El famoso matemático y
filósofo británico Alfred North Whitehead (1861-1947) declaró en cierta
ocasión: «La generalización menos arriesgada que puede hacerse acerca de la
historia de la filosofía occidental es que no se trata más que de una serie de
notas a pie de página a Platón».[43]
No cabe duda que Platón
(ca. 423-347 a.C.) fue el primero en unir temas como la matemática, la ciencia,
el lenguaje, la religión, la ética o el arte, y en tratarlos de un modo
unificado, definiendo así la filosofía como disciplina. Para Platón, la
filosofía no era un asunto abstracto, separado de las actividades cotidianas,
sino la principal pauta que las personas debían seguir para vivir sus vidas,
reconocer la verdad e incluso hacer política. En concreto, Platón sostenía que
la filosofía puede permitirnos acceder a un reino de verdades que van más allá
de lo que nuestros sentidos pueden percibir directamente o incluso de lo que
podemos deducir mediante el simple sentido común. ¿Quién era este incansable
buscador del conocimiento puro, del bien absoluto y de las verdades eternas?[44]
Platón, hijo de Aristón
y Perictione, nació en Atenas o en Egina. La figura 7 muestra un busto romano
de Platón, probablemente copiado de un original griego más antiguo, del siglo
IV a.C. Su familia, tanto paterna como materna, estaba cuajada de figuras
distinguidas, como Solón, el célebre legislador, y Codro, el último rey de
Atenas. El tío de Platón, Cármides, y el primo de su madre, Critias, eran
viejos amigos del famoso filósofo Sócrates (ca. 470-399 a.C.), una relación que
definiría en gran medida las influencias formativas sobre la mente del joven
Platón. Al principio, Platón intentó meterse en política, pero diversas
acciones violentas protagonizadas por la facción que pretendía reclutarlo le
convencieron de lo contrario. Más adelante, esta repulsión inicial por la
política podría haber animado a Platón a definir lo que consideraba como la
educación esencial de los futuros guardianes del estado. Incluso intentó
(infructuosamente) ser tutor del gobernador de Siracusa, Dionisio II.
Tras la ejecución de
Sócrates en 399 a.C., Platón emprendió un largo período de viajes, que concluyó
con la fundación de su célebre «escuela» de filosofía y ciencia —la Academia— alrededor de 387 a.C. Platón
fue director (o escolarca) de la
Academia hasta su muerte, y su sucesor fue su sobrino Espeusipo. A diferencia
de las actuales instituciones académicas, la Academia era una reunión bastante
informal de intelectuales que, con Platón como guía, se dedicaban a intereses
muy diversos. No había tarifas de matrícula, ni planes de estudios programados,
ni siquiera verdaderos profesores. En cambio, había un «requisito de entrada»
bastante peculiar. Según un discurso de Juliano el Apóstata —emperador del
siglo IV d.C.—, una onerosa inscripción pendía en la puerta de la Academia de
Platón. Aunque el texto de la inscripción no aparece en la alocución, sí puede
hallarse en una nota al margen del mismo siglo IV.[45] La
inscripción decía: «Nadie entre aquí sin saber geometría». Puesto que habían
pasado casi ocho siglos entre el establecimiento de la Academia y la primera
descripción de la inscripción, no podemos saber con total seguridad si existió
realmente. Sin embargo, no hay duda de que el sentimiento expresado en este
exigente requisito reflejaba la opinión personal de Platón. En uno de sus
famosos diálogos (Gorgias) escribe:
«La igualdad geométrica tiene mucho poder entre los dioses y los hombres».
Los «estudiantes» de la
Academia solían ser económicamente independientes, y algunos de ellos (el gran
Aristóteles, sin ir más lejos) permanecieron en ella hasta veinte años. Platón
consideraba que el contacto prolongado entre mentes creativas era el mejor
vehículo para la producción de ideas nuevas en todos los temas, desde
metafísica abstracta y matemática hasta ética y política. La pureza y los
atributos cuasidivinos de los discípulos de Platón fueron captados con gran
belleza en una pintura titulada La
Academia de Platón del pintor simbolista belga Jean Delville (1867-1953).
