El cartel de una
barbería en cierto pueblo dice: «Sólo afeito a los que no se afeitan a sí
mismos».[197] Suena razonable, ¿verdad? Es obvio que los hombres que
se afeitan a sí mismos no precisan de los servicios del barbero, y es natural
entonces que éste afeite a todos los demás. Pero podemos preguntarnos: ¿quién
afeita al barbero? Si se afeita a sí mismo, entonces, según el cartel, él
debería ser uno de los que no afeita.
Por otra parte, si no se afeita a sí mismo, de nuevo según el cartel, ¡debería
ser uno de los que él sí afeita!
Entonces, ¿qué es? A lo largo de la historia, enemistades familiares graves han
surgido de preguntas mucho más inofensivas. Esta paradoja fue formulada por primera vez por Bertrand Russell
(1872-1970), uno de los lógicos y filósofos más destacados del siglo XX, con la
simple intención de demostrar que la intuición lógica humana no es infalible.
Las paradojas o «antinomias» reflejan situaciones en las que premisas
aparentemente aceptables conducen a conclusiones inaceptables. En el ejemplo
anterior, el barbero del pueblo se afeita y no se afeita a sí mismo
simultáneamente. ¿Tiene solución esta paradoja en concreto? Si está enunciada del modo descrito arriba, hay una
posible solución simple: ¡el barbero es una mujer! Por otro lado, si se ha
establecido con anterioridad que el barbero es un hombre, la conclusión absurda
sería el resultado de haber aceptado antes la premisa. En otras palabras, este
barbero no puede existir.
Pero ¿qué tiene todo
esto que ver con la matemática? Pues da la casualidad de que la matemática y la
lógica están íntimamente relacionadas. Así describía Russell esa relación:[198]
«Desde un punto de vista histórico, la matemática y la lógica han sido
disciplinas totalmente independientes. La matemática ha estado conectada con la
ciencia y la lógica con el griego. Pero ambas se han desarrollado en los
últimos tiempos: la lógica se ha hecho más matemática y la matemática, más
lógica. En consecuencia, en los tiempos actuales [en 1919] trazar una línea de
separación entre ambas se ha convertido en una tarea imposible; en realidad,
las dos son una misma cosa. Su diferencia es como la que hay entre un muchacho
y un hombre: la lógica es la
juventud de la matemática, y la matemática es la
madurez de la lógica».
Russell mantiene aquí
que, en gran parte, la matemática se puede reducir a lógica. En otras palabras,
que los conceptos básicos de la matemática, incluso los objetos como los
números, pueden en realidad definirse en términos de las leyes fundamentales
del razonamiento. Es más: más adelante, Russell argumentó que esas definiciones
se pueden unir a los principios de la lógica para dar origen a los teoremas de
la matemática.
Esta visión de la
naturaleza de la matemática (denominada logicismo) recibió el visto bueno tanto
de los que consideraban que la matemática no era más que un elaborado juego
inventado (los formalistas) como de los atribulados platónicos. Los primeros se
alegraron (en principio) de ver cómo un conjunto de «juegos» aparentemente no
relacionados entre sí se fusionaban en una «madre de todos los juegos». Los
segundos vieron un rayo de esperanza en su idea de que la totalidad de la
matemática podía haber brotado de un solo, indudable, origen. A los ojos de los
platónicos, esta visión incrementaba la probabilidad de un único origen
metafísico.
Por completitud,
debería mencionar una escuela de pensamiento —el intuicionismo— que se oponía
con vehemencia tanto al logicismo como al formalismo.[199] El
abanderado de esta escuela era el algo fanático matemático holandés Luitzen E.
J. Brouwer (1881-1966). Brouwer creía que los números naturales derivaban de
una intuición humana del tiempo y de momentos discretos de nuestra experiencia.
