La nueva fundamentación de las
matemáticas.
Primera Comunicación1
Los
fundamentos de las matemáticas han constituido desde hace mucho tiempo un
objeto de investigación para autores del más diverso tipo. En el curso de tales
estudios han podido surgir y desarrollarse brillantes ideas y se han alcanzado
resultados de gran significación y alcance.
En
nuestra opinión, en la actualidad se hace indispensable un tratamiento mucho
más profundo de los problemas que surgen en esta esfera del conocimiento. Y si
en lo personal nos hemos propuesto llevar a cabo esta tarea, ello se debe menos
a la intención de reafirmar alguna teoría matemática particular que a la
convicción de que ninguna de las investigaciones realizadas hasta ahora acerca
de los fundamentos de las matemáticas ha permitido reconocer realmente un
método que haga posible la formulación de las cuestiones atinentes a éstos de
manera que pueda ofrecerse una respuesta unívoca a los problemas que los mismos
plantean. Y es esto precisamente lo que para nosotros se presenta como una
exigencia primaria.
En
otras palabras, en las matemáticas no debe haber cuestiones que den lugar a
dudas de principio, en las matemáticas no deben tener cabida las verdades a
medias, ni tampoco pueden admitirse verdades de tipo esencialmente distinto.
De
acuerdo con esto y tomando como ejemplo un problema complicado y lejano, debe
ser posible formular el axioma de elección de Zermelo en forma tal que resulte
tan válido y confiable como la afirmación aritmética de que 2 + 2 = 4,
Tenemos
la plena confianza de que los fundamentos de las matemáticas pueden ser objeto
de una clarificación y un conocimiento plenos, pero también de que, aunque
sumamente complicado, el problema de la fundamentación de nuestra disciplina es
susceptible de una solución definitiva. En lo que sigue presentaremos en forma
resumida una descripción de los medios con los que creemos haber alcanzado ese
objetivo, así como del sentido que todo esto pueda tener.
Es un
hecho que en la actualidad podernos constatar un interés particular en lo que
se refiere a estos problemas. Matemáticos de la talla de Weyl y Brouwer han
intentado encontrar una solución a estas dificultades, pero la vía que han
sugerido dista, en nuestra opinión, de ser satisfactoria.
Weyl sostiene, en su crítica de
las fundamentaciones del concepto de número propuestas hasta ahora, que el
procedimiento usual es circular. Weyl cree descubrir un círculo vicioso en el
hecho de que al definir los números reales se haga uso de segmentos que
dependen de la existencia de números reales con una cierta propiedad. La
situación que aquí se presenta parecería ser la siguiente.
Cuando
tomamos como punto de partida la definición usual de los números reales como
cortaduras de Dedekind, como sucesiones numéricas o como sucesiones
fundamentales, lo que a juicio de un matemático común se nos presenta es la
coexistencia de distintas perspectivas metódicas. La que Weyl elige y en razón
de la cual demuestra la circularidad no es, sin embargo, una de ellas, sino que
parecería tratarse más bien de algo preparado de manera artificial.
Weyl
justifica su singular concepción argumentando que en ella se preserva el
principio de constructividad. Pero es claro que una vez que había mostrado la
existencia de un círculo vicioso, lo que tenía que hacer era más bien reconocer
que esa concepción, y con ella el principio de constructividad mismo, resultan
inutilizables en la versión que nos presenta y utiliza, reconociendo también
que a partir de ese enfoque el camino hacia el análisis nos está vedado.
Los
enfoques usuales en las matemáticas no se apoyan en forma alguna en el
principio de constructividad, pero tampoco son circulares en el sentido que
quiere Weyl. Fundamentalmente son dos los puntos de vista a considerar.
El primero
plantearía algo como esto. Un número real es una división en segmentos de
números racionales que posee la propiedad dedekindiana de las cortaduras. Por
supuesto, aquí el concepto de segmento de números racionales es definido de
manera precisa, en lo que se refiere a su contenido, y delimitado de igual
manera en cuanto a su alcance.
La
objeción que frecuentemente se hace a esta definición es que el concepto de
segmento de números racionales es esencialmente equivalente al concepto de
conjunto, y éste, considerado en toda su generalidad, conduce, como sabemos, a
paradojas.
En caso
de que Weyl haga suya en alguna forma esta objeción, lo primero que tenemos que
notar es que el argumento no es conclusivo. La circunstancia de que el concepto
de conjunto no resulte lícito y permisible cuando se le considera en toda su
generalidad no excluye la posibilidad de que el concepto de conjunto de números
enteros sea fundamentalmente correcto. Y, por lo demás, las paradojas de la
teoría de conjuntos no pueden ser en forma alguna entendidas como una
demostración de que el concepto de conjunto de los números enteros conduce a
contradicciones. Por el contrario: todas nuestras experiencias matemáticas
hablan en favor de la corrección y consistencia de ese concepto. Podría
argumentarse, sin embargo, que los requerimientos de exactitud prevalecientes
en las matemáticas no permiten la aceptación tácita de una suposición de ese
tipo en la construcción de una teoría. En tal caso, tenemos que remitirnos al
segundo de los enfoques mencionados para la fundamentación del concepto de
número y en relación al cual esta objeción no resulta válida. Es decir, tenemos
que recurrir al método de fundamentación axiomático. Podemos caracterizar este
punto de vista de la manera siguiente.
El
continuo de los números reales es un sistema de objetos vinculados entre sí
por medio de relaciones definidas, que llamamos axiomas. En particular, tenemos
en este contexto que la definición de los números reales mediante cortaduras de
Dedekind es reemplazada por los dos axiomas de continuidad, esto es, por el
axioma de Arquímedes y por el llamado axioma de completud. Las cortaduras de
Dedekind pueden entonces ser usadas para el establecimiento de números reales
particulares, sin utilizarse ya para la definición del concepto general de
número real. Conceptualmente, un número real no es otra cosa que un objeto de
nuestro sistema.
La fundamentación axiomática de
la teoría del continuo no se opone en forma alguna a la intuición. En realidad,
el concepto de magnitud extendida, tomado de la intuición, es algo
independiente del concepto de número, por lo que la distinción fundamental que
aquí proponemos entre número y extensión es perfectamente compatible con aquélla.
El
enfoque que hemos descrito resulta impecable desde un punto de vista lógico,
por lo que el problema que ahora se plantea es el de decidir si un sistema de
este tipo es viable, es decir, si los axiomas no conducen a una contradicción.
Difícilmente
encontraremos dentro o fuera de las matemáticas una esfera de la ciencia que
haya sido objeto de una investigación más acuciosa que el análisis real. El
examen y el seguimiento de aquellos principios deductivos basados en el
concepto de conjunto de números ha sido literalmente llevado a su extremo, sin
que en ningún sitio se haya presentado ni siquiera la sombra de un error.
Por lo
tanto, cuando Weyl cree descubrir una "inestabilidad interna en los
fundamentos sobre los que descansa la construcción misma de ese sistema" y
se preocupa por el "peligro de disolución que acecha al Estado que
llamamos análisis", lo que en realidad ocurre es que ve fantasmas.
