Capítulo 3 Paralelogramos

3.1 Propiedades de los paralelogramos
En el plano tenemos distintas clases de cuadriláteros, según la posición de sus vértices y aristas, como por ejemplo los siguientes.




Algunos cuadriláteros convexos tienen propiedades muy particulares. En este capitulo estudiaremos el caso del cuadrilátero llamado paralelogramo.
Definición 3.1.1 Un paralelogramo es un cuadrilátero necesariamente plano en el que cada lado es paralelo a su opuesto.
Los paralelos tienen varias propiedades entre ellas las siguientes:
Teorema 3.1.1 Todo paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos.


Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente.


Tracemos la diagonal AC obteniendo dos triángulos, a saber ΔABC y ΔACD. Como BC es paralelo a AD entonces Ð1= Ð2 .Por otra parte, ya que AB y CD son paralelos, Ð3= Ð4 .Y como además AC =AC, entonces por el criterio A.L.A. tenemos ΔABC ≅ ΔACD.
Finalmente podemos concluir que AB=CD y AD =CB.

Teorema 3.1.2 Todo paralelogramo tiene ángulos opuestos iguales.Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente. Tracemos el segmento AC.

Como BC es paralelo a AD entonces Ð1 = Ð4. De manera semejante, como AB es paralelo a DC se sigue que Ð2 = Ð3. Podemos observar entonces que
ÐA = Ð1 + Ð3 = Ð4+Ð 2 = ÐC,
Y por lo tanto ÐA = ÐC .
De manera análoga podemos demostrar que Ð B = ÐD.
Teorema 3.1.3 Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente.
Tracemos la diagonal AC.
Por hipótesis tenemos que AB es paralelo a DC, por lo que se sigue que Ð2 = Ð3 .Observemos además que Ð3+ Ð4 + ÐB =180º.
Por lo tanto
ÐC= Ð2+ Ð4 = Ð3+ Ð4 = 180º - ÐB.
Por consiguiente los ángulos C y B son suplementarios. De manera semejante, podemos probar que ÐA y ÐB, ÐA y ÐD, ÐD y ÐC son parejas de ángulos suplementarios entre si.

Teorema 3.1.4 En todo paralelogramo las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales.
Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD respectivamente. Tracemos las diagonales AC y BD.
Como BC es paralelo a AD entonces Ð1= Ð2 y Ð3= Ð4 . Y por el teorema 3.1.1 tenemos que AD = BC.

Ahora, por el criterio A.L.A. tenemos que ΔADE ≅ ΔCBE. De aquí DE= BE y AE=EC.
Teorema 3.1.5 Si un cuadrilátero convexo tiene dos lados iguales y paralelos entonces el es un paralelogramo.
Demostración. Supongamos que tenemos un cuadrilátero convexo ABCD, en donde AD es paralelo a BC y AD= BC.
Tenemos que demostrar que DC es paralelo a AB, para esto tracemos la diagonal DB. Como BC es paralelo a AD entonces Ð1= Ð2 .Así como BC= AD, Ð1 = Ð2 y DB = DB, por el criterio L.A.L obtenemos que ΔADB ≅ ΔCDB. De esta manera Ð3 = Ð4 .
Y como los ángulos Ð3 y Ð4 son alternos internos iguales con respecto al sistema de rectas DC y AB cortadas por la secante DB, concluimos que DC es paralelo a AB.

Teorema 3.1.6 Si en un cuadrilátero convexo cada par de lados opuestos son congruentes (o iguales)entonces el es un paralelogramo.

Demostración. Supongamos que tenemos un cuadrilátero ABCD en el cual AD =BC, y DC=AB.

Tenemos que demostrar que AD es paralelo a BC y que DC es paralelo a AB. Si trazamos AC generamos el par de triángulos ΔADC y ΔABC en donde AD=BC, DC=AB, Y AC= AC.

Ahora por el criterio L.L.L podemos ver que ΔADC ≅ ΔABC. Luego Ð1 =Ð4 y Ð2=Ð3.

Por un lado, como Ð1 y Ð4 son ángulos alternos internos iguales con respecto al sistema AD y BC, entonces AD y BC son paralelos.

Por otro lado, como Ð2 y Ð3 son ángulos alternos internos iguales con especto al sistema DC y AB, entonces DC es paralelo a AB. Concluimos así que ABCD es un paralelogramo.
Ejercicio 3.1.1 Sea ABCD un cuadrilátero y sean E, F ,G y H los puntos medios de los lados AD, AB ,BC y CD respectivamente.


Tenemos que demostrar que EFGH es un paralelogramo.
Por la proposición (2.2.1), podemos ver que
EH= ½AC y EH ║ AC.
FG = ½AC y FG ║ AC.
De esta manera EH = FG y EH es paralelo a FG. Así, por las propiedades vistas anteriormente, EFGH es un paralelogramo.