El concepto de probabilidad se desarrollo históricamente para estudiar los juegos de azar. Con el objeto de familiarizarnos con el concepto de probabilidad comenzamos por dar una definición que sólo es válida cuando todos los resultados son igualmente probables.
Si hay n posibilidades igualmente probables y una de ellas debe ocurrir, entonces la probabilidad de que ocurra alguna de k de esas n posibilidades es
$\frac{k}{n}$
Veamos algunos ejemplos. 1. Si se tira un volado, se tienen dos alternativas igualmente probables: cae águila o cae sol, por lo que n=2. De acuerdo a la definición de arriba, la probabilidad de que caiga águila es $\frac{1}{2}$, como también lo es la probabilidad de que caiga sol.
2.-Se tira un dado. ¿Cuáles son las probabilidades de que el número que caiga pertenezca a cada uno de los siguientes conjuntos: $\left\{{2}\right\}$ , $\left\{{2,4,6}\right\}$ y $\left\{{2,3,4,5}\right\}$?
Hay un total de 6 posibilidades, esto es , n=6. Los valores de k en cada uno de estos casos son 1,3 y 4. Así, la probabilidad de que al tirar el dado el resultado sea 2 es de $\frac{1}{6}$ , la probabilidad de que al tirar el dado el resultado sea 2,4 o 6 es $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$, y en el último caso, la probabilidad de que al tirar el dado caiga 2,3,4 o 5 es de
$\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$.
La probabilidad es una medida de la incertidumbre de que suceda algún evento de interés. De este ejemplo podemos deducir que la probabilidad de que suceda un evento es un número real entre cero y uno. Entre más pequeño sea este número el evento es menos probable, y entre más cercano a uno sea este número, el evento es más probable. Cuando la probabilidad es igual a ½ el evento tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Coloquialmente también hablamos de probabilidades empleando porcentajes. Así , la expresión el dado cae en 2 o 5 el 33.33% de las veces significa que la probabilidad de que al tirar el dado el resultado sea 2 o 5 es de
$\frac{1}{3}$. De igual forma decimos que al tirar una moneda el resultado es águila el 50% de las veces y es sol el otro 50%.
3.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as de una baraja de póker?
Si la baraja está bien revuelta, todas las cartas son igualmente probables y hay 52 de ellas. Puesto que hay cuatro ases, entonces n=52 y k=4. La probabilidad de obtener un as es por tanto
$\frac{k}{n}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}=0.077$
4.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cartas negras de una baraja de poker?
Debemos primero determinar el número total de posibilidades. Como ahora se toman dos cartas de una baraja de 52 tenemos que hay
$\displaystyle\binom{52}{2}=\frac{52\cdot{51}}{2} =1326$ posibilidades. De nuevo , si los naipes están bien barajados , cada una de estas posibilidades es igualmente probable. Sabemos que hay 26 cartas negras y 26 cartas rojas, de modo que de estas 1326 posibilidades sólo
$\displaystyle\binom{26}{2}=\frac{26\cdot{25}}{2}=325$ constan de dos cartas negras. La probabilidad de obtener dos cartas negras es entonces $\frac{235}{1326}=0.245$
5.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un par al tomar dos cartas de una baraja de póker?
Ya vimos que hay en total 1326 maneras posibles de obtener dos cartas ¿Cuántas de estas son pares? Analicemos primero cuántos posibles pares de reyes tenemos. Como hay cuatro reyes, hay en total $\displaystyle\binom{4}{2}=\frac{4\cdot{3}}{2}=6$ pares posibles de reyes. Además de pares de reyes hay otros tipos de pares posibles. Por la regla del producto hay 13 ∙ 6= 78 pares posibles. La probabilidad de obtener un par con dos cartas es $\frac{78}{1326}=.059$. Este número es una medida de lo difícil que es obtener un par al tomar dos cartas de una baraja.
6.-Un inspector de Hacienda practicará una auditoria a un grupo de veinte empleados de una empresa. El inspector sólo tiene tiempo de investigar a tres de los veinte empleados. Si dos de los veinte empleados presentaron una declaración anual alterada, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector no los detecte?