En
verdad, y a pesar de lo complejo y diverso de las combinaciones que allí se
realizan y de lo refinado de los recursos empleados para ello, en el análisis
tenemos de hecho una seguridad completa en lo que se refiere a las deducciones,
además de una unanimidad más que evidente en cuanto a los resultados obtenidos.
En
consecuencia, resulta plenamente justificada la suposición de los axiomas en
los que esa seguridad y esa unanimidad se basan. Poner en tela de juicio esta
justificación equivale a despojar a la ciencia de toda posibilidad de llevar a
cabo las tareas que le son propias. Si la axiomática resulta adecuada en algún
lugar, es precisamente aquí.
Por
supuesto que con ello se plantea también el problema de dar una prueba de la
consistencia de los axiomas. Se trata, en efecto, de un problema conocido y que
personalmente nos ha ocupado desde hace más de 20 años. La presente
comunicación se ocupa de la solución de este problema.
Lo que
Weyl y Brouwer pretenden hacer equivale en principio a recorrer nuevamente el
camino que alguna vez siguiera Kronecker. Es decir, Weyl y Brouwer intentan
ofrecer una fundamentación de las matemáticas que echa por la borda todo
aquello que les resulta incómodo y que establece además (en el sentido de su
predecesor) una serie de prohibiciones claramente dictatoriales. Pero esto no
significa otra cosa que el desmembramiento, la amputación arbitraria de nuestra
disciplina. Al seguir a tales reformadores nos exponemos a perder una gran
parte de nuestros más valiosos conceptos, resultados y métodos. Entre las cosas
que Weyl y Brouwer pretenden proscribir de las matemáticas se encuentran los
conceptos generales de número irracional, de función (lo mismo que el más
particular de función numérica), los números cantorianos de clases superiores,
etc. Teoremas como el de que en una totalidad infinita de números enteros
existe siempre un mínimo e inclusive la ley lógica del tercero excluido en
afirmaciones como "O bien existe solamente un número finito de números
primos, o bien existe un número infinito de los mismos" son ejemplos de
proposiciones y principios deductivos que nos estarían prohibidos.
Estamos
firmemente convencidos de que así como Kronecker fracasó en su intento de
eliminar a los números irracionales (Weyl y Brouwer todavía nos permiten
conservar algún fragmento de los mismos) sus seguidores no correrán con mejor
suerte. Brouwer ciertamente no representa, como cree Weyl, la revolución, sino
tan sólo una nueva edición de un intento de golpe de Estado que se sirve de
recursos por demás añejos, un golpe de Estado intentado en su tiempo de manera
mucho más brillante y rigurosa y que, no obstante, fracasó por completo. Al
presente y con un poder estatal firme y bien pertrechado gracias a las
contribuciones de matemáticos de la talla de Frege, Dedekind y Cantor, la
nueva asonada está condenada desde el principio a correr la misma suerte que la
precedente.
En
resumen, si vamos a hablar de una crisis en las matemáticas no podemos afirmar,
como hace Weyl, que se trata de una nueva crisis en nuestra disciplina. El
círculo vicioso es algo que Weyl introduce de manera artificial en el análisis.
La descripción de la supuesta inseguridad que permea los resultados del
análisis no corresponde a ningún hecho real.
En lo
que se refiere a las tendencias constructivistas, en las que tanto Weyl como
Brouwer hacen gran énfasis, podemos afirmar que es precisamente Weyl el que ha
errado por completo el camino para la realización de las mismas. La vía
axiomática es, de hecho, la única capaz de hacer justicia a tales tendencias,
en la medida en la que tales tendencias resulten naturales.
El
objetivo que nos hemos propuesto es entonces el de dar un fundamento seguro a
las matemáticas. Nuestra intención es devolver a nuestra disciplina el antiguo
prestigio de consistir de verdades indiscutibles, del que las paradojas de la
teoría de conjuntos parecieron despojarla.. Tenemos la firme convicción de que
esto es realizable y que no significa ningún tipo de renuncia a sus partes
constitutivas. El método adecuado para la realización de estos fines es, por
supuesto, el método axiomático. Lo esencial de este método se expondrá a
continuación.
Cuando
queremos investigar una esfera particular del conocimiento, lo que hacemos es
tratar de darle una base en el menor número posible de principios. Estos
principios, a los que llamamos axiomas, han de ser tan simples, intuitivos y
comprensibles como sea posible. Al hacer esto, nada nos impide tomar como
axiomas proposiciones demostrables o proposiciones que pensemos que son
susceptibles de prueba. La historia nos ofrece en verdad evidencia clara de lo
adecuado de este procedimiento.
Recordemos,
como ejemplos de lo anterior, el postulado de Legendre sobre números primos en
la teoría de los residuos cuadráticos, la conjetura de Riemann sobre los ceros
de la función z(s), el principio de la
existencia de raíces en el álgebra y, por último, la llamada hipótesis
ergódica, un principio de cuya prueba estamos todavía muy alejados y que, no
obstante, se ha convertido en fundamento de la mecánica estadística.
El
método axiomático constituye entonces el recurso irrenunciable y más adecuado a
nuestro intelecto para cualquier investigación exacta, independien-temente del
sitio en el que ésta se lleve a cabo. La axiomatización es un procedimiento no
sólo fructífero, sino impecable desde el punto de vista lógico, además de
garantizar la más amplía libertad en la investigación científica. Proceder de
manera axiomática no significa otra cosa que pensar conscientemente [mit
Bewußtsein denken].
Por
supuesto, todo esto también ocurría antes, sin el método axiomático. Pero
tenía lugar de una manera ingenua, por lo que ciertas relaciones adquirían el
carácter de dogmas. La axiomatización nos libera de esa ingenuidad, pero nos
permite disfrutar aún de los beneficios de la creencia.
Hay
algo aquí, sin embargo, que es mucho más importante. Precisamente gracias al
desarrollo que experimenta bajo nuestra concepción el método axiomático,
estamos en condiciones de apreciar la manera en la que éste nos permite
alcanzar la máxima claridad acerca del papel que juegan los principios
deductivos en las matemáticas.
Como ya
hemos mencionado, no podemos tener nunca la plena seguridad de que los axiomas
elegidos son consistentes, si no hemos dado todavía una demostración explícita
de este hecho. La axiomática nos obliga entonces a adoptar una posición en lo
que se refiere a este complejo problema epistemológico.
En
muchos casos resulta posible ofrecer una demostración de la consistencia de los
axiomas. Esto ocurre, por ejemplo, en la geometría, en la termodinámica, en la
teoría de la radiación, así como en otras disciplinas físicas. Pero en todas
ellas lo que se hace es remitir el problema a la consistencia de los axiomas
del análisis. La consistencia de éstos constituye todavía un problema abierto
en las matemáticas. En realidad, hasta ahora han sido más bien escasos los
intentos serios de establecer la consistencia de los axiomas de la teoría de
los números, del análisis o de la teoría de conjuntos1.
