16.8 La línea de Simson.

Sean PX, PY y PZ las perpendiculares bajadas a los lados del triángulo ABC, desde cualquier punto P de su circunferencia circunscrita . Entonces los puntos X, Y ,Z son colineales. La línea en que están ellos el llamada la Línea de Simson de P con respecto al triángulo ABC.

Para demostrar que los puntos son colineales, vemos que cada uno de los cuadriláteros PYXC, PZAY y PABC es inscriptible . Entonces los ángulos PYZ y PAZ son iguales, y cada uno es el suplemento del ángulo BAP. También el ángulo PCX es el suplemento del ángulo BAP, y es entonces igual al ángulo PYZ. Pero el ángulo XYP es el suplemento del ángulo PCX; entonces los ángulos XYP y PYZ son suplementarios y los puntos X, Y, Z son colineales. Esto prueba el
Teorema: Si desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita de un triángulo, bajamos perpendiculares a los tres lados, los pies de estas perpendiculares están en una línea recta.
El inverso de este teorema puede ser fácilmente probado. Su enunciado y demostración , se deja como un ejercicio para el estudiante.
16.9 Ángulo de intersección de líneas de Simson.
En la Fig. 38, dejemos que PX se prolongue hasta intersecar nuevamente la circunferencia circunscrita en Q, luego dibujemos AQ. Entonces AQ es paralela a XY, la línea de Simson de P ; ya que el ángulo YXP= ángulo YCP= ángulo AQP. Análogamente la línea de Simson de un segundo punto P´ en la circunferencia es paralela a AQ´ donde P´Q´ es la cuerda por P´ perpendicular a BC. Y ya que los arcos PP´ y Q´Q son iguales se sigue que el ángulo entre las líneas e Simson de P y P´ la mitad del ángulo del arco PP´. En particular, las líneas de Simson de los extremos de un diámetro de un circuncírculo, son mutuamente perpendiculares.
16.10La Línea de Simson y la circunferencia de los nueve puntos.
Hagamos que la altura por A encuentre la circunferencia inscrita en K (Fig. 39), y dejemos que PK corte BC en Q y la línea de Simson de P en R. Ahora, puesto que PBXZ es inscriptible, el ángulo RXP = ángulo ZBP = ángulo AKP= Ángulo XPR y los triángulos PXR y XQR son isósceles. Entonces R es el punto medio de PQ. También ya que el triángulo KHQ es isósceles , QH es paralela a XZ y T es el punto medio de HP.
Puesto que el ortocentro es un centro de homotecia de la circunferencia circunscrita y la circunferencia de los nueve puntos, con la razón 2:1, el punto T está en la circunferencia de los nueve puntos.

La línea de Simson de P´, el otro extremo del diámetro que pasa por P; es perpendicular a XZ e interseca a HP´ en su punto medio T´. Como una consecuencia de las relaciones homotéticas antes mencionadas y el hecho de que PP´ es el diámetro de la circunferencia circunscrita, se sigue que TT´ es el diámetro de la circunferencia de los nueve puntos. Entonces las dos líneas de Simson de P y P´ se intersecan en ángulos rectos en la circunferencia de los nueve puntos.
Estos resultados pueden ser resumidos en los siguientes

Teoremas: La línea de Simson de un punto P con respecto a un triángulo dado biseca el segmento de línea que une P al ortocentro del triángulo; y el mismo segmento de línea es bisecado por la circunferencia de los nueve puntos . Las líneas de Simson de dos puntos diametralmente opuestos de la circunferencia circunscrita de un triángulo se intersecan en ángulos rectos en la circunferencia de los nueve puntos.