Para hacer hincapié en las cualidades espirituales de los estudiantes, Delville
los pintó desnudos y con aspecto andrógino, como se suponía que era el estado
de los humanos primigenios.
Me llevé una gran
decepción cuando supe que los arqueólogos no han podido hallar nunca los restos
de la Academia de Platón.[46] En un viaje a Grecia en el verano de
2007, busqué lo que más se le acercaba. Platón menciona la Estoa de Zeus (una
pasarela cubierta construida en el siglo V a.C.) como su lugar favorito para
conversar con sus amigos. Encontré las ruinas de esta estoa en la parte
noroeste de la antigua Agora (el centro cívico en tiempos de Platón; véase
figura 8), en Atenas.
En concreto, Platón destaca que las verdades matemáticas no hacen referencia a los círculos, triángulos o cuadrados que uno puede dibujar en un trozo de papiro o trazar con un palo en la arena, sino a objetos abstractos ubicados en un mundo ideal en el que residen las formas verdaderas y la perfección. Este mundo platónico de las formas matemáticas es distinto del mundo físico, y en él es donde las proposiciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, son verdaderas. El triángulo rectángulo que podemos dibujar en un papel no es más que una copia imperfecta —una aproximación— del verdadero, y abstracto, triángulo.
Aunque la temperatura
llegó ese día a los 46 °C, debo decir que noté una especie de escalofrío al
recorrer el mismo camino que aquel gran hombre había recorrido cientos, si no
miles, de veces.
La legendaria
inscripción de la puerta de la Academia habla por sí sola de la actitud de
Platón hacia la matemática. De hecho, la práctica totalidad de la investigación
matemática de relieve efectuada en el siglo IV a.C. la llevaron a cabo personas
relacionadas de algún modo con la Academia. Sin embargo, el propio Platón no
era un matemático especialmente diestro técnicamente, y sus contribuciones
directas a los conocimientos en este campo probablemente fueron mínimas. El era
más bien un espectador entusiasta, una fuente de desafío y motivación, un
crítico inteligente y un guía ejemplar. El filósofo e historiador del siglo I
a.C. Filodemo lo expresa con claridad:[47] «En aquel tiempo se
produjo un gran progreso en la matemática, con Platón como arquitecto general
planteando problemas, y los matemáticos investigándolos con ahínco». El
filósofo y matemático neoplatónico Proclo (411-485 d.C.) agrega:[48]
«Platón … hizo avanzar grandemente la matemática y la geometría en particular a
causa de su fervor por estos estudios. Es bien sabido que sus escritos están
generosamente salpicados de términos matemáticos y que en todo lugar trata de
despertar la admiración por la matemática entre los estudiantes de filosofía».
En otras palabras, Platón, cuyos conocimientos matemáticos estaban al día en un
sentido amplio, podía conversar con los matemáticos de igual a igual y
plantearles problemas, a pesar de que sus propios logros en ese terreno no
fueran significativos.
Otra llamativa
demostración del reconocimiento de Platón hacia la matemática la podemos
encontrar en la que quizá sea su obra más lograda, La República, una alucinante combinación de estética, ética, metafísica
y política. En el Libro VII de La
República, Platón (a través de Sócrates como protagonista principal) esboza
un ambicioso plan de educación pensado para formar gobernantes de un estado
utópico. Este riguroso, aunque idealizado, programa preveía una formación
temprana durante la infancia impartida mediante juegos, viajes y gimnasia.