A
Kronecker se debe la famosa afirmación de que Dios creó los números enteros y
el resto es obra de los hombres. De acuerdo con esto, quien bien puede ser
considerado como el dictador por antonomasia en las matemáticas proscribió todo
lo que no se presentaba como número entero. Una extensión de sus reflexiones
acerca de los números enteros era algo que, en consecuencia, se alejaba de sus
intereses personales y de su escuela.
Poincaré,
por su parte, se encuentra de antemano convencido de la imposibilidad de dar
una demostración de la consistencia de los axiomas de la aritmética. En su
opinión, el principio de inducción completa no es sino una propiedad de nuestro
espíritu; es decir, en el lenguaje de Kronecker, algo creado por Dios mismo2. Su objeción acerca de la imposibilidad de
demostrar ese principio de otra manera que recurriendo a la inducción completa
misma es injustificada y es, de hecho, refutada por nuestra teoría.
En la
filosofía sí ha sido reconocida la importancia del problema de la consistencia
de los axiomas de un sistema. Sin embargo, en la literatura existente al
respecto no hemos logrado encontrar ninguna exigencia clara de solución de este
problema en un sentido matemático. Por el contrario, los viejos esfuerzos por
fundamentar la teoría de los números y el análisis en la teoría de conjuntos y
ésta en la lógica tocan el núcleo mismo de toda esta problemática.
Tanto Frege como
Dedekind han intentado ofrecer una fundamentación de la teoría de los números,
recurriendo exclusivamente a la lógica pura el primero, y apoyándose en la
teoría de conjuntos en tanto parte de esta última el segundo. Sin embargo,
ninguno de ellos ha conseguido llevar a feliz término sus objetivos originales.
En Frege tenemos una serie de construcciones de conceptos de uso corriente en
la lógica que son aplicados sin la debida precaución en las matemáticas, Frege
considera, por ejemplo, que la extensión de un concepto es algo dado sin más,
de tal manera que puede tomarse, a su vez, sin restricciones, como un nuevo
objeto. En cierto sentido, podemos decir que su error consiste en incurrir en
un realismo conceptual extremo.
Algo
parecido le ocurre a Dedekind. Su error, ya clásico, consiste en tomar como
punto de partida el sistema de todos los objetos. Y no obstante lo agudo que
pudiera parecemos su brillante idea de tomar al infinito mismo como fundamento
del número finito, en la actualidad se reconoce generalmente la imposibilidad
de este proyecto (entre otras razones debido a los argumentos que se mencionan
más abajo).
A pesar
de todas estas dificultades, los trabajos de Frege y Dedekind son de un inmenso
valor. Ciertamente a ellos se debe el inicio de la crítica moderna del
análisis, continuada más adelante por pensadores como Cantor, Zermelo y RusselL
Esta crítica no "desemboca", como quiere Weyl, "en el caos y el
vacío", sino más bien, por una parte, en teorías (particularmente las de
Zermelo y Russell) de gran profundidad y que se encuentran provistas de una
base axiomática y, por la otra, en un desarrollo idóneo del llamado cálculo
lógico, cuyas ideas se han convertido con el tiempo en un instrumento
absolutamente imprescindible para la investigación lógico-matemática.
Este
sería, en nuestra opinión, el panorama que actualmente presentan los
fundamentos de las matemáticas. De acuerdo con ello, la conclusión
satisfactoria de las investigaciones relativas a los mismos es algo que sólo
puede lograrse con la solución del problema de la consistencia de los axiomas
del análisis. Al ofrecer una demostración de este tipo, estaríamos constatando
al mismo tiempo el carácter indubitable y definitivo de los teoremas
matemáticos, un hecho que por su naturaleza filosófica general resulta de gran
interés y significación.
Ocupémonos
entonces de la solución de este problema.
Como
hemos visto, el manejo abstracto de las extensiones de conceptos y de los
contenidos ha mostrado ser no sólo insuficiente, sino también bastante
inseguro. Más bien, lo que se hace necesario como medida previa a la aplicación
de inferencias y operaciones lógicas es la existencia en la representación
[Vorstellung], como algo dado, de ciertos objetos extralógicos discretos,
intuitivamente presentes antes de cualquier pensamiento como vivencia
inmediata.
Si la
inferencia lógica ha de tener la seguridad que deseamos, estos objetos deben
ser susceptibles de una visión global y completa de todas sus partes, y su
postulación, distinción y sucesión deben presentarse ante nosotros de
inmediato con los objetos mismos de manera intuitiva, como algo irreductible.
En este
enfoque, en clara y explícita oposición a Frege y Dedekind, son los signos mismos
los objetos de la teoría de los números. Entendemos aquí por signo algo cuya
forma es independiente del espacio y del tiempo, así como de las
condiciones especiales en las que se produce, de las variaciones
insignificantes en su trazado y que, en general y de manera segura, puede ser
identificado1. El enfoque que consideramos adecuado y
necesario para la fundamentación no sólo de las matemáticas puras, sino en
general de todo el pensamiento, la comprensión y la comunicación científicas,
puede entonces expresarse en una frase diciendo: en un principio era el
signo.
Una vez
provistos de estas ideas filosóficas, podemos pasar a ocuparnos de la teoría
elemental de los números. Preguntémonos, en primer lugar, si (y en qué medida)
la teoría de los números puede erigirse sobre la base puramente intuitiva de
los signos concretos. Comencemos entonces por la definición de número.
El
signo 1 es un número.
Un
signo que comienza y termina con 1, de modo que siempre que el signo 1 aparezca
antes del final sea seguido de + y siempre que tengamos + le siga 1 es también un
número.
De acuerdo con lo
anterior, los signos
1 + 1
1 + 1 + 1
son números.
Estos
numerales o signos numéricos [Zahlzeichen] son, en realidad, números y
constituyen enteramente a éstos, convirtiéndose ahora ellos mismos en objeto de
nuestro estudio. Pero los numerales carecen por completo de cualquier otro significado1 fuera de éste.
Aparte
de estos signos, nos serviremos de otros que sí tienen un significado y poseen
una función comunicativa. Del signo 2, por ejemplo, como una abreviatura
de 1 + 1, de 3 en lugar de 1 + 1 + 1, etc. Además de éstos, usaremos los signos
= y > que resultan de utilidad para la
comunicación de afirmaciones. De esta manera, v.gr.
2 + 3 = 3 + 2
no es una fórmula2, sino que tiene solamente la función de comunicar
(tomando en cuenta las abreviaturas que hemos introducido) que 2 + 3 y 3 + 2
son, en realidad, uno y el mismo signo, esto es, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 . Tampoco
3 > 2
es una fórmula,
sino que sirve exclusivamente para comunicar el hecho de que el signo 3, esto
es, 1 + 1 + 1 es más extenso que el signo 2, es decir, que 1 + 1, o lo que es lo mismo, que este último es un
segmento de aquél.