Para él, era indudable que la matemática era un producto del pensamiento humano
y, por tanto, no veía necesidad alguna para la existencia de leyes lógicas
universales del tipo de las previstas por Russell. Sin embargo, Brouwer iba
mucho más allá: afirmaba que las únicas entidades matemáticas con sentido eran
aquellas que se podían construir de forma explícita sobre la base de los
números naturales en un número finito de etapas.[200]En
consecuencia, rechazaba grandes áreas de la matemática para las que era
imposible hallar pruebas constructivas. Otro de los conceptos lógicos que
Brouwer negaba era el principio del
tercio excluso (la condición de que cualquier afirmación es o bien cierta,
o bien falsa). En vez de eso, permitía que las afirmaciones flotasen en el
limbo de la «indecisión». Esta y otras restricciones intuicionistas
convirtieron esta escuela de pensamiento en algo marginal que, en la
actualidad, no goza de demasiado predicamento entre los matemáticos. Sin
embargo, las ideas de los intuicionistas se anticiparon a algunos de los
descubrimientos de los científicos cognitivos acerca del modo en que las
personas adquieren los conocimientos matemáticos (un tema que trataremos en el
capítulo 9) y también dieron forma a las contribuciones de algunos de los
modernos filósofos de la matemática (como Michael Dummett).
Pero ¿cómo se
desarrolló la estrecha asociación entre matemática y lógica? Y el programa de
los logicistas ¿era en absoluto viable? Repasemos brevemente algunos de los
hitos de los últimos cuatro siglos.
Lógica y matemática
Según la tradición, la
lógica trataba acerca de las relaciones entre conceptos y proposiciones,[201]
y sobre los procesos que permitían extraer deducciones válidas de estas
relaciones. En un ejemplo simple, las deducciones de la forma «Todo X es Y;
algunos Z son X, luego algunos Z son Y» se construyen de forma que se garantiza
automáticamente la verdad de la conclusión siempre que las premisas sean
ciertas. Por ejemplo: «Todos los biógrafos son escritores; algunos políticos
son biógrafos; luego, algunos políticos son escritores» genera una conclusión
cierta. Por otra parte, las inferencias de la forma general: «Todos los X son
Y; algunos Z son Y; por tanto, algunos Z son X» no son válidas, porque se
pueden hallar ejemplos en los que, aunque las premisas sean ciertas, la
conclusión sería falsa. Por ejemplo: «Todos los hombres son mamíferos; algunos
animales con cuernos son mamíferos; luego, algunos animales con cuernos son
hombres».
Siempre que se sigan
algunas reglas, la validez de un argumento no depende del tema de las
afirmaciones. Por ejemplo:
O bien el mayordomo
mató al millonario, o le mató su hija.
Su hija no le mató.
Luego, el mayordomo le
mató.
Genera una deducción
válida. La solidez de este argumento no se basa en absoluto en nuestra opinión
acerca del mayordomo o en la relación entre el millonario y su hija. La validez
queda garantizada por el hecho de que las proposiciones que siguen la forma
general: «si o p o q, y no q, entonces p» resultan
en una verdad lógica.
Quizá habrá notado que,
en los dos primeros ejemplos, los papeles que desempeñan X, Y y Z son similares
a los de las variables en las ecuaciones matemáticas: marcan el lugar en el que
se pueden introducir expresiones, del mismo modo que se introducen valores en
las variables del álgebra. De forma parecida, la verdad de la inferencia «si o p o q,
y no q, entonces p» recuerda a los axiomas de la geometría de Euclides. Y sin
embargo, tuvieron que pasar casi dos milenios de contemplación de la lógica
para que los matemáticos asumieran esta analogía.
