17 Circunferencias Coaxiales

17.1 Potencia de un punto. Si P es un punto cualquiera en el plano de una circunferencia dada, y una línea por P interseca la circunferencia en A y B, el producto de los segmentos PA y PB es constante. Esta propiedad característica de una circunferencia nos lleva a la formulación de la
Definición : La potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia que sean colineales con él.
Se sigue que la potencia de un punto es negativa , cero o positiva de acuerdo si el punto esta dentro, en o fuera de la circunferencia. Es también fácil verificar que, para cualquier posición de P, su potencia con respecto a una circunferencia cuyo centro es O y cuyo radio es r, es PO2 -r2 .
Si P está fuera de la circunferencia su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.
Un punto puede ser visto como una circunferencia de radio cero. Tal circunferencia es llamada circunferencia nula o circunferencia puntual. La definición anterior , propiamente interpretada, es aplicable a tal circunferencia. Entonces la potencia del punto P con respecto a una circunferencia nula O es PO2.
17.2 Eje radical. El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias es igual.
Para demostrar que el lugar geométrico definido anteriormente es una línea recta, vamos a considerar primero dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son O y O´ y cuyos radios son r y r´. Por P, un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencia , dibujamos PM perpendicular a la línea de los centros OO´. Entonces
Ahora solo hay un punto M en OO´ que satisface estas relaciones. Si N es un punto cualquiera semejante, tenemos

OM –MO´= ON –NO´;
Esto es
ON-MN –MO´= ON + MN –MO´ ,
Y entonces MN = 0; es decir , N coincide con M.
Por lo tanto, si un punto tiene potencias iguales con respecto a las dos circunferencias O y O´, está en una perpendicular a la línea de sus centros. Inversamente, se puede demostrar invirtiendo los primeros pasos de la discusión anterior, que , si P está en a perpendicular a OO´, en M, sus potencias con respecto a estas circunferencias son iguales.
Si los centros de dos circunferencias de radios desiguales se aproximan, el punto M se aproxima al punto al infinito en OO´ y la línea MP tiende a la línea al infinito. Así que el eje radical de dos circunferencias concéntricas desiguales se define como la línea al infinito. El eje radical de dos circunferencias iguales concéntricas, se dejara indefinido, y cualquier anunciado acerca del eje radical no es aplicable a tales circunferencias. Si dos circunferencias se intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si dos circunferencias s intersecan, su eje radical pasará por sus puntos comunes. Si son tangentes una a la otra, es su tangente común en el punto de contacto.
17.3 Centro radical.
Teorema: Los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares son concurrentes. Consideremos primero, tres circunferencias, cuyos centros no son colineales y sea P la intersección del eje radical de la primera y segunda con el de la segunda y tercera. Entonces P tendrá potencias iguales con respecto a las tres circunferencias, y entonces el eje radical de la primera y tercera también pasará por P.
Si los centros de las tres circunferencias son colineales, los ejes radicales son paralelos y distintos , o dos de ellos coinciden y la línea común es paralela al tercero, o los tres coinciden. En cada uno de estos casos especiales, las líneas son concurrentes en un punto al infinito.
El punto de concurrencia de tres de los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares, es llamado su centro radical.
17.4 Construcción del eje radical El eje radical de dos circunferencias no concéntricas puede ser construido como sigue:
Dibujemos una circunferencia cualquiera que corte las circunferencias dadas en A, A´ y B, B´ respectivamente. Por P, la intersección de AA´ y BB´, dibujamos la perpendicular a la línea de los centros de las circunferencias dadas. Esta perpendicular es el eje radical requerido como se puede comprobar fácilmente.
17.5 Circunferencias ortogonales a dos circunferencias.
Teorema: El centro de una circunferencia que corta a dos circunferencias ortogonalmente, está en el eje radical de estas últimas; y si una circunferencia cuyo centro está en el eje radical de dos circunferencias, es ortogonal a una de ellas, es también ortogonal a la otra.
Si P es el centro de una circunferencia que es ortogonal a las circunferencias O y O´, tenemos de los triángulos rectángulos PAO y O´A´P.
De esta manera P tiene potencias iguales con respecto a las circunferencias O y O´ y está en su eje radical.
En seguida, dejemos a P en el eje radical de las circunferencias O y O´ y hagamos que la circunferencia P corte ortogonalmente la circunferencia O. De la igualdad de las potencias de P y del hecho de que el ángulo OAP es recto, se sigue que el ángulo PAÓ´ también es recto y la circunferencia P es ortogonal a la circunferencia O´.
De acuerdo con su importancia en lo siguiente, probaremos enseguida estos dos teoremas:
Teorema: Todas las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias que no se intersecan la línea de sus centros en los mismos dos puntos.
Teorema: Una circunferencia que corta ortogonalmente a dos circunferencias que se intersecan, no interseca la línea de sus centros.
Para probar el primero de estos teoremas, nos referiremos a la Fig.55 y observando que, puesto que las circunferencias O y O´ no se intersecan , OM es mayor que el radio OA, entonces PM es menor que PA y, por lo tanto, la circunferencia P interseca OO´ en L y L´.
Entonces