Para
los fines de la comunicación utilizaremos también las letras minúsculas góticas
a, b, c como numerales. b > a no es entonces
una fórmula, sino tan sólo la comunicación de que el numeral b es más extenso
que el numeral a. Desde este perspectiva, a + b = b + a no sería tampoco otra
cosa que la comunicación de que el numeral a + b es el mismo que b + a.
La exactitud concreta de esta comunicación puede comprobarse fácilmente como
sigue. Supongamos (como parece lícito hacer) que b > a , es decir, que el
numeral b es más extenso que a. En ese caso, b puede analizarse como a + c,
donde c tiene la función de comunicar un número. Tenemos entonces que demostrar
que a + a + c =a + c + a, esto es, que a + a + c es el mismo numeral que a + c
+ a. Pero es precisamente esto lo que ocurre, si es que a + c es el mismo signo
que c + a; es decir, si a + c = c + a.
Con
ello hemos prescindido, en relación a la comunicación original, de por lo menos
un 1 (gracias a la separación de a). Este procedimiento de separación puede
continuarse hasta que los sumandos a intercambiar coincidan. Como todo numeral,
3 está conformado por los signos 1 y + y puede también descomponerse por
separación y cancelación de los signos individuales.
En una
teoría de los números de este tipo no hay, por supuesto ningún axioma, ni
tampoco son posibles las contradicciones. Lo que tenemos son signos
concretos como objetos, signos con los que operamos y sobre los que hacemos
afirmaciones concretas. En lo que se refiere a la prueba de a + b = b + a que
acabamos de ofrecer, es necesario hacer especial hincapié en que esa
demostración no es otra cosa que un procedimiento basado enteramente en la
composición y descomposición de los numerales y que difiere esencialmente del
principio de inducción matemática completa o inferencia de n a n + 1,
de fundamental importancia para la aritmética superior.
Como
veremos más adelante, la inducción matemática completa es un principio formal
de mayor alcance, un principio de nivel superior que a su vez requiere (y es
susceptible) de una demostración.
Es
seguro que el enfoque intuitivo y concreto que acabamos de describir y utilizar
nos permite avanzar considerablemente en la teoría de los números. Pero es
también evidente que resulta imposible construir de esta manera la totalidad de
las matemáticas. Ya en el paso a la aritmética superior y al álgebra, por
ejemplo, esto es, cuando queremos hacer afirmaciones sobre un número infinito
de números o de funciones, este procedimiento concreto resulta del todo
insuficiente. La razón de ello es que no podemos escribir numerales o
abreviaturas para un número infinito de números. De no tener presente esta
dificultad, incurriríamos de inmediato en toda la serie de absurdos que con
toda razón Frege ha criticado en examen de las distintas definiciones de los
números irracionales que tradicionalmente se han presentado.
Pero
tampoco el análisis puede ser construido por este método. Para esta
construcción se requiere de fórmulas reales, de fórmulas propiamente dichas,
por lo que las comunicaciones concretas, tal y como éstas se aplican en la
teoría elemental de los números, no bastan para dar cuenta del fundamento del
mismo.
Sin
embargo, podemos adoptar una perspectiva similar si nos ubicamos en un nivel
superior de observación. En éste, los axiomas, las fórmulas y las
demostraciones de una teoría matemática constituyen propiamente el objeto de
una investigación concreta. Para este fin debemos reemplazar las
argumen-taciones concretas normales en una teoría matemática por fórmulas y
reglas, representarlas por medio de formalismos. Es decir, es necesario llevar
a cabo una formalización estricta de la totalidad de la teoría matemática que
incluya sus demostraciones, de tal manera que tanto las inferencias como la
construcción de conceptos
en ella sean integrados, siguiendo el modelo del cálculo lógico-matemático,
como elementos formales al edificio matemático.
Los
axiomas, las fórmulas y las demostraciones de que este edificio formal consiste
son precisamente lo que antes, en la construcción de la teoría elemental de los
números que hemos descrito, eran los numerales. Es precisamente a partir de
aquí, al igual que ocurre con los numerales en la teoría de números, que
podemos efectuar consideraciones concretas, esto es, poner en práctica el
pensamiento real.
Los
argumentos y las consideraciones concretas que, por supuesto, no son nunca del
todo prescindibles, son trasladados a otro sitio, a un nivel superior. Con ello
se hace posible en las matemáticas trazar una línea de demarcación estricta y
sistemática entre las fórmulas y las demostraciones formales, por una parte, y
los argumentos y consideraciones concretas, por la otra.
En lo que
sigue, intentaremos mostrar cómo es que estas ideas pueden ser llevadas a la
práctica de manera estricta e irreprochable. Como es claro, con ello habremos
resuelto también nuestro problema original, esto es, el problema de ofrecer una
demostración de la consistencia de íos axiomas de la aritmética y el análisis.
Para la
teoría concreta [inhaltlich-konkret] de los números resultan suficientes, como
hemos visto, los signos 1 y +. Para la obtención de la totalidad de las
matemáticas introduciremos distintos tipos de signos.
I. Signos individuales (generalmente
letras griegas)
1. 1, + (constituyentes de los numerales)
2. φ(*), ψ(*), σ(*,*), δ(*,*), μ(*,*).
(funciones de individuos con un lugar vacío, funciones de funciones de
individuos)
3. = (igualdad), ≠ (desigualdad), > (mayor que)
(signos matemáticos)
4. Z (ser un número), Φ (ser una función)
5. ® ("implicación",
un signo lógico)
6. ( )
(cuantificación universal)
II. Variables (letras latinas)
1. a, b, c, d, p, q, r, s, t
(variables primitivas)
2.
f(* ), g(* ) (variables funcionales, variables de
función de función)
3.
A, B, C, D, S, T, U, V, W (variables para
fórmulas)
III. Signos para la comunicación (letras
góticas)
1. a, b, c, t (funcionales)
2. A, B, C, R, S, T (fórmulas).
Aclaremos
antes que nada el manejo de estos signos.
Los
signos yuxtapuestos forman una cadena [Zeile]1; un complejo de cadenas
se llama figura.
Los
signos individuales (I) y las variables (II) son los únicos que forman parte
del cálculo y que constituyen la estructura formal propiamente dicha. Los
signos de la última clase (III) sirven únicamente para la comunicación al argumentar,
así como para consideraciones concretas de cualquier tipo.
Seguiremos
aquí la costumbre de utilizar siempre letras griegas para signos individuales
(I), latinas para las variables (II) y góticas para los signos de comunicación
(III).
Los
signos para la comunicación (III) se utilizan en ocasiones, provisionalmente,
como signos de abreviación. Por supuesto, un signo de abreviación no es
más que un signo que sirve para una escritura condensada y que denota [bedeutet]
otro signo definido. Debemos tener siempre presente, sin embargo, que la
introducción de signos de abreviación en la construcción de las matemáticas es
algo prescindible en principio. En realidad, los signos de la clase (III)
resultan necesarios únicamente para la comunicación en un sentido estricto, es
decir, en la operación concreta de las demostraciones formales.