La primera persona que
intentó combinar las disciplinas de la lógica y la matemática en una
«matemática universal» fue el matemático y filósofo racionalista alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz, que en realidad tenía formación en derecho,
llevó a cabo la mayoría de sus trabajos en matemáticas, física y filosofía en
sus ratos de ocio. En vida, su mayor fama se debió a la formulación de las
bases del cálculo de forma independiente (y casi simultánea) de Newton, y de la
amarga controversia entre ambos por la prioridad en este asunto. En un ensayo
que había imaginado casi por completo a los dieciséis años de edad, Leibniz
previó un lenguaje universal de la razón o characteristica
universalis, que consideraba la herramienta definitiva del pensamiento. Su
plan consistía en representar las nociones e ideas simples mediante símbolos, y
las más complejas mediante las combinaciones apropiadas de estos símbolos
básicos. Leibniz esperaba literalmente poder calcular la verdad de cualquier
afirmación, en cualquier disciplina científica, mediante puras operaciones
algebraicas. Vaticinó que bastaría el cálculo lógico adecuado para resolver los
debates filosóficos. Por desgracia, Leibniz no avanzó demasiado en el
desarrollo de su álgebra de la lógica. Aparte del principio general de
«alfabeto del pensamiento», sus dos principales contribuciones fueron
únicamente una afirmación clara sobre en qué circunstancias debemos ver dos
cosas como iguales y la confirmación más bien obvia de que ninguna afirmación
puede ser simultáneamente verdadera y falsa. Así, a pesar de que las ideas de
Leibniz eran realmente brillantes, pasaron prácticamente desapercibidas.
La lógica volvió a
ponerse de moda a mediados del siglo XIX, y este súbito incremento de interés
produjo importantes obras, primero por Augustus de Morgan (1806-1871) y
posteriormente por George Boole (1815-1864), Gottlob Frege (1848-1925) y
Giuseppe Peano (1858-1932).
De Morgan era un
escritor extraordinariamente prolífico,[202] que publicó
literalmente miles de artículos y libros sobre diversos temas relacionados con
la matemática, la historia de la matemática y la filosofía. Entre sus obras más
peculiares se encuentran un almanaque de lunas llenas (válido durante milenios)
y un compendio de matemática excéntrica. A una pregunta acerca de su edad,
respondió: «Tenía x años en el año x2». Se puede comprobar que el
único número que, al elevarlo al cuadrado, da un resultado entre 1806 y 1871
(los años de nacimiento y muerte de De Morgan) es 43. Probablemente, las
contribuciones más originales de De Morgan fueron en el campo de la lógica, en
el que amplió de forma significativa el ámbito de los silogismos de Aristóteles
y ensayó una estrategia algebraica de razonamiento. De Morgan miraba la lógica
con los ojos de un algebrista, y el álgebra con los ojos de un lógico. En uno
de sus artículos describía su visionaria perspectiva: «Debemos volver la vista
al álgebra para hallar el uso más habitual de las formas lógicas … El
algebrista ya vivía en el elevado mundo de los silogismos, de la incesante
composición de relaciones, antes de que se admitiese la simple existencia de
ese mundo».
Una de las
contribuciones más cruciales de De Morgan a la lógica se denomina
«cuantificación del predicado». Se trata de un nombre más bien rimbombante para
lo que se podría considerar un sorprendente descuido de los lógicos de la época
clásica. Los aristotélicos se dieron cuenta de que, a partir de premisas como
«algunos Z son X» y «algunos Z son Y» no se podía llegar a conclusión necesaria
alguna sobre la relación entre X e Y. Por ejemplo, las frases «algunas personas
comen pan» y «algunas personas comen manzanas» no permiten extraer una
conclusión decisiva acerca de la relación entre los comedores de manzanas y los
de pan. Hasta el siglo XIX, los lógicos asumieron también que, para poder
establecer una relación necesaria entre X e Y, el término medio (la mencionada
«Z») debía ser universal en una de
las premisas. Es decir, la frase debía incluir «todos los Z». De Morgan
demostró que esta suposición era errónea. En su libro Formal Logic (publicado en 1847), señalaba que, a partir de
premisas como «la mayoría de Z son X» y «la mayoría de Z son Y» sigue
necesariamente que «algunos X son Y». Por ejemplo, las frases «casi todas las
personas comen pan» y «casi todas las personas comen manzanas» implican de modo
inevitable que «algunas personas comen tanto pan como manzanas». De Morgan fue
un paso más allá y expresó su nuevo silogismo en una forma cuantitativa
precisa. Imaginemos que el número total de Z es z, el número de Z que son también X es x y el número de Z que son también Y es y. En el ejemplo anterior, podría haber 100 personas en total (z = 100), de las cuales 57 comen pan (x = 57) y 69 comen manzanas (y = 69). Entonces, señalaba De Morgan,
debe haber al menos (x + y − z) X que
son también Y. Al menos 26 personas (el resultado de 57 + 69 − 100 = 26) comen
tanto pan como manzanas.