Y
Esta ecuación nos muestra que la posición de L es independiente de la de P. Por lo tanto cualquier circunferencia ortogonal a O y O´ pasa por L. Asimismo cualquiera de estas circunferencias pasa por L y LL´ es bisecada por M.
Si las circunferencias O y O´ se intersecan , el punto M está dentro de ambas, OM es menor que el radio OA, PM es mayor que PA, y la circunferencia P no interseca OO´.
17.6 Ejes radicales del incírculo y excírculos.
Teorema: El eje radical de la circunferencia inscrita y de las circunferencias excritas de un triángulo tomadas por pares, son las bisectrices de los ángulo del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado.
Daremos las prueba para la circunferencia inscrita y para una de las excritas . Refiriéndonos a la Fig. 33, en la cual, L, M, N, son los puntos medianos de los lados, observamos que e eje radical de las circunferencias I e I 1 pasa por L , puesto que este punto tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias. También es perpendicular a II1, la bisectriz del ángulo interior A. Ahora la bisectriz del ángulo interior A, es paralela a la bisectriz del ángulo exterior en L, del triángulo LMN. Puede ser demostrado fácilmente que la bisectriz del ángulo interior en L es l eje radical de as otras dos circunferencias excritas.
De esta manera vemos que el centro radical de tres circunferencias excritas es el incentro del triángulo LMN, mientras que el de dos de sus excírculos y el incírculo es uno de sus excentros. Puesto que estas circunferencias no se intersecan, todos los centros radicales están fuera de las circunferencias. Los cuatro centros radicales forman un grupo ortocéntrico de puntos. 17.7 Circunferencias coaxiales. Si un conjunto de circunferencias es tal que la misma línea es eje radical de todo par, se dice que las circunferencias son coaxiales. El eje radical de los pares de circunferencias se llama eje radical del conjunto coaxial.
Obviamente, los centros de las circunferencias de un conjunto coaxial son colineales. También si dos de ellas se intersecan, cualquier circunferencia del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos. De otro modo no habría dos circunferencias del conjunto que se intersecaran. Es además inmediato que el eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales es el lugar geométrico de los puntos cuyas potencias con respecto a todas las circunferencias del conjunto son iguales.
Dos circunferencias distintas pueden pertenecer solamente a un conjunto coaxial; y dos circunferencias distintas determinan siempre, de modo único a un conjunto de circunferencias que son coaxiales con ellas. Además , si dos puntos diferentes tienen iguales potencias con respecto a tres o más circunferencias, las circunferencias son coaxiales.
Por la sección 17.5 se sigue que, si una circunferencia corta a dos circunferencias de un conjunto coaxial ortogonalmente, cortará a todas las circunferencias del conjunto tamién ortogonalmente.

