1. Introducción
«Ah, el total y su séptima parte, hacen 19.»
Extraña palabrería ésta, indicadora de algún oculto ritual, pero la repetimos más a menudo de lo que creemos. Esta breve frase, descubierta en un papiro egipcio que tiene 3.600 años, expone uno de los primeros problemas algebraicos que se sabe solucionó el hombre. El explosivo sonido «ah» se utiliza, no como una exclamación, sino simplemente para designar «un montón» o «cantidad». Empleamos su equivalente cada vez que decimos: «Supongamos que x es igual a…».
El papiro de «ah» fue conocido por los intelectuales de Occidente hace un siglo. Henry Rhind, un anticuario escocés que estaba tuberculoso, lo compró en 1858 en una tienda en la ciudad de Luxor, a orillas del Nilo, donde pasaba el invierno a causa de su salud. Denominado el papiro Rhind en su honor, es especialmente interesante, ya que pone en evidencia que los hombres, en el año 1700 a. de c., ya se ocupaban de la clase de problemas que hoy resolvemos con el álgebra. A partir de la época de los faraones, el objeto básico del álgebra ha permanecido invariable: hacer posible la solución de un problema matemático en donde hay un número desconocido. La incógnita se expresa por un símbolo abstracto que se utiliza hasta que puede establecerse su valor numérico. A fin de precisar el problema y simplificarlo, se establece una ecuación, una proposición de qué es igual a qué.
El venerable problema egipcio de «ah, el total, y su séptima parte, hacen 19» puede transcribirse rápidamente en términos del siglo XX. Una persona tiene que rellenar una declaración de sus ingresos estimados. Sabe que sus impuestos actuales deben ser $1.900. Pero decide que si los valora algo por debajo a primeros de año, el Servicio de Impuestos Interno no lo considerará un asunto federal. Utilizando el simbolismo algebraico, que ahorra el tiempo maravillosamente, y el compendio de reglas lógicas del álgebra moderna, se dice asimismo:
«Sea x el número de cientos de dólares que declararé en concepto de impuestos. Después el problema consiste el hallar x de forma tal que x más un séptimo de ésta sea igual a 19». Expresa todo el problema por medio de una ecuación
«Ah, el total y su séptima parte, hacen 19.»
Extraña palabrería ésta, indicadora de algún oculto ritual, pero la repetimos más a menudo de lo que creemos. Esta breve frase, descubierta en un papiro egipcio que tiene 3.600 años, expone uno de los primeros problemas algebraicos que se sabe solucionó el hombre. El explosivo sonido «ah» se utiliza, no como una exclamación, sino simplemente para designar «un montón» o «cantidad». Empleamos su equivalente cada vez que decimos: «Supongamos que x es igual a…».
El papiro de «ah» fue conocido por los intelectuales de Occidente hace un siglo. Henry Rhind, un anticuario escocés que estaba tuberculoso, lo compró en 1858 en una tienda en la ciudad de Luxor, a orillas del Nilo, donde pasaba el invierno a causa de su salud. Denominado el papiro Rhind en su honor, es especialmente interesante, ya que pone en evidencia que los hombres, en el año 1700 a. de c., ya se ocupaban de la clase de problemas que hoy resolvemos con el álgebra. A partir de la época de los faraones, el objeto básico del álgebra ha permanecido invariable: hacer posible la solución de un problema matemático en donde hay un número desconocido. La incógnita se expresa por un símbolo abstracto que se utiliza hasta que puede establecerse su valor numérico. A fin de precisar el problema y simplificarlo, se establece una ecuación, una proposición de qué es igual a qué.