Una funcional
es ya sea un numeral, una variable primitiva, una función individual o una
función variable [variable Funktion] cuyos lugares libres han sido llenados con
numerales, variables primitivas o funciones1. Llamamos también
funcional a una función de función individual o variable con lugares llenos.
Una funcional puede siempre, ella misma, ser colocada en el lugar libre
correspondiente. Si los lugares de una función o de una función de función se
han llenado en su totalidad con funcionales, la cadena resultante es nuevamente
una funcional Así, una funcional es siempre un signo complejo formado por
signos de I.1, I.2, II.1 y II.2, pero que no contiene signos de las clases
I.3-I.6, ni II.3.
Si a
ambos lados del signo = ó del signo ≠ colocamos una funcional, la cadena que se
obtiene se llama fórmula elemental [Primformel]. Se obtiene también una
fórmula de este tipo cuando en el lugar del signo Z se coloca una funcional. En
general, si a
y b
denotan
funcionales,
a = b
a ≠ b
Z(a)
son también fórmulas elementales.
Si a
ambos lados del signo lógico de implicación colocamos una fórmula elemental o
una fórmula variable (II.3)2, obtenemos una fórmula
de implicación. Si a cada lado del signo de implicación escribimos una
fórmula elemental, variable o de implicación, la cadena que se obtiene es
también una.fórmula. En general,
A ® B
es una fórmula si A y B son fórmulas
variables o fórmulas que previamente habían sido obtenidas.
A
ciertas fórmulas que sirven como cimiento del edificio formal de las
matemáticas se les conoce como axiomas.
El
manejo de los axiomas deberá sujetarse a las siguientes reglas.
Los signos
individuales no pueden ser objeto de un reemplazo; las variables primitivas
pueden ser reemplazadas por cualquier funcional1.
El uso
de paréntesis es común, esto es, para separar partes de signos, para indicar
lugares libres, para seguridad y univocidad en la sustitución de cadenas.
El signo de
cuantificación universal, un paréntesis izquierdo y uno derecho con una
variable entre ambos, I.6, es también un signo lógico. El segmento de fórmula
que sigue al cuantificador y que, en general, contiene esa variable se delimita
por medio de un paréntesis especial que indica claramente el alcance del
cuantificador.
Para el
signo de cuantificación deberán observarse las siguientes reglas.
Una
variable en una fórmula se encuentra libre si no se encuentra en un
signo de cuantificación en esa fórmula. Podemos siempre anteponer a una fórmula
un signo de cuantificación con una variable libre; la totalidad de esa fórmula
constituye entonces el alcance de ese cuantificador. Por el contrario, podemos
prescindir de un signo de cuantificación cuyo alcance es el resto de la
fórmula.
Una
variable que se encuentra dentro de un signo de cuantificación puede ser
reemplazada en ese sitio y en la fórmula afectada por ese cuantificador por
cualquier otra variable que no aparezca en esa fórmula.
Dos
signos de cuantificación yuxtapuestos y con el mismo alcance pueden
intercambiarse entre sí.
Si
(b)(A ® B(b))
es parte de una
fórmula y en A
no aparece la variable b, entonces (b) puede colocarse después
del signo ®, obteniéndose
A ® (b) B(b)2.
Ahora
mostraremos cómo pueden obtenerse los teoremas relativos a las operaciones
elementales a partir de este nuevo enfoque formal3. Para este fin, necesitamos de una lista de
axiomas.
1. a = a
2. 1 + (a + 1) = (1 +a) + 1,
3. a = b ® a + 1 = b + 1
4. a + 1 = b + 1 ® a = b,
5. a = c ® ( b = c ® a = b) .
y del esquema de
inferencia
S
|
S ® T
|
T
|
Las
demostraciones formales para las ecuaciones numéricas pueden entonces
realizarse como en el ejemplo que a continuación ofrecemos.
Del
axioma 1 obtenemos por sustitución
1 = 1,
y también,
utilizando las abreviaturas 2 para 1+1 y 3 para 2+1
(1) 2 = 2
y
(2)
3 = 3.
A
partir del axioma 2 resulta por sustitución
1 + (1 + 1 ) = (1 +
1) + 1, o sea,
1 + 2 = 2 + 1,
o,
equivalentemente,
(3) 1 + 2 = 3
Con el
axioma 5 llegamos también a
3 = 3 ® (1 + 2 = 3 ® 3 = 1 + 2),
y al esquema
1 + 2 = 3 ® 3 = 1 + 2,
y, finalmente, por
(3) y el esquema de inferencia, a
3 = 1 + 2.
Con
ello queda establecido el carácter demostrable de esta fórmula a partir de
nuestros axiomas.
Los
axiomas de que disponemos son insuficientes para obtener todas las fórmulas que
necesitamos. Se abre entonces la posibilidad de añadir otros axiomas a
nuestra lista para lograr este objetivo. Antes de esto, es necesario explicitar
lo que es una demostración, así como establecer indicaciones precisas acerca
del uso de los axiomas.
Una demostración
es una figura que se presenta ante nosotros de manera intuitiva. Una
demostración consta de inferencias justificadas por el esquema
S
|
S ® T
|
T
|
donde cada una de
las premisas, esto es, de las fórmulas S y S ® T es un axioma (es
decir, se obtuvo directamente de un axioma por sustitución) o coincide con la fórmula
final de una inferencia previa en la demostración, o bien resulta de una
fórmula final por sustitución.
Una
fórmula es demostrable si es un axioma, se obtiene de un axioma por
sustitución, es la fórmula final de una demostración o resulta de una fórmula
final de una demostración por sustitución.
Esto implica
que tenemos que entender el concepto de demostrabilidad como algo relativo al
sistema axiomático que se tome como base. Pero este relativismo resulta, en
realidad, bastante natural y, además, necesario. Tomarlo así no perjudica en
forma alguna, pues el sistema se extiende constantemente y la construcción
formal resulta cada vez más completa, en consonancia con la tendencia
constructivista que nos hemos propuesto.
Hemos
dicho ya que para realizar nuestros objetivos tenemos que hacer de las
demostraciones mismas el objeto de nuestra investigación. Nos vemos así
obligados a desarrroílar una teoría de la demostración, cuya materia de
estudio la constituye el manejo y la operación de las demostraciones mismas.
Para la teoría intuitiva y concreta [konkret-anschaulich]
de los números que hemos expuesto antes son los números los que constituyen lo
objetivo y ostensivo, mientras que las demostraciones de los teoremas numéricos
caen ya en el ámbito del pensamiento [gedanklich]. En nuestra investigación
presente, la demostración misma se convierte en algo concreto y ostensivo, las
consideraciones y la argumentación concretas no tienen lugar sino a partir de
la demostración. Así como el físico examina sus aparatos, el astrónomo su punto
de referencia y el filósofo lleva a cabo una crítica de la razón, también el
matemático se ve obligado a asegurar sus teoremas, y para ello requiere de una
teoría de la demostración.