Después de seleccionar a los más prometedores, el programa proseguía con nada
menos que diez años de matemáticas, cinco de dialéctica y quince de experiencia
práctica, que incluía ejercer mandos en guerra y otros cargos «adecuados a la
juventud». Platón explicaba con diáfana claridad por qué creía que ésta era la
formación necesaria para los futuros políticos:
Es preciso, pues, que
los amantes del poder no se dirijan a éste, ya que si lo hacen les combatirán
otros rivales en amores.
¿A qué otros
obligarías, pues, a ocuparse de la guarda de la polis si no es a quienes,
además de ser los más conocedores de aquello por lo que la polis se rige mejor,
tienen otros valores y una vida mejor que la del político?[49]
Reconfortante, ¿verdad?
De hecho, un programa tan exigente posiblemente fuese impracticable, incluso en
los tiempos de Platón. George Washington estaba de acuerdo en que una educación
en matemática y filosofía posiblemente fuese positiva para los futuros
políticos:
La ciencia de las
cifras es, hasta cierto punto, no sólo un requisito indispensable en todos los
aspectos de la vida civilizada, sino que la investigación de las verdades
matemáticas habitúa la mente al razonamiento correcto y metódico, y es un uso
particularmente digno del ser racional. En un estado turbio de la existencia,
en donde tantas cosas parecen precarias al desconcertado investigador, las
facultades de la razón hallan aquí un cimiento sobre el que apoyarse. Desde el
terreno elevado de la demostración matemática y filosófica podemos cruzar de
forma inconsciente a especulaciones más nobles y meditaciones más sublimes.[50]
En cuanto a la cuestión
de la naturaleza de la matemática,
más importante que el Platón matemático o el inspirador de la matemática lo fue
el Platón filósofo de la matemática. En ese campo, sus ideas pioneras no sólo
lo colocaban por encima de todos los matemáticos y filósofos de su generación,
sino que lo identificaban como una figura de gran influencia durante todo el
milenio siguiente.
La visión platónica de
la verdadera naturaleza de la matemática está estrechamente relacionada con su
famoso Mito de la caverna. En él,
Platón hace hincapié en la dudosa validez de la información captada a través de
los sentidos humanos. Lo que percibimos como mundo real no es, según él, más
real que las sombras proyectadas en las paredes de una caverna.[51]
Este es el notable pasaje de La República:
Represéntate hombres en
una morada subterránea en forma de caverna, que tiene la entrada abierta, en
toda su extensión, a la luz. En ella están desde niños con las piernas y el
cuello encadenados, de modo que deben permanecer allí y mirar sólo delante de
ellos, porque las cadenas les impiden girar en derredor la cabeza. Más arriba y
más lejos se halla la luz de un fuego que brilla detrás de ellos; y entre el
fuego y los prisioneros hay un camino más alto, junto al cual imagínate un
tabique construido de lado a lado, como el biombo que los titiriteros levantan
delante del público para mostrar, por encima del biombo, los muñecos …
Imagínate ahora que, del otro lado del tabique, pasan sombras que llevan toda
clase de utensilios y figurillas de hombres y otros animales, hechos en piedra
y madera y de diversas clases … ¿Crees que han visto de sí mismos, o unos de
los otros, otra cosa que las sombras proyectadas por el fuego en la parte de la
caverna que tienen frente a sí?
Según Platón, nosotros, los humanos en
general, no somos distintos de esos prisioneros de la caverna, que confunden
las sombras con la realidad.En concreto, Platón destaca que las verdades matemáticas no hacen referencia a los círculos, triángulos o cuadrados que uno puede dibujar en un trozo de papiro o trazar con un palo en la arena, sino a objetos abstractos ubicados en un mundo ideal en el que residen las formas verdaderas y la perfección. Este mundo platónico de las formas matemáticas es distinto del mundo físico, y en él es donde las proposiciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, son verdaderas. El triángulo rectángulo que podemos dibujar en un papel no es más que una copia imperfecta —una aproximación— del verdadero, y abstracto, triángulo.