17.8 Circunferencias coaxiales que se intesecan. Si una circunferencia de un conjunto coaxial corta al eje radical en dos puntos, entonces toda circunferencias del conjunto pasa a través de los mismos dos puntos y la línea de los centros es mediatriz de la cuerda común. De acuerdo con que r sea menor que, igual a , o mayor que la mitad de la longitud de la cuerda común , existe : ninguna circunferencia, una circunferencia o dos circunferencias del conjunto que tengan a r como su radio,
De la discusión de la sección 7.5 obtenemos de inmediato:
Teorema: Todas las circunferencias que son ortogonales a dos circunferencias que no se corten, pertenecen a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical de las dos circunferencias.
17.9 Circunferencias coaxiales que no se intersecan. El eje radical de un conjunto de circunferencias coaxiales puede no intersecar a estas circunferencias, en cuyo aso ninguna de las circunferencias cortará a otra. Sean dos circunferencias cuyos centros son O y O´ (Fig. 56) dos circunferencias de tal conjunto, y sea M el punto en el que el eje radical corta a la línea de los centros. Trácense las tangentes MP y MP´a las dos circunferencias, y , trácese una circunferencia que corta a la línea de los centros en L y L´. Esta circunferencia es ortogonal a cada una de las circunferencias dadas en consecuencia también ortogonal a cada una de las circunferencias coaxiales del conjunto que determinan las dos primeras.
Como la tangente en P a la circunferencia M pasa a través de O, vemos que las otras circunferencias del conjunto pueden construirse del modo siguiente:
En cualquier punto S de la circunferencia M trácese su tangente y sea O´´ la intersección de esta tangente con la línea de los centros. La circunferencia con centro en O´´ y O´´S como radio es una circunferencia del conjunto. Además, para cada r mayor o igual a 0 hay dos circunferencias del conjunto que tienen a r como radio. A L y L´ las circunferencias puntuales del conjunto se les denomina puntos limites, Ninguna de las circunferencias coaxiales tiene como centro a un punto interior del segmento LL´.
17.10 Relación con las circunferencias de Apolonio.
Teorema : Cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial de circunferencias ajenas , es decir, que no se intersecan es una circunferencia de Apolonio con respecto a los puntos límites del conjunto.
Para probar esto, sean ( Fig. 56) B y B´ los puntos en que la circunferencia O, una circunferencia arbitraria del conjunto ,corta a la línea de los centros. Como las circunferencias cuyos diámetros son LL´ y BB´ son ortogonales , los puntos L y L están separados armónicamente por B y B´ . En consecuencia, la circunferencia de Apolonio que es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a L y L´ tiene el valor LB : L´B , pasa por B y B´ como extremidades de un diámetro, puesto Que sólo hay una circunferencia con BB´ como diámetro , la circunferencia O es la circunferencia de Apolonio con respecto a L y L´.
17.11 Sistemas de circunferencias ortogonales. Se concluye a partir del teorema de la sección 6.8 que toda circunferencia que interseca a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos son nuevamente ajenos, y que lo hace ortogonalmente, pertenece a un conjunto coaxial de circunferencias que se intersecan cuya línea de los centros es el eje radical del primer conjunto. Además , las circunferencias que son ortogonales a cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial cuyos elementos se cortan, tienen sus centros en el eje radical del primer conjunto. Se mostrará enseguida que estas circunferencias ortogonales formaran un conjunto coaxial.
Consideremos cualquier circunferencia del gruó que se interseca. Las tangentes desde su centro a las circunferencias que la intersecan ortogonalmente son sus radios y por lo tanto son iguales. De esta manera su centro tiene iguales potencias con respecto a las circunferencias ortogonales a ella, de lo que se sigue que las últimas son coaxiales, con la línea de los centros del otro conjunto como eje radical. Ninguna de estas circunferencias interseca su eje radical, y por ningún par de circunferencias del conjunto se cortan entre sí.
Estos resultados pueden resumirse como sigue:
Sean A y B puntos diferentes en el plano. Entones existen dos conjuntos de circunferencias coaxiales que tienen las siguientes propiedades:
(1) Las circunferencias de un conjunto tienen la línea como eje radical ; cada una de estas circunferencias pasa por A y B y la mediatriz de AB es la línea de sus centros.
(2) Las circunferencias del otro conjunto que es del tipo sin intersecciones, tienen como eje radical la mediatriz de AB; los puntos A y B son los puntos límites ; y la línea AB es la línea de los centros.
(3) Una y sólo una circunferencia de cada conjunto pasa por cada punto finito del plano distinto a A y B.
(4) Cada circunferencia de un conjunto interseca ortogonalmente todas las circunferencias el otro conjunto, Los dos conjuntos forman una red ortogonal de circunferencias en el plano.
17.12 Aplicación al cuadrilátero completo. Como una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, probaremos el siguiente
Teorema: Las circunferencias cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales; los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales , y los puntos medios de las diagonales son colineales.
En el cuadrilátero completo de lados p, q, r, s (Fig. 58), sea H, el ortocentro del triángulo ABC y sean A´, B´, C´ los pies de las alturas por A, B , C respectivamente. Puesto que A, C, C´, A´ y B, C, C´ , B´ son conjuntos de puntos concíclicos.
H1A × H1A´ = H1B × = H1B ´ =
H1C × H1C´.

Ahora AA´, BB´, CC´, son cuerdas de las circunferencias que tienen como diámetros a AF, BE y CD respectivamente y por las ecuaciones anteriores H1 tiene la misma potencia con respecto a cada una de estas circunferencias, De la misma manera se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos ADE, BDF, CEF, tienen cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Se sigue que las tres circunferencias son coaxiales; que los cuatro ortocentros están en el eje radical; y que sus centros, a saber, los puntos medios de las diagonales, están en una línea recta. Más aún, la línea en la cual están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales.