El venerable problema egipcio de «ah, el total, y su séptima parte, hacen 19» puede transcribirse rápidamente en términos del siglo XX. Una persona tiene que rellenar una declaración de sus ingresos estimados. Sabe que sus impuestos actuales deben ser $1.900. Pero decide que si los valora algo por debajo a primeros de año, el Servicio de Impuestos Interno no lo considerará un asunto federal. Utilizando el simbolismo algebraico, que ahorra el tiempo maravillosamente, y el compendio de reglas lógicas del álgebra moderna, se dice asimismo:
«Sea x el número de cientos de dólares que declararé en concepto de impuestos. Después el problema consiste el hallar x de forma tal que x más un séptimo de ésta sea igual a 19». Expresa todo el problema por medio de una ecuación
x + x / 7 = 19 («un séptimo de x es x/7»).
Después, casi automáticamente, aplica el axioma de que los iguales multiplicados por los iguales permanecen iguales, y multiplica ambos miembros de la ecuación por 7 para llegar a una nueva ecuación,
7x + x = 133
Esto a su vez le da 8x = 133, por lo tanto x = 133/8, y finalmente, x = 16 5/8, o expresado de otra forma, 16 5/8 cientos de dólares -unos impuestos calculados en 1.662,50 dólares.Los antiguos egipcios también obtuvieron la respuesta 16 5/8 aunque sin el tipo de ecuación simbólica que utilizamos en la actualidad.
Más de un ciudadano va felizmente por la vida sin jamás tener la necesidad de solucionar una ecuación algebraica desde que deja la escuela. Pero en el vasto y complicado mundo más allá de su puerta, dichas ecuaciones son indispensables para reducir complicados problemas a términos simples. Una empresa se debate con una ecuación cuando decide cuánto tiempo ha de conservar una máquina que se deprecia cada año en tantos o cuantos dólares. El álgebra se utiliza para determinar cómo debería actuar un cronometrador de forma tal que una bomba que se lanza desde una altura de 3.000 metros, por ejemplo, estalle 150 metros por encima del objetivo. Pocos científicos pueden ni siquiera hablar sin símbolos algebraicos para ampliar lo que dicen. En los tablones de anuncios de las oficinas, en las servilletas de las cafeterías o en la arena caliente de la playa, escriben ecuaciones, como resúmenes de las experiencias pasadas, o como instrumentos con que dominar las posibilidades de la naturaleza.
Los procedimientos del álgebra moderna son tan concisos como las normas de un reglamento militar. Escriba el problema como una ecuación en términos de x, la incógnita. Sistemáticamente ordénense todos los términos que contienen x en un miembro de la ecuación. Después combínelos y redúzcalos por medio de la aritmética simbólica hasta que quede una x en un miembro y un número conocido en el otro. Las transformaciones que deben realizarse para reducir los distintos términos que tienen x en una sola x pueden ser intrincadas y laboriosas. Algunas veces resulta útil descomponer el problema en varios subproblemas. Algunas lo es el sustituir una combinación de las x por una nueva incógnita unitaria - una y o una z - que puede ser transportada como un cheque de viaje y transformada después en dinero, x, efectivo, al término del viaje.
Las principales dificultades del álgebra se plantean debido a que algunos problemas incluyen no tan sólo la x, sino también x2 o x3. Las ecuaciones sencillas que comprenden sólo la x - y ninguna potencia superior de x - son denominadas ecuaciones de primer grado, o lineales («lineales» que significa «uni-dimensionales»). Las ecuaciones de segundo grado - que no contienen ninguna potencia superior a 2 - son denominadas cuadráticas (de «cuadrado», o «número elevado al cuadrado»). Las ecuaciones de tercer grado son denominadas cúbicas, las de cuarto grado, cuárticas. Más allá de las cuárticas hay ecuaciones de grado quinto, sexto o de grado superior.
2. El álgebra de la cena para cinco
La mayoría de los problemas cotidianos en álgebra -cómo convertir una receta para cuatro en una cena para cinco - pueden ser representados a través de ecuaciones lineales. Las cuadráticas se presentan principalmente en los problemas bidimensionales, tales como los que se refieren a las áreas, de qué anchura puede construirse una acera alrededor de una superficie rectangular de una extensión determinada, dada una cierta cantidad de cemento. Las cúbicas se presentan en los problemas tridimensionales, tales como los que se refieren al volumen, qué cantidad de metal se necesita para construir un tanque de aceite esférico de una capacidad de un millón de litros. Las cuárticas y las ecuaciones de grado superior se necesitan para complejos problemas científicos, tales como encontrar la tasa constante de reproducción por la que una bacteria engendrará un número dado de descendientes en n generaciones - una ecuación denominada «de grado n», que no es el «último grado» para los matemáticos, sino únicamente un grado indeterminado.
