lunes, 12 de enero de 2009

6.21 k permutaciones de n objetos.

El alfabeto tiene 27 letras.¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar en las que ninguna letra se repita? El principio de la multiplicación nos dice que podemos llenar los espacios _ _ _ _ _ de 27×26×25×24×23 = 9687600 formas.
Si en vez de 5 hubiésemos pedido palabras de 10 letras, el numero habría sido 27×26× 25 ×...18, y si en lugar de 10 pidiéramos arreglos de k letras, el total seria
27 × 26 × 25 ×... (27-k +2) × (27-k +1 )
(podemos sustituir varios valores de k para comprobar) ¿Por qué funciona esa formula? En todas las etapas las opciones vienen del mismo conjunto, pero como cada vez que hacemos una elección ya no podemos volver a usa esa letra, las opciones van disminuyendo de una en una, y como hay k posiciones, tenemos k factores consecutivos.
Tampoco tenia nada de especial el 27. La situación general es como sigue: se tiene un conjunto con n objetos (en el ejemplo anterior fue un conjunto de 27 letras), de las cuales se escogen k elementos (en el ejemplo fueron 5) para formar arreglos (palabras), ¿de cuantas formas se puede hacer? La primera posición tiene n opciones, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llenar las k posiciones. El total de arreglos es entonces


Un arreglos formado por k elementos que se escogen de un conjunto con n elementos se llama una k-permutación (de n objetos) o simplemente permutaciones de n en k. El número de las mismas se calcula con el producto de arriba. El producto anterior “se parece” a un factorial. Si lo completamos y dividimos entre los factores que hicieron falta obtenemos la formula que buscamos.

Teorema 6.4
(Permutaciones de n en k) Si de un conjunto de n elementos se escogen k para formar arreglos, entonces el número de tales arreglos se representa como






Y









Este número también se representa comoAsí la solución de las palabras de cinco letras la pudimos haber calculado como P (27,22).


Ejemplo. Si en un concurso de matemáticas participan 50 personas, de cuántas maneras pueden quedar repartidos el primer, segundo y tercer lugar?
Para los premiados se escogen 3 de las 50 personas, y como el orden importa, la respuesta es

3 comentarios:

Julio dijo...

creo que n sobre k es n!/(k!·(n-k)!), pero no me hagas mucho caso.....

Mauricio Chen dijo...

Julio tú te refieres a comnbinación; el autor habla de permutación

sebastian nieto sánchez dijo...

pr favor pueden poner mas ejercicios