Por desgracia, este
astuto método de cuantificar el predicado hizo que De Morgan se viese metido en
una desagradable disputa pública. El filósofo escocés William Hamilton
(1788-1856) —al que no debe confundirse con el matemático irlandés William
Rowan Hamilton— acusó a De Morgan de plagio, porque Hamilton había publicado
unas ideas vagamente relacionadas (aunque mucho menos precisas) unos años antes
que De Morgan. El ataque de Hamilton no era de extrañar si uno conocía su
actitud general hacia la matemática y sus practicantes. Hamilton había
declarado en cierta ocasión: «Un estudio excesivo de la matemática incapacita
de forma absoluta la mente para las energías intelectuales requeridas por la
filosofía y la vida». El chaparrón de cáusticas cartas que siguieron a la
acusación de Hamilton tuvieron un resultado positivo, aunque en absoluto
deliberado: ¡guiaron hacia la lógica al algebrista George Boole! Más adelante,
Boole relataba en The Mathematical
Analysis of Logic.
En la primavera del
presente año mi atención se dirigió a la cuestión que enfrentaba a sir W.
Hamilton con el profesor De Morgan; y el interés que inspiró en mí me impulsó a
reanudar el hilo de investigaciones anteriores que ya casi había olvidado. Mi
impresión era que, aunque se podía ver la Lógica con referencia a la idea de
cantidad, poseía también otro sistema de relaciones más profundo. Si era lícito
mirarla desde fuera, conectada con las intuiciones del Espacio y del Tiempo a
través del Número, era también lícito mirarla desde dentro, basada en hechos de
un orden distinto que moran en la propia constitución de la Mente.
Estas humildes palabras
describen los principios de lo que se convertiría en una obra fundamental de la
lógica simbólica.
Continua en:
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¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo VII Lógicos: pensar sobre el razonamiento (II).
[197] La paradoja del
barbero se trata en numerosos textos. Véanse, por ejemplo, Quine 1966, Rescher
2001, Sorensen 2003. <<
[198] Russell 1919. Se trata
de la más célebre de las exposiciones de Russell acerca de sus ideas sobre
lógica. <<
[199] El plan intuicionista
de Brouwer se resume con precisión en Van Stegt 1998. Véase Barrow 1992 para
una excelente explicación divulgativa. El debate entre formalismo e
intuicionismo está descrito con sencillez en Hellman 2006. <<
[200] Dummett agrega: «Una
persona no puede comunicar aquello que no se puede observar que comunique: si
una persona asocia un contenido mental a un símbolo o fórmula matemática y la
asociación no tiene que ver con el uso que efectúe del símbolo o fórmula, la
persona no podrá transmitir ese contenido a través de ese símbolo o fórmula,
porque su público ignoraría la asociación y carecería de medios para
averiguarla». Dummett 1978. <<
[201] Véase Bennett 2004
para una introducción extremadamente accesible a la lógica. Quine 1982 es más
técnico, aunque brillante. La Encyclopaedia
Britannica contiene un espléndido resumen de la historia de la lógica
escrito por Czeslaw Lejewski. <<
[202] Ewald 1996 incluye una
descripción concisa pero perspicaz de su vida y obra. <<
[203] Boole 1847. <<
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