamos algunos
ejemplos.
1. Una galería de arte ofrece un lote de dieciocho cuadros
de Picasso. Ellos saben que de estos cuadros cuatro de ellos son copias
falsificadas. Un millonario que no conoce de arte compra cinco pinturas del
lote. El número de cuadros falsificados que adquiere el millonario no es una
variable binomial, pues si bien hay un total de cinco ensayos (uno por cada
cuadro adquirido por el millonario) y el resultado de cada ensayo es un éxito
(el cuadro es falso) o un fracaso (el cuadro es original), cada ensayo no es
independiente ya que la probabilidad de que un cuadro sea una copia depende de
los resultados de los ensayos anteriores.
2. Se toman cinco cartas (sin reponerlas) de una baraja de
póker bien revuelta y se analiza el número de ases que se obtienen. El
experimento consta de n=5 ensayos, cada uno con dos resultados posibles, as
(éxito) o carta diferente de as (fracaso). La probabilidad de éxito del primer
ensayo es 4/52, pero la probabilidad de éxito del segundo ensayo será de 3/51 o
de4/51, dependiendo de si el resultado
del primer ensayo fue un éxito o un fracaso. Por lo tanto, en este ejemplo
tampoco se satisface que las probabilidad de éxito de los ensayos sean fijas ni
que los ensayos sean independientes.
3. Se toman cinco cartas de una baraja de póker bien
revuelta, pero se repone inmediatamente cada una de las cartas elegidas y se
vuelve a revolver la baraja. Se analiza el número de ases que se obtienen. El
experimento consta de n =5 ensayos, cada uno con dos resultados posibles as
(éxito) o carta diferente de as (fracaso). La probabilidad de éxito de cada
ensayo es 4/52 y cada ensayo es ahora independiente. En este caso sí se
satisfacen las hipótesis arriba mencionadas.
Supongamos que p y 1-p son las probabilidades de éxito t
fracaso de n ensayos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de tener x éxitos
en n ensayos? Puesto que los ensayos son independientes, la probabilidad de
obtener dos éxitos en los primeros dos ensayos es $p^2$, la probabilidad de
obtener dos éxitos en los primeros tres ensayos es $p^3$, y de esta manera, la probabilidad de
obtener x éxitos en los primeros p ensayos es $p^x$. Empleando de nuevo la
independencia de los ensayos y la regla multiplicativa vemos que la
probabilidad de obtener x éxitos en los primeros
x ensayos y un fracaso en el siguiente
ensayo es $p^x(1-p)$, la probabilidad de obtener x exítos en los primeros ensayos y dos fracasos en los siguientes dos ensayos es
$p^x(1-p) ^2$,etc. Por lo tanto, la probabilidad de obtener x éxitos en los
primeros x ensayos y n-x fracasos en los últimos n-x ensayos es $p^x(1-p)^{n-x}$. Por
medio de un análisis similar es fácil
ver que la probabilidad $p^x(1-p)^{n-x}$
permanece constante para cada otro orden predeterminado de x éxitos. Como hay
en total $\displaystyle\binom{n}{x}$ ordenes posibles en que podemos
predeterminar los x éxitos, se tiene el siguiente resultado.
Distribución binomial
La probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos
independientes es
$f(x)=\displaystyle\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$
Donde p es la probabilidad de éxito de cualquier ensayo.
El nombre de distribución binomial surgió del hecho de que
los valores de las probabilidad de esta distribución son los términos de la
expansión binomial $((1-p)+p)^n$. A continuación presentamos algunos ejemplos
para ilustrar el uso de estas probabilidades.
1. De acuerdo con
datos de la asociación mexicana de automóviles la probabilidad de
recuperar un auto robado en México es de 0.6. Si en una semana una compañía de
seguros tiene reportados ocho autos reportados cierta semana, ¿cuáles son las
probabilidad de que se recuperen 0,1, 2,…,7 y 8 de los autos robados?
Si suponemos que la recuperación de los diferentes
automóviles son eventos independientes (no hay bandas que tengan dos o más de
los ocho autos robados) podemos aplicar la fórmula de arriba de la distribución
binomial. Aquí la probabilidad de éxito es p= 0.6 y el total de ensayos es n=8.