16.19 Los puntos de Brocard.

16.19 Los puntos de Brocard.
Muchas de las investigaciones que fueron hechas durante la última parte del siglo XIX referentes al triángulo giran alrededor de conceptos y relaciones sugeridas por dos puntos, con los cuales vamos a trabajar nosotros mismos ahora. En el triángulo ABC, vamos a considerar la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en B, la que pasa por B y s tangente a CA en C, y la que pasa por C y es tangente a AB en A. Si llamamos a Ω el segundo punto de intersección de las dos primeras circunferencias, tenemos que Ð BAΩ = ÐCB Ω =Ð ACΩ ; y de la igualdad del primero y el último de estos ángulos se sigue que la tercera circunferencia pasa también a través de Ω .
De manera semejante, considerando las tres circunferencias correspondientes , la primera de las cuales pasa a través de A y es tangente a BC en C, etc., encontramos un segundo Ω ´ tal que
Ð Ω´AC =Ð Ω´CB = Ð Ω´BA.
Hemos encontrado en esta forma dos puntos Ω y Ω´,c ada uno de los cuales tiene la propiedad de que, si se trazan líneas de los vértices del triángulo a ellos, los ángulos que estas líneas forman con los lados del triángulo son iguales. Se puede demostrar que solamente existen dos de estos puntos.
De estos dos puntos, Ω es llamado el punto positivo de Brocard y Ω´ es llamado el punto negativo de Brodcard del triángulo dado . Las líneas que unen los puntos de Brodcard a los vértices serán llamados rayos de Brodcard del triángulo, los que pasan por Ω son los primeros rayos de Brodcard y los que pasan por Ω´ los segundos rayos de Brodcard.
16.20 El ángulo de Brodcard. Unamos Ω a los vértices del triángulo y hagamos que BΩ corte a la exmediana por A en D. Entonces los puntos A, Ω,C, D son concíclicos. Ya que sí denotamos ÐCBΩ por ω, tendremos también ÐACΩ = ÐADΩ = ω . Más aún ,
Ð CΩA= ÐB +
ÐC , entonces ÐADC = ÐA y, por lo tanto, ÐDCA= Ð B . Entonces CD es la exsimediana por C, y tenemos el importante resultado:
La exmediana por A, el primer rayo de Brocard por B y la exsimediana por C son concurrentes.
Si DE y AF son dibujadas perpendiculares a BC (Fig. 47) el ángulo ECD = ángulo A. También

Denotando por ω´ el ángulo Ω´AC y observando la simetría de la última ecuación encontramos que cotω = cotω´ y de aquí que ω= ω´. Por lo tanto, los puntos de Brocard de un triángulo son puntos conjugados isogonales. El ángulo ω es llamado el ángulo de Brocard del triángulo.
5.21 Relaciones con medianas y simedianas. Aplicando el inverso del teorema de Ceva a las líneas concurrentes AD, BD y CD (fig.47), encontramos que
donde Ω _b es la intersección de BΩ con CA. También la simediana por C divide a AB en la razón b² / a² ; entonces la mediana por A, el primer rayo de Brocard por B, y la simediana por C son concurrentes.
16.22 Valor límite del ángulo de Brocard. Se demostrará que el ángulo de Brocard cuyo valor es cot ^-1 (Cot A+ Cot B + Cot C) es cuando más igual a 30° . Del hecho de que la suma de CΩb y Ω _bA es b y su razón , encontramos
Ahora, del triángulo BCΩ _b
Y por lo tanto el sen ω no puede ser mayor que ½. Entonces ω no excede de 30°.
Obviamente sen ω = ½ y ω = 30° cuando el triángulo es equilátero.
16.23 La circunferencia de Brocard y los triángulos de Brocard. La circunferencia cuyo diámetro es el segmento de línea que une el circuncentro de un triángulo y su punto simediano es la circunferencia de Brocard del triángulo.
Cada una de las perpendiculares OL, OM y ON del circuncentro a los lados del triángulo intersecan la circunferencia de Brocard en O. Sean los segundos puntos de intersección de estas líneas con las circunferencias, A´, B´, C´.
El triángulo A´B´C´ es conocido como el primer triángulo de Brocard.
También las simedianas AK, BK y CK intersecan la circunferencia de Brocard en K. Si A´´B´´C´´ son los segundos puntos de intersección de las simedianas con esta circunferencia, el triángulo A´´B´´C´´ es llamado el segundo triángulo de Brocard.
16.24 Los triángulos de Brocard están en la circunferencia de Brocard. Puesto que (fig. 48) el ángulo KAÓ es un ángulo recto KA´ es paralela a BC y las distancias de K y A´ a BC son iguales. Resultados similares se obtienen con respecto a los otros lados del triángulo, entonces
y por lo tanto los triángulos rectángulos BLA´, CMB´ y ANC´ son semejantes, de lo que se sigue que BA´, CB´ y AC´ se intersecan en Ω.
Para demostrar que Ω está en la circunferencia de Brocard observamos que Ð ΩAO´ = ÐΩCÓ, entonces los cuatro puntos Ω, O , A´, C, son concíclicos. Pero la circunferencia por los últimos tres de estos puntos es la circunferencia de Brocard. . Análogamente se puede probar que Ω´ también está en la misma circunferencia. Es el punto de intersección de CA´, AB´y BC´.
El Triángulo ΩOΩ´ es isósceles y su base ΩΩ´ es perpendicular al diámetro OK. Esto se sigue del hecho de que los ángulos iguales ΩC´O y OC´Ω´ subtienden en la circunferencia de Brodcard losa arcos iguales Ωº y OΩ´.