Para simplificar las cosas en conjunto, todas las ecuaciones de un determinado grado se consideran como una familia. Cada familia de ecuaciones tiene su propia «ecuación general» representativa. En ésta, una letra del final del alfabeto - x, y o z - representa el número desconocido, mientras que las letras del principio del alfabeto -a, b, c - representan los números que se supone se conocen, pero que no están todavía especificados. Toda ecuación cuadrática, por ejemplo, puede ser representada por una sola ecuación general
ax2 + bx + c = 0.
Al resolver esta relación puramente simbólica, los algebristas han encontrado que la solución para x es siempre
En ésta, el signo (más o menos) significa que hay dos soluciones en toda ecuación cuadrática - una que puede hallarse sumando, la otra restando, en aquel punto particular del cálculo.
No es sorprendente que las soluciones de las familias de las cúbicas y de las cuadráticas sean sucesivamente más complicadas. En lo que se refiere a las ecuaciones de grado superior al cuarto, no se han elaborado soluciones generales en modo alguno. De hecho, los matemáticos han probado que las ecuaciones superiores al cuarto grado no pueden solucionarse, por métodos algebraicos, con toda generalidad. Por medio de técnicas de aproximación y un computador electrónico pueden hallar la solución de un problema específico referente a una ecuación de grado superior, pero no pueden escribir una fórmula algebraica exacta para esta solución.
La solución de las ecuaciones en el álgebra se simplifica enormemente por los signos y los símbolos que se utilizan; sirven de simplificación para establecer con un buen nivel de confianza tanto los problemas como las etapas lógicas para hallar las soluciones. Es sorprendente, en vista de la antigüedad del álgebra, que la ventaja de los símbolos tardara mucho en descubrirse. Fue el filósofo matemático francés del siglo XVII René Descartes, quien primero utilizó a, b y c para representar los números conocidos y quién, con un talento gálico para la lógica, decidió que la otra parte del alfabeto debería de facilitar los símbolos para lo desconocido. Fue también Descartes quien empezó a escribir x = en lugar de xx, o x' en lugar de xxxxx.
Antes de que se desarrollara una notación algebraica, y antes del nacimiento de la idea de que las ecuaciones podían clasificarse y que cada tipo de ecuación tenía una solución general, los problemas del álgebra tenían la misma fascinación que tienen los acertijos. Para el matemático antiguo, explorando su tierra, recién descubierta, cada problema era un palacio inesperado que se hallaba solo en medio de una selva inextricable.
oy, al contemplar los sucintos resultados de los primeros descubridores algebraicos, no tenemos ninguna forma de saber qué caminos tomaron para llegar a sus palacios y por qué. Los primeros intelectuales que explicaron totalmente sus métodos para resolver problemas de álgebra -lineales, cuadráticos y cúbicos - fueron los incomparables griegos. Pero escribieron sus soluciones con palabras y diagramas únicamente - un proceso largo y en ocasiones confuso.
3. En donde se adivina los años que vivió
Después, en el crepúsculo de la era griega, apareció un hombre singular, Diofanto, quien ha sido conocido por el «Padre del Álgebra». En lo que respecta a las fechas de su nacimiento y fallecimiento, sólo sabemos que aproximadamente fueron entre los años 100 y 400. No obstante, debido a un peculiar suceso, sabemos de modo preciso cuánto tiempo vivió - 84 años -. Tenemos información debido a que uno de sus admiradores describió su vida en términos de un acertijo algebraico (véase cuadro). Puesto que la ecuación utilizada para solucionar este acertijo es de un sencillo tipo lineal, el propio Diofanto la hubiera mirado con desprecio.