Otra de las cuestiones
fundamentales examinadas por Platón con cierto detalle tiene relación con la
naturaleza de la demostración matemática, como proceso basado en postulados y axiomas. Los axiomas son aserciones básicas cuya validez se supone
evidente por sí misma. Por ejemplo, el primer axioma de la geometría de
Euclides es: «Entre dos puntos cualesquiera se puede trazar una línea recta».
En La República, Platón combina de
forma maravillosa el concepto de postulado con su idea del mundo de las formas
matemáticas:
Creo que sabes que
quienes se ocupan de geometría, aritmética y otros estudios similares dan por
supuestos los números impares y pares, las figuras, tres clases de ángulos y
otras cosas emparentadas con éstas y distintas en cada caso; las adoptan como
hipótesis, procediendo igual que si las conocieran, y no se creen ya en el
deber de dar ninguna explicación ni a sí mismos ni a los demás con respecto a
lo que consideran como evidente para todos, y de ahí es de donde parten las
sucesivas y consecuentes deducciones que les llevan finalmente a aquello cuya
investigación se proponían.
¿Y no sabes también que
se sirven de figuras visibles acerca de las cuales discurren, pero no pensando
en ellas mismas, sino en aquello a que ellas se parecen, discurriendo, por
ejemplo, acerca del cuadrado en sí y de su diagonal, pero no acerca del que
ellos dibujan, e igualmente en los demás casos; y que así, las cosas modeladas
y trazadas por ellos, de que son imágenes las sombras y reflejos producidos en
el agua, las emplean, de modo que sean a su vez imágenes, en su deseo de ver
aquellas cosas en sí que no pueden ser
vistas de otra manera sino por medio del pensamiento? (La cursiva es mía).
La visión de Platón
constituye la base de lo que se ha dado en denominar, en filosofía en general,
y en los debates sobre la naturaleza de la matemática en particular, platonismo.[52] En su sentido
más amplio, el platonismo defiende una creencia en una especie de realidades
eternas e inmutables totalmente independientes del efímero mundo que perciben
nuestros sentidos. Según esta doctrina, la existencia real de los objetos
matemáticos es un hecho objetivo, del mismo modo que la existencia del universo
en sí. No sólo existen los números naturales, los círculos y los cuadrados,
sino también los números imaginarios, las funciones, los fractales, las
geometrías no euclidianas y los conjuntos infinitos, así como una amplia
variedad de teoremas acerca de tales entidades. En resumen, todos los conceptos
matemáticos o afirmación «objetivamente cierta» (esto se definirá más adelante)
nunca formulada o imaginada, y una infinidad de conceptos y afirmaciones aún no
descubiertas, son entidades absolutas o universales
que no se pueden crear ni destruir, sino que existen independientemente de que
sepamos de dicha existencia. Ni que decir tiene que tales objetos no son
físicos, sino que viven en un mundo autónomo de esencias fuera del tiempo.
Para el platonismo, los
matemáticos son exploradores de tierras extrañas, que sólo pueden descubrir las verdades matemáticas,
nunca inventarlas. De igual modo que América ya estaba allí mucho antes de que
Colón (o Leif Erickson) la descubriese, los teoremas matemáticos existían en el
mundo platónico mucho antes de que los babilonios iniciasen sus estudios en
matemática. Para Platón, las únicas cosas que existían de un modo real y
completo eran las formas y las ideas de la matemática, porque, según sostenía,
sólo en la matemática se puede obtener un conocimiento absolutamente cierto y
objetivo. Así, en la mente de Platón, la matemática estaba íntimamente asociada
con lo divino.[53]En el
diálogo Timeo, el dios creador
utiliza la matemática para modelar el mundo, y en La República, los conocimientos matemáticos se consideran una etapa
crucial en el camino del conocimiento de las formas divinas. Platón no utiliza
la matemática en la formulación de leyes de la naturaleza comprobable mediante
experimentos. Para él, el carácter matemático del mundo es simplemente la
consecuencia de que «Dios siempre hace geometría».