Recordemos
que nuestro objetivo primario es ofrecer una prueba de consistencia. En
realidad, desde nuestro punto de vista actual este problema carece, en rigor,
de sentido, puesto que lo único de que disponemos son fórmulas
"demostrables" que, de cierta manera, equivalen exclusivamente a
afirmaciones positivas, por lo que no pueden nunca dar lugar a una
contradicción. Podríamos aceptar, aparte de 1 = 1, 1 = 1 + 1 como fórmula, con
tal de que ésta se estableciera como una fórmula demostrable por medio de las
reglas de inferencia.
Ahora
bien, si nuestro formalismo ha de constituir un verdadero sustituto para la
teoría real original (que consistía de inferencias y afirmaciones), también una
contradicción concreta debe tener su contraparte formal. Para que esto sea
así, debemos aceptar, además de la igualdad; la desigualdad. Y como ocurría con
aquélla, ésta debe ser tomada en cierto sentido como un enunciado positivo e
introducirse por medio del signo ≠, añadiendo nuevos axiomas.
Por
supuesto estos axiomas se sujetarán a las reglas que para ellos hemos
introducido anteriormente. Podemos decir ahora que un sistema axiomático es consistente
si en él no podemos nunca obtener como fórmulas demostrables
a = b y a ≠ b,
donde a y b son funcionales.
Tomando esto en cuenta, introducimos ahora un nuevo
axioma
6. a
+ 1 ≠ 1,
prescindiendo al
mismo tiempo, en aras de la sencillez, del axioma 2.
El
primer paso que tenemos entonces que dar para establecer el resultado de
consistencia que nos interesa para nuestra nueva teoría de la demostración
consiste en probar el siguiente teorema.
El
sistema axiomático que consta de
1. a = a
3. a = b ® a + 1 = b + 1
4. a + 1 = b + 1 ® a = b,
5. a = c ® ( b = c ® a = b) .
6. a + 1 ≠ a
como axiomas es
consistente.
La
demostración consta de varios pasos.
LEMA. Una fórmula demostrable
puede contener el signo ® dos veces como máximo.
Supongamos
que se nos presenta una demostración de una fórmula en la que ® aparece más de dos
veces. Existe entonces en nuestra prueba una primera fórmula con esta
propiedad, no existiendo una fórmula anterior a la misma que contenga ese signo
más de dos ocasiones. Ahora bien, esta fórmula no pudo obtenerse por
sustitución en un axioma, puesto que lo único que puede ponerse en lugar de a,
b, c son funcionales que no involucran el signo de implicación ®. Pero tampoco pudo
haberse obtenido como fórmula final T de una inferencia. De ser así, la
segunda premisa de tal inferencia tendría que haber sido
S ® T y en ésta» el signo ® aparecería más de
dos ocasiones, lo que contradiría la descripción de T.
Demostremos también el
siguiente
LEMA.
Una fórmula a
= b
es demostrable sólo si a y b son el mismo
signo.
Distinguiremos
nuevamente los dos casos posibles. En el primero, la fórmula se obtiene
directamente por sustitución en un axioma. El único principio de este tipo que
pudo haberse utilizado es el axioma 1, en cuyo caso el lema resulta evidente.
Supongamos
ahora que se nos presenta una demostración con a = b como fórmula final
y que a
y b
no son el mismo signo. Supongamos, además, que anteriormente en la misma
demostración no aparece otra fórmula con esta propiedad. a = b tendría que
coincidir con T,
mientras que S
tendría que ser una fórmula demostrable. La segunda premisa debe tener entonces
la forma
(4) S ® a = b.
Esta
fórmula tendría que haberse obtenido o bien por sustitución en un axioma, o
como fórmula final de una demostración. En el primer caso, los axiomas 3 y 4
serían los únicos que podrían haber intervenido. Si el axioma utilizado es el
3, a
tendría que ser de la forma a’ + 1 y b de la forma b’ + 1, al
tiempo que S
tendría
que ser la fórmula a’ = b' , Sin embargo, si
a'
y b'
son los mismos signos, lo mismo debe ocurrir con a y b (en contradicción
con lo que habíamos supuesto). Si a' y b' no fueran el mismo signo, entonces S, esto es a' = b' sería una fórmula
que aparecería en la demostración antes que T y tendría la
propiedad que caracterizaba a ésta última, lo que es imposible.
Si el
axioma utilizado fue el 4, la fórmula S tendría que ser de
la forma a
+ 1 = b
+ 1, en la que no podrían aparecer a ambos lados del signo de igualdad los
mismos signos. Pero, nuevamente, esto es imposible debido a que S aparece primero en
la demostración.
La única
posibilidad que resta es que (4) sea la fórmula final de una demostración cuya
última inferencia es de la forma
U
|
|
U ® (S ® a = b)
|
|
(S ® a = b)
|
Examinemos
el origen de su segunda premisa, esto es, de
(5) (U ® (S ® a = b)
Sí esta
fórmula se hubiera obtenido por sustitución en un axioma, el único en cuestión
sería el axioma 5, por lo que S tendría que ser de la forma b = c y U de la forma a = c. Si c es lo mismo que b, U no podría ser sino a = b, por lo que esta
fórmula tendría que aparecer en la demostración en un lugar previo al que hemos
supuesto.
Si c no es igual a b, entonces la
fórmula b
= c
tiene la propiedad que habíamos supuesto originalmente para T y aparece, además,
antes que ésta en la demostración.
Por lo
tanto, la única posibilidad que nos queda es que (5) sea la fórmula final de
una inferencia. Pero entonces la segunda de las premisas que interviene en ella
debe ser una fórmula en !a que aparece por lo menos en tres ocasiones el signo
de implicación, lo que significa, de acuerdo con el lema anterior, que esta
fórmula no es demostrable.
Con
ello hemos establecido también el segundo de nuestros lemas.
Dijimos
antes que un sistema axiomático es consistente si en él no es posible demostrar
a la vez
a = b y a ≠ b.
Ahora
bien, como según nuestros lemas, a = b es un teorema sólo
si a
y b
son el
mismo signo, la demostración de la consistencia de nuestros axiomas equivale a
mostrar que a partir de ellos no podremos nunca obtener como teorema, como
fórmula demostrable, una fórmula de la forma
(6)
a
≠ a
Para
hacer ver esto procederemos como sigue. Para obtener directamente por
sustitución en los axiomas una fórmula de la forma (6) (que contiene el signo
≠, sería necesario hacer uso del axioma 6. Pero toda fórmula que resulte a
partir de este principio por sustitución es siempre de la forma
a' + 1 ≠ 1,
donde ciertamente a' + 1 no es el
mismo signo que 1.
Por otra parte, si (6) se
presentara como la fórmula final de una inferencia, la segunda premisa de la
misma tendría que ser de la forma
(7) S ® a ≠ a
(7) no
pudo haberse obtenido directamente por sustitución en un axioma, es decir,
necesariamente debió ser obtenida por medio de una inferencia. La segunda
premisa de ésta sería entonces
T ® ( S ® a ≠ a)
una fórmula que,
por razones similares, debe surgir de una inferencia cuya segunda premisa es
necesariamente de la forma
U ® (T ® (S ®
a
≠ a)).
