5.4 La línea de Simson

Teorema 5.4.1 Los pies de las perpendiculares trazadas desde cualquier punto del circuncírculo de un triángulo a los lados de éste, son colineales.
Demostración. Sea P un punto perteneciente al circuncírculo de un triángulo cualquiera ΔABC, y sean X, Y y Z los pies de las perpendiculares trazadas desde P respectivamente hacia los lados BC, AC y AB como en la figura.

La circunferencia de diámetro AP pasa por los puntos Y y Z, al ser ÐAZP y ÐAYP ángulos rectos . De aquí que ÐZAP = ÐZYP, y claramente ÐZAP y ÐBAP son suplementarios. Pero como el cuadrilátero ABCP es cíclico , se sigue que Ð BAP es suplemento de ÐBCP. Por lo tanto
ÐBCP = ÐZAP = ÐZYP.

Por su parte la circunferencia de diámetro PC pasa por los puntos X y Y, ya que los ángulos ÐPYC y ÐPXC son rectos. Así Ð XYC = ÐXPC. Además, como ÐXPC + Ð BCP = 90°, tenemos ÐXYC + ÐBCP = 90°.
Por último
ÐXYZ = ÐXYC + 90° + ÐZYP = ÐXYC + 90° + Ð BCP = 180°.
A la línea recta que pasa por los puntos X, Y y Z, que son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P del circuncírculo a los lados del triángulo, se le llama la línea de Simson.