5.2 Rectas Antiparalelas

Definición 5.2.1 Dadas dos rectas a y b no paralelas y l la bisectriz del ángulo formado por a y b. Decimos que las rectas c y d son antiparalelas con respecto a las rectas a y b si solo si α = β, en donde α y β son los ángulos formados por la bisectriz l y las rectas c y d como en la figura.

Teorema 5.2.1 Si las rectas c y d son antiparalelas con respecto a las rectas a y b, y si A,B,C Y D son los puntos de intersección entonces el cuadrilátero ABCD es cíclico.
Demostración. Tenemos dos casos
Caso 1.
Sean A, B, C, D, P , R y Q como en la figura . Hagamos α= ÐAPR = ÐCPR ,β = ÐARQ = ÐBQR, γ = ÐBAC y finalmente δ= ÐBDC. Para demostrar este caso, veremos que γ+ δ= 180°.

Como ÐPQD = 180°- β y α+ δ+ ÐPQD = 180°, puesto que son los ángulos interiores del triángulo ΔPQD, entonces
δ = 180° -α - ÐPQD =β - α.
Consideremos ahora el triángulo Δ PAR. Como Para Ð PRA= 180°- β y α +Ð PRA + Ð PAR = 180° por ser los ángulos interiores de tal triángulo, tenemos
PAR = 180° -α -Ð PRA = β-
α
Y como γ = 180°- ÐPAR = 180°- β+α , entonces

γ+ δ =( 180° -β + α) + (β-α) = 180°.
Así y son suplementarios. Además γ + δ + ÐACD + ÐABD =360°, por lo que ÐACD +Ð ABD = 180°. De esta forma obtenemos un cuadrilátero convexo con ángulos opuestos suplementarios; y por el corolario (5.1.5), ABCD es inscriptible.
Caso 2.
Sean A,B,,D,P,R y Q como en la figura, y α= ÐAPR = ÐCPR, β= ÐAQR= ÐBRQ, γ=Ð ADC y δ=Ð ABC.
Para este caso tracemos la recta que pasa por el segmento AC para que los puntos D y B queden en el mismo semiplano determinado por la recta AC. Demostraremos que δ= γ.

Los ángulos interiores del triángulo Δ PQD suman 180°, por lo tanto β= α+ γ. Y por otro lado, considerando el triángulo Δ PRB, podemos ver que β= α+δ.
Lo anterior implica que γ= β-α= δ. Así vemos que el segmento de la recta AC, desde los puntos B Y D bajo ángulos iguales. Y por la condición suficiente de concíclicidad de cuatro puntos, el corolario (5.1.4), tenemos que el cuadrilátero ABCD es inscriptible.