Las tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.

Teorema 4.2.3 Las tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Demostración. Demostraremos primero que dos medianas se cortan en un tercio de la longitud total de cada una.

Tomaremos un triangulo cualquiera ΔABC y llamemos D y E a los puntos medios de AB y BC , respectivamente. Tracemos las medianas AE y DC y llamemos F a la intersección entre estas.


Ahora, tomemos G y H puntos medios de AF y FC respectivamente. Por la proposición ( 2.2.1 ) ,DE = ½AC. Además DE es paralelo a AC, ya que D y E son puntos medios de AB y BC respectivamente para el triangulo ΔABC.
Y de manera semejante tenemos que GH = ½AC y GH es paralelo a AC, pues G y H son puntos medios de AF, FC respectivamente para el triangulo ΔAFC.
Por lo tanto GH = DE y GH es paralelo a DE. Y por el teorema (3.1.5) Se sigue que DEGH es un paralelogramo. Así las diagonales DH y GE e cortan mutuamente en partes iguales, es decir GF= FE y DF = FH . Y como G y H son los puntos medios de AF y FC respectivamente, entonces.

AG = GF = FE y CH = HF =DF.
Finalmente, tomando M como punto medio de AC, la mediana BM deberá cortar en un tercio a cualquiera de las otras dos medianas, digamos a AE, teniendo que pasar necesariamente por F.
De esta forma podemos concluir que tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Observemos que cualquier punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento dado, equidista de los extremos del segmento. Para garantizar la implicación inversa demostraremos el siguiente teorema.