Platón hizo extensivas
sus ideas sobre las «formas verdaderas» a otras disciplinas, en particular a la
astronomía. Su razonamiento era que la verdadera astronomía «debe dejar los cielos
en paz» y no intentar dar explicaciones sobre la disposición y los movimientos
aparentes de las estrellas visibles. Platón opinaba más bien que la verdadera
astronomía era la ciencia que trataba de las leyes del movimiento en un mundo
matemático ideal, del que el cielo observable no era más que una simple
ilustración (del mismo modo que las figuras geométricas dibujadas en un papiro
no son más que ilustraciones de las verdaderas figuras).[54]
Las sugerencias de
Platón acerca de la investigación en astronomía causaron controversia incluso
entre algunos de los más acérrimos platónicos. Los defensores de sus ideas
aducen que lo que Platón quería decir realmente no era que la verdadera
astronomía debía preocuparse de un cielo ideal sin ninguna relación con el
observable, sino que debía ocuparse de los movimientos reales de los cuerpos celestes, a diferencia de los aparentes tal como se veían desde la
Tierra. Otros señalan, en cambio, que una interpretación demasiado literal de
las afirmaciones de Platón habría supuesto un obstáculo grave para el
desarrollo de la astronomía observacional como ciencia. Sea cual sea la
interpretación de la actitud de Platón hacia la astronomía, el platonismo se ha
convertido en uno de los dogmas más destacados al hablar de los fundamentos de
la matemática.
Pero ¿existe realmente
este mundo de la matemática platónico? Y, caso de existir, ¿exactamente dónde
se encuentra? ¿Y qué son esas afirmaciones «objetivamente ciertas» que lo
habitan? ¿O acaso los matemáticos adeptos al platonismo están simplemente
expresando el mismo tipo de creencia romántica atribuida al gran artista del
Renacimiento Miguel Ángel? Según cuenta la leyenda, Miguel Ángel creía que sus
magníficas esculturas ya existían dentro de los bloques de mármol, y que su papel
consistía únicamente en revelarlas.
Los platónicos modernos
(no hay duda de que existen, y hablaré de sus puntos de vista con más detalle
en capítulos posteriores) sostienen con insistencia que el mundo platónico de
las formas matemáticas es real, y ofrecen lo que para ellos son ejemplos
concretos de afirmaciones objetivamente ciertas que residen en ese mundo.
Tomemos la siguiente
proposición sencilla: «todos los enteros
mayores que dos se pueden escribir en forma de suma de dos primos (números
divisibles únicamente por sí mismos o por la unidad)». Esta afirmación de
aspecto simple se conoce como conjetura
de Goldbach, debido a que una conjetura equivalente a ésta aparecía en una
carta del matemático aficionado prusiano Christian Goldbach (1698-1764) el 7 de
junio de 1742.
Es fácil verificar la
validez de la conjetura para los primeros números pares: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3;
8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 (o 5 + 5); 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 (o 7 + 7); 16 = 5 + 11
(o 3 + 13); etc. La afirmación es tan simple que el matemático británico G. H.