La probabilidad de recuperar x de los ocho automóviles robados es
$f(x)=\displaystyle\binom{8}{x}0.6^x(1-0.6)^{8-x}=\displaystyle\binom{8}{x}0.6^x(0.4)^{8-x}$
Por ejemplo, la probabilidad de que se recuperen 3 de los 8
autos son
$f(3)=\displaystyle\binom{8}{3}0.6^3(0.4)^{5}=\frac{8\cdot{7}\cdot{6}}{3\cdot{2}}(0.6)^3(0.4)^5=(56)(0.216)(0.01)=0.124$
Procediendo de igual manera, podemos ver que f(0)=0.001, f(1)=0.008,
f(2)=0.041, f(4)=0.232.f(5)=0.279,f(6)=0.209, f(7)=0.090 y finalmente f(8)=0.017.
En la figura mostramos el histograma correspondiente a esta distribución de
probabilidad.
Como estos cálculos son muy tediosos existen tablas de probabilidades
binomiales como esta tabla de distribuciones binomiales donde aparecen los
valores explícitos de x para algunos valores de n y p.
2. Después de seguir un tratamiento especial para dejar de
fumar la probabilidad de volver a fumar despues del primer mes es de 0.4. Determina las
probabilidades de que
a) a lo más 3 de 7 pacientes vuelven a fumar antes de un
mes;
b) al menos 5 de 7
pacientes vuelven a fumar antes de un mes.
En este caso llamamos “éxito” a volver a fumar en menos de
un mes después del tratamiento. Ahora n=7
y p=0.4. Usando la fórmula arriba
mencionada o buscando en una tabla
podemos hallar que los valores correspondientes a x=0, x=1,x=2 y x=3 son
respectivamente 0.028,0.131,0.261 y 0.29. La probabilidad de que a lo más tres
de los siete pacientes vuelvan a fumar dentro de un mes es
0.028 + 0.131 + 0.261
+0.29=0.71.
Si buscamos ahora los valores para x=5, x06 y x=7
obtenemos 0.077, 0.017 y 0.002, por lo
que su suma es la probabilidad de que vuelvan a fumar cinco o más de los pacientes, que es 0.096. Vemos
así que es poco probable que cinco o más
de los pacientes vuelvan a fumar y que es altamente probable que vuelvan a
fumar hasta tres de los pacientes que se sometieron al tratamiento.
3. En una fábrica los lotes de artículos recibidos
necesarios para la producción se inspeccionan para detectar lotes defectuosos
por medio de muestras de 12 artículos. Se examinan estos doce artículos y el
lote es rechazado si se encuentran dos o más artículos defectuosos. ¿Cuál es la
probabilidad de rechazar un lote que contiene 5% de artículos defectuosos?
La probabilidad de rechazar un lote que contiene 5% de
artículos defectuosos es la suma de f(2)+f(3)+…+f(12), donde f(x) es la
probabilidad binomial de x éxitos con n=12 y p=0.05. Como la suma de todas las probabilidades de la distribución es igual
a 1, entonces
F(2) +f(3) + …+f(12)=1- f(0) - f(1)
Que es más sencillo de calcular. Por lo tanto, la
probabilidad de rechazar un lote con 5% de artículos defectuosos es igual a
$1-\displaystyle\binom{12}{0}(0.05)^0
(0.95)^{12}-\displaystyle\binom{12}{1}(0.05)^1 (0.95)^{11}=0.118.$
¿Cómo cambia esta probabilidad si aumenta el porcentaje de
artículos defectuosos del lote? Si el lote contiene un 10%, 20%,30% ó un 40% de
artículos defectuosos la probabilidad de rechazarlos se calcula de la misma
manera, sólo que ahora con p=0.1, 0.2 o 0.3
$1-\displaystyle\binom{12}{0}(0.1)^0
(0.9)^{12}-\displaystyle\binom{12}{1}(0.1)^1 (0.9)^{11}=0.341.$,
$1-\displaystyle\binom{12}{0}(0.2)^0
(0.8)^{12}-\displaystyle\binom{12}{1}(0.2)^1 (0.8)^{11}=0.725.$,
$1-\displaystyle\binom{12}{0}(0.3)^0
(0.7)^{12}-\displaystyle\binom{12}{1}(0.3)^1 (0.7)^{11}=0.915.$
Y
$1-\displaystyle\binom{12}{0}(0.4)^0
(0.6)^{12}-\displaystyle\binom{12}{1}(0.4)^1 (0.6)^{11}=0.981.$
Aun cuando en la realidad se
desconoce el porcentaje de artículos defectuosos de un lote, este ejemplo
ilustra cómo las probabilidades de rechazo aumentan considerablemente al
aumentar el porcentaje de artículos defectuosos. Podríamos haber obtenido las posibilidades
de rechazar los lotes recurriendo también a una tabla de probabilidades binomiales.
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