Esta
fórmula no es demostrable de acuerdo con nuestro primer lema, Pero ello implica
también la imposibilidad de que (6) sea un teorema. Esto completa la
demostración de la consistencia del sistema constituido por los axiomas
1. a = a
2. 1 + (a + 1) = (1 +a) + 1,
3. a = b ® a + 1 = b + 1
4. a + 1 = b + 1 ® a = b,
5. a = c ® ( b = c ® a = b) .
6.
a + 1 ≠ a
Hasta
ahora no hemos introducido ningún signo lógico aparte de ® . En particular, hemos tenido especial cuidado en
evitar la formalización de la operación lógica de la negación. Esta es
una característica de nuestra teoría de la demostración. La única equivalencia
formal para la negación está representada por el signo ≠. En cierto sentido, su
introducción hace posible una expresión y un tratamiento positivos de la
desigualdad, en analogía con la igualdad, cuya contraparte, en realidad,
representa.
Desde
el punto de vista concreto, la negación se utiliza exclusivamente en la prueba
de la consistencia del sistema y, de hecho, solamente en la medida en que
coincide con nuestra concepción básica. Ello pondría de manifiesto que nuestra
teoría de la demostración tiene también importantes consecuencias
epistemológicas, al permitirnos una visión más profunda del significado y la
naturaleza de la negación.
El
concepto todos como un concepto lógico, está presente en nuestra teoría
en virtud tanto de las variables que en ella existen como de las reglas que
hemos estipulado para su operación y la del cuantificador.
Una
noción lógica que aún tiene que ser formalizada es la de existe. Como es
bien sabido, en la lógica formal este concepto se expresa recurriendo a la
negación y a la idea de totalidad (“todos”). Como nuestra teoría
carece de una representación directa de la negación, la formalización de
existencia, "existe", se logra introduciendo signos de función
individuales por medio de una especie de definición implícita, esto es,
produciendo realmente, por así decirlo, "lo que existe". El ejemplo
más sencillo de ello es el siguiente.
Para
expresar la proposición:
Si a no es igual a 1, existe
un número anterior a a.
Introducimos como signo
individual el signo de función δ(*) de un lugar y añadimos como otro de
nuestros axiomas la fórmula
7. a ≠
1 ® a = δ(a) + 11.
Es
posible demostrar nuevamente, aunque aquí sólo nos limitaremos a mencionarlo,
recurriendo a una argumentación concreta, que el sistema de los axiomas 1-7 es
consistente.
Aunque
las reflexiones que hemos expuesto constituyen apenas la parte más elemental de
la teoría de la demostración, la tendencia general de la misma, es decir, la dirección en
la que ha de buscarse una nueva fundamentación de las matemáticas es bastante
clara. Es importante, sin embargo, destacar dos puntos.
Primero.
Todo
aquello que hasta ahora ha constituido a las matemáticas reales se convierte
en objeto de una formalización estricta; las matemáticas reales, esto
es, las matemáticas en un sentido estricto, se convierten de esa manera en un
conjunto de fórmulas demostrables.
Las
fórmulas de este conjunto se distinguen de las fórmulas usuales de las
matemáticas solamente por el hecho de que, además de los signos matemáticos,
contienen el signo ®, el cuantificador
universal y los signos para enunciados.
Esto
corresponde a una idea que hemos venido sosteniendo desde hace mucho tiempo. En
otras palabras, debido al estrecho vínculo y al carácter indisoluble de las
verdades aritméticas y lógicas resulta necesario llevar a cabo una construcción
simultánea de la aritmética y de la lógica formal
Segundo.
A esta
matemática real debe añadirse una nueva matemática, una metamatemática, cuya
función es asegurar a la primera, protegiéndola tanto del terror de las
prohibiciones innecesarias como de la preocupación de las paradojas. En
contraposición a los principios deductivos puramente formales de las
matemáticas reales, en la metamatemática se utiliza la inferencia concreta, por
ejemplo, para el establecimiento de la consistencia de los axiomas.
De
acuerdo con esto, el desarrollo de las matemáticas tiene lugar mediante la
alternación constante de dos niveles. En primer término, obteniendo nuevos teoremas,
esto es, nuevas fórmulas demostrables a partir de los axiomas, por medio de
la inferencia formal; en segundo, añadiendo nuevos axiomas junto con la prueba
de su consistencia mediante una argumentación concreta.
Ocupémonos
ahora de ofrecer una nueva fundamentación de las matemáticas que sea acorde
tanto a los principios que hemos establecido como a las tendencias que hemos
caracterizado.
Nuestro
conjunto de axiomas ha estado constituido hasta ahora solamente por los axiomas
1-7, Todos estos principios son de carácter puramente aritmético. Sin embargo,
los teoremas que resultan de ellos no ofrecen todavía un fundamento suficiente
para la teoría de los números reales y, de hecho, constituyen tan sólo una
pequeña porción de las matemáticas.
Recordemos
que en los axiomas 1-7 únicamente aparecen variables primitivas, esto es,
letras latinas minúsculas sin lugares vacíos. Pero la fundamentación de la
aritmética requiere de una serie de axiomas con variables relativas a fórmulas
—letras latinas mayúsculas. Teniendo esto en mente, introduciremos en primer
lugar los otros axiomas aritméticos, cada uno con una variable relativa a
fórmulas.
Axioma
de la igualdad matemática
8. a
= b ® (A(a) = A(b))
Axioma
de la inducción completa
9. (a)(A(a) ® A(a + 1)) ® { A(1) ® ( Z(b)
® A(b) ) }
Además de 8
y 9 necesitamos los axiomas correspondientes a los principios deductivos
lógicos. Los axiomas 10-13 que ahora introduciremos tienen precisamente esa
función.
Axioma
de la inferencia lógica
10. A ® (B ® A),
11. {A ® (A ® B)} ® (A ® B),
12. {A ® (B ® C)} ® {B ® (A ® C)},
13. (B ® C) ® {(A ® B) ® (A ® C)}.
Nuestros
siguientes axiomas se refieren a la desigualdad matemática. Podemos servirnos
de ellos como de algo equivalente a ciertos principios deductivos que resultan
imprescindibles para la argumentación concreta.
Axioma de
la desigualdad matemática
14. a ≠ a ® A.
15. (a = b ® A) ® {(a ≠ b ® A) ® A}.
Hemos
dicho ya que los principios 1-7 constituyen tan sólo una parte de los axiomas
aritméticos que necesitamos para nuestra construcción. Para completarlos se
requiere sobre todo de la introducción del signo lógico de función Z (ser
entero racional positivo). Por otra parte, se hace también necesaria una
restricción del axioma 6. Al mismo tiempo, al utilizar el signo * - 1 en lugar
del signo de función δ(*), generalizando y complementando respectivamente los
axiomas 2 y 7 y eliminando los axiomas 3, 4 y 5, que se convierten ahora en
teoremas, llegamos a un sistema que consta de los siguientes 8 principios en
lugar de los anteriores axiomas 2-7.