3. En donde se adivina los años que vivió
Después, en el crepúsculo de la era griega, apareció un hombre singular, Diofanto, quien ha sido conocido por el «Padre del Álgebra». En lo que respecta a las fechas de su nacimiento y fallecimiento, sólo sabemos que aproximadamente fueron entre los años 100 y 400. No obstante, debido a un peculiar suceso, sabemos de modo preciso cuánto tiempo vivió - 84 años -. Tenemos información debido a que uno de sus admiradores describió su vida en términos de un acertijo algebraico (véase cuadro). Puesto que la ecuación utilizada para solucionar este acertijo es de un sencillo tipo lineal, el propio Diofanto la hubiera mirado con desprecio.
A Diofanto se le recuerda como el padre del álgebra puesto que fue el primero en abreviar sus pensamientos sistemáticamente con símbolos de su propia creación y debido a que resolvió lo que se conoce por ecuaciones indeterminadas o «diofánticas». Las ecuaciones indeterminadas no contienen suficiente información para ser resueltas con números específicos, pero sí suficientes para adscribir la respuesta a un tipo determinado. Por ejemplo: María tiene un año más que 10 veces la edad de Juan. ¿Cuál es la edad de María? Evidentemente, si Juan tiene 1 año, 2, 3, 4... 100, María tiene 11, 21, 31, 41,... 1.001... La ecuación que liga a sus edades,
x = 10y + 1
parece trivial al primer golpe de vista, pero da lugar a dos grupos de números enteros que van desde x = 10y + 1 hasta el infinito. Al utilizar estos grupos infinitos de números los matemáticos pueden estudiar las propiedades de varios tipos de números enteros tales como los impares, los pares, los primos o los cuadrados perfectos y obtener algunas de las reglas básicas que siguen los números al hacer artificios con ellos.
El análisis de los números desarrollados a partir de las ecuaciones diofánticas recibe el nombre de «teoría de números» y es la más pura de las ramas puras de la matemática actual. Su desarrollo por parte de Diofanto ayudó a los algebristas a considerar una ecuación como una forma de categorizar todos los números de un tipo dado más bien que como una relación únicamente entre los números de un problema específico.
Durante la Edad Media y las edades de ignorancia y superstición una sucesión de matemáticos hindúes y musulmanes transmitieron el álgebra desde un oasis de cultura - un sultanado o califato - al siguiente. No crearon muchos conocimientos nuevos en el proceso, pero por lo menos a través de la práctica despojaron el arte de las ecuaciones de su aura de misterio. En 825 al-Khowarizmi, el mismo sabio de Bagdad que había publicado el sistema posicional de base 10 para la escritura de los números, escribió el primer tratado claro de álgebra. El título de esta obra fue al-jabr w'al-muqabalah, «el arte de unir las incógnitas simultáneamente para encontrar una cantidad conocida». La palabra clave al-jabr, o «unir» dio lugar a la palabra álgebra. En la Edad Media, «algebraico» indicaba a un hombre que unía los huesos o a un especialista en ecuaciones.
El problema más destacado que dejaron pendiente Khowarizmi y sus predecesores fue cómo interpretar los números negativos - inferiores al cero. ¿Quién tuvo jamás en sus manos menos que nada? En la actualidad el novato en álgebra aprende la llamada «ley de los signos» - que un número positivo de veces un número positivo es igual a más, que un número negativo de veces un número negativo, es igual a más, y que un número de veces positivo un número negativo es igual a menos: Los hindúes, se cree, fueron de los primeros en percibir las posibilidades de estas combinaciones y en darse cuenta que, al resolver una ecuación cuadrática, puede obtenerse una respuesta negativa. Debido a que 2 x 2 y - 2 x - 2 son ambos iguales a 4, por ejemplo, la ecuación x2 = 4 no tiene tan sólo la solución obvia x = + 2, sino también la solución x = - 2.