Hardy declaró que «cualquier bobo podría haberlo adivinado». De hecho, el gran
matemático y filósofo francés René Descartes se había adelantado a Goldbach en
esta conjetura. Sin embargo, demostrarla
conjetura se reveló como algo completamente distinto. En 1906, el matemático
chino Chen Jingrun dio un paso significativo hacia una demostración, ya que
logró demostrar que cualquier número entero par lo suficientemente grande es la
suma de dos números; uno de ellos es primo y el otro tiene un máximo de dos
factores primos. A finales de 2005, el investigador portugués Tomás Oliveira e
Silva probó que la conjetura era cierta para los números hasta 3 × 1017
(trescientos mil billones). Y sin embargo, a pesar de los colosales esfuerzos
de muchos matemáticos de talento, en el momento de escribir estas líneas la
demostración general sigue
eludiéndonos. Ni siquiera la tentación adicional del premio de 1.000.000 de
dólares que se ofreció entre el 20 de marzo de 2000 y el 20 de marzo de 2002
(para dar publicidad a la novela titulada El
tío Petros y la conjetura de Goldbach) produjo el resultado deseado.[55]
Pero aquí entra el quid de la cuestión: el significado de
«verdad objetiva» en matemática. Supongamos que en 2016 se formula una
demostración rigurosa. ¿Podríamos decir entonces que la afirmación ya era
cierta la primera vez que Descartes pensó en ella? La mayoría de las personas
estarían de acuerdo en calificar de tontería una pregunta así. Por supuesto
que, si se ha demostrado que la proposición es cierta, es que siempre lo ha sido, incluso antes de que
lo supiésemos.
Podemos también echar
una vistazo a otro ejemplo de aspecto inocente llamado la conjetura de Catalán.[56] Los números 8 y 9 son enteros
consecutivos, y cada uno de ellos es igual a una potencia pura, esto es, 8 = 23
y 9 = 32. En 1844, el matemático belga Eugene Charles Catalán
(1814-1894) conjeturó que, entre todas
las posibles potencias de números enteros, la única pareja de números consecutivos (excluidos el 0 y el 1) era 8
y 9. En otras palabras, aunque uno se pase la vida entera escribiendo todas las
potencias puras que existen, no encontrará otra pareja de números que difieran
en 1, salvo 8 y 9. En 1342, el filósofo y matemático judeo-francés Levi Ben
Gerson (1288-1344) demostró una pequeña parte de la conjetura: que 8 y 9 son
las dos únicas potencias de 2 y 3 que difieren en 1. El matemático Robert
Tijdeman efectuó un gran avance en 1976. Aun así, la demostración general de la
conjetura de Catalan frustró las mejores mentes matemáticas durante más de
ciento cincuenta años. Finalmente, el 18 de abril de 2002, el matemático rumano
Preda Mihailescu presentó una demostración completa de la conjetura. Su
demostración se publicó en 2004 y en la actualidad está totalmente aceptada. De
nuevo, uno podría preguntar: ¿cuándo se convirtió en cierta la conjetura de
Catalan? ¿En 1342? ¿En 1844? ¿En 1976? ¿En 2002? ¿En 2004? ¿O no es acaso obvio
que la afirmación fue siempre cierta, sólo que no sabíamos que lo era? Este es
el tipo de verdades a las que los platónicos denominarían verdades objetivas.
Algunos matemáticos,
filósofos, científicos cognitivos y otros «consumidores» de matemática (como
científicos de la computación) juzgan el mundo platónico como producto de la
imaginación de mentes demasiado soñadoras (esta perspectiva y otros dogmas los
describiré con mayor detalle más adelante).[57] De hecho, en 1940,
el famoso historiador de la matemática Eric Temple Bell (1883-1960) efectuó la
predicción siguiente:
Según los profetas, el
último partidario del ideal platónico en matemática se unirá a los dinosaurios
alrededor del año 2000. Despojada de estas místicas vestiduras de eternalismo,
la matemática será reconocida por lo que siempre ha sido, un lenguaje
construido por los humanos y desarrollado por éstos con finalidades definidas
establecidas por ellos mismos. El último templo de la verdad absoluta se habrá
desvanecido junto con la nada a la que estaba consagrado.[58]
La profecía de Bell demostró
ser falsa. Aunque han aparecido dogmas diametralmente opuestos (pero en
distintas direcciones) al platonismo, no han logrado ganarse las mentes (¡ni
los corazones!) de todos los matemáticos y filósofos, que siguen estando tan
divididos como siempre.