16.25 El primer triángulo de Brodcard. En la fig. 48 los ángulos A´ΩC´ y B´ΩA´ son iguales respectivamente a los ángulos B y C del triángulo dado. Pero ellos también son iguales a los ángulos B´ y C´ del triángulo A´B´C´. Entonces el primer triángulo de Brocard es semejante al triángulo dado.
El primer triángulo de Brocard está en perspectiva con el triángulo ABC, las líneas AA´, BB´, y CC´ resultan concurrentes. Esto puede ser probado aplicando el teorema de Ceva a estas líneas considerándolas como transversales que pasan por los vértices del triángulo ABC. Puesto que cada ángulo de la base de los triángulos isósceles semejantes A´BC, B´CA, CÁB es el ángulo de Brocard ω, tenemos

La multiplicación de estas dos ecuaciones da el resultado deseado. Se sigue por el teorema de Desargues , que los puntos de intersección de los lados correspondientes de estos dos triángulos, son colineales.

Si trazamos líneas por los vértices del triángulo dado, paralelas a los lados correspondientes del primer triángulo de Brocard, ellas se intersecarán en un punto de la circunferencia circunscrita, conocido como punto de Steiner. El punto de la circunferencia circunscrita diametralmente opuesto al punto de Steiner es llamado punto de Tarry. Es el punto de concurrencia de líneas por los vértices del triángulo, que son perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard.
La concurrencia de las líneas antes mencionadas en el punto de Steiner es probada fácilmente. Sean AS y BS paralelas respectivamente a B´C´ y C´A´ (Fig. 49 ). Entonces Ð ASB = Ð B´C´A´= Ð ACB, y de aquí S esta en la circunferencia circunscrita. Obviamente las paralelas por C a A´B´ también pasan por S.
El que las perpendiculares a los lados del primer triángulo de Brocard que pasan por los vértices del triángulo dado pasan por el punto de Tarry, puede ser probado de una manera semejante.

16.26 Segundo triángulo de Brocard. Prolonguemos las simedianas del triángulo ABC hasta cortar la circunferencias circunscrita en P, Q y R (Fig. 50). El vértice A´´ del segundo triángulo de Brocard , que está en AK es el pie de la perpendicular de O a AK, puesto que el ángulo OA´´K está inscrito en una semicircunferencia. Por lo tanto A´´ es el punto medio de AP. Es decir , los vértices del segundo triángulo de Brocard bisecan las cuerdas de la circunferencia circunscrita al triángulo dado sobre la cual están sus simedianas.
Las siguientes relaciones se verifican fácilmente:
(a) Los cinco puntos B, T, C, O, A´´ son concíclicos, donde T es el punto de intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita en B y C. El centro de la circunferencia en la cual están es el punto medio de OT.
(b) Ð AA´´B = Ð CA´´A = 180° - Ð BAC.
(c) La circunferencia por A, B, A´´ es tangente a CA y la que pasa por C , A, A´´ es tangente a AB. Entonces de las seis circunferencias usadas en la sección 5. 19 para localizar los puntos de Brocard, las dos que son tangentes a dos lados del triángulo dado en un vértice común se intersecan nuevamente en el vértice correspondiente del segundo triángulo de Brocard.
16. 27 La primera circunferencia de Lemoine. Si se trazan paralelas a los lados de un triángulo por su punto simediano, los seis puntos en que cortan los lados del triángulo están en una circunferencia que es llamada la primera circunferencia de Lemoine del triángulo.

Sean las paralelas por el punto K trazadas y señaladas como se muestra en la Fig. 51. Entonces AQ₂KP₃ es un paralelogramo, Q2P3 es antiparalela a BC y asimismo a P1Q1 (Sección 5.15). Por lo tanto P1, Q1, P3, Q3, son concíclicos. Los ángulos P3Q2A son iguales al ángulo ACB; y de aquí se sigue que el trapezoide Q2P1Q3P3 es un trapecio. Por lo tanto, sus vértices son concíclicos. Entonces los seis puntos P1, Q1, P2, Q2,P3,Q3 están en una circunferencia.
La primera circunferencia de Lemoine y la circunferencia de Brocard son concéntricas : Puesto que Q2P3 es antiparalela a BC y, por tanto, es perpendicular a AO. Entonces la mediatriz de Q2P3 es paralela a AO y biseca a KO en N. Análogamente el punto N, que es el centro de la circunferencia de Brocard, está en la mediatriz de Q3P1. Entones N es también el centro de la primera circunferencia de Lemoine.
Por triángulos semejantes y por el hecho de que la simediana de un triángulo divide el lado al que es dibujada en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes, obtenemos