4. El no conformista número negativo
Debido a que es difícil captar la idea de los números negativos, pasó mucho tiempo antes de que se les permitiera la entrada en los dominios de las matemáticas y del sentido común. Uno de los primeros en darles abierta consideración fue un matemático italiano, Leonardo de Pisa, llamado también «Fibonacci», que vivió aproximadamente del 1170 al 1250. En una ocasión, mientras comprobaba un problema financiero, vio sencillamente que no podía resolverse si no era en términos de un número negativo. En lugar de quedarse indiferente ante este número, consideró su cuadrado y lo describió como una pérdida financiera. «Este problema - escribió - ha mostrado que es insoluble, a menos que se admitiera que el primer hombre tenía una deuda.»
Los números negativos pueden, naturalmente, ser interpretados de otras muchas formas. Miden distancias inversas a lo largo de una carretera, temperaturas por debajo de cero, tiempos anteriores al presente o minutos anteriores a la hora. En general son números con una flecha de dirección en ellos, una flecha que señala hacia detrás del cero. Por lo que se refiere a los modernos matemáticos, los números negativos no necesitan ser interpretados en modo alguno; simplemente son útiles abstracciones.
A pesar del reconocimiento hipotético de Fibonacci de que una ecuación podría tener una solución negativa, la mayoría de matemáticos continuaron considerando los números negativos con un frío escepticismo hasta el siglo XVI.
El análisis de los números desarrollados a partir de las ecuaciones diofánticas recibe el nombre de «teoría de números» y es la más pura de las ramas puras de la matemática actual. Su desarrollo por parte de Diofanto ayudó a los algebristas a considerar una ecuación como una forma de categorizar todos los números de un tipo dado más bien que como una relación únicamente entre los números de un problema específico.
Durante la Edad Media y las edades de ignorancia y superstición una sucesión de matemáticos hindúes y musulmanes transmitieron el álgebra desde un oasis de cultura - un sultanado o califato - al siguiente. No crearon muchos conocimientos nuevos en el proceso, pero por lo menos a través de la práctica despojaron el arte de las ecuaciones de su aura de misterio. En 825 al-Khowarizmi, el mismo sabio de Bagdad que había publicado el sistema posicional de base 10 para la escritura de los números, escribió el primer tratado claro de álgebra. El título de esta obra fue al-jabr w'al-muqabalah, «el arte de unir las incógnitas simultáneamente para encontrar una cantidad conocida». La palabra clave al-jabr, o «unir» dio lugar a la palabra álgebra. En la Edad Media, «algebraico» indicaba a un hombre que unía los huesos o a un especialista en ecuaciones.
El problema más destacado que dejaron pendiente Khowarizmi y sus predecesores fue cómo interpretar los números negativos - inferiores al cero. ¿Quién tuvo jamás en sus manos menos que nada? En la actualidad el novato en álgebra aprende la llamada «ley de los signos» - que un número positivo de veces un número positivo es igual a más, que un número negativo de veces un número negativo, es igual a más, y que un número de veces positivo un número negativo es igual a menos: Los hindúes, se cree, fueron de los primeros en percibir las posibilidades de estas combinaciones y en darse cuenta que, al resolver una ecuación cuadrática, puede obtenerse una respuesta negativa. Debido a que 2 x 2 y - 2 x - 2 son ambos iguales a 4, por ejemplo, la ecuación x2 = 4 no tiene tan sólo la solución obvia x = + 2, sino también la solución x = - 2.
4. El no conformista número negativo
Debido a que es difícil captar la idea de los números negativos, pasó mucho tiempo antes de que se les permitiera la entrada en los dominios de las matemáticas y del sentido común. Uno de los primeros en darles abierta consideración fue un matemático italiano, Leonardo de Pisa, llamado también «Fibonacci», que vivió aproximadamente del 1170 al 1250. En una ocasión, mientras comprobaba un problema financiero, vio sencillamente que no podía resolverse si no era en términos de un número negativo. En lugar de quedarse indiferente ante este número, consideró su cuadrado y lo describió como una pérdida financiera. «Este problema - escribió - ha mostrado que es insoluble, a menos que se admitiera que el primer hombre tenía una deuda.»