Supongamos, no
obstante, que el platonismo hubiese salido vencedor y que todos nos hubiésemos
convertido al fervor platónico. ¿Explica el platonismo la «poco razonable
eficacia» con la que la matemática describe nuestro mundo? En realidad, no.
¿Por qué iba la realidad física a comportarse según leyes que residen en el
abstracto mundo platónico? Este era, después de todo, uno de los misterios de
Penrose, un «devoto» platonista. Así que de momento tendremos que aceptar el
hecho de que, aunque adoptásemos el platonismo, el rompecabezas del poder de la
matemática seguiría sin resolver. En palabras de Wigner: «Es difícil evitar la
impresión de que nos enfrentamos a un milagro, comparable en capacidad de
sorpresa al milagro de que la mente humana pueda hilvanar un millar de
argumentos sin contradecirse».
Para apreciar en todo
su esplendor la magnitud de este milagro deberemos ahondar en las vidas y los
legados de los propios «milagreros», las mentes ocultas tras el descubrimiento
de algunas de estas increíblemente precisas leyes de la naturaleza.
Continua en:
Continua en:
¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo III Magos: El maestro y el hereje
[43] Whitehead 1929.
<<
[44] Los títulos de los
textos acerca de Platón y sus ideas podrían llenar por sí mismos un volumen
entero. Estos son únicamente algunos de los más útiles, a mi juicio. Sobre
Platón en general: Hamilton y Hun-tingdon 1961, Havelock 1963, Gosling 1973,
Ross 1951, Kraut 1992. Sobre su matemática: Heath 1921, Cherniss 1951, Mueller
1991, Fowler 1999, Herz-Fischler 1998. <<
[45] La alocución se
escribió en 362 d.C., pero no daba detalles acerca del contenido de la inscripción.
El texto de la inscripción viene de una nota al margen en un manuscrito de Elio
Arístides. La nota pudo haberla escrito el orador del siglo IV Sopratos, y dice
(según la traducción de Andrew Barker): «En el frontispicio de la Escuela de
Platón una inscripción rezaba “Nadie entre aquí sin saber geometría” y nada
decía acerca de ser injusto o desleal, pues la geometría persigue la
imparcialidad y la justicia». La nota parece implicar que Platón sustituyó en
su inscripción la habitual referencia a la injusticia o la deslealtad que
aparecía en carteles en los lugares sagrados («Nadie entre aquí si es injusto o
desleal») por «sin saber geometría».
Esta historia la
repitieron posteriormente al menos cinco filósofos de Alejandría en el siglo
VI, y finalmente llegó a la obra Chiliades
del erudito del siglo XII Joannes Tzetzes (ca. 1110-1180). Véase Fowler 1999
para un comentario detallado acerca de la obra. <<
[46] Véase Glucker 1978
para un resumen de los numerosos intentos arqueológicos fallidos. <<
[47] Comentado en Chemiss
1945, Mekler 1902. <<
[48] Chemiss 1945, Morrow
1970. <<
[49] Platón (Bloom 1968).
<<
[50] Washington 1788.
<<
[51] Stewart 1905 contiene
un interesante comentario acerca de la alegoría. <<
[52] Se pueden hallar
interesantes reflexiones acerca del platonismo y su lugar en la filosofía de la
matemática en Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell 1945, Tait 1996,
por ejemplo. Son textos excelentes para profanos Davis y Hersh 1981 y Barrow 1992.
<<
[53] Véase un comentario al
respecto en Mueller 2005. <<
[54] Los comentarios de
Platón sobre astronomía y movimiento planetario aparecen en la República (Bloom 1968), en Timeo y en Leyes. Vlos-1975 y Mueller 1992 comentan las implicaciones de la
postura de Platón. <<
[55] Por Doxiadis 2000.
<<
[56] Para una descripción
detallada véase Ribenboim 1994. <<
[57] Comentaré estas
opiniones con amplitud en el capítulo 9. <<
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