Por lo tanto las cuerdas que la primera circunferencia de Lemoine determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cubos de esos lados.
16. 28 La segunda circunferencia de Lemoine.
Una situación parecida a la descrita en la sección anterior existe, si, en lugar de las paralelas trazamos las antiparalelas a los lados por el punto simediano. Los seis puntos en los cuales estas antíparalelas cortan los lados, también están en una circunferencia que es llamada la segunda circunferencia de Lemoine del triángulo. Obviamente K es el punto medio de cada uno de los segmentos P1Q1, P2Q2, P3Q3 . También por el antiparalelismo, cada uno de los triángulos KQ1P3, KQ2P1 y KQ3P2 es isósceles. Entonces los seis puntos están en una circunferencia cuyo centro es K.
Después del hecho de que esta circunferencia corta los lados del triángulo en las extremidades de tres de sus diámetros, su propiedad más interesante, es de que las cuerdas que determina en los lados del triángulo son proporcionales a los cosenos de los ángulos opuestos. Debido a esta propiedad es llamada también la circunferencia de los cosenos del triángulo.
La primera circunferencia de Lemoine es llamad a menudo la circunferencia de Lemoine.

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos

16.13 Líneas isotómicas y puntos conjugados isotómicos Sean P y P´ dos puntos en el lado BC del triángulo ABC tales que BP´ = PC. Entonces las líneas AP y AP son llamadas líneas isotómicas del triángulo.
Sean dibujadas por cada uno de los vértices de este triángulo , un par de líneas isotómicas, y sean tres de ellas, una de cada par, concurrente en el punto T. Se sigue inmediatamente por el teorema de Ceva, que las otras tres también son concurrentes. Si su punto de intersección es T´, entonces los puntos T y T´ son los puntos conjugados isotómicos del triángulo.
16.14 Simedianas y puntos simediano. Las líneas conjugadas isogonales de las medianas de un triángulo son sus simedianas. Puesto que las medianas son concurrentes, las simedianas también son concurrentes y su punto de intersección es el llamado punto simediano del triángulo. El punto mediano y el punto simediano son puntos isogonales conjugados del triángulo.
16. 15 Propiedades de las simedianas. Entre las propiedades de las simedianas de un triángulo , se dan algunas de las más importantes en los teoremas que siguen inmediatamente.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos medios de las antiparalelas a BC con respecto a los lados AB y AC del triángulo ABC, es la simediana por A.
Sean AL y AL´ la mediana y la simediana por A, y sea PQ antiparalela ABC. Con los ángulos en A como se indica en la figura, tenemos, ya que BL = LC,

Y por las igualdades de los ángulos en A debidas a la isogonalidad

Combinando estos resultados se obtiene que PM= MQ.
Inversamente, sea M el punto medio de la antiparalela PQ. Entonces

Ahora x +y = α + β < x =" α,">Teorema: Las distancias de cualquier punto en una simediana a los lados de un triángulo concurrentes con esta simediana, son proporcionales a las longitudes de estos lados.
Sea P (fig. 43) un punto en la simediana por A, y sean d 1y d2 sus distancias a los lados como se muestra. Entonces Teorema. Los segmentos en los cuales divide una simediana el lado de un triángulo al cual es trazada, son proporcionales a los cuadrados de los lados adyacentes.
En la Fig. 43
Y puesto que
16.16 el punto simediano.Muchos de los avances en la geometría moderna del triángulo están íntimamente relacionados con su punto simediano. En seguida agrupamos algunas de las propiedades de este punto importante y más adelante en el capítulo indicaremos las direcciones que han tomado algunos de estos avances.
Es obvio que el punto simediano siempre está dentro del triángulo. Como hemos señalado anteriormente , es el conjugado isogonal del punto mediano.
Del segundo teorema e la sección anterior, deducimos el hecho de que las distancias del punto simediano a los tres lados del triángulo, son proporcionales a estos lados . También se puede probar que es el punto dentro de triángulo para el cual la suma de los cuadrados de sus distancias es el mínimo.

Si son bajadas perpendiculares del punto simediano K a los lados del triángulo, los pies son los vértices de un triángulo del cual K es su punto mediano.
Prolongue la mediana AL al doble de su longitud, hasta A´ y trace CA´, y encuentre la intersección, K´ de XK con YZ (fig44). Entonces los triángulos ACA´ y YKZ son semejantes , porque sus ángulos en C y K son iguales, cada uno es el suplemento del ángulo BAC, y los lados que contienen estos ángulos son proporcionales. Más aún puesto que los ángulos ACL y YKK´ son iguales, las líneas CL y KK´, son líneas correspondientes en estos triángulos , de lo que se sigue XK´ es una mediana de XYZ. Similarmente las otras dos medianas pasan por K.