Los números negativos pueden, naturalmente, ser interpretados de otras muchas formas. Miden distancias inversas a lo largo de una carretera, temperaturas por debajo de cero, tiempos anteriores al presente o minutos anteriores a la hora. En general son números con una flecha de dirección en ellos, una flecha que señala hacia detrás del cero. Por lo que se refiere a los modernos matemáticos, los números negativos no necesitan ser interpretados en modo alguno; simplemente son útiles abstracciones.
A pesar del reconocimiento hipotético de Fibonacci de que una ecuación podría tener una solución negativa, la mayoría de matemáticos continuaron considerando los números negativos con un frío escepticismo hasta el siglo XVI.
En este siglo, la época del Renacimiento, las matemáticas también disfrutaron una nueva explosión de creatividad. La concepción del hombre referente a los números empezó a extenderse más allá de los números y de los dígitos con los que podía contar guijarros en una playa. Empezó a considerar a los números como creaciones de su propia mente; eran ficciones, tal vez, pero ficciones que algún día permitirían distinguir las partículas atómicas y dar nombre a puntos en el espacio y en el tiempo. Esta intuición surgió unida a la investigación de la ecuación cúbica o de tercer grado, ecuación que dio la casualidad que representaba el problema matemático principal de la época.
En el siglo XVI se habían hallado soluciones generales para las ecuaciones lineales y cuadráticas, pero no para las cúbicas, una ecuación poco común que incluye la potencia x3. Pero en 1550 se había alcanzado la conquista de las cúbicas a través de varias aproximaciones independientes. Y, al aplicar estas fórmulas generales a las ecuaciones particulares, sus descubridores no pudieron dejar de observar, con considerable inquietud, que los números comprendidos en el procedimiento no siempre eran positivos.
5. Trabajo intelectual en las callejas
Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se dará en el marco de la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, muy poco alejados de la actividad contable, de la resolución de problemas de interés compuesto y de problemas de seguros. Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista, que se encontraba en su elemento tanto entre dos tramposos jugadores de cartas y los espadachines que frecuentaban las callejas del Renacimiento como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus proezas de agilidad mental sostuvieron entre sí competiciones para la solución de problemas. Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían una bolsa común y la depositaban en manos de un tercero, el ganador se lo llevaba todo.
En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre franciscano, Luca Pacioli, quien en 1494 publicó un compendio de álgebra, la Summa de Arithmetica. Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha, y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue Scipione del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la primera solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada:
En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones en Italia, y había ideado un arma secreta propia: una solución general para las cúbicas del tipo
Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró enfrentado con un antagonista más fuerte -Girolamo Cardano-, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacía horóscopos para los reyes, un médico que visitaba sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterado, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado. El Santo Padre lo pensionó y Tartaglia le dio la solución de la ecuación cúbica. Cardano la obtuvo con una adulación superior a la capacidad del Tartamudo para rechazarle.
Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia de la cúbica, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones, su Ars Magna (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida despotricando de Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. También hizo pasar a la historia al alborotador y blasfemo Lodovico Ferrari, que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferrari, cuando todavía estudiaba con Cardano, solucionó las de cuarto grado, o cuárticas. Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su Ars Magna pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances algebraicos más trascendentales desde la muerte de Diofanto, unos 1300 años antes.
En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó «ficticio» o «sofisticado». Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo: En la actualidad los matemáticos denominan a la raíz cuadrada de un número negativo, como un número «imaginario»; cuando dicha cantidad se combina con un número real, como 1 + √-2, el resultado se llama número «complejo». Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones: dan soluciones a las ecuaciones a que hacen referencia, por ejemplo, a los «estados» de las partículas atómicas en la física atómica.