Hay un total de $n=\displaystyle\binom{20}{3}=1140$ maneras en que el inspector puede realizar las tres auditorías. Puesto que dieciocho empleados presentaron su declaración anual correctamente, de estas 1140 hay k=
$\displaystyle\binom{18}{3}=816$ maneras en que el inspector no detectara declaraciones alteradas. La probabilidad de que el inspector no detecte declaraciones alteradas es por lo tanto de $\frac{k}{n}=\frac{816}{1140}=0.716$.(los valores de los coeficientes binomiales se pueden obtener de la tabla mostrada en este post )
La definición de probabilidad que hemos empleado hasta ahora tiene una restricción muy seria ya que solo es posible aplicarla cuando todas las posibilidades son igualmente probables. Sin embargo, hay muchas situaciones donde las diferentes posibilidades no son igual de probables. La pregunta ¿lloverá mañana? Es muy relevante para los agricultores. Su análisis es mucho más delicado y complejo que el tipo de análisis que veníamos haciendo para los juegos de azar. Hay en este casos dos posibilidades en total; mañana lloverá, o bien mañana no lloverá. Así, n =2. Sin embargo , cada una de estas posibilidades no es igualmente probable. De hecho, sería necesario contar con más información para poder estimar las probabilidades de cada una de estas dos posibilidades. El lugar al que nos referimos, la época del año y las condiciones climatológicas recientes son algunas cuestiones relevantes para poder estimar estas probabilidades.
Otro concepto de probabilidad que también resulta muy útil es el asociado a la frecuencia relativa con que un evento sucede.
La probabilidad de un evento o de un resultado es la proporción de eventos del mismo tipo que ocurren a largo plazo.
Si los datos de una compañía aérea muestran que de los últimos 850 vuelos de Monterrey a México han llegado a tiempo, ¿cuál será la probabilidad de que el vuelo de la mañana del próximo viernes llegue a tiempo? De acuerdo con la interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa la probabilidad de que el vuelo del viernes por la mañana llegue a tiempo es la proporción de veces que vuelos del mismo han llegado a tiempo, es decir , $\frac{540}{850}=0.635$. También podemos decir que el vuelo del viernes por la mañana llegara a tiempo con una probabilidad del 63.5%.
Veamos otro ejemplo donde esta interpretación de la probabilidad es útil. Una ensambladora de computadoras ha encontrado que de 5800 circuitos de cierto que ha instalado sólo 32 han resultado defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos circuitos este defectuoso? De nuevo, simplemente dividimos el número de veces que los circuitos han resultado defectuosos por el total de circuitos instalados para obtener que la probabilidad de que uno de estos circuitos esté defectuoso es de $ \frac{32}{5800}=0.0055$.
Al interpretar la probabilidad como frecuencia relativa no siempre nos referimos a eventos exactamente iguales. Por ejemplo, si un paciente tiene un tumor de cáncer y el médico le dice: “Este tipo de tumor es curable en un 95% de las veces”, el médico quiere decir que con una probabilidad de 0.95 el tumor es curable. Es claro que no hay ni habrá casos de tumores de cáncer exactamente iguales al del paciente, sin embargo la expresión del médico significa que de acuerdo a récords de tumores semejantes, en el 95% de los casos los pacientes responden positivamente al tratamiento. Esto ilustra que para hacer afirmaciones probabilísticas sobre eventos únicos e irrepetibles, la interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa la debemos emplear en un conjunto de eventos semejantes.
Sería deseables que los dos conceptos de probabilidad que hemos discutido coincidieran en aquellos casos es que es posible asignar la probabilidad a un evento con cualquiera de ellos. Tomemos por ejemplo el caso del volado. Ya vimos que como se tienen dos alternativas igualmente probables la probabilidad de que caiga águila es 0.5. ¿Cómo interpretamos esto como una frecuencia relativa? El valor de 0.5 nos dice que si tiramos una moneda cierto número de veces debemos de esperar que la mitad de ellas caiga águila y la otra mitad sol. Sin embargo, todos sabemos que al tirar una moneda cierto número de veces, digamos cuatro veces, no siempre la mitad de ellas cae águila. Existe un resultado importante, llamado la ley de los grandes números, que afirma que si una situación se continúa repitiendo, la proporción de veces que ocurre un evento se acerca a la probabilidad del evento.
En el caso del volado, la ley de los grandes números nos indica que si tirásemos un volado un suficiente número de veces, la proporción de ellas que cae águila sería muy cercana a 0.5.
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