5.3 Teorema de Ptolomeo

Teorema 5.3.1 (Teorema de Ptolomeo) En todo cuadrilátero cíclico no cruzado, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales.
Demostración. Sea ABCD cualquier cuadrilátero cíclico y no cruzado. Considerando el punto E sobre la diagonal BD, tal que ÐBAE = ÐCAD, como en la figura.

Tenemos que los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, ya que los ángulos ÐBAE y ÐCAD son iguales por definición de E, y ÐEBA = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AD.
Por lo tanto

y de aquí que
AB × cd = AC × BE
Tenemos quE los triángulos Δ AED y ΔABC son semejantes, puesto que ÐEAD = ÐAEC + ÐCAD =ÐEAC + ÐBAE = ÐBAC y además ÐADE = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AB.
Por lo tanto

, en otras palabras
AD × BC = AC × ED.
Sumando miembro a miembro las igualdades que obtuvimos,
AB×CD + AD× BC = AC×BE + AC×ED
= AC ×(BE + ED)
= AC×BD.
Demostración de lo que queríamos.
Teorema 5.3.2 (Teorema inverso de Ptolomeo) Si un cuadrilátero no cruzado es tal que la suma de los productos opuestos es igual al producto de las diagonales, tal cuadrilátero es cíclico.
Demostración. Sea ABCD un cuadrilátero no cruzado, el cual cumple con la hipótesis AB × CD + AD × BC = AC × BD. Consideremos el punto E tal que ÐBAE = Ð CAD y ÐABE= ÐACD, como en la figura.

Para demostrar que ABCD es inscriptible bastará probar que ÐABD = ÐACD; o lo que es lo mismo, que E esté sobre el segmento BD, es decir que BE + ED = BD.
Por la construcción de E, los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, por lo que Y asi,

BE × AC =CD × AB .

Por otro lado, observamos que ÐBAC = Ð BAE + ÐEAC = Ð CAD + ÐEAC = Ð EAD utilizando la primera identidad , garantizamos que los lados adyacentes a los ángulos ÐBAC y ÐEAD son proporcionales, entonces, por el criterio L.A.L los triángulos ΔABC y ΔAED son semejantes, con lo cual obtenemos que

y así
AC ED = BC AD
Sumando miembro a miembro esta identidad con la segunda que habíamos obtenido, veríamos que
BE AC + AC ED = CD AB +BC AD
AC (BE + ED) = CD AB + BC AD
Y utilizando la hi´pótesis de que AB CD + AD BC = AC BD, concluimos que
BE+ ED = BD,
Ya que AC es diferente de cero 0.