En el siglo XVI se habían hallado soluciones generales para las ecuaciones lineales y cuadráticas, pero no para las cúbicas, una ecuación poco común que incluye la potencia x3. Pero en 1550 se había alcanzado la conquista de las cúbicas a través de varias aproximaciones independientes. Y, al aplicar estas fórmulas generales a las ecuaciones particulares, sus descubridores no pudieron dejar de observar, con considerable inquietud, que los números comprendidos en el procedimiento no siempre eran positivos.
5. Trabajo intelectual en las callejas
Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se dará en el marco de la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, muy poco alejados de la actividad contable, de la resolución de problemas de interés compuesto y de problemas de seguros. Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista, que se encontraba en su elemento tanto entre dos tramposos jugadores de cartas y los espadachines que frecuentaban las callejas del Renacimiento como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus proezas de agilidad mental sostuvieron entre sí competiciones para la solución de problemas. Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían una bolsa común y la depositaban en manos de un tercero, el ganador se lo llevaba todo.
En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre franciscano, Luca Pacioli, quien en 1494 publicó un compendio de álgebra, la Summa de Arithmetica. Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha, y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue Scipione del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la primera solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada:
x3 + ax = b
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, posiblemente para confundir a los adversarios durante las competiciones. Pero en sus últimos días confió su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nicolo Fontana, llamado Tartaglia, o el «Tartamudo».En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones en Italia, y había ideado un arma secreta propia: una solución general para las cúbicas del tipo
x3 + ax2 = b
Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + ax = b, le respondió con ejemplos del tipo x3 + ax2 = b. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, pero cuando se acabó el tiempo y llegó el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia.Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró enfrentado con un antagonista más fuerte -Girolamo Cardano-, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacía horóscopos para los reyes, un médico que visitaba sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterado, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado. El Santo Padre lo pensionó y Tartaglia le dio la solución de la ecuación cúbica. Cardano la obtuvo con una adulación superior a la capacidad del Tartamudo para rechazarle.
Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia de la cúbica, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones, su Ars Magna (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida despotricando de Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. También hizo pasar a la historia al alborotador y blasfemo Lodovico Ferrari, que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferrari, cuando todavía estudiaba con Cardano, solucionó las de cuarto grado, o cuárticas. Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su Ars Magna pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances algebraicos más trascendentales desde la muerte de Diofanto, unos 1300 años antes.
En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó «ficticio» o «sofisticado». Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo: En la actualidad los matemáticos denominan a la raíz cuadrada de un número negativo, como un número «imaginario»; cuando dicha cantidad se combina con un número real, como 1 + √-2, el resultado se llama número «complejo». Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones: dan soluciones a las ecuaciones a que hacen referencia, por ejemplo, a los «estados» de las partículas atómicas en la física atómica.
Como muchos de los conceptos de las matemáticas se aceptan como puras abstracciones. La advertencia de Cardano en torno a su importancia, no obstante, estuvo más que justificada cuando el genio matemático del siglo XIX Carl Friedrich Gauss demostró que toda ecuación tiene exactamente tantas soluciones positivas, negativas o complejas como el grado justo de la ecuación. Cada ecuación de primer grado tiene una solución, toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, toda ecuación de tercer grado tiene tres soluciones, toda ecuación de grado n tiene n soluciones. Esta satisfactoria simetría constituye el «teorema fundamental del álgebra».
En gran parte debido a Cardano, las matemáticas salieron de su paso a través de los burdeles del Renacimiento, enormemente enriquecidas. Los italianos habían mostrado que podían hacerse nuevas incursiones más allá de los conocimientos de las épocas antiguas. La deducción rigurosa y la demostración no siempre requerían preceder al descubrimiento. Los matemáticos europeos reavivaron el versátil espíritu de Arquímedes.
En gran parte debido a Cardano, las matemáticas salieron de su paso a través de los burdeles del Renacimiento, enormemente enriquecidas. Los italianos habían mostrado que podían hacerse nuevas incursiones más allá de los conocimientos de las épocas antiguas. La deducción rigurosa y la demostración no siempre requerían preceder al descubrimiento. Los matemáticos europeos reavivaron el versátil espíritu de Arquímedes.
Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life
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