16. 17 Propiedades armónicas. En la Fig. 45, sea AL´´ la tangente en A de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC del cual K es el punto simediano. Entonces por la semejanza de los triángulos AL´´B y CL´´A encontramos que
Y puesto que L´ divide el segmento BC internamente en la razón AB² / AC², se infiere que este segmento es dividido armónicamente por L´ y L´´ . Entonces el haz A (BCL´L´´) es un haz armónico. La simediana BM´ es una transversal de este haz y si su intersección con AL´´ es el punto S, entonces S es el conjugado armónico de K con respecto a B y M´.
En una forma similar se puede demostrar que la tangente en C también corta la simediana por B en el punto S. De esta manera la línea que une un vértice de un triángulo con la intersección de las tangentes por los otros dos vértices es la simediana por ese vértice. Esto da una construcción conveniente para las simedianas.
Si se une el punto medio M de CA con B, K y S, obtenemos el haz armónico M ( BM´KS). Ahora la altura BE es paralela al rayo MS del haz , y por lo tanto MK interseca BE en su punto medio S´. En otras palabras, la línea que une el punto medio de un lado de un triángulo con el punto medio de la altura bajada a este lado, pasa por el punto simediano del triángulo. Esto nos lleva a una construcción simple del punto simediano sin construir las simedianas.
16.18 Exsimedianas y exmedianas . La importancia de las tangentes de las circunferencias circunscritas de un triángulo por sus vértices se señala claramente en la discusión anterior. De acuerdo con su relación a las simedianas, estas tangentes son llamadas las exsimedianas del triángulo, y los puntos en los cuales se intersecan dos a dos son llamados sus puntos exsimedianos. De esta manera podemos enunciar uno de los resultados importantes de la sección 16 .17 como sigue:
Dos exsimedianas cualquiera y la tercera simediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exsimedianos,
Igualmente, las líneas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices de éste son llamadas las exmedianas del triángulo y los puntos de intersección dos a dos son llamados los puntos exmedianos . Dos exmedianas cualesquiera y la tercera mediana de un triángulo son concurrentes en uno de sus puntos exmedianos. Existen obvias relaciones armónicas con relación a las medianas , exmedianas, punto mediano y puntos exmedianos, análogas a las señaladas en la sección inmediata anterior.

16.12 Líneas isogonales y puntos conjugados isogonales.

16.12 Líneas isogonales y puntos conjugados isogonales.
Dos líneas que pasan por el vértice de un ángulo son líneas conjugadas isogonales, o más simplemente isogonales, con respecto a este ángulo, si la misma línea es bisectriz del ángulo dado y del ángulo formado por las dos líneas. Por ejemplo, la línea que une el vértice de un triángulo a su circuncentro y la altura por ese vértice, son isogonales con respecto al ángulo en ese vértice.
De fundamental importancia en la teoría de isogonales es el
Teorema: Si tres líneas, cada una por el vértice de un triángulo son concurrentes, sus isogonales con respecto a los ángulos del triángulo son concurrentes.

Sean AP, BQ y CR las isogonales de las líneas concurrentes AS, BS y CS respectivamente.
Por el teorema de Ceva

Puesto que AS y AP son isogonales , el ángulo BAS = ángulo PAC y el ángulo SAC = ángulo BAP. Resultados similares se obtienen para los otros pares de isagonales. De ésta y de la ecuación anterior tenemos
Y de aquí AP, BQ y CR son concurrentes.

Sea S´ su punto común. Entonces S y S´son llamados puntos conjugados isogonales del triángulo ABC. El ortocentro y el circuncentro son los puntos conjugados isogonales del triángulo. La bisectriz del ángulo interior de un triángulo es autoisogonal, y el incentro es su propio conjugado isogonal.

16.11 Circuncírculos de los triángulos determinados por un cuarilátero.

Teorema: Las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos cuyos lados son los lados de un cuadrilátero completo, tomados tres a un tiempo, tienen un punto en común.

Si son señalados los lados de un cuadrilátero por a, b, c y d; consideremos primero las circunferencias circunscritas a los triángulos abc y abd. Uno de los puntos comunes a estas circunferencias es el punto de intersección de las líneas a y b. Sea P su segundo punto común, y sean A, B, C y D los pies de las perpendiculares desde P a a, b, c ,d. Ahora las líneas de Simson de P con respecto a los triángulos abc y abd tienen a A y B como puntos comunes; entonces estas líneas coinciden y A, B, C y D son colineales. La aplicación del teorema inverso, enunciado en la sección 16.8, a los triángulos acd y bcd muestra que sus circunferencias circunscritas también pasan por el mismo punto P.