Axiomas
aritméticos
16. Z(1),
17. Z(a) ® Z(a + 1),
18. Z(a) ® (a ≠ 1 ® Z(a - 1)),
19. Z(a) ® (a + 1 ≠
1),
20. (a + 1) - 1 = a,
21. (a - 1) + 1 = a,
22. a + (b + 1) =
(a + b) + 1,
23. a - (b + 1) = (a - b)
- 1.
Un
sistema conformado de esta manera, es decir, un sistema que conste de los
axiomas 1, 8-231 permite establecer,
mediante la simple aplicación de las reglas que hemos expuesto, esto es,
formalmente, la totalidad de las fórmulas y teoremas de la aritmética.
Nuestro
primer objetivo en relación a este sistema es encontrar una prueba de
consistencia para los axiomas 1, 8-23. De hecho, la demostración es posible,
con lo que resulta asegurado2 el principio
deductivo expresado en la inducción completa (axioma 9), de capital importancia
en la aritmética.
El paso
esencial, es decir, la demostración de la aplicabilidad del principio lógico
del tercero excluido a totalidades infinitas de números, funciones o funciones
de funciones para inferir que una afirmación es válida para todos esos números,
todas esas funciones o todas esas funciones de funciones, o que necesariamente
existe entre estos objetos uno (un número, una función o una función de
funciones) para el que la afirmación resulta falsa, constituye, sin embargo,
una tarea inconclusa.
Sólo
mediante la demostración de la aplicabilidad de este principio es posible una
fundamentación satisfactoria de la teoría de los números reales y sólo ella
puede allanar la vía que conduce al análisis y la teoría de conjuntos.
Esta
demostración puede llevarse a cabo conforme a las ideas básicas que acabamos de
exponer, introduciendo ciertas funciones de funciones τ y α por medio de la
postulación de axiomas y la demostración de la consistencia de los mismos3.
El
ejemplo más sencillo de una función de funciones útil a los fines que acabamos
de expones es el de κ(f), donde el argumento f es una función
numérica variable de la variable primitiva a, de tal suerte que
podemos afirmar
Z(a) ® {f(a)
≠ 1 – 1 ® Z(f(a))
}
donde κ(1) = 1 - 1,
en caso de que f tenga el valor 1 para toda a; en caso
contrario, κ(f) será el menor argumento para el cual f no es 1.
Los axiomas para esta κ(f) son entonces
24.
(κ(f) = 1 – 1) ® (Z(a) ® f(a) = 1),
25. (κ(f) ≠ 1 – 1) ® Zκ(f),
26. (κ(f) ≠ 1 – 1) ® (f(κ(f)) ≠ 1),
27. Za ® {Z(κ(f) – a)
® f(κ(f) – a) = 1}.
De
manera similar podemos introducir una cierta pareja de funciones afines τ y α.
Con ellas resulta posible una fundamentación completa de la teoría de los
números reales, lo mismo que una demostración de la existencia de una cota
superior para cualquier conjunto de números reales.
Deseamos concluir esta primera comunicación
mencionando con agradecimiento a Paul Bernays, cuyo apoyo y colaboración han
sido esenciales para la realización y el desarrollo de las ideas que aquí hemos
expuesto.
1
Esta comunicación contiene en
esencia las conferencias que he impartido a principios de 1922 en la Sociedad
Matemática de Copenhague, y en el verano de ese mismo año en el Seminario de
Matemáticas de la Universidad de Hamburgo. [N. de D. H.]
1
Para referencias sobre
resultados preliminares del propio Hilbert y de Konig ver Gesammelte
Abhandlungen (G.A) Vol. 3, pg. 199, nota al pie. Acerca de lo afirmado por
Hilbert sobre Kronecker y Poincaré ver G.A, Vol 3. pg. 203 [N. de P. B]
2
Ver "Les
mathématiques et la logique" en Rev. Met. et Mor. 14,1906 pp.
21-22. [N. de T.]
1 En
este sentido, llamaremos "el mismo signo" a aquellos signos que
tengan la misma forma [N. de D. H]
1
La expresión “signo sin
significado” es impactante para los filósofos. (Ver por ejemplo la nota de
Aloys Müller, “Uber Zahlen als Zeichen”, y la correspondiente réplica por P.
Bernays, ambos en Math. Ann. 90 (123).) En los escritos
posteriores de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas, el término
“signo-numérico” se reemplaza por “numeral” [“Ziffer”]. [N. de P. B.]
2
Hilbert requiere aquí de la palabra "fórmula" en su sentido estricto,
esto es, para referirse a las fórmulas de la matemática formalizada. Sin
embargo, uno podría igualmente bien hablar de fórmulas con significado así como
uno habla de signos con significado. [N. de P. B]
1 Literalmente:
una hilera. [N. de T.]
1
Todas estas estipulaciones pueden
especificarse con ayuda del concepto de especie [Gattung]. En tal caso,
todo espacio en blanco debe referirse a una especie determinada. [N. de P. B.]
2
La fórmula variable en cuestión
puede todavía tener uno o más funcionales como argumento. Así, por ejemplo,
C(1, a) es una fórmula variable. [N. de D. H.]
1 Aquí
sería el punto en el que habría que introducir la regla de sustitución para la
introducción de variables de fórmulas [Formelvariablen]. Ver D. Hilbert
y P. Bernays, Grundlagen der Mathematik, I, 4, pp. 89 y
98. [N. de P. B.]
2 También puede realizarse el proceso
inverso cuando U no contiene la
variable b. Para operar con el símbolo ® se usan el “Esquema de Inferencia”
(ver página siguiente) y los “Axiomas de Inferencia Lógica” (10-13) [N. de
P.B.]
3
Las siguientes consideraciones corresponden a una etapa inicial de la Teoría de
la Demostración, cuando las investigaciones se limitaban a formalismos
restringidos pero que gradualmente experimentaron diversas extensiones. En lo
que sigue se representa esta cadena de razonamientos haciéndose la transición
de los formalismos iniciales provisionales al formalismo que se presenta en
este artículo. [N. de P. B.]
1
Véase mi conferencia "Über den Zahlbegriff”, Jber. Dtsch. Math.,
Vol 8, 1900, pgs. 180-84, reimpreso como Apéndice 6 de mis “Grundlagen
der Geometrie”. [N. de D. H.]
1 Debe
añadirse un esquema para introducción de funciones mediante ecuaciones de
recursión [N. de P. B.]
2 Según
ahora se sabe esta
prueba sólo puede darse si se excluye el cuantificador y se reemplaza el axioma
9 por el esquema de inducción. [N. de P. B.]
3 Aquí
Hilbert hace referencia a su intento para tratar las funciones transfinitas en
su demostración de consistencia. Pero todavía es incierto si uno puede obtener
la meta deseada con estos medios. [N. de P. B.]
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