Teorema 4.2.6 Si un mismo puno hace a la vez la función de circuncentro e incentro para un triangulo, este es equilátero.

Teorema 4.2.6 Si un mismo puno hace a la vez la función de circuncentro e incentro para un triangulo, este es equilátero.
Demostración. Consideremos un triangulo ABC en donde P es circuncentro e incentro a la vez.
Como P es circuncentro de ΔABC, entonces ÐBDP = 90º= ÐPDA y además AD = DB. Utilizando el criterio L.A.L. afirmamos que los triángulos ΔADP y ΔBDP son congruentes. Se sigue que
ÐPAD = ÐPDB.
Por otro lado, ya que P es el incentro de ΔABC, AP y BP son bisectrices de ÐCAB y ÐCBA, respectivamente. Por consiguiente
ÐPAC = ÐBAP
ÐABP = ÐPBC
Luego
ÐPAC = ÐBAP = ÐABP = ÐPBC.
Por lo tanto los ángulos ÐCAB y ÐCBA son iguales. De manera semejante se puede demostrar que ÐACB = ÐCAB.
Así el triangulo ΔABC tiene sus tres ángulos interiores iguales. Y por el ejercicio (4.1.1), tiene también sus tres lados iguales.