Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

Cuando un científico mide el nivel de ozono de la Ciudad de México, un maestro pasa lista en su clase, un fabricante analiza el número de unidades defectuosas en cierto proceso de producción o un gerente consulta el nivel de ocupación de su hotel, todos están interesados en el resultado de una situación incierta o azarosa. A cantidades que pueden tomar diferentes valores dependiendo del azar les llamamos variables aleatorias. Entre otros ejemplos de variables aleatorias podemos citar además el número de unidades vendidas de cierto producto en una semana, el número de asistentes a un concierto de Café Tácuba, el precio del café en el mercado internacional y la precipitación pluvial anual en cierta región.


Distinguimos dos tipos de variables aleatorias, las discretas y las continuas. Una variable aleatoria es discreta si podemos enumerar todos sus posibles valores. Los siguientes son ejemplos típicos de variables aleatorias discretas:

1. El número de circuitos defectuosos en una muestra de 30 circuitos.

2. El número de fallas de una maquinaria en una fábrica en un periodo de tiempo.

3. El número de pacientes que ingresan a una clínica de salud en cierto mes.

4.- El número de personas que esperan en la fila de una ventanilla para ser atendidos.

Las variables aleatorias continuas surgen al considerar cantidades que son medidas en una escala continua como:

1. El tiempo requerido para efectuar un proceso de fabricación.

2.-El peso neto de un paquete.

3. La estatura de una persona en una población.

4.-La cantidad de alcohol en la sangre de un conductor detenido por exceso de velocidad en un sábado por la noche.

En el estudio de las variables aleatorias es necesario poder asignar probabilidades a sus valores. Consideremos, por ejemplo, el número de puntos que se obtiene al tirar dos dados. Es claro que los valores posibles de esta variable aleatoria son los números enteros entre 2 y 12. Obtenemos dos puntos únicamente cuando ambos dados caen en uno. Para obtener tres puntos tenemos dos posibles combinaciones, que son que el primer dado caiga en uno y el segundo en dos, o bien, que el primer dado caiga en dos y el segundo en uno. Denotaremos estas posibilidades por (1,2) y (2,1) respectivamente. Para obtener cuatro puntos tenemos entonces que las combinaciones posibles de los dados son (1,3), (2,2) y (3,1), donde de nuevo cada pareja de números indica el valor del primer dado y el valor del segundo dado. Por la regla del producto sabemos que hay un total de 6 x 6= 36 maneras posibles de tirar los dados, y por supuesto todas ellas igualmente probables. En la siguiente tabla se muestran los diferentes casos que producen cada uno de los puntos posibles y sus probabilidades.

 A la función que asocia a cada uno de los puntos posibles su probabilidad le llamamos una distribución de probabilidad. Si denotamos por y a esta variable aleatoria, es decir al número de puntos que obtenemos al tirar dos dados, vemos en la tabla que la probabilidad de que y sea 9 es de 4/36. También, p(6)= 5/36, esto es, la probabilidad de que los puntos obtenidos al tirar los dados sean 6 es 5/36, esto es la probabilidad de que los puntos obtenidos al tirar los dados sean 6 es 5/36. La suma de la última columna es igual a 1, ya que la variable aleatoria debe tomar alguno de sus valores posibles. Es frecuente describir una distribución de probabilidad son su histograma.

Las alturas de las barras en el histograma representan las probabilidades de que la variable aleatoria tome el correspondiente valor. Es fácil apreciar en el histograma que el valor más probable es de 7 puntos y que los valores extremos,2  y 12 puntos son los menos probables.