16.8 La línea de Simson.

Sean PX, PY y PZ las perpendiculares bajadas a los lados del triángulo ABC, desde cualquier punto P de su circunferencia circunscrita . Entonces los puntos X, Y ,Z son colineales. La línea en que están ellos el llamada la Línea de Simson de P con respecto al triángulo ABC.

Para demostrar que los puntos son colineales, vemos que cada uno de los cuadriláteros PYXC, PZAY y PABC es inscriptible . Entonces los ángulos PYZ y PAZ son iguales, y cada uno es el suplemento del ángulo BAP. También el ángulo PCX es el suplemento del ángulo BAP, y es entonces igual al ángulo PYZ. Pero el ángulo XYP es el suplemento del ángulo PCX; entonces los ángulos XYP y PYZ son suplementarios y los puntos X, Y, Z son colineales. Esto prueba el
Teorema: Si desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita de un triángulo, bajamos perpendiculares a los tres lados, los pies de estas perpendiculares están en una línea recta.
El inverso de este teorema puede ser fácilmente probado. Su enunciado y demostración , se deja como un ejercicio para el estudiante.
16.9 Ángulo de intersección de líneas de Simson.
En la Fig. 38, dejemos que PX se prolongue hasta intersecar nuevamente la circunferencia circunscrita en Q, luego dibujemos AQ. Entonces AQ es paralela a XY, la línea de Simson de P ; ya que el ángulo YXP= ángulo YCP= ángulo AQP. Análogamente la línea de Simson de un segundo punto P´ en la circunferencia es paralela a AQ´ donde P´Q´ es la cuerda por P´ perpendicular a BC. Y ya que los arcos PP´ y Q´Q son iguales se sigue que el ángulo entre las líneas e Simson de P y P´ la mitad del ángulo del arco PP´. En particular, las líneas de Simson de los extremos de un diámetro de un circuncírculo, son mutuamente perpendiculares.
16.10La Línea de Simson y la circunferencia de los nueve puntos.
Hagamos que la altura por A encuentre la circunferencia inscrita en K (Fig. 39), y dejemos que PK corte BC en Q y la línea de Simson de P en R. Ahora, puesto que PBXZ es inscriptible, el ángulo RXP = ángulo ZBP = ángulo AKP= Ángulo XPR y los triángulos PXR y XQR son isósceles. Entonces R es el punto medio de PQ. También ya que el triángulo KHQ es isósceles , QH es paralela a XZ y T es el punto medio de HP.
Puesto que el ortocentro es un centro de homotecia de la circunferencia circunscrita y la circunferencia de los nueve puntos, con la razón 2:1, el punto T está en la circunferencia de los nueve puntos.

La línea de Simson de P´, el otro extremo del diámetro que pasa por P; es perpendicular a XZ e interseca a HP´ en su punto medio T´. Como una consecuencia de las relaciones homotéticas antes mencionadas y el hecho de que PP´ es el diámetro de la circunferencia circunscrita, se sigue que TT´ es el diámetro de la circunferencia de los nueve puntos. Entonces las dos líneas de Simson de P y P´ se intersecan en ángulos rectos en la circunferencia de los nueve puntos.
Estos resultados pueden ser resumidos en los siguientes

Teoremas: La línea de Simson de un punto P con respecto a un triángulo dado biseca el segmento de línea que une P al ortocentro del triángulo; y el mismo segmento de línea es bisecado por la circunferencia de los nueve puntos . Las líneas de Simson de dos puntos diametralmente opuestos de la circunferencia circunscrita de un triángulo se intersecan en ángulos rectos en la circunferencia de los nueve puntos.

16.7 Triángulos relacionados a un grupo ortócentrico de puntos.

Ya que los cuatro triángulos de un grupo ortocéntrico, tienen el mismo triángulo pedal, (ver post 16.4) tienen también la misma circunferencia de los nueve puntos. Por lo tanto, los circuncírculos de estos cuatro triángulos son iguales. En la fig. 36, los circuncentros de los triángulos determinados por los puntos ortocéntricos H, A , B, C son O, O₁,O ₂, O₃. Entonces CO= CO₁, y L es el punto medio de OO₁ .En forma similar, M y N son los puntos medios de OO₂ Y OO₃. Por lo tanto, los triángulos LMN y O₁O₂O₃ son homotéticos en la razón 1:2, y el último es congruente al triángulo ABC.

Así también los cuatro puntos O, O₁,O₂,O₃ están en un grupo ortocéntrico y las posiciones de L, M, N con respecto a este grupo son las mismas que las de P, Q, R con respecto a H, A ,B ,C . Los ocho triángulos de estos dos grupos ortocéntricos tienen la misma circunferencia de